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FAMAT em Revista

FAMAT em Revista www.famat.ufu.br Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

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Author Maria Antonieta da Conceição Melgaço

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FAMAT em Revista www.famat.ufu.br Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

f Número 09 - Outubro de 2007

e-mail: [email protected]

Comitê Editorial: Márcio José Horta Dantas - Famat/Ufu Valdair Bonfim - Famat/Ufu Marcos Antônio da Câmara - Famat/Ufu Gabriela Aparecida dos Reis - Petmat - Famat/Ufu Weyder Orlando Brandão Junior - Petmat - Famat/Ufu Ernani Magno de Freitas Júnior - Petmat - Famat/Ufu

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Editorial. O Comitê Editorial da FAMAT em Revista, com muita satisfação, vem disponibilizar à comunidade acadêmica o seu nono número. A FAMAT em Revista é a revista eletrônica da comunidade acadêmica da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia – MG. A sua finalidade é promover a circulação de idéias, estimular o estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática. Gostaríamos de externar nosso contentamento com a aceitação de nossa revista; a quantidade de artigos completos de iniciação científica vem se mantendo expressiva desde a terceira edição, o que tomamos como índice de nossos esforços, em prol do estudo de matemática e de mantermos uma revista voltada para os trabalhos de graduação, estão logrando certo êxito. Em relação ao conteúdo do nono número da revista, foram contempladas as atividades desenvolvidas no segundo semestre de 2006 e no primeiro semestre de 2007. Abaixo, apresentamos de modo sucinto, as diversas contribuições e matérias que compõe cada seção. Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com treze trabalhos muito interessantes, todos desenvolvidos em projetos de Iniciação Científica orientados por professores da FAMAT ou resultantes das atividades de cursos de Extensão. Sem dúvida, a leitura dos mesmos irá enriquecer a formação de estudantes de matemática. Na Seção Problemas e Soluções, apresentamos as resoluções de quatro problemas propostos no número anterior. Além disso, quatro novos desafiadores problemas são propostos neste número. Na Seção Eventos, disponibilizamos aos nossos leitores uma lista dos eventos ligados à matemática a serem realizados no segundo semestre de 2007 e no primeiro semestre de 2008. Damos particular ênfase à realização da VII Semana da Matemática que será realizada de 27 à 30 de novembro. Na Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, temos um artigo do Coordenador do Curso de Matemática, Prof. Luiz Antônio Benedetti, sobre a Beleza da Matemática. Cremos que será muito instrutivo para os nossos leitores. Na Seção Em Sala de Aula temos onze artigos. Vários deles são os trabalhos finais do curso de Modelagem Matemática ministrado pela Profa Rosana. Na Seção Iniciação Científica em Números trazemos uma descrição dos atuais projetos de Iniciação Científica e de Ensino da FAMAT – UFU desenvolvido por alunos do Curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática.

Na Seção E o meu Futuro Profissional, apresentamos uma entrevista com o Prof. João Carlos, Coordenador do Curso de Matemática da UFU, Campus do Pontal. Na Seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que mereceram destaque na FAMAT no período de abril a setembro de 2007. Além disso, temos um artigo, extremamente interessante, do Prof. Antônio Carlos Nogueira, sobre as Olimpíadas de Matemática. O Prof. Antônio Carlos é Coordenador Regional da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Também temos uma entrevista com o Prof. Luis Alberto Salomão, que é Professor Orientador da OBMEP. Finalmente, esperamos que os nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados e lembramos que críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas. Comitê Editorial

´Indice de Se¸co ˜es

Se¸c˜ ao 1: Trabalhos Completos de Inicia¸ c˜ ao Cient´ıﬁca

7

Se¸c˜ ao 2: Problemas e Solu¸ co ˜es

269

Se¸c˜ ao 3: Eventos

277

Se¸c˜ ao 4: Reﬂex˜ oes sobre o Curso de Matem´ atica

285

Se¸c˜ ao 5: Em Sala de Aula

291

Se¸c˜ ao 6: Inicia¸ c˜ ao Cient´ıﬁca em N´ umeros

459

Se¸c˜ ao 7: E o meu Futuro Proﬁssional?

