Portanto, se tivermos um expoente ímpar, teremos um fator que não terá dupla. No caso, [tex]i^{91}[/tex] é ímpar, então na nossa resposta teremos um [tex]i[/tex] que não terá par. Então já sabemos que nossa resposta tem que ser a penúltima ou a última. Qual será?
Vamos pensar em potências pares do número imaginário:
O padrão aqui é que o valor da potência do número imaginário está mudando de sinal para cada passo. Perceba que sempre que i é elevado a um número que é ímpar quando dividido por 2, o resultado é negativo; do contrário, o resultado é positivo.
Se dividirmos expoente 90 por 2, temos 45. Isso significa que
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[tex]i = \sqrt{-1}[/tex]
O que acontece quando multiplicamos uma raiz quadrada por ela mesma? Ficamos com o que existe dentro da raiz. Ou seja:
[tex]\sqrt{x}\sqrt{x} = x[/tex]
Agora vamos pensar sobre exponenciação. Sempre que temos expoente par, podemos agrupar os fatores em grupos de 2. Por exemplo:
[tex]x^2 = (x\cdot x)\\x^4 = (x\cdot x)(x \cdot x)\\x^6 = (x\cdot x)(x\cdot x)(x\cdot x)\\[/tex]
Portanto, se tivermos um expoente ímpar, teremos um fator que não terá dupla. No caso, [tex]i^{91}[/tex] é ímpar, então na nossa resposta teremos um [tex]i[/tex] que não terá par. Então já sabemos que nossa resposta tem que ser a penúltima ou a última. Qual será?
Vamos pensar em potências pares do número imaginário:
[tex]i^2 = -1\\i^4 = (-1)(-1) = 1\\i^6 = (-1)(-1)(-1) = -1[/tex]
O padrão aqui é que o valor da potência do número imaginário está mudando de sinal para cada passo. Perceba que sempre que i é elevado a um número que é ímpar quando dividido por 2, o resultado é negativo; do contrário, o resultado é positivo.
Se dividirmos expoente 90 por 2, temos 45. Isso significa que
[tex]i^{90} = -1[/tex]
e, portanto,
[tex]\boxed{i^{91} = i^{90} \cdot i = -i}[/tex]