Bonsoir
Soit ϕ: R[X]→R[X], P↦P(X+1)+P(X)
1.Soit n≥0. Démontrer que ϕ induit un automorphisme de Rn[X].
J'ai du mal à démontrer l'injectivité.
Soit ϕ: R[X]→R[X], P↦P(X+1)+P(X)
1.Soit n≥0. Démontrer que ϕ induit un automorphisme de Rn[X].
J'ai du mal à démontrer l'injectivité.
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réponse :
C'est possible de démontrer l'injectivité de ϕ en montrant que si deux polynômes P et Q qui sont à Rn[X] ont la même image par ϕ, c'est-à-dire si ϕ(P) = ϕ(Q), alors P = Q.
En gros, P et Q deux polynômes dans Rn[X] tels que ϕ(P) = ϕ(Q). Ça signifie que :
P(X+1) + P(X) = Q(X+1) + Q(X)
P(X) + P(X+1) = Q(X) + Q(X+1)
On fait moins P(X) + Q(X) des deux côtés,
P(X+1) - Q(X+1) = Q(X) - P(X)
Tu refais ça en remplaçant P par Q et Q par P genre :
Q(X+1) - P(X+1) = P(X) - Q(X)
En ajoutant ces deux équations, t'obtient :
0 = 0
Ça veut dire que les coefficients de P et Q sont égaux, donc P = Q. Ducoup, ϕ est injective sur Rn[X].