469

Se¸c˜ ao 8: Merece Registro

475

FAMAT em Revista Número 09 - Outubro de 2007 www.famat.ufu.br

Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Trabalhos Completos de Iniciação Científica PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira

Comitê Editorial da Seção Trabalhos Completos de Iniciação Científica do Número 09 da FAMAT EM REVISTA: Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Valdair Bonfim Marcos Antônio da Câmara

Instru¸co ˜es para submiss˜ ao de Trabalhos A Se¸ca˜o de Trabalhos de Inicia¸c˜ao Cient´ıﬁca visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq / PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT. Trabalhos completos em n´ıvel de inicia¸ca˜o cient´ıﬁca dos programas acima listados submetidos para publica¸c˜ao na Revista Eletrˆonica “Famat em Revista” estar˜ao sujeitos a aprecia¸ca˜o pelo Comitˆe Editorial respons´avel por essa se¸ca˜o de artigos e, se for o caso, por consultores ad hoc ligados a` ´area ou sub´area do trabalho. Caso se fa¸ca necess´ario, sugest˜oes para o aperfei¸coamento do trabalho ser˜ao dirigidas aos interessados pelo Comitˆe Editorial. Al´em da reda¸ca˜o clara e concisa que todo trabalho submetido a` boa qualidade deve possuir, pede-se evitar o estilo ´arido e extremamente t´ecnico caracter´ıstico de algumas publica¸c˜oes matem´aticas, n˜ao perdendo de vista que o p´ ublico-alvo ao qual se destina a revista ´e constitu´ıdo por alunos de gradua¸ca˜o. Os trabalhos submetidos at´e o ﬁnal de um semestre letivo ser˜ao publicados na edi¸c˜ao da revista lan¸cada no in´ıcio do semestre letivo subseq¨ uente. Quanto a`s normas t´ecnicas para submiss˜ao dos trabalhos:

1) Formato do arquivo: PDF 2) Tamalho da Folha: A4 3) Margens: 2,5 cm (portanto, ´ area impressa: 16 cm x 24,7 cm) 4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto t´ıtulos, subt´ıtulos, notas de rodap´ e, etc, que ﬁcam submetidos ao bom senso) 5) Espa¸camento entre linhas: Simples 6) Orientador(es), tipo de programa e org˜ ao de fomento (se houver) devem constar no trabalho.

Envio: Por e-mail: [email protected]

Índice de Trabalhos Uma Introdução à Teoria de Pontos Críticos Carlos Henrique Tognon e Antônio Carlos Nogueira Ordenação de monômios, divisão em anéis de polinômios de várias variáveis e as Bases de Groebner Danilo Adrian Marques e Cícero Carvalho Evolução do Número de Alunos Reprovados nas Disciplinas do Curso de Matemática da UFU Flávia Borges Arantes, Ródney Silva Abreu, Heyder Diniz Silva e Rogério de Melo Costa Pinto O Problema da Condução do Calor em Dimensão Maior que 1 e o Teorema Espectral Karla Barbosa de Freitas e Valdair Bonfim

13

25

39

69

Perfil sócio-econômico dos candidatos do paies/ufu: Subprograma 2002-2005 Kátia Alessandra De Souza Caetano, Ednaldo Carvalho Guimarães, Rogério De Melo Costa Pinto, Marcelo Tavares

83

Um Texto Sobre Superfícies Parametrizadas Regulares Laís Bássame Rodrigues e Edson Agustini

95

O teorema de Barlotti Luciana Yoshie Tsuchiya, Gabriela Aparecida dos Reis e Edson Agustini

147

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach Marcelo Lopes Vieira e Valdair Bonfim

175

Heurísticas e Equações Diofantinas Michelle Crescêncio de Miranda e Luiz Alberto Duran Salomão

181

Obtenção dos projetos ótimos de gráficos de X Utilizando o Matlab Robson Silva Rossi e Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues

189

Formas Quadráticas e Cônicas Stela Zumerle Soares e Antônio Carlos Nogueira

201

Soma de Quadrados Stela Zumerle Soares e Antônio Carlos Nogueira

217

Complexidade Algébrica em Demonstrações de Geometria Euclidiana Plana: o Teorema de Napoleão e Propriedades Luciana Yoshie Tsuchiya, Gabriela Aparecida dos Reis e Edson Agustini

Introdução à Teoria das Curvas Algébricas Afins Patrícia Borges dos Santos e Cícero Fernandes

