A partir da definição do que é uma matriz e como encontrar seu determinante no caso 3x3, temos então que, para as matrizes A e B:

• a. Para que det(A) = det(B), o valor de x deve ser -1/2;
• b. Para que det(A) = 2det(A), o valor de x deve ser -1/2;
• c. Para que det(A) + det(B) = 0, o valor de x deve ser -1/2.

Determinante de uma matriz

Na matemática, uma matriz é dada como uma lista de elementos numéricos que é organizada a partir de linhas e colunas da seguinte forma:

[tex]\boxed{X=\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] }[/tex]

No qual X é uma matriz com 3 linhas e 3 colunas, ou seja, uma matriz quadrada, no qual o número de linhas é igual ao número de colunas.

Então, o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado da seguinte forma:

[tex]\boxed{\det(X) =aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi}[/tex]

Ou seja, a técnica utilizada para chegar ao determinante no caso 3x3 é copiar as duas primeiras colunas ao lado da última e então, multiplicar os elementos das diagonais, somando-os quando forem no sentido da diagonal principal e subtraindo-os quando forem no sentido da diagonal secundária.

Calculando-o para cada matriz A e B:

• Para a matriz A:
  det(A) = 3*1*1+(-1)*x*4+3*x*(-2)*(-2)-4*1*(3*x)-(-2)*x*3-1*(-2)*(-1)
  
  Agora, realizando as operações:
  det(A) = 2x + 1
  
  
• Para a matriz B:
  det(B) = x*1*6+(-x)*2*0+1*3*3-0*1*1-3*2*x-6*3*(-x)
  
  Agora, realizando as operações:
  det(B) = 18x + 9
  

Com isso, para cada um dos itens dados:

• a) det(A) = det(B)
  
  Então, igualando os determinantes:
  2x + 1 = 18x + 9
  
  Agora, basta isolar o x:
  16x = -8
  x = -1/2.
  
  
• b) det(A) = 2det(A)
  
  Aplicando os determinantes:
  2x + 1 = 2(2x + 1)
  2x + 1 = 4x + 2
  
  Agora, isolando x:
  2x = -1
  x = -1/2
  
  
• c. det(A) + det(B) = 0
  
  Aplicando os determinantes:
  2x + 1 + 18x + 9 = 0
  
  Isolando x:
  20x = -10
  x = -1/2

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