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Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir

2x + 1 = 0 ou -3x + 5 = 0

2x = -1 ou 3x = 5

x = -1/2 ou x = 5/3

x..........|-inf............(-1/2)...........(5/3).....,.......+inf

2x+1....|.........(-)........||.......(+).................(+)...........

-3x+5..|.........(+)................(+).......||........(-)............

Ineq....|.........(-).....,,,||........(+)......||........(-)............

x € ] -inf ; -1/2 [ U ] 5/3 ; +inf [

(2x + 3)(6x - 5 - 7 + x) < 0

(2x + 3)(7x - 12) < 0

2x + 3 = 0 ou 7x - 12 = 0

2x = -3 ou 7x = 12

x = -3/2 ou x = 12/7

x............|-inf..............(-3/2)....,.......12/7..........+inf

2x+3.....|.........(-)...........||........(+)................(+)..........

7x-12....|..........(-).....................(-)......||.........(+).........

Ineq.....|..........(+)..........||.........(-)......||.........(+)........

x € ] -3/2 ; 12/7 [

(3x - 5 - x - 1)(3x - 5 + x + 1) > ou = 0

(2x - 6)(4x - 4) > ou = 0

2(x - 3) * 4(x - 1) > ou = 0

8(x - 3)(x - 1) > ou = 0

x = 3 ou x = 1

x...........| -inf............(1)...........(3)..............+inf

x-3.......|...........(-)...........(-)......o.......(+).....,,,,..

x-1.......|.............(-).....o...(+)...............(+)..........

Ineq.....|...........(+).....o....(-)....o.......(+)...,,,,,,.....

x € ] -inf ; 1 ] U [ 3 ; +inf [

Réponse :

Partie A

le carré de tout nombre réel est supérieur ou égal à ce nombre

qu'en pensez vous  expliquer

la proposition n'est pas vraie pour tout les nombres réels

prenons un exemple : soit un nombre  a = 0.5 ⇒ a² = 0.5² = 0.25 < 0.5

pour les nombres réels compris entre 0 ≤ a ≤ 1  la proposition n'est pas vraie

b) soit x un nombre réel démontrer que la proposition est équivalente à

x(x-1) ≥ 0 pour tout réel x

Proposition :  x² ≥ x ⇔ x² - x ≥ 0 ⇔ x(x - 1) ≥ 0

c) dresser le tableau de signe de x(x- 1)

x     - ∞                     0                     1                           + ∞

x                    -          0         +                        +

x-1                 -                      -          0             +

P                    +                     -                         +

d) en déduire les solutions de l'inéquation  x(x-1) ≥ 0  La proposition est -elle vraie justifier

l'ensemble des solutions de l'inéquation est : S =]- ∞ ; 0] et [1 ; + ∞[

La proposition n'est pas vraie pour tout nombre réel x

car pour  x ∈ [0 ; 1]  la proposition  x(x - 1) ≤ 0  ⇔ x² ≤ x

Partie B

Déterminer tous les nombres réels  inférieurs ou égaux au double de leur carré

soit x, le nombre réel ⇔ x ≤ 2 x² ⇔ x - 2 x² ≤ 0 ⇔ x(1 - 2 x) ≤ 0

Tableau de signe de x(1 - 2 x)

x          - ∞                     0                    1/2                      + ∞

x                        -           0         +                        +

1 - 2 x                +                      +          0            -  

P                       -                        +                        -

l'ensemble des solutions est S = ] - ∞ ; 0]  et [1/2 ; + ∞[  

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