231

259

UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE PONTOS CRÍTICOS Carlos Henrique Tognon1 e Antônio Carlos Nogueira2 1. INTRODUÇÃO Hoje em dia, um dos mais produtivos e atraentes ramos da Matemática é a Teoria de Singularidades. A Teoria de Singularidades não é uma teoria no sentido axiomático usual. Na verdade, é precisamente sua dimensão abrangente, suas vagas fronteiras e suas interações com outros ramos, não só da Matemática, mas da ciência em geral que a tornam tão atraente. É comum se pensar que a Teoria de Singularidades é um descendente direto do Cálculo Diferencial e uma vez que este é ferramenta, por excelência, para se estudar física, equações diferenciais e a geometria de curvas e superfícies é de se esperar que a Teoria de Singularidades tenha aplicações nestas áreas. De certa forma, a Teoria de Singularidades é uma extensão de vasto alcance do estudo de funções em pontos de máximo e mínimo; neste caso as funções são substituídas por famílias de funções. Hoje a Teoria de Singularidades é uma das áreas mais desenvolvidas da Matemática e ainda muito tem a ser feito; além disso, esta teoria possui diversas aplicações em variados campos, como por exemplo, física e robótica. A melhor maneira de se introduzir a Teoria de Singularidades é mostrando em ação uma situação concreta, onde não há dúvida sobre o que está ocorrendo e também que requeira um mínimo necessário de conhecimento prévio, como por exemplo, em algumas situações geométricas que de uma maneira oportuna serão introduzidas.

2. PONTOS CRÍTICOS Um dos problemas centrais da Teoria de Singularidades é a classificação de tipos de pontos críticos; inicia-se nesta seção esta classificação provando-se o Lema de Morse, que classifica pontos críticos para qualquer número de variáveis. Estes pontos críticos serão chamados pontos críticos de Morse.

2.1 CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS CRÍTICOS Seja f : n o uma função de classe C f , isto é, uma função que possui derivada de todas as ordens e cada uma dessas derivadas é uma função contínua. Um ponto u n é dito um ponto crítico de f se as derivadas parciais de f se anulam em u , isto é, se wf u wf u wf u 0 , onde u x 1 , x 2 , , x n . w x1 w x2 w xn ____________________________________ 1 Aluno do PROMAT – FAMAT 2 Orientador

O valor f u é então chamado um valor crítico de f . Geometricamente, pontos críticos ocorrem quando o gráfico de f possui uma tangente horizontal. Se n 1 , ou seja, tem-se uma função f : o , os pontos críticos de f são classificados como máximo local, mínimo local e pontos de inflexão. Para n 2 , quando f : 2 o , existem mais possibilidades. Os mais comuns são os máximos, mínimos e as selas. Exemplos destes casos são dados respectivamente por, f x, y x 2 y 2 ; f x, y x 2 y 2 ; f x, y x 2 y 2 . Observe que nestes três casos o ponto crítico é a origem. Existe, entretanto uma grande variedade de tipos mais complicados de funções, onde a análise de pontos críticos não é tão trivial. Por exemplo, as funções

f x, y x 3 3xy 2 ;

f x, y x 2 ; f x , y x 2 y 2 . Destes três últimos a função f x, y x 3 3xy 2 é a menos complicada, no sentido de que o ponto crítico é isolado, ou seja, suficientemente próximo a ele não existe outro ponto crítico. Nos outros dois casos, a origem não é um ponto crítico isolado: no caso

f x, y x 2 tem-se uma reta de pontos críticos e no caso f x, y x 2 y 2 têm-se duas retas de pontos críticos. Apesar de aparecerem em situações tão simples e corriqueiras, os pontos críticos não isolados não ocorrem com freqüência nas aplicações. A distinção mais importante, entretanto, se faz entre pontos críticos não degenerados e pontos críticos degenerados. Definição 1: Seja u n e f : n o . Considere que u seja um ponto crítico de f . Se a matriz Hessiana de f em u possui determinante não-nulo, então u é um ponto crítico não degenerado de f . Caso contrário, u é um ponto crítico degenerado de f . A matriz Hessiana de f : n o em um ponto u n é a matriz quadrada de ordem n dada por, § w2 f · ¸. Hess f u ¨ ¨ w xi w x j ¸ © ¹ Por exemplo, se f x, y x 2 y 2 , então

Hess f

§ w2 f ¨ ¨ w x2 ¨ 2 ¨ w f ¨w yw x ©

w 2 f ·¸ w xw y¸ ¸. w2 f ¸ ¸ w y2 ¹

Assim, a matriz Hessiana da função f calculada na origem será

§ 2 0· ¸¸ . Hess f 0,0 ¨¨ © 0 2¹ Esta matriz tem determinante igual a quatro, então a origem é um ponto crítico não degenerado da função f x, y x 2 y 2 . §0 0· ¸¸ , Por outro lado, se f x, y x 3 3xy 2 , então segue que Hess f 0,0 ¨¨ ©0 0¹ cujo determinante é nulo. Desta forma a origem é um ponto crítico degenerado para a função

f x, y x 3 3xy 2 . Pode-se provar que pontos críticos não degenerados são sempre isolados, porém a recíproca não é verdadeira.

