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1) calculer  (sin x)² + (cos x)² pour plusieurs valeurs de x comprises entre 0 et 90°

x = 0 ; sin 0 = 0  et cos 0 = 1 ⇒ (sin 0)² + (cos 0)² = 0 + 1 = 1

x = 30° ; sin 30° =  1/2 et cos 30° = √3/2 ⇒ (sin 30)² + (cos 30°)² = (1/2)² +

(√3/2)² = (1/4) + (3/4) = 4/4 = 1

x = 45° ; sin 45° = √2/2  et cos 45° = √2/2 ⇒ (sin 45°)² + (cos 45°)² = (√2/2)² +

 (√2/2)² = 2/4 + 2/4 = 4/4 = 1

x = 60°; sin 60° = √3/2 et cos 60° = 1/2 ⇒ (sin 60°)² + (cos 60°)² = (√3/2)² +(1/2)²

= 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

x = 90° ; sin 90° = 1  et cos 90° = 0 ⇒(sin 90°)² + (cos 90°)² = 1 + 0 = 1

2) quelle conjecture peut-on faire

∀x ∈ [0 ; 90°]   (sin x)² + (cos x)² = 1

3) on considère un triangle ABC rectangle en A

b. Ecrire sin x  et cos x en fonction de AB ; AC et BC

sin x = AB/BC  et cos x = AC/BC

c. Exprimer  (sin x)² + (cos x)² en fonction de AB ; AC et BC

 (sin x)² + (cos x)² = (AB/BC)² + (AC/BC)² = AB²/BC² + AC²/BC²

 AB²/BC² + AC²/BC² = (AB² + AC²)/BC²

En déduire une preuve de la conjecture formulée à la question 2

(sin x)² + (cos x)² = (AB² + AC²)/BC² = BC²/BC² = 1

puisque le triangle ABC est rectangle en A; donc d'après le théorème de Pythagore AB² + AC² = BC² 

4) triangle rectangle DEF rectangle en D; on sait que cos D = 0.8

Calculer sin D et tan D

(sin D)² + (cos D)² = 1 ⇒ (sin D)² = 1 - (cos D)² = 1 - 0.8 = 0.2

 (sin D)² = 0.2 ⇒ sin D = √0.2 = 0.447 ≈ 0.45

tan D = sin D/cos D = 0.45/0.8 = 0.56