✅ Dada a aplicação linear, podemos inferir que a dimensão da imagem é dim(ImT) = 4, a dimensão do núcleo é dim(kerT) = 0 e ainda que T é injetora.

☁️₁ Núcleo de uma transformação linear: Seja [tex]\rm T\!\:\!\!:E\longrightarrow F[/tex] uma transformação linear, logo define-se núcleo como um espaço vetorial tal que

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \ker(T) = \{\overset{\rightarrow}{u}\in E \mid T(\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{0}\in F \} \end{array} [/tex]

Uma possibilidade de interpretação é imaginar que o núcleo é para uma transformação o que as raízes são para funções reais.

☁️₂ Imagem de uma transformação linear: Denota-se por imagem de uma transformação o espaço vetorial tal que

[tex]\large\begin{array}{lr}\rm Im(T) = \{\overset{\rightarrow}{v} \in F \mid \exists \overset{\rightarrow}{u} \in E : T(\overset{\rightarrow}{u}) = \overset{\rightarrow}{v} \} \end{array}[/tex]

i.e., é o conjunto de todos os vetores formados pala aplicação de um vetor do domínio na transformação.

☁️₃ Dimensão de um espaço vetorial: A dimensão de um espaço [tex]\rm G[/tex] sobre um corpo de escalares é o número de vetores da base deste mesmo espaço e denota-se por [tex] \rm \dim(G) [/tex].

✍️ Solução: Verifiquemos a dimensão da imagem, para isso precisaremos de uma base para tal espaço

[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm Im(T) &=\rm \{ \overset{\to}{w}\in\mathbb{R}^4\mid\exists\overset{\to}{v}\in\mathbb{R}^4 \mid T(\overset{\to}{v}) = \overset{\to}{w} \} \\\\&=\rm \{ (x -y, y - z, z - w, w - x) \mid x,y,z,w\in\mathbb{R} \} \\\\&=\rm \{ x(1,0,0,-1) + y(-1,1,0,0)+z(0,-1,1,0)+w(0,0,-1,1) \}\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: Im(T) =\{span[(1,0,0,-1) + (-1,1,0,0)+(0,-1,1,0)+(0,0,-1,1)]\} }}}}\end{array}[/tex]

A imagem é um espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores acima, no entanto, é necessário atestar se trata-se de uma base, i.e., se o conjunto gerador é composto por vetores linearmentes independentes.

Uma forma geométrica de ver é observando que todos os vetores estão apontando para direções distintas, logo combinações lineares entre eles são capazes de varrer todo o [tex]\mathbb{R}^4[/tex], logo o conjunto é uma base. Para redigir formalmente é necessário resolver um sistema

[tex] \large\begin{array}{lr}\rm\bigcup\limits_{k=1}^4 \overset{\to}{w}_k  \text{ s\~ao L.I.} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{4}a_k\overset{\to}{w}_k = 0\Rightarrow (a_1,a_2,a_3,a_4) = (0,0,0,0) \\\\\rm a_1(1,0,0,-1) + a_2(-1,1,0,0)+a_3(0,-1,1,0)+a_4(0,0,-1,1) = (0,0,0,0) \\\\\rm \begin{cases}\rm a_1 -a_2 = 0 \\\rm a_2 - a_3 = 0 \\\rm a_3 - a_4 = 0 \\\rm a_4 - a_1 = 0 \end{cases} \Rightarrow (a_1, a_2, a_3, a_4) = (0,0,0,0)\\\\\rm \therefore\: (1,0,0,-1) + (-1,1,0,0)+(0,-1,1,0)+(0,0,-1,1) \text{ \'e uma base de Im(T)} \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \dim(Im(T)) = 4 }}}}\end{array} [/tex]

Para calcular a dimensão do núcleo de [tex]\rm T[/tex] poderíamos utilizar o mesmo método anterior, porém utilizando o teorema do núcleo-imagem, o resultado é imediato

[tex]\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \dim(\mathbb{R}^4) &=\rm \dim(Im(T)) + \dim(\ker(T)) \\\\4&=\rm 4 + \dim(\ker(T)) \\\\&=\rm 4+0\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:\dim(\ker(T)) = 0 }}}}\end{array}[/tex]

Como a dimensão do núcleo é zero, então o núcleo é composto apenas pelo vetor nulo do domínio, portanto a transformação é injetora.

✔️ Um resultado mais forte é que essa transformação linear é um isomorfismo linear, por ser bijetiva, i.e., leva base do domínio em base do contradomínio.

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre álgebra linear:

• brainly.com.br/tarefa/54872692

[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]