2.2 O LEMA DE MORSE Os pontos críticos não degenerados são completamente classificados por um teorema, conhecido na literatura matemática como Lema de Morse. Teorema 1 (Lema de Morse): Seja u n um ponto crítico não degenerado da função f : n o de classe C f . Então existe uma mudança de coordenadas \ em n , isto é, uma função \ :U o n , onde U é uma vizinhança do ponto u , tal que a função f $ \ :U o é dada por,

f $\ u para todo y

f u y12 y22 yl2 yl21 yn2 ,

y1 , y 2 , , y n U , 1 d l d n .

Na prova do Lema de Morse faz-se uso do seguinte lema, aceito sem demonstração. Lema 1: Seja f : n o uma função de classe C f em uma vizinhança da origem, com f 0 0 . Então existem funções f i : n o , de classe C f , i 1, , n , definidas em uma vizinhança da origem tais que

f

n

¦ xi f i , xi

i 1

f i 0

w f 0 0. w xi

Agora, coloca-se o Lema 2: Seja f : 2 o ( como no Lema 1, para n 2 ).

com

1. Se f

wf wy

wf wx

0 em

0,0 ,

para

x, y 2 ,

então existem funções

g1 , g 2 , g 3 , definidas em uma vizinhança de 0,0 , tas que f 2. Se f

wf wx

wf wy

w2 f 2

w2 f w xw y

w2 f 2

x 2 g1 xyg 2 y 2 g 3 .

0 em 0,0 , para x, y 2 , então

wx wy existem funções g1 , g 2 , g 3 , g 4 , definidas em uma vizinhança de f

0,0

tais que

x 3 g1 x 2 yg 2 xy 2 g 3 y 3 g 4 . 3. Se f é como no item 2, então existem funções g1 , g 2 , definidas em uma

vizinhança de 0,0 tais que f

x 2 g1 y 2 g 2 .

Demonstração: wf wx

1. Seja f : 2 o tal que f

wf wy

0 em 0,0 , para x, y 2 . Pelo

Lema 1 existem funções f 1 : 2 o e f 2 : 2 o definidas em uma vizinhança da w f 0,0 w f 0,0 origem tais que f xf1 yf 2 , com f1 0,0 0 e f 2 0,0 0. wy wx Agora, pode-se aplicar o Lema 1 à função f1 , obtendo-se funções

f11 : 2 o e f12 : 2 o definidas em uma vizinhança de 0,0 tais que f1 xf11 yf12 . Analogamente, aplicando o Lema 1 à função f 2 , tem-se f 2 xf 21 yf 22 . Assim, f x xf11 yf12 y xf 21 yf 22 x 2 f11 xyf12 xyf 21 y 2 f 22 , portanto f x 2 f11 xy f12 f 21 y 2 f 22 . Desta maneira, existem funções g1 , g 2 , g 3 , definidas em uma vizinhança da origem em 2 tais que f

2. Tem-se agora

x 2 g1 xyg 2 y 2 g 3 , que é o resultado desejado.

wf wx

f

wf wy

w2 f w x2

wf w xw y

w2 f w y2

0

em

0,0 ,

para

x, y 2 . Do item anterior tem-se que f f11 0

x xf11 yf12 y xf 21 yf 22 . Desta forma

2

w f1 0 w w f 0 w f 0 0 , por hipótese. Aplicando o Lema 1 à função wx wx wx w x2

f1 : 2 o e vizinhança de 0,0 tais que f11 xf1 yf 2 . w f1 0 w w f 0 w 2 f 0 Temos f12 0 wy wy wx w ywx f11 , consegue-se obter funções

f 2 : 2 o definidas em uma w 2 f 0 , pois f é de classe C 2 . w xw y

Assim f12 0

w 2 f 0 0 , por hipótese. Aplica-se, então, o Lema 1 à função w xw y

f12 ; logo se escreve f12 xf11 yf12 , onde f11 : 2 o e f12 : 2 o são definidas em uma vizinhança de 0,0 .

