bsr svp je n arrive pas a resoudre cette exerciceavec cette exercice svppppppp.... Pergunta de ideia deangeherel748

angeherel748 @angeherel748

September 2022 1 35 Report

bsr svp je n arrive pas a resoudre cette exerciceavec cette exercice svppppppp

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Tenurf

Bonjour,

Tu peux commencer par regarder les premiers termes de la suite pour te faire une idée

$></p><p>Pour n entier non nul</p><p><img src=$

Or pour tout entier k compris entre 1 et n

$0\leq n^2+1 \leq n^2+k \leq n^2+n\\\\\dfrac{1}{n^2+n}\leq \dfrac{1}{n^2+k}\leq \dfrac{1}{n^2+1}$

par décroissance de la fonction inverse

donc, comme nous avons n termes

$\displaystyle n* \dfrac{n}{n^2+n}\leq \sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{n}{n^2+k}\leq n* \dfrac{n}{n^2+1}$

d'où le résultat.

pour n entier non nul

$\dfrac{n^2}{n^2+1}=\dfrac{1}{1+\dfrac1{n^2}}$

et comme

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac1{n^2}=0\\\\\lim_{n \to \infty} 1+\dfrac1{n^2}=1\\\lim_{n \to \infty} \dfrac1{1+\dfrac1{n^2}}=1\\\\\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2+1}=1$

de même

$\displaystyle \dfrac{n^2}{n^2+n}=\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+\dfrac1{n}}\\ \\\lim_{n \to \infty} \dfrac1{n}=0\\\\\lim_{n \to \infty} 1+\dfrac1{n}=1\\\lim_{n \to \infty} \dfrac1{1+\dfrac1{n}}=1\\\\\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2+n}=1$

En appliquant le th des gendarmes la suite

$(u_n)$

converge et sa limite est 1.

Merci

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