Bonsoir pouvez-vous m’aider svp merci.... Pergunta de ideia delauraleo

lauraleo @lauraleo

December 2020 1 123 Report

Bonsoir pouvez-vous m’aider svp merci

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1) $x-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}$ .

2) La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ , donc pour que f soit définie, il faut que $\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0$ , on effectue le tableau de signes:

x -∞ -1 0 1 +∞

x-1 - - - Ф +

x+1 - Ф + + +

x - - Ф + +

((x-1)(x+1)/x) - Ф + ║ - Ф +

Donc $\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0 \Leftrightarrow x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[$ .

Donc le domaine de définition de f est $[-1;0[ \cup [1;+\infty[$ .

3) On calcule la fonction dérivée de f:

$f'(x)=\frac{(x-\frac{1}{x})'}{2\sqrt{x-\frac{1}{x}}}=\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{2\sqrt{x-\frac{1}{x}}}$ .

Pour tout $x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[, \quad 1+\frac{1}{x^{2}} >0$ , car un carré est toujours positif, puis $2\sqrt{x-\frac{1}{x}} \geq 0$ , pour tout $x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[$ , car $\sqrt{x} \geq 0$ , pour tout $x \in \mathbb{R}$ , et à fortiori pour $x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[$ .