Também f 21 0

w f 2 0 w w f 0 w 2 f 0 0 , por hipótese. Pelo Lema 1 wx wx wy w xw y

aplicado à função f 21 , tem-se f 21 xf 21 yf 22 , onde f 21 : 2 o e f 22 : 2 o são definidas em uma vizinhança de 0,0 . Finalmente, f 22 0 Lema 1 escreve-se f 22 uma vizinhança de 0,0 .

w f 2 0 w w f 0 w 2 f 0 0 , por hipótese. Então pelo wy wy wy w y2 xfˆ1 yfˆ2 , onde fˆ1 : 2 o e fˆ2 : 2 o são definidas em

Daí, f x x ( xf1 yf 2 ) y ( xf11 yf12 ) y x ( xf 21 y f 22 ) y ( xfˆ1 yfˆ2 ) . Trabalhando-se esta expressão, se observa que existem funções g1 , g 2 , g 3 , g 4 , definidas em uma vizinhança da origem, tais que f

x 3 g1 x 2 yg 2 xy 2 g 3 y 3 g 4 , como se queria demonstrar.

3. Tem-se f como no item anterior. Desta forma pode-se escrever f da seguinte maneira, f x 2 xg1 yg 2 y 2 xg 3 yg 4 . Então existem funções g1 , g 2 definidas em uma vizinhança de 0,0 tais que

f

x 2 g1 y 2 g 2 , o que demonstra o item 3. Ƒ

A demonstração do Lema de Morse será feita para o caso n 2 ; o caso geral segue exatamente a mesma linha de raciocínio.

Prova do Lema de Morse, caso n 2 : Pode-se supor, sem perda de generalidade, que o ponto crítico u 2 é a origem, ou seja, u 0,0 . wf wf Como u é um ponto crítico da função f : 2 o , deve-se ter 0 wx wy em 0,0 . Desenvolvendo a função f em série de Taylor, até a ordem 2, em torno do ponto 0,0 obtém-se (note que f é de classe C f ):

f x, y f 0,0

2 2 w f 0,0 x 0 w f 0,0 y 0 1 w f 20,0 x 0 2 w f 0,0 xy 0 wx 2 wx wy w xw y

1 w 2 f 0,0 y 0 2 g x, y 2 2 wy onde g x, y são os termos de ordem superior no desenvolvimento. Como w f 0,0 w f 0,0 1 0e 0 , tem-se f x, y f 0,0 ax 2 2bxy cy 2 g x, y , onde wx wy 2

a

w 2 f 0,0 w x2

tem que

,b

w 2 f 0,0 w 2 f 0,0 . Observe que como f é de classe C 2 , se ec 2 w xw y wy

w 2 f 0,0 w 2 f 0,0 . w xw y w yw x w f 0,0 w f 0,0 w g 0,0 , wx wx wx w g 0,0 logo 0 ; também wy

Note que f 0,0 f 0,0 g 0,0 , logo g 0,0 0 ; logo

w g 0,0 0 wx

w 2 g 0,0

w f 0,0 w f 0,0 w g 0,0 , wy wy wy

e

w 2 g 0,0

0. w y2 Assim, g e todas as suas derivadas de primeira e segunda ordem se anulam em 0,0 . A hipótese de que u 0,0 é um ponto crítico não degenerado de f é w x2

0e

equivalente à condição b 2 ac z 0 , uma vez que

§a b· ¸¸ , Hess f 0,0 ¨¨ ©b c¹ então o determinante de Hess f 0,0 é igual a ac b 2 que é diferente de zero, pois

ac b 2 z 0 equivale a b 2 ac z 0 . Assim, se a z 0 pode-se completar quadrados na parte quadrática de f obtendo-se, 2 § b · b 2 ·¸ 2 § ax 2 2bxy cy 2 a ¨ x y ¸ ¨ c y . ¸ ¨ a ¹ a © ¹ © Também se c z 0 , tem-se

0,0 é ponto crítico não degenerado. Observe que

2

ax 2bxy cy

2

2 § b · b2 § c ¨ y x¸ ¨a ¨ c ¹ c © ©

Se a c 0 , então b z 0 e assim pode-se escrever

· 2 ¸x . ¸ ¹

ax 2 2bxy cy 2

2bxy

>

@

b x y 2 x y 2 . 2

No caso em que a z 0 , faz-se a seguinte mudança de coordenadas

X

b § ¨x a ©

· y ¸ a ,Y ¹

y

1 2 2 ac b

a

e então a parte quadrática de f toma a forma r X 2 r Y 2 . Tem-se que a aplicação I : 2 o 2 dada por I x, y verdade I é um difeomorfismo (ver definição abaixo).

