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De acordo com os cálculos abaixo, e usando a Fórmula Resolvente para Equações do 2º Grau Completas (Fórmula de Bhaskara) que podes ver em anexo, conclui-se que:

a) As raízes desta equação são -1 e -8.

b) A raíz desta equação é dupla e o seu valor é ⁴/₃.

c) Esta equação não tem raízes reais.

d) As raízes desta equação são 1 e 4.

a)  [tex]x^2+9x+8=0[/tex]

Aplicando a Fórmula Resolvente para Equações do 2º Grau Completas:

    [tex]x=\dfrac{-9\pm\sqrt{9^2-4\times1\times8}}{2\times1}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-9\pm\sqrt{81-4\times8}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-9\pm\sqrt{81-32}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-9\pm\sqrt{49}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-9\pm7}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-9-7}{2}\quad\vee\quad x=\dfrac{-9+7}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{-16}{2}\quad\vee\quad x=\dfrac{-2}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=-8\quad\vee\quad x=-1[/tex]

Logo,  [tex]x\in\{\;-1\;;\;-8\;\}[/tex]

b)  [tex]9x^2-24x+16=0[/tex]

Aplicando a Fórmula Resolvente para Equações do 2º Grau Completas:

    [tex]x=\dfrac{-(-24)\pm\sqrt{(-24)^2-4\times9\times16}}{2\times9}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{24\pm\sqrt{576-36\times16}}{18}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{24\pm\sqrt{576-576}}{18}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{24\pm\sqrt{0}}{18}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{24\pm0}{18}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{24}{18}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}[/tex]

Logo,  [tex]x\in\{\;\frac{4}{3}\;\}[/tex]

c)  [tex]x^2-2x+4=0[/tex]

Aplicando a Fórmula Resolvente para Equações do 2º Grau Completas:

    [tex]x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times4}}{2\times1}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4\times4}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}\quad\text{Equacao Impossivel em }\mathbb{R}[/tex]

Logo,  [tex]x\in\O[/tex]

d)  [tex]3x^2-15x+12=0\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x^2-5x+4=0[/tex]

Aplicando a Fórmula Resolvente para Equações do 2º Grau Completas:

    [tex]x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times1\times4}}{2\times1}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-4\times4}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pm3}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{5-3}{2}\quad\vee\quad x=\dfrac{5+3}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2}\quad\vee\quad x=\dfrac{8}{2}\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x=1\quad\vee\quad x=4[/tex]

Logo,  [tex]x\in\{\;1\;;\;4\;\}[/tex]

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Resposta:

a)

x² + 9x + 8=0    .....a=1.b=9 e c=8

# soma e produto das raízes

x'+x''=-b/a=-9/1=-9

x'*x''=c/a=8/1= 8

x'=-8

x''=-1

b)

9x² - 24x + 16=0

# utilizando baskara

x'=[24+√(576-576)]/18=24/18=4/3

x''=[24-√(576-576)]/18=24/18=4/3

c)

x² - 2x + 4=0

Δ=0  uma raiz Real

Δ>0 duas raízes Reais

Δ < 0 nenhuma raiz Real

Δ=(-2)²-4*1*4 < 0  , não possui raízes Reais

d)

3x² - 15 x + 12 = 0

divida tudo por 3

x²-5x+4=0  

# completando os quadrados

x²-5x+(5/2)²-(5/2)²+4=0

(x-5/2)² -(5/2)² +4=0

(x-5/2)²-25/4+16/4=0

(x-5/2)²-9/4=0

(x-5/2)²=9/4

x-5/2=±√(9/4)

x-5/2=±3/2

x=5/2±3/2

x'=5/2+3/2=4

x''=5/2-3/2=1