Dans un repère orthonormé, on considère la parabole P d'équation y=x² et F le point de coordonnées (0;0.25). Pour tout reel a non nul, on considère le point M de P d'abscisse a. Un rayon lumineux emis depuis F se réfléchit en M en un rayon symétique par rapport à la perpendiculaire à la tangente à P en ce point M.
On souhaite montrer que la direction du rayon ne dépend pas de a.
1.a) Montrer que FM =a² + 0.25.
b) Soit R le point tel que FMR soit isocèle en M comme indiqué sur la figure.
Déterminer les coordonnées de R.
2.a) Déterminer le coefficient directeur de la droite (FR).
b) En déduire une équation de Delta , la droite parallèle à (FR), qui passe par M.
3.a) Montrer que Delta et P n'ont que le point M en commun. Cela signifie que est la tangente en M à P.
b) Montrer que la droite d est l'axe de symétrie de FMR et que le rayon incident émis depuis F vers M se réfléchit en un rayon qui passe par R.
c) Conclure.
On souhaite montrer que la direction du rayon ne dépend pas de a.
1.a) Montrer que FM =a² + 0.25.
b) Soit R le point tel que FMR soit isocèle en M comme indiqué sur la figure.
Déterminer les coordonnées de R.
2.a) Déterminer le coefficient directeur de la droite (FR).
b) En déduire une équation de Delta , la droite parallèle à (FR), qui passe par M.
3.a) Montrer que Delta et P n'ont que le point M en commun. Cela signifie que est la tangente en M à P.
b) Montrer que la droite d est l'axe de symétrie de FMR et que le rayon incident émis depuis F vers M se réfléchit en un rayon qui passe par R.
c) Conclure.
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1
a
La droite D parallèle à l'axe des abscisses d'équation y = -0,25 est la directrice de P.
Or on sait que P est l'ensemble des points M équidistants de F et de D; donc:
MF = MH, H étant le pieds de la perpendiculaire à D abaissée de F.
Ainsi FM = yM+0,25 = a² + 0,25
b
xR = xM = a et yR = yM+MR = a²+FM = a²+a²+0,25 = 2a²+0,25
2
a
Le coefficient directeur de (FR) est égal à:
(yR-yF)/(xR-xF) = (2a²+0,25-0,25)/(a-0) = 2a²/a = 2a
b
Δ//(FR) ⇒ Le oefficient de Δ est 2a
Son équation est de la forme y=2ax+b
Calcul de b
M∈Δ ⇒ yM=2a(a)+b = 2a²+b ⇒ a² = 2a²+b ⇒ b=-a²
L'équation de Δ est donc:
y=2ax-a²
3
a
Soit l'équation aux abscisses:
x² = 2ax-a² ⇔ x²-2ax+a²=0
Son discriminant est 4a²-4a² = 0 ⇒ Δ coupe P en un seul point, donc tangent à P
en ce point.
b
d est la normale en M à P; donc d est perpendiculaire à Δ en M.
Or Δ //(FR) ⇒ d est perpendiculaire à [FR]
d étant perpendiculaire à [FR] et (FRM) étant isocèle de sommet M, d est donc axe de symétrie pour (FMR).
Donc le rayon (FM) incident a pour image par cette symétrie le rayon (MR) dont la direction reste perpendiculaire à l'axe des abscisses, donc indépendant de a.