Resposta:

Portanto, o ponto P' é (5, -1). Esse é o ponto simétrico de P(8,2) em relação à reta x+y-4=0.

Explicação passo-a-passo:

Para encontrar o ponto simétrico P' de P(8,2) em relação à reta x+y-4=0, podemos usar o conceito de simetria em relação a uma reta.

A distância de um ponto (x, y) à reta x+y-4=0 é dada pela fórmula:

D = |(Ax + By + C) / √(A^2 + B^2)|

Neste caso, A=1, B=1 e C=-4, então a equação da distância fica:

D = |(x + y - 4) / √(1^2 + 1^2)|

D = |(x + y - 4) / √2|

Para encontrar o ponto simétrico P', podemos usar a mesma distância, mas com o valor oposto. Portanto, a distância entre P e P' deve ser a mesma que entre P e a reta x+y-4=0.

D = D(P, P') = |(x + y - 4) / √2|

Agora, vamos encontrar a distância entre P(8,2) e a reta x+y-4=0:

D = |(8 + 2 - 4) / √2|

D = |(6) / √2|

D = 6 / √2 = 3√2

Agora, sabendo que a distância entre P e P' é 3√2 e usando a reta x+y-4=0, podemos encontrar o ponto P'.

A reta x+y-4=0 pode ser escrita como y = -x + 4.

Podemos criar uma linha perpendicular a essa reta passando por P(8,2). A inclinação dessa reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da reta original, ou seja, 1.

A equação da reta perpendicular que passa por P(8,2) é:

y - 2 = 1(x - 8)

y - 2 = x - 8

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre essa reta e a reta original x+y-4=0:

y = x - 6

Agora, vamos substituir essa equação na reta original:

x + (x - 6) - 4 = 0

2x - 6 - 4 = 0

2x - 10 = 0

2x = 10

x = 5

Agora, substituindo o valor de x na equação da reta perpendicular:

y = 5 - 6

y = -1

Portanto, o ponto P' é (5, -1). Esse é o ponto simétrico de P(8,2) em relação à reta x+y-4=0.