Réponse :

Explications étape par étape

On voit sur le graphique que

• f(1) = 1
• f(2) = 2.ln(2)
• f'(2) = 0

f(x) = ax + b + c.ln(x)

==> f'(x) = a + c/x

f(1) = 1 ==> a + b = 1        (ln(1)=0)      (a)

f'(2) = 0 ==> a + c/2 = 0 ==> 2a + c = 0      (b)

f(2) = 2.ln(2) == 2a + b + c.ln(2) = 2.ln(2) = a + 1 + c.ln(2)   (car a+b=1)

       ==> a + c.ln(2) = 2.ln(2) - 1      (c)

2)

(b) ==> a=-c/2

(c) ==> c(-1/2 + ln(2)) = 2.ln(2) - 1

c = 2.(2.ln(2)-1) / (2.ln(2)-1) = 2

a = -1

b = 1-a = 2

==> f(x) = -x + 2 + 2.ln(x)

3)

f'(x) = a + c/x = -1 + 2 / x

f(x) s'annule pour x=2, est positive pour x < 2 et négative pour x > 2

Ce tableau de variation est en accord avec le graphe donné.