Resposta:

[tex]2 + 6\pi[/tex]

Explicação passo a passo:

Primeiramente, devemos fazer a mudança de coordenadas cartesianas para polares. Assim, nossa função será:
[tex]x = cos(t); y = sin(t). Portanto:f[x(t), y(t)] = 3cos^2(t)sin(t)[/tex]

Além disso:

[tex]x'(t) = -sin(t); y'(t) = cos(t)[/tex]

Agora, aplicando o teorema dado na questão, temos:

[tex]\int\limits^/_c {f(x,y)} \, ds = \int\limits^a_b {(3cos^2(t)sin(t))\sqrt{(-sin^2(t))+(cos^2(t))} } \, dt = I[/tex]

A questão nos dá que  [tex]0 \leq t \leq \pi[/tex], então [tex]a = \pi ; b = 0[/tex]. Ademais, sabemos pelo Teorema Fundamental da Trigonometria que [tex]sin^2(t) + cos^2(t) = 1[/tex]

Logo:
[tex]I = \int\limits^\pi _0 {3cos^2(t)sin(t)+6} \, dt = \int\limits^\pi _0 {3cos^2(t)sin(t)} \, dt + \int\limits^\pi _0 {6} \, dt[/tex]

Faremos agora uma troca de variável:

[tex]p = cos(t)[/tex] ⇒ [tex]dp = -sin(t)dt[/tex][tex]; x_{0} = cos(0) = 1; x_{\pi } = cos(\pi ) = -1[/tex]

[tex]\int\limits^j _ 1{-3p^2} \, dp + 6\pi; j = -1[/tex]

[tex]\int\limits^1_j {3p^2} \, dp + 6\pi = 3p^3\frac{1}{3}|_{j} ^1 + 6\pi = 2 + 6\pi[/tex]