Réponse :
soit A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)
1) démontrer que pour tout réel x, A(x) = 6 x² - 22 x + 12
il suffit de développer A(x)
A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)
= 9 - 6 x + x² - (15 x - 5 x² - 3 + x)
= 9 - 6 x + x² - (16 x - 5 x² - 3)
= 9 - 6 x + x² - 16 x + 5 x² + 3
A(x) = 6 x² - 22 x + 12
2) factoriser A(x)
= (3 - x)(3 - x - 5 x + 1)
= (3 - x)(4 - 6 x)
A(x) = 2(3 - x)(2 - 3 x)
3) résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) A(x) < 0 ⇔ 2(3 - x)(2 - 3 x) < 0
x - ∞ 2/3 3 + ∞
3 - x + + 0 -
2 - 3 x + 0 - -
A(x) + 0 - 0 +
L'ensemble des solutions de l'inéquation A(x) < 0 est : S = ]2/3 ; 3[
b) A(x) ≥ 12 ⇔ 6 x² - 22 x + 12 ≥ 12 ⇔ 6 x² - 22 x ≥ 0 ⇔ 2 x(3 x - 11) ≥ 0
x - ∞ 0 11/3 + ∞
2 x - 0 + +
3 x - 11 - - 0 +
P + 0 - 0 +
L'ensemble des solutions de l'inéquation A(x) ≥ 12 est :
S = ]- ∞ ; 0]U[11/3 ; + ∞[
Explications étape par étape :
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Réponse :
soit A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)
1) démontrer que pour tout réel x, A(x) = 6 x² - 22 x + 12
il suffit de développer A(x)
A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)
= 9 - 6 x + x² - (15 x - 5 x² - 3 + x)
= 9 - 6 x + x² - (16 x - 5 x² - 3)
= 9 - 6 x + x² - 16 x + 5 x² + 3
A(x) = 6 x² - 22 x + 12
2) factoriser A(x)
A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)
= (3 - x)(3 - x - 5 x + 1)
= (3 - x)(4 - 6 x)
A(x) = 2(3 - x)(2 - 3 x)
3) résoudre dans R les inéquations suivantes :
a) A(x) < 0 ⇔ 2(3 - x)(2 - 3 x) < 0
x - ∞ 2/3 3 + ∞
3 - x + + 0 -
2 - 3 x + 0 - -
A(x) + 0 - 0 +
L'ensemble des solutions de l'inéquation A(x) < 0 est : S = ]2/3 ; 3[
b) A(x) ≥ 12 ⇔ 6 x² - 22 x + 12 ≥ 12 ⇔ 6 x² - 22 x ≥ 0 ⇔ 2 x(3 x - 11) ≥ 0
x - ∞ 0 11/3 + ∞
2 x - 0 + +
3 x - 11 - - 0 +
P + 0 - 0 +
L'ensemble des solutions de l'inéquation A(x) ≥ 12 est :
S = ]- ∞ ; 0]U[11/3 ; + ∞[
Explications étape par étape :