✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da parábola de equação "x² = 2y", passando pelo ponto de tangência "T(4, 8)" é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = 4x - 8\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Para determinarmos a equação da reta tangente à parábola dada, devemos utilizar a equação da reta em sua forma ponto/declividade - também chamada de equação fundamental da reta - que pode ser representada como:
Sabendo que o coeficiente angular da reta "mt" é numericamente igual à primeira derivada da curva no ponto "T", então, podemos reescrever o coeficiente angular como:
Agora, observe que a curva (parábola), foi dada em sua forma implícita. Deste modo, devemos calcular a derivada primeira da curva em relação à variável "x" de forma implícita, ou seja:
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A equação da reta tangente à parábola no ponto (4,8) é y = 4x - 8.
Derivadas
A derivada é definida como a taxa de variação de uma função e pode ser calculada através de um limite ou utilizando as regras de derivação.
Para encontrar a reta tangente em um ponto P(x0, y0), utilizamos a equação da reta:
y - y0 = m·(x - x0)
Se m é o coeficiente angular da reta, temos que este será equivalente à derivada da curva no ponto P quando a reta é tangente à curva, então:
y - y0 = y'(x0)·(x - x0)
Derivando a equação em relação a x:
2y = x²
y = x²/2
y' = x
Substituindo o ponto P:
y - 8 = y'(4)·(x - 4)
y - 8 = 4·(x - 4)
y = 4x - 16 + 8
y = 4x - 8
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#SPJ1
✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da parábola de equação "x² = 2y", passando pelo ponto de tangência "T(4, 8)" é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: y = 4x - 8\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} \rho: x^2 = 2y\\T = (4, 8)\end{cases}[/tex]
Para determinarmos a equação da reta tangente à parábola dada, devemos utilizar a equação da reta em sua forma ponto/declividade - também chamada de equação fundamental da reta - que pode ser representada como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf ~I}~~~~~~~~y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o coeficiente angular da reta "mt" é numericamente igual à primeira derivada da curva no ponto "T", então, podemos reescrever o coeficiente angular como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf II}~~~~~~~~~~~~~~m_{t} = \rho'(T)\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "II" em "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf III}~~~~~y - y_{T} = \rho'(T)\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}[/tex]
Agora, observe que a curva (parábola), foi dada em sua forma implícita. Deste modo, devemos calcular a derivada primeira da curva em relação à variável "x" de forma implícita, ou seja:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}(x^2)' & = (2y)'\\2\cdot x^{2 - 1} & = 1\cdot2\cdot y^{1 - 1}\cdot y'\\2x & = 2\cdot 2\cdot y^{0}\cdot y'\\2x & = 2\cdot 1\cdot 1\cdot y'\\2x & = 2y'\\x & = y'\\y' &= x\end{aligned} $}[/tex]
Agora, devemos aplicar a derivada ao ponto de tangência. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}y'(T) & = y'(4, 8)\\& = 4\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, a derivada da curva aplicada ao ponto "T" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y'(T) = \rho'(T) = 4\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo tanto as coordenadas do ponto de tangência "T", bem como a derivada primeira da curva no referido ponto, na equação "III", temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}y - 8 & = 4\cdot(x - 4)\\y - 8 & = 4x - 16\\y & = 4x - 16 + 8\\y &= 4x - 8 \end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a equação da reta tangente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r: y = 4x - 8\end{gathered}$}[/tex]
OBSERVAÇÃO: se isolarmos a incógnita "y" na equação da parábola podemos escreve-la como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = f(x) = \frac{x^2}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais reta tangente à curva:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]