Réponse :

1) puisque b0 = 1  ; b1 = - 1/(2+1)  ; b2 = - 1/(2 + (- 1/(2+1))

donc  on peut écrire  b1 = - 1/(2 + b0)  et  b2 = - 1/(2 + b1) etc...

Donc  bn+1 = - 1/(2+bn)   avec bn > - 2

2) a) montrer que  bn+1 - bn = - (1+bn)²/(2+bn)

on écrit  bn+1 - bn = - 1/(2+bn) - bn

                              = - 1/(2+bn) - bn(2+bn)/(2+bn)

                              = (- 1 - 2 bn - bn²)/(2+bn)

                              = (- (1 + 2bn + bn²)/(2+bn)

                              = - (1 + bn)²/(2+ bn)

           b) en déduire le sens de variation de (bn)

                   bn+1 - bn = - (1 + bn)²/(2+ bn)   or (1+bn)² > 0  et bn > -2  donc

bn + 2 > 0  alors  (1+bn)²/(2+bn) > 0  et  - (1+bn)²/(2+bn) < 0

donc  bn+1 - bn < 0  alors la suite (bn) est décroissante sur N

Explications étape par étape