anylor Bonsoir, 
P(x) =4x³ +8x² -15x -9
-3 est racine du polynôme si P(-3) =0
P(-3) =4(-3)³ +8(-3)² -15(-3) -9
= 4×-27   +8×9 +45 -9 = -108 +72+45-9 =0
donc -3 est bien une racine de P(x)
2)
a)
on peux écrire
(x+3) (ax² +bx+c) = 4x³ +8x² -15x -9

(x+3) (ax² +bx+c)  =     ( on développe et on réduit)
ax³+3ax²+bx²+3bx+cx+3c
ax³ +  x²( 3a +b) +   x(3b+c) + 3c  = 4x³ +8x² -15x -9

a =  4
3a +b = 8   =>   b = 8 -3a = 8-12 = -4
3c= -9         =>  c =-9/3   c = -3

donc on a
P(x) = (x+3) ( 4x² -4x -3)
on cherche les racines de  4x² -4x -3
Δ= b²-4ac = 64 =8²
x1= -b-√Δ/2a =  -1/2
x2=-b+√Δ /2a =  3/2

d'où la factorisation de p(x)
(x+3) ( x+1/2)(x-3/2)

b)
 voir tableau de signes joint
tu peux aussi utiliser le théorème du signe du polynôme  ( 4x² -4x -3)
entre les racines => signe de -a
à l'extérieur des racines -> signe de a

c)
P(x)> 0
x€ ]-3 ;-1/2 [ U ] 3/2 ;+∞[