a) β = 10.10⁻⁶ °C⁻¹  e  γ = 15.10⁻⁶ °C⁻¹

b) α = 1,5.10⁻⁶ °C⁻¹  e  γ = 4,5.10⁻⁶ °C⁻¹

c) α = 3.10⁻⁶ °C⁻¹  e  β = 6.10⁻⁶ °C⁻¹

================================================================

As relações entre os coeficientes de dilatação linear (α), superficial (β) e volumétrica (γ) são:

β = 2α               e               γ = 3α

No nosso caso:

a) α = 5.10⁻⁶ °C⁻¹

[tex]\beta =2\cdot 5.10^{-6}\\\\\beta =\mathbf{10.10^{-6}\:^oC^{-1}}[/tex]                               [tex]\gamma =3\cdot 5.10^{-6}\\\\\gamma =\mathbf{15.10^{-6}\:^oC^{-1}}[/tex]

b) β = 3.10⁻⁶ °C⁻¹

[tex]3.10^{-6}=2\alpha\\\\\dfrac{3.10^{-6}}{2} =\alpha\\\\\alpha = \mathbf{1,5.10^{-6}\:^oC^{-1}}[/tex]                              [tex]\gamma =3\cdot 1,5.10^{-6}\\\\\gamma =\mathbf{4,5.10^{-6}\:^oC^{-1}}[/tex]

c) γ = 9.10⁻⁶ °C⁻¹

[tex]9.10^{-6}=3\alpha\\\\\dfrac{9.10^{-6}}{3} =\alpha\\\\\alpha = \mathbf{3.10^{-6}\:^oC^{-1}}[/tex]                                [tex]\beta=2\cdot 3.10^{-6}\\\\\beta =\mathbf{6.10^{-6}\:^oC^{-1}}[/tex]

OBSERVAÇÃO

Uma forma interessante de lembrar essas relações é através da expressão

[tex]\dfrac{\alpha}{1} =\dfrac{\beta}{2} =\dfrac{\gamma}{3}[/tex]

α → dilatação linear: 1 dimensão

β → dilatação superficial: 2 dimensões

γ → dilatação volumétrica: 3 dimensões

[tex]\dfrac{\alpha}{1} =\dfrac{\beta}{2}\longrightarrow\mathbf{\beta=2\alpha}[/tex]

[tex]\dfrac{\alpha}{1} =\dfrac{\gamma}{3}\longrightarrow\mathbf{\gamma=3\alpha}[/tex]

[tex]\dfrac{\beta}{2} =\dfrac{\gamma}{3}\longrightarrow\mathbf{2\gamma=3\beta}[/tex]

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