Considerando a aplicação da distribuição binomial analise a situação a seguir.
Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 2%. O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual a probabilidade de que haja pelo menos três itens defeituosos entre esses 20?
34%
23%
0,7%
0,3%
0,5%
Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito é de 2%. O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual a probabilidade de que haja pelo menos três itens defeituosos entre esses 20?
34%
23%
0,7%
0,3%
0,5%
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✅ A probabilidade do conjunto amostral composto de 20 itens possuir ao menos 3 itens defeituosos é P(X ⩾ 3) = 0,7%.
☁️ Tentativas de Bernoulli: São caracterizadas por
☁️ Distribuição binomial: Seja [tex] \rm X [/tex] uma variável aleatória discreta definida como o número de tentativas que resultam em sucesso dentre [tex] \rm n [/tex] tentativas de Bernoulli, então podemos dizer que [tex] \rm X[/tex] possui distribuição binomial de probabilidades de parâmetros [tex] \rm n = 1,\,2,\ldots [/tex] e [tex] \rm 0 \leqslant p \leqslant 1 [/tex], descrita pela função
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(X=x) = \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x} \qquad}}} [/tex]
ℹ️₁ Interprete a expressão como: “A probabilidade de [tex] \rm X [/tex] assumir o valor [tex] \rm x [/tex] é igual a combinação de [tex] \rm n [/tex] tentativas tomadas [tex] \rm x [/tex] a [tex] \rm x [/tex] ( [tex] \rm n[/tex] escolhe [tex] \rm x [/tex] ) vezes a probabilidade de se obter [tex] \rm x [/tex] sucessos vezes a probabilidade de se obter [tex] \rm n-x [/tex] falhas (evento complementar)”.
ℹ️₂ Propriedade obtida por meio da definição axiomática de probabilidade: Seja [tex] \varOmega [/tex] o espaço amostral
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(\varOmega) = 1 \qquad}}} [/tex]
Isso nos diz que se a união finita de eventos [tex] \rm A_i,~i = 1,\,\ldots,\,n[/tex] formarem um espaço amostral finito [tex] \rm \varOmega^{\star} [/tex], então a medida de probabilidade é máxima igual a 1
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i = \varOmega^{\star} \right) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i) = 1 \qquad}}} [/tex]
ℹ️₃ Probabilidade do evento complementar:
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad P(A) = 1 - P(A^{c}) \qquad}}} [/tex]
✍️ Solução: Definamos [tex] \rm X [/tex] como a variável aleatória que computa o número de itens defeituosos dentre 20 itens. Desejamos calcular a probabilidade [tex] \rm P [/tex] de se obter 3 ou mais itens defeituosos em um total de 20 itens, isto é [tex] \rm P(X\geqslant 3) [/tex]. Sabemos que a probabilidade de um item ser defeituoso é [tex] \rm p = 2\% = 0{,}02 [/tex].
Novamente, a probabilidade desejada é a de que ao menos [tex] \rm 3[/tex] itens sejam defeituosos, dessa forma, isso não exclui o fato de que haja [tex] \rm 4,\,5,\,\ldots,20 [/tex] itens defeituosos. Então precisamos calcular as probabilidades [tex] \rm P(X=0) [/tex], [tex] \rm P(X=1) [/tex] e [tex] \rm P(X = 2) [/tex] e utilizar a propriedade do evento complementar.
Primeiro passo:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm P(X=x) &=\rm \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\\\&=\rm \dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\\\\rm P(X=0)&=\rm \dfrac{20!}{0!(20-0)!}(0{,}02)^0(1-0{,}02)^{20-0} \\\\&=\rm (0{,}98)^{20} \\\\&\approx\rm 0{,}6676 \end{aligned}\\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: P(X=0) \approx 66{,}76\% }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]
Segundo passo:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm P(X=x) &=\rm \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\\\&=\rm \dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\\\\rm P(X=1)&=\rm \dfrac{20!}{1!(20-1)!}(0{,}02)^1(1-0{,}02)^{20-1} \\\\&=\rm \dfrac{20 \cdot 19!}{1!\cdot 19!}(0{,}02)(0{,}98)^{19} \\\\&=\rm (20)(0{,}02)(0{,}98)^{19} \\\\&\approx\rm 0{,}2725 \end{aligned}\\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: P(X=1) \approx 27{,}25\% }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]
Terceiro passo:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm P(X=x) &=\rm \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\\\&=\rm \dfrac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\\\\rm P(X=2)&=\rm \dfrac{20!}{2!(20-2)!}(0{,}02)^2(1-0{,}02)^{20-2} \\\\&=\rm \dfrac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{2!\cdot 18!}(0{,}02)^2(0{,}98)^{18} \\\\&=\rm \dfrac{20 \cdot 19}{2}(0{,}02)^2(0{,}98)^{18} \\\\&=\rm (10 \cdot 19)(0{,}02)^2(0{,}98)^{18} \\\\&\approx\rm 0{,}0528 \end{aligned}\\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: P(X=2) \approx 5{,}28\% }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]
Dessa forma, a probabilidade que queremos é:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm P(X\geqslant 3) &=\rm 1-[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]\\\\ &=\rm 1 - (0{,}6676+0{,}2725 + 0{,}0528) \\\\&=\rm 1 - 0{,}993 \\\\&=\rm 0{,}007 \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: P(X\geqslant 3) = 0{,}7\% }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare\end{array} [/tex]
✔️ Essa é a probabilidade de 3 ou mais itens serem defeituosos.
⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre distribuição aleatória discreta, probabilidade e estatística, axiomas de Kolmogorov:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]