Boujour je suis en seconde générale et j'ai besoin d'aide pour ce problème de math . J'ai essayé plusieurs fois de le faire mais je ne comprend pas . pouvez vous m'aider svp.
Projeté orthogonal sur une droite Dans un repère orthonormé, on considère les points: A(2:5), B(-2;1) et C(6;-1) On note H(x; y) le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). 1. Sachant que les points A, B et H sont alignés, démontrer que y=x+3. 2. a. Exprimer la longueur AH en fonction de x et y. b. Démontrer que AH2 = 2x²-8x+8. c. Exprimer HC2 en fonction de x. d. En utilisant la nature du triangle AHC, démontrer que : 4x²-12x+8=0 3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous. 1 2 f(x):=4*x^2-12x+8 1 f(x) = 4 x² - 12 x+8 Factoriser(f(x)) 4 (x-2) (x-1) En déduire les coordonnées du point H. 4. L'aire du triangle ABC est-elle entière ?
Projeté orthogonal sur une droite Dans un repère orthonormé, on considère les points: A(2:5), B(-2;1) et C(6;-1) On note H(x; y) le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). 1. Sachant que les points A, B et H sont alignés, démontrer que y=x+3. 2. a. Exprimer la longueur AH en fonction de x et y. b. Démontrer que AH2 = 2x²-8x+8. c. Exprimer HC2 en fonction de x. d. En utilisant la nature du triangle AHC, démontrer que : 4x²-12x+8=0 3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous. 1 2 f(x):=4*x^2-12x+8 1 f(x) = 4 x² - 12 x+8 Factoriser(f(x)) 4 (x-2) (x-1) En déduire les coordonnées du point H. 4. L'aire du triangle ABC est-elle entière ?
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Bonjour
1. A et B appartiennent à la droite AB
donc ils vérifient l'équation réduite de la droite
y = ax + b
5 = 2a + b (point A)
1 = -2a + b (point B)
Par combinaison linéaire 5 + 1 = 2a-2a +b + b
6 = 2b donc b = 3
5 = 2a + b = 2a + 3
5-3 = 2a
2 = 2a donc a = 1
Ainsi la droite (AB) a pour équation y = x + 3
2. Vecteur AH ( xH - xA ; yH - yA )
Vecteur AH ( x - 2 ; y - 5 )
AH = || vecteur AH || =
[tex] \sqrt{(x - 2) {}^{2} + (y - 5) {}^{2} } [/tex]
b. AH² = (x-2)² + (y-5)²
Or y = x + 3
donc AH² = (x-2) + (x+3-5)² = (x-2)² + (x-2)² = 2(x-2)²
= 2(x²-4x+4) = 2x² -8x + 8
c. Vecteur HC ( 6-x ; -1-y )
HC² = (6-x)² + (-1-y)² = (6-x)² + (-1-x-3)² = (6-x)² + (-x-4)²
HC² = 36 -12x + x² + x² +8x + 16
HC² = 2x² -4x + 52
d. Comme H est le projeté orthogonal de C sur (AB)
AHC est rectangle en H
d'après le théorème de Pythagore :
AH² + HC² = AC²
AC² = 4x² - 12x + 60
Vecteur AC (4 ; -6)
AC² = 4² + (-6)² = 52
4x²-12x+60 = 52
4x² - 12x + 8 = 0
4(x-2)(x-1) = 0
x-2 = 0 ou x-1 = 0
x = 2 ou x = 1
on teste x = 2
alors H(2;2+3)
H(2;5)
AH² = 0
HC² = 52
AC² = 36
Or 36 ≠ 52 + 0
donc xH ≠ 2
On teste x = 1
H(1;1+3) H(1;4)
AH² = 2
HC² = 50
AC² = 52
Or 52 = 50 + 2
donc H(1;4)
4. Aire ABC = bh/2
b = AB
Vecteur AB (-4 ; -4)
AB =
[tex] \sqrt{( - 4) {}^{2} + { (- 4)}^{2} } [/tex]
=
[tex] \sqrt{2 \times 16} = 4 \sqrt{2} [/tex]
h = HC = √50 = 5√2
Aire ABC = 4√2 × 5√2 / 2
= 20 × 2 / 2 = 20
donc l'aire est bien entière