Bonjour je ne sais pas du tout comment faire s'il vous plaît aidez moi!!!
Soit ABC un triangle. On appelle A', B', C' les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
a. Montrer qu'il existe un unique point G tel que vecGA + vecGB + vecGC=vec0.
G est appelé centre de gravité du triangle ABC.
1 b. Montrer que vecAA' = 1/2(vecAB + vecAC).
c. En déduire que G appartient à la médiane (AA) et déterminer le réel k tel que vecAG = k vecAA.
d. Énoncer des conclusions similaires en remplaçant A par B, puis par C.
e. Conclure quant aux trois médianes du triangle ABC. Préciser la position de G.
Merci a celui/ celle qui m'aidera
Soit ABC un triangle. On appelle A', B', C' les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
a. Montrer qu'il existe un unique point G tel que vecGA + vecGB + vecGC=vec0.
G est appelé centre de gravité du triangle ABC.
1 b. Montrer que vecAA' = 1/2(vecAB + vecAC).
c. En déduire que G appartient à la médiane (AA) et déterminer le réel k tel que vecAG = k vecAA.
d. Énoncer des conclusions similaires en remplaçant A par B, puis par C.
e. Conclure quant aux trois médianes du triangle ABC. Préciser la position de G.
Merci a celui/ celle qui m'aidera
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Réponse :
Explications :
a. Soit G un point tel que vecGA + vecGB + vecGC = vec0. Alors,
vecGA + vecGB + vecGC = vecGA + vecBA' + vecCA' = vec0
⇔ vecGA = -vecBA' - vecCA'
⇔ vecGA = - 1/2(vecBC + vecCB') - 1/2(vecAB + vecBA')
⇔ vecGA = - 1/2(vecBC - vecBA + vecCB' - vecAB)
⇔ vecGA = - 1/2(vecAC + vecAB - vecAB - vecCA)
⇔ vecGA = - 1/2vecAC - 1/2vecCA
⇔ vecGA = - 1/2(vecAC + vecCA)
⇔ vecGA = - 1/2vecAA'
Donc, G est le barycentre de (A, -1/2) et (B, -1/2) et (C, -1/2). Puisque les coefficients de pondération sont égaux et vérifient la condition ∑αi = 0, G est bien le centre de gravité du triangle ABC.
b. On a vecAA' = vecAO + vecOA', où O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Puisque le triangle ABC est isocèle en A', le segment [OA'] est la médiatrice de [BC], donc vecOA' est perpendiculaire à vecBC et de même longueur que vecOB = vecOC. Ainsi, vecAA' = vecAO + vecOA' = 1/2vecAB + 1/2vecAC.
c. On a vecAG = vecAA' + vecGA = 1/2vecAB + 1/2vecAC - 1/2vecAA' = 1/2(vecAB + vecAC) = k vecAA, où k = 1/2.
d. De façon similaire, on peut montrer que le centre de gravité G appartient aux médianes (BB') et (CC') et que vecBG = k' vecBB' avec k' = 1/2, ainsi que vecCG = k'' vecCC' avec k'' = 1/2.
e. Comme G appartient à chacune des trois médianes, il est leur point d'intersection, appelé le centre de gravité du triangle ABC. Ce point est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
Résumé :
Le centre de gravité G d'un triangle ABC est le barycentre de (A, -1/2), (B, -1/2) et (C, -1/2). Le vecteur AG est la moyenne arithmétique des vecteurs AB et AC. De même, les vecteurs BG et CG sont les moyennes arithmétiques de BC et BA, et de AC et CB, respectivement. Le centre de gravité G est le point d'intersection des trois médianes, situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant.
Les conséquences de l'existence du centre de gravité du triangle ABC sont nombreuses. Par exemple, le centre de gravité est le point où s'applique la résultante des forces exercées par les poids des sommets du triangle, d'où son nom. En outre, le centre de gravité est un point clé dans la détermination