Resposta:

a) Para determinar a fração geratriz de 2,231231231..., devemos seguir os seguintes passos:

1. Multiplicar a dizima periódica por 10 elevado ao número de casas decimais da parte não periódica, para eliminar a parte não periódica. No caso, temos uma casa decimal na parte não periódica, então multiplicamos por 10:

2,231231231... × 10 = 22,31231231...

2. Em seguida, subtraímos a expressão original daquela encontrada no passo anterior:

22,31231231... - 2,231231231... = 20,08108108...

3. Agora, devemos multiplicar essa expressão por 10 elevado ao número de casas decimais da parte periódica (neste caso, são três):

20,08108108... × 1000 = 20081,08108108...

4. Subtrair novamente a expressão original daquela encontrada no passo anterior:

20081,08108108... - 200 = 20081,08108108... - 20,000 = 20061,08108108...

5. Finalmente, escrevemos a expressão acima como uma fração com numerador igual à diferença encontrada no passo anterior e denominador constituído pelo número 9 repetido tantas vezes quantas forem as casas decimais da parte periódica:

x = 20061,08108108...

y = 999

x / y = 20061,08108108... / 999

Logo, a fração geratriz de 2,231231231... é 20061/9000.

b) Para determinar a fração geratriz de 0,9999..., podemos observar que essa dizima representa o número 1. De fato, temos:

0,9999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

Essa é uma série geométrica de razão 1/10 e primeiro termo 9/10. A soma dessa série é dada pela fórmula:

S = a/(1-r)

Onde a é o primeiro termo e r é a razão. Substituindo, temos:

S = (9/10)/(1-1/10) = 9/1 = 9

Logo, a fração geratriz de 0,9999... é 9/9 ou simplesmente 1.