Considere dois pentágonos: o menor, de área 5 cm², cuja medida do lado é x; e o maior, cujo lado é 1,2 vez maior que o lado correspondente do pentágono menor. Determine a área do pentágono maior.
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Resposta:
Se o lado do pentágono menor é x, então o lado do pentágono maior será 1,2 * x.
A fórmula geral para calcular a área de um pentágono regular é A = (5/4) * l² * cot(π/5), onde A é a área e l é o lado do pentágono.
Portanto, a área do pentágono menor é A1 = (5/4) * x² * cot(π/5).
E a área do pentágono maior será A2 = (5/4) * (1,2x)² * cot(π/5).
A razão entre as áreas do pentágono maior e do pentágono menor é:
A2/A1 = [(5/4) * (1,2x)² * cot(π/5)] / [(5/4) * x² * cot(π/5)]
Simplificando a expressão:
A2/A1 = [(1,2x)² * cot(π/5)] / [x² * cot(π/5)]
= (1,2)² * x² * cot(π/5) / x² * cot(π/5)
= 1,2²
= 1,44
Portanto, a área do pentágono maior é 1,44 vezes a área do pentágono menor.
Agora podemos calcular:
Área do pentágono maior = 1,44 * Área do pentágono menor
= 1,44 * 5 cm²
= 7,2 cm²
Portanto, a área do pentágono maior é 7,2 cm².