✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área limitada pela região formada pelas interseções das curvas é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = 18\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam as funções:
[tex]\Large\begin{cases}\tt \rho: y^{2} = 2x - 2\\\tt \tau: y = x - 5\end{cases}[/tex]
Observe que no referido sistema de equações temos uma parábola de concavidade horizontal, para o lado direito do plano cartesiano. Desta forma, não podemos realizar os cálculos. Nesta situação devemos girar a parábola, de modo que sua concavidade fique para cima. Para isso, devemos substituir todas as variáveis "x" por "y" em ambas equações.
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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área limitada pela região formada pelas interseções das curvas é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = 18\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam as funções:
[tex]\Large\begin{cases}\tt \rho: y^{2} = 2x - 2\\\tt \tau: y = x - 5\end{cases}[/tex]
Observe que no referido sistema de equações temos uma parábola de concavidade horizontal, para o lado direito do plano cartesiano. Desta forma, não podemos realizar os cálculos. Nesta situação devemos girar a parábola, de modo que sua concavidade fique para cima. Para isso, devemos substituir todas as variáveis "x" por "y" em ambas equações.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x^{2} = 2y - 2\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt -2y = -x^{2} - 2\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 2y = x^{2} + 2\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y = \frac{x^{2}}{2} + 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x = y - 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt -y = -x - 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt y = x + 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\begin{cases}\tt \rho: f(x) = \frac{x^{2}}{2} + 1\\\tt \tau: g(x) = x + 5\end{cases}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \frac{x^{2}}{2} + 1 = x + 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \frac{x^{2}}{2} - x - 4 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x^{2} - 2x - 8 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Resolvendo esta equação chegamos à seguinte solução:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \{-2, \,4\}\end{gathered}$}[/tex]
Então o intervalo de integração procurado é::
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt I = \left[a,\,b\right] = \left[x',\,x''\right] = \left[-2,\,4\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,dx\end{gathered}$}[/tex]
Onde:
[tex]\Large\begin{cases}\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}[/tex]
Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{-2}^{4} \left[(x + 5) - \bigg(\frac{x^{2}}{2} + 1\bigg)\right]\,dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \int_{-2}^{4}\left[-\frac{x^{2}}{2} + x + 4\right]\,dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 4x + c\right]\bigg|_{-2}^{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 4x + c\right]\bigg|_{-2}^{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{4^{3}}{6} + \frac{4^{2}}{2} + 4\cdot4 + c\right] - \left[-\frac{(-2)^{3}}{6} + \frac{(-2)^{2}}{2} + 4\cdot(-2) + c\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \left[-\frac{64}{6} + 8 + 16 + c\right] - \left[\frac{8}{6} + 2 - 8 + c\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = -\frac{64}{6} + + 16 + c - \frac{8}{6} - 2 + 8 - c\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{-64 + 48 + 96 - 8 - 12 + 48}{6}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = 18\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a área procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = 18\,u^{2}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
Veja a solução gráfica representada na figura: