É dado um triângulo retângulo no qual a altura relativa á hipotenusa mede 24 cm. Sabendo que a soma das medidas dos dois catetos desse triângulo é 70cm, determine o perímetro desse triângulo.
Altura relativa = h Hipotenusa = a cateto1=b cateto2=c (c+b)²=c²+2.(b).c+b² 70²=c²+2.(b).(c)+b² 4900=a²+2.(b).(c) (4900)-a²=2.(b).(c) (4900-a²)/2=(b).(c) b.c=a.h (4900-a²)/2=a.24 (4900-a²)/2=24a 4900-a²=48a -a²-48a+4900=0 a²+48a-4900=0 a²+48a=4900 (a²+48a+576)=4900+576 (a+24)²=5476 Como a hipotenusa não pode ter valor negativo ==> só nos importa a raiz positiva a+24=74 a=74-24 a=50 cm b.c=24.50 b.c=1200 ==> b=1200/c b²+c²=2500 (1200/c)²+c²=2500 (1.440.000/c²)+c²=2500 1.440.000+c^4=2500c² c^4-2500c²+1.440.000=0 y=c² y²-2500y+1.440.000=0 y²-2500y=-1.440.000 (y-1250)²=-1.440.000+1.562.500 (y-1250)²=122.500 y'-1250=350 y'=1600 y''-1250=-350 y''=-350+1250 y''=900 se y=1600 c²=1600 ==> c=40 se y=900 c²=900 ==> c=30 Em b=1200/c,ao agregarmos c=40 ou c=30,teremos os mesmos valores (se for 40,teremos 30,se for 30,teremos 40),logo: Catetos : 30 cm e 40 cm Perímetro (2p) 2p=30+40+50 2p=30+90 2p=120 cm //
3 votes Thanks 4
lucaif
Não entendi essa parte: (c+b)²=c²+2.(b).c+b²
Lucas7XD
Aí eu não usei as relações métricas no triângulo retângulo.Eu utilizei produto notável,o quadrado da soma.Aí,lembramos que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa
Lucas7XD
E como a soma dos catetos é 70 cm,só substituí: 70²=a²+2.(b).c ==> (4900-a²)/2=bc
lucaif
Não tô entendendo nada... porque colocou 2.(b)?
Lucas7XD
Esse parênteses eu nem sei o porquê de eu ter colocado,foi só de costume.
Lista de comentários
Verified answer
Altura relativa = hHipotenusa = a
cateto1=b
cateto2=c
(c+b)²=c²+2.(b).c+b²
70²=c²+2.(b).(c)+b²
4900=a²+2.(b).(c)
(4900)-a²=2.(b).(c)
(4900-a²)/2=(b).(c)
b.c=a.h
(4900-a²)/2=a.24
(4900-a²)/2=24a
4900-a²=48a
-a²-48a+4900=0
a²+48a-4900=0
a²+48a=4900
(a²+48a+576)=4900+576
(a+24)²=5476
Como a hipotenusa não pode ter valor negativo ==> só nos importa a raiz positiva
a+24=74
a=74-24
a=50 cm
b.c=24.50
b.c=1200 ==> b=1200/c
b²+c²=2500
(1200/c)²+c²=2500
(1.440.000/c²)+c²=2500
1.440.000+c^4=2500c²
c^4-2500c²+1.440.000=0
y=c²
y²-2500y+1.440.000=0
y²-2500y=-1.440.000
(y-1250)²=-1.440.000+1.562.500
(y-1250)²=122.500
y'-1250=350
y'=1600
y''-1250=-350
y''=-350+1250
y''=900
se y=1600
c²=1600 ==> c=40
se y=900
c²=900 ==> c=30
Em b=1200/c,ao agregarmos c=40 ou c=30,teremos os mesmos valores (se for 40,teremos 30,se for 30,teremos 40),logo:
Catetos : 30 cm e 40 cm
Perímetro (2p)
2p=30+40+50
2p=30+90
2p=120 cm //