X , Y

é invertível. Na

Fórmulas semelhantes se verificam para os outros dois casos; assim deduzse que existe uma mudança de coordenadas \ em 2 (ou seja, um difeomorfismo local) tal que a composta f $ \ : 2 o tem a forma x, y d r x 2 r y 2 h x, y , onde d f 0,0 . Observe que os sinais r são independentes e, portanto existem quatro casos. Também se tem que h e todas as suas derivadas de ordem 1 e 2 se anulam em 0,0 . Aplicando o item 3 do Lema 2 à função h , obtêm-se funções h1 e h2 definidas em uma vizinhança de 0,0 tais que h x 2 h1 y 2 h2 e então a expressão acima de f $ \ se torna

x, y d r x 2 1 h1 r y 2 1 h2 , onde h1 e h2 se anulam em 0,0 . Para valores pequenos de x e y , 1 h1 x, y e 1 h2 x, y são não nulos. Colocando

X x 1 h1 x, y e Y y 1 h2 x, y ,

tem-se

que

a

aplicação

f $ \ : 2 o dada por x, y d r X 2 r Y 2 é um difeomorfismo em uma vizinhança de 0,0 . Usando esta mudança de coordenadas obtêm-se as seguintes formas normais:

x, y d X 2 Y 2 x, y d X 2 Y 2 x, y d X 2 Y 2 onde d

f 0,0 . Isto conclui a demonstração. Ƒ

Definição 2: Um difeomorfismo é uma aplicação de n em diferenciável, invertível e sua inversa é diferenciável.

n

que é

Observações referentes ao Lema de Morse: 1. Não é necessário incluir a forma d X 2 Y 2 , pois x, y y , x é uma mudança de coordenadas, o que significa que se trocando x por y e y por x se tem o mesmo resultado. 2. Os três casos do Lema de Morse correspondem, respectivamente, a um mínimo, uma sela e um máximo para a função f em 0,0 (figura 1). 3. O Lema de Morse diz que a função não apenas se comporta como uma das três formas normais acima, além disso, f é igual a uma delas a menos de uma mudança de coordenadas no plano.

Máximo

Mínimo

Sela

Figura 1

2.3 PONTOS CRÍTICOS DEGENERADOS Os pontos críticos não degenerados são completamente classificados pelo Lema de Morse. Quanto aos pontos críticos degenerados, a situação é diferente. Inicia-se nesta seção o estudo dos pontos críticos degenerados no caso mais simples, ou seja, de uma função f : o . Assume-se que f tem um ponto crítico na origem e que f 0 0 . Desta maneira, deve-se ter f ' 0 0 . Pelo que foi visto, a origem é ponto crítico não degenerado da função f : o se, e somente se, f ' ' 0 z 0 , uma vez que Hess f 0 f ' ' 0 . Pelo Lema de Morse existe uma mudança de coordenadas \ : o , definida em uma vizinhança U da origem tal que f $ \ : o é dada por

f $ \ 0

f 0 r x 2 , e como f 0 0 se tem que f $ \ 0 r x 2 .

Neste caso, f $ \ 0 x 2 , se f ' ' 0 ! 0 e f $ \ 0 x 2 , se f ' ' 0 0 . Entretanto, se f ' ' 0 0 , obtém-se uma classificação mais refinada tomandose mais termos da série de Taylor de f . Esta classificação, porém, não diz nada § 1· ¸¸ para as quais a série de Taylor é zero. sobre funções tais como exp ¨¨ © x2 ¹

Nota 1: Considere a função f : o dada por § 1· ¸, se x z 0 e f x 0, se x 0 . f x exp ¨¨ 2¸ ©x ¹

Expandindo esta função em série de Taylor em torno do ponto x 0 obtém-se que todos os termos da expansão são iguais à zero, visto que qualquer derivada da função f no ponto x 0 é igual à zero (a função f definida desta forma é conhecida como função chata). Por esta razão se diz que a série de Taylor desta função f é zero. Lema 3: Seja q : o uma função de classe C f tal que,

q 0 q' 0 q' ' 0 q k 0 0 . Então em alguma vizinhança da origem, existe uma função l : o de classe C f tal que q x x k 1 l x e, além disso, se q k 1 0 z 0 , então l 0 z 0 . Demonstração: A prova é feita por indução sobre k . Quando k 0 , o Lema 1 se aplica e segue o resultado. Para k z 0 , usa-se o mesmo Lema para mostrar que q x x l1 x , onde l1 : o é uma função de classe C f .

Como q é de classe C f , diferenciando esta relação m vezes, obtém-se que

m 1

x . q m x x l1m x m l1 Observe que esta relação é obtida uma vez que, q ' x l1 x x l1' x ; ; q m x

q ' ' x l1' x l1' x x l1'' x ;

q ' ' ' x l1'' x l1'' x l1'' x x l1''' x ;

x l1m x m l1m 1 x

k 1 0 0 .

