Réponse :

Explications étape par étape

f(x)=(2x+1)²/(x²+1)   Df=R

f(x)=(4x²+4x+1)/(x²+1) de la forme u/v donc sa dérivée de la forme (u'v-v'u)/v² avec u=4x²+4x+1   u'=8x+4   et v=x²+1   v'=2x

f'(x)=[(8x+4)(x²+1)-2x(4x²+4x+1)/(x²+1)²

après développement et réduction

f'(x)=(-4x²+6x+4)/(x²+1)² (vérifie)

le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -4x²+6x+4

f'(x)=0 pour x=-1/2  et x=2 ceci après résolution de l'équation du second degré via delta et étude de son signe en fonction des solutions et du signe de"a" (-4).

Tableau de signes de f'(x) et de varaitions de f(x)

x       -oo                          -1/2                         +2                    +oo

f'(x)     .....................-...............0................+.............0.............-............  

f(x)    4.......décroi...................0............croi..........5........décroi ........4

Qd x tend vers - ou + oo f(x) tend vers +4 et la droite y=4 est une asymptote horizontale .