coucou pouvez-vous m'aider pour ces deux questions qui font appel à la trigonométrie? Les deux (surt.... Pergunta de ideia depitakia

January 2021 1 51 Report

coucou pouvez-vous m'aider pour ces deux questions qui font appel à la trigonométrie? Les deux (surtout la 1)

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scoladan

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Bonjour,

1) On pose X = sin(x)

L'équation devient :

4X² - 2(1 + √3)X + √3 = 0

On va poser A(X) = 4X² - 2(1 + √3)X + √3

On peut remarquer, pour X = √3/2 :

A(√3/2) = 4 x (√3/2)² -2(1 + √3)√3/2 + √3

= 3 - √3 - 3 + √3

= 0

Donc on peut factoriser (X - √3/2) :

A(X) = (X - √3/2)(4X - 2)

On vérifie bien : (X - √3/2)(4X - 2) = 4X² - 2X - 2√3X + √3 = 4X² - 2(1 + √3)X + √3 = A(X)

Les 2 solutions sont donc :

X₁ = √3/2 et X₂ = 1/2

soit : sin(x) = √3/2 et sin(x) = 1/2

soit x = π/3 + 2kπ ou x = 2π/3 + 2kπ
et x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ

avec k ∈ Z

2) B(x) = -4cos²(x) + (2√3 - 2)sin(π/2 - x) + √3

sin(π/2 - x) = cos(x)

⇒ B(x) = -4cos²(x) + 2(√3 - 1)cos(x) + √3

On pose X = cos(x) ⇒ X ∈ [-1;1]

⇒ B(X) = -4X² + 2(√3 - 1)X + √3

Comme précédemment :

B(√3/2) = -3 + 3 - √3 + √3 = 0

Donc B(X) = (X - √3/2)(-4X - 2)

Donc 2 racines : X₁ = √3/2 et X₂ = -1/2

soit x₁ = π/6 ou x₂ = 11π/6 ou x₃ = 2π/3 ou x₄ = 4π/3

Tableau de signes :

X -1 -1/2 √3/2 1
X - √3/2 - - 0 +
-4X - 2 + 0 - -
B(X) -    0    +    0    -

On en déduit le signe de B(x) sur [0;2π[

x    0    π/6 2π/3 4π/3 11π/6     2π
cos(x) - √3/2    + 0 -    - -    0    +
-4cos(x) - 2 -    -    0    +    0 - -
B(x) - 0 +    0 - 0    +    0    -

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