Réponse :

109)  U0 = - 3  

1) démontrer que (Vn) est arithmétique de raison - 1/3

     Vn+1 - Vn =  1/(Un+1  - 3)  - 1/(Un - 3)

                      = 1/((9/6-Un) - 3)  - 1/(Un - 3)

                      = (6 - Un)/3(Un - 3)  - 3/3(Un - 3)

                      = (- Un + 3)/3(Un - 3)

                       = - (Un - 3)/3(Un - 3)

                       = - 1/3

   Vn+1 - Vn = - 1/3    (Un) est une suite arithmétique de raison r = - 1/3

2) Vn = V0 + rn      V0 = 1/(U0 - 3)  = - 1/6

   donc  Vn = - 1/6  - 1/3) n

Vn = 1/(Un - 3)   ⇔  Vn(Un - 3) = 1   ⇔ VnUn - 3Vn = 1  ⇔ VnUn = 1 + 3Vn

⇔ Un = (1+3Vn)/Vn

          = (1 + 3(- 1/6 - 1/3)n)/(- 1/6 - 1/3)n)

          = (1 - 1/3 - n)/(- 1/6 - 1/3)n)

          = (2/3  - n)/(- 1/6 - 1/3)n)

          = 1/3(2 - 3 n)/1/3(- 1/2 - n)

Un = (2 - 3 n)/(-1/2 - n)

3) lim Un  = lim (2 - 3 n)/(-1/2 - n) = lim n(2/n - 3)/n(-1/2n - 1)

   n→ + ∞      n → + ∞                        n→+∞

lim (2/n - 3)/(-1/2n - 1)

n→ + ∞

lim 2/n = 0   et  lim (-1/2n) = 0

n→ + ∞               n→+∞

Donc par quotient  la lim U  = 3

                                    n → + ∞

Explications étape par étape :