Réponse :

bonjour

Explications étape par étape :

1) voir pièce jointe

2) pour répondre à cette question on calcule la mesure des segments

AB   ;   BC  et AC

soit A ( -4 ; 5 )    ;   B ( -2 ; -1)  et C ( 2 ; 3 )

Dans un repère orthonormé, la longueur d’un segment  s’exprime en fonction des coordonnées des points

selon la formule : ⇒ √(x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²(la racine carrée vient couvrir toute la formule)

donc mesure de AB c   avec A(-4 ; 5) et B( -2 ; -1)

• AB = √(xB - xA )² + (yB - yA)²

• AB = √(-2 +4)² + √(-1 - 5)²

• AB = √2² + (-6)²

• AB = √4 + 36

• AB = √40 = √4 x 10

AB = 2√10

mesure de BC            B(-2 ; -1 )    et C( 2 ; 3)

• BC = √(xC - x B)² + (yC - yB)²

• BC = √(2 + 2)² + (3 + 1) )²

• BC = √4² + 4²

• BC = √16 x 2

BC = 4√2

mesure de AC        A( -4 ; 5)       et C (2 ; 3))

• AC = √(xC - xA)² + (yC - yA)²

• AC = √(2 + 4)² + (3 - 5)²

• AC = √6² + (-2)²

• AC = √36 + 4

• AC = √40

AC = 2√10

donc AB = AC le triangle est un triangle isocèle en A

3) k (xk ; yk) milieu de BC  B(-2 ;-1)    C (2 ; 3)

• coordonnées du milieu k (  ( xB + xC)/2 ; (yB + yC)/2)

• ⇒ k( ( -2 + 2)/2 ; (-1 + 3)/2)

⇒ k(0 ; 1)

4) nature de ABK

on calcule la mesure des segments  AB  ;  AK et BK

• AB = √40

mesure de BK     avec B (-2 ;-1) et k ( 0 ; 1)

Bk = √(xk - xB)² + (yk -yB)²

Bk = √(0 + 2)² + (1 + 1)²

Bk =√2² + 2²

• Bk = √8

mesure de Ak         avec A(-4 ; 5)   et k (0 ; 1 )

Ak = √(xk -xA)² + (yk -yA)²

Ak = √(0 +  4)² + (1 - 5)²

Ak = √4² + 4²

• Ak = √32

Et (√40)² = (√8)² + (√32)²

⇒ 40 = 8 + 32

40 = 40

AB² = Ak² + Bk² ⇒ ABk triangle rectangle en k et AB hypoténuse de ce triangle

5 ) D symétrique de A par rapport à k  donc k milieu de AD

⇒k (( xA + xD)/2 ; (yA + yD)/2))  et k (0 ; 1)

⇒soit xk = (xA + xD)/2 et yk = (yA + yD) /2

• 0 = (-4 + xD) /2      et         1 = 5 + yD/2
• 0 x 2 = -4 +xD       et         1 x 2 = 5 + yD
• 0 + 4 = xD               et        2 - 5 = yD
• xD = + 4                  et         yD  = -3

coordonnées de D (4 ; -3)

6) nature ABDC

AB = AC = 2√10   ⇒ AB et AC côtés concécutifs de même longueur de ABDC

BC et AD diagonales de ABDC qui se coupent perpendiculairement (k = 90°) et en leur milieu

ABDC est un losange

7)  ABk triangle rectangle en k donc AB hypoténuse de ce triangle

et le centre du cercle circonscrit à ABk est le milieu de AB

donc R = 1/2AB

R = 2√10/2

• R = √10

coordonnées du milieu de AB appelons le F:

⇒F (( xA + xB)/2 ; (yA + yB) /2)

⇒F (( -4 - 2)/2 ; (5 -1)/2)

• F ( -3 ; 2 )

si E (-5 ;0) ∈ au cercle circonscrit à ABk alors la distance EF est un rayon de ce cercle et = √10

vérifions  avec E (-5 ;0) et F( -3 ; -2)

• EF = √(xF - xE)² + (yF - yE)²

• EF = √(-3 + 5)² + ( 2 - 0)²

• EF = √2² + 2²

EF = √8

donc EF ≠ R

E(-5 ;0) ∉ au cercle circonscrit à ABk

bonne journée