Réponse :

EX4

Dans chacun des cas suivants donner le sens de variation de la suite (Un)

1) pour tout entier naturel n, Un+1 = Un - 9

     Un+1 = Un - 9 ⇔ Un+1 - Un = - 9 < 0 ; alors la suite (Un) est décroissante sur N

2) pour tout entier naturel n, Un+1 = (Un)² +3 Un + 1

Un+1 = f(Un) ⇒ f(x) = x²+ 3 x + 1  définie sur [0 ; + ∞[

f est dérivable sur [0 ; + ∞[  et f '(x) = 2 x + 3

comme  x ≥ 0 alors f '(x) ≥ 0 sur [0 ; + ∞[  donc f est croissante sur [0 ; + ∞[

et (Un) est croissante sur N

3) pour tout entier naturel n , Un+1 = Un + 2 n

Un+1 = Un + 2 n ⇔ Un+1 - Un = 2 n

comme n ≥ 0 ⇒ 2 n ≥ 0 ⇒ Un+1 - Un ≥ 0  alors (Un) est croissante sur N

Explications étape par étape