✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores para a incógnita "x", de modo que a referida sequência seja uma progressão geométrica são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = (2,\,2x,\,5x + 3)\end{gathered}$}[/tex]
Para que a referida sequência - que possui três termos - seja uma progressão geométrica é necessário que suas duas razões sejam iguais, uma vez sabendo que cada razão de uma progressão geométrica é sempre o quociente entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor imediato. Então, temos:
Lista de comentários
Os valore de x são igual a [tex]3\ e -1/2\\[/tex].
Seja a [tex]PG\ a1, a2, a3\\[/tex], podemos escrever que [tex]a2 / a1 = a3 / a2\\[/tex]
[tex]2x / 2 = (5x + 3) / 2x\\\\x = (5x + 3) / 2x\\2x^2 = 5x + 3\\\\2x^2 - 5x - 3 = 0[/tex]
Pelo metodo da soma e produto da raízes da equação temos:
[tex]S = -b / a\\\\S = 5 / 2\\\\[/tex]
[tex]P = c/a\\\\P = -3 / 2\\\\[/tex]
As raizes são [tex]3\ e\ -1/2,\\[/tex] que correspondem aos valores de x.
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✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores para a incógnita "x", de modo que a referida sequência seja uma progressão geométrica são, respectivamente:
[tex]\LARGE\begin{cases} x' = -\dfrac{1}{2} \Longrightarrow P.G. ~\textrm{Oscilante}\\\\x'' = 3\Longrightarrow P.G.~ \textrm{Crescente}\end{cases}[/tex]
Seja a sequência:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = (2,\,2x,\,5x + 3)\end{gathered}$}[/tex]
Para que a referida sequência - que possui três termos - seja uma progressão geométrica é necessário que suas duas razões sejam iguais, uma vez sabendo que cada razão de uma progressão geométrica é sempre o quociente entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor imediato. Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\frac{2x}{2} & = \frac{5x + 3}{2x}\\2x\cdot2x & = 2\cdot(5x + 3)\\4x^2 & = 10x + 6\\4x^2 - 10x - 6 & = 0\\ \frac{2x^2}{2} - \frac{10x}{2} - \frac{6}{2} & = 0\\ 2x^2 - 5x - 3 & = 0\end{aligned} $}[/tex]
Aplicando a fórmula resolutiva na equação do segundo grau, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}x & = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\x & = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2 - 4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2}\\x & = \frac{5\pm\sqrt{25 + 24}}{4}\\x & = \frac{5\pm\sqrt{49}}{4}\\x & = \frac{5\pm7}{4}\\x & \Longrightarrow \begin{cases} x' = \dfrac{5 - 7}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}\\\\x'' = \dfrac{5 + 7}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\end{cases}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, os possíveis valores de "x" para que a sequência seja P.G. são:
[tex]\Large\begin{cases} x' = -\dfrac{1}{2} \Longrightarrow P.G. ~\textrm{Oscilante}\\\\x'' = 3\Longrightarrow P.G.~ \textrm{Crescente}\end{cases}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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