Fazendo x 0 deduz-se que l1 0 l1' 0 l1'' 0 l1

Como a função l1 satisfaz a hipótese de indução, tem-se que em alguma vizinhança da origem, existe uma função l : o de classe C f tal que

l1 x x k l x . Assim, q x x x k l x x k 1 l x . Note que, q' x x k (k 1) l x x l ' x , q' ' x k x k 1 (k 1) l x x l ' x x k l ' x (k 2) x l ' ' x ,

k 1 !l x k 1 ! x k l k x x k l k x (2k 1) x k l k 1 x q k 1 0 k 1 !l 0 e daí, se q k 1 0 z 0 segue que l 0 z 0 .

q k 1 x

logo, demonstração. Ƒ

Isto conclui a

Com este Lema em mãos, pode-se enunciar o Teorema 2: Seja f : o uma função de classe C f , tal que

f 0 f ' 0 f ' ' 0 f k 1 0 0 , mas f k 0 z 0 . Então existe uma mudança de coordenadas sob a qual f toma a forma x k , se k é ímpar, e x k ou x k , se k é par. Demonstração: Pelo Lema 3 tem-se que f x x k l x , com l 0 z 0 . Considere os casos: 1.

k

é

ímpar:

Defina

h x x l x 1 k .

1 k k

h' x l x x 1 k l x l ' x , logo h' 0 difeomorfismo em alguma vizinhança da origem. 1k

Além disso, se tem que h x k

l 0 1 k z 0 ,

Observe então

é

um

x k l x f x . Desta maneira segue que a

f $ h 1 x f h 1 x x k , visto que colocando y k h y k , logo f $ h 1 x h y k h h 1 x Id x k x k .

composta

f y

h

que

h 1 x , tem-se

2. k é par: Têm-se duas possibilidades: a) l x ! 0, x : neste caso, define-se h x x l x 1 k , e o resultado segue como no item 1, isto é, f se transforma em x k . b) l x 0 , x : neste caso define-se h x x l x 1 k . Desta maneira

h x k

x k l x x k l x f x .

Assim,

f $ h 1 x f h 1 x x k , visto que colocando z k logo f $ h 1 x f h 1 x h z k h h 1 x

tem-se

que

a

composta

h 1 x , tem-se f z h z k , Id x k

xk .

Estes dois casos concluem a demonstração. Ƒ O Lema de Morse (teorema 1) e o teorema 2 motivam uma importante noção. Definição 3: Sejam u1 n , u 2 n , U 1 n , U 2 n , onde U 1 , U 2 são vizinhanças dos pontos u1 , u 2 , respectivamente. Diz-se que f1 :U 1 o e f 2 :U 2 o são funções R - equivalentes se existirem vizinhanças Vi U i , com u i Vi , i 1, 2 , um difeomorfismo h :V1 o V2 e uma constante c tal que h u1 u 2 e f1 u f 2 h u c , u V1 . Nota 2: Seja u 0 n . Então f : n , u 0 o denota uma função definida em alguma vizinhança de u 0 . Duas tais funções são equivalentes se elas coincidem em alguma vizinhança de u 0 .

A sentença, f | g as funções f e g coincidem em uma vizinhança de u 0 , é uma relação de equivalência (é reflexiva, simétrica e transitiva). As funções que se relacionam com f segundo | , formam uma classe de equivalência que é chamada um germe de f em u 0 . Definição 4: Suponha que f : , t 0 o seja A - equivalente a r x k 1 . Então, para k t 0 , dizemos que f tem tipo Ak em t 0 , ou uma Ak singularidade em t0 . Por exemplo, tipo A0 significa simplesmente que f ' t 0 z 0 . Um dos problemas centrais na Teoria de Singularidades é classificar funções segundo R -equivalência. Um exemplo disto já foi feito no Lema de Morse, onde uma função f definida em uma vizinhança de um ponto crítico não degenerado é R equivalente à função g dada por g y12 y l2 y l21 y n2 . No teorema 2, se tem que uma função f : o com série de Taylor não nula é equivalente a r x k para algum k . Como existe o Lema de Morse para pontos críticos não degenerados, também se tem um resultado para os pontos críticos degenerados, que permite encontrar formas normais para uma função f em uma vizinhança de tal ponto em dimensões maiores que 1. Este resultado é conhecido como Splitting lemma e é enunciado a seguir. Teorema 3 (Splitting lemma): Seja f : n o uma função de classe C f , com derivadas parciais de primeira ordem iguais a zero na origem e cuja matriz Hessiana na origem tem posto r . Então f é R -equivalente, na origem, a uma função da forma

