f'(x) c'est (u'v-uv')/v² avec u=rac(x) donc u'=1/(2rac(x)) et v=x+1 donc v'=1

il vient f'(x)=((x+1)/2rac(x)-rac(x))/(x+1)² ce qui donne (x+1-2x)/(2rac(x)(x+1)²) CQFD

f' a le signe de 1-x donc f croit de f(0)=0 ç f(1)=1/2 puis decroit et tend vers 0 en +infini.

On a donc pour x>0 0<=f(x)<=1/2 soit 0<=rac(x)<=(x+1)/2 CQFD

comme x+1>=x f(x)<=rac(x)/x=1/rac(x) pour x>0

1/rac(x) est <=10-2 pour x>=10^4 

f'(x) est égale à -5x+2)/(x-2)^3 donc son signe est celui de (-5x-2)/(x-2) :

x         -inf                             -1            -2/5                    0                    2                      +inf

f'(x)                     -                        -           0             +             +             ||            -

f         1(<1)        decroit      0   dec    -1/24    croit     0   croit  +inf ||+inf   decroit   1(>1)

la droite y=1 est au dessus de Cf pour x<0,8, et au dessus ensuite