Bonsoir aidez moi a faire le Dm de maths svp notamment a partir de la question 1/ c) . Il y a des q.... Pergunta de ideia deWunder

January 2021 1 160 Report

Bonsoir
aidez moi a faire le Dm de maths svp notamment a partir de la question 1/ c) . Il y a des questions j'ai fait tout seul mais je ne suis pas sur de mes réponses et de plus je peux pas vérifier si ce que j'ai fait est bon ou pas. donc aidez moi a faire mon DM svp
MERCI d'avance

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laurance 1) a)il faut montrer que l'équation e^x - x =0 n'a pas de solution sur
[ 0 : + inf[
posons v(x)=e^x -x
v '(x)=e^x -1 qui est positif car x positif
v est donc croissante et v(0)= 1 donc v(x) est toujours supérieur à 1 et ne s'annule pas
d'où f est définie partout
1)b) f(x)= e^x( 1 - e^-x) / e^x( 1-xe^-x)= ( 1 - e^-x) / ( 1-xe^-x)
en simplifiant
le limite de f(x) est donc 1/1 = 1 car
e^-x et xe^-x=x/e^x ont pour limites 0
d'où la droite y=1 est une asymptote oblique à la courbe

1)c ) en posant u=e^x -1 u'=e^x et
u'v-uv'= e^x(e^x-x) -(e^x-1)(e^x-1)= (e^2x - xe^x - e^2x + 2 e^x -1)
et f'(x)= ( e^x *(2-x) - 1) ) /(e^x -x)²
1)d) h(x)= e^x *(2-x) - 1
h'(x)= e^x*(2-x) +e^x*(-1)= e^x*(1-x) a le signe de 1-x
h est croissante sur [ 0;1 ] et décroissante sur [ 1;+ inf[ h(0)=1
h(1)= e-1 positif et h(2)= -1
donc h(x) s'annule pour une valeur a entre 1 et 2
h est positive sur [0;a] et négative sur [ a ; + inf[
f est donc croissante sur [ 0 ; a ] puis décroissante sur [ a ; +inf [
a vaut 1,8 environ
2) f(x) - x =( (e^x -1) - x(e^x - x) ) /(e^x -1)= ( e^x(1-x) - (1 -x²) ) / (e^x-x)
= (1-x)*(e^x - (1+x) ) / (e^x - x)
2b) g(x)= e^x - (1+x)
g '(x)= e^x -x = v(x)
or on sait que v(x) est toujours positif d'aprés 1)a)
donc g'(x) est positif : g est croissante et comme g(0)= 0 alors g(x) est positive
f(x)-x a le signe de (1-x)g(x) / v(x)
comme g et v sont positives ; f(x) -x a le signe de 1 -x
on en déduit que
si 1-x est positif alors C est au dessus de D
si 1-x est négatif C est au dessous
3)a y=f'(0)(x-0)+f(0) = 1x + 0 =x il s'agit de D

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