Réponse :

étudier le sens de variation de la suite (bn) définie pour tout entier naturel n

par : bn = n²/(n+1)

soit  bn = f(n) ;  f(x) = x²/(x + 1)    définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[

f '(x) = (2 x(x +1) - x²)/(x + 1)²

       = (2 x² + 2 x - x²)/(x+1)²

       = (x² + 2 x)/(x + 1)²   or  (x + 1)² > 0

comme  x ≥ 0  ⇔ x + 2 ≥ 2  ⇔ x + 2 ≥ 0  donc  x(x+2) ≥ 0

puisque  f '(x) ≥ 0  sur l'intervalle [0 ; + ∞[  donc  f(x) est croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞[ , on en déduit donc que la suite (bn) est croissante sur N  

Explications étape par étape