Explications étape par étape:

Bonsoir, arithmétique des entiers, il te faudra bien relire ton cours, ça reviendra souvent, avec des questions plus complexes.

1- Si n est un entier, alors forcément 2n est pair (définition d'un nombre pair, multiple de 2). De même, comme 2n est toujours pair 2n+1 sera impair.

2a) Identité remarquable classique, tu développes :

(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1.

b) Dans le développement précédent, on peut écrire que 4n^2 = 2n * 2n = 2*n*2n, qui est pair. De même, 4n = 2n * 2, pair. La somme de ces 2 nombres sera alors pair. En y ajoutant 1, il en résultera un nombre impair. Le carré d'un impair sera donc impair.

3) Comme vu précédemment, le carré d'un nombre pair est pair.

b) Conclusion : Si n est pair, alors son carré sera pair. Inversement, si n est impair, son carré sera impair.

Bonne soirée