r x12 r r x r2 g x r 1 , , x n ,

onde g : n r o é uma função de classe C f . Este teorema mostra que o comportamento de uma função próximo a um ponto crítico degenerado pode ser determinado estudando-se uma função envolvendo um número de variáveis menor (igual a n r : este número é chamado o coposto (ou corank) de f ). Esta redução do número de variáveis é que torna o Splitting lemma tão útil e surpreendente. Exemplo: Seja uma função f : 2 o , com a origem sendo um ponto crítico degenerado; sob certas condições pode-se mostrar com o auxílio do Splitting lemma, que esta função é R-equivalente a uma das seguintes formas normais:

x, y x 3 xy 2 x, y x 3 y 3 x, y x 2 y y 4

Umbílico elíptico

( umbílico elíptico) (umbílico hiperbólico) (umbílico parabólico)

Umbílico hiperbólico

Umbílico parabólico

Figura 2

Referências Bibliográficas [1] Bruce, J.W. e Giblin, P.J.; Curves and Singularities; Segunda edição; Cambridge University Press; 1992. [2] Tenenblat, Keti; Introdução à Geometria Diferencial; Editora Universidade de Brasília; 1988. [3] Saunders, P.T.; An Introduction to Catastrophe Theory; Cambridge University Press; 1980.

Ordena¸c˜ ao de monˆ omios, divis˜ ao em an´ eis de polinˆ omios de v´ arias vari´ aveis e as Bases de Groebner Danilo Adrian Marques∗

Prof. C´ıcero Carvalho†

Faculdade de Matem´atica - FAMAT Universidade Federal de Uberlˆ andia - UFU 38408-100, Uberlˆandia - MG Junho 2007

1

Ordens Sobre Monˆ omios

Examinando em detalhes o algoritmo da divis˜ao em K [x] e o escalonamento para sistemas de equa¸c˜oes lineares (ou matrizes), veremos que uma no¸c˜ao de ordem de termos ´e um ingrediente chave de ambos (embora isto n˜ao seja freq¨ uentemente enfatizado). Por exemplo, dividindo 5 2 2 f (x) = x − 3x + 1 por g (x) = x − 4x + 7 pelo m´etodo padr˜ao, n´os far´ıamos: i) escrever´ıamos os termos do polinˆomio em ordem decrescente de grau de x ii) no primeiro passo, o termo l´ıder (o termo de maior grau) em f ´e: x5 = x3 · x2 = x3 · (termo l´ıder em g). Ent˜ao, n´os subtra´ımos x3 · g (x) de f para cancelar o termo l´ıder, ﬁcando 4x4 − 7x3 − 3x2 + 1 iii) ent˜ao, n´os repet´ıriamos o mesmo processo sobre f (x) − x3 · g (x), etc. at´e obtermos um polinˆomio de grau menor que 2 Para o algoritmo da divis˜ao sobre polinˆomios de uma vari´avel, ent˜ao, n´os lidamos com a ordem de grau sobre monˆomios de uma vari´avel: . . . > xm+1 > xm > . . . > x2 > x > 1

(1)

Similarmente, no algortimo de escalonamento sobre matrizes, em alguma linha dada, n´os trabalhamos sistematicamente com a primeira entrada da esquerda - as entradas l´ıderes s˜ao aquelas entradas n˜ao nulas a extrema esquerda da linha. No n´ıvel de equa¸co˜es lineares, este ´e expressado pela ordem das vari´aveis x1 , . . . , xn como a seguir: x1 > x 2 > . . . > x n

(2)

N´os escrevemos os termos nas nossas equa¸c˜oes em ordem decrescente. Al´em disso, num sistema na forma escalonada (onde a primeira entrada n˜ao nula de cada linha ´e 1, e todas as outras entradas na coluna contendo um l´ıder 1 s˜ao zero) as equa¸co˜es s˜ao listadas com seus ∗ †

Orientando de Inicia¸c˜ao Cient´ıﬁca: FAPEMIG. E-mail: [email protected] Professor Orientador - E-mail: [email protected]

termos l´ıderes em ordem decrescente (de fato, a deﬁni¸c˜ao precisa de um sistema na forma escalonada poderia ser dada em termos desta ordem). Da evidˆencia acima, podemos imaginar que uma componente muito importante de alguma extens˜ao da divis˜ao e escalonamento para polinˆomios arbitr´arios em v´arias vari´aveis ´e uma ordem de termos em polinˆomios em K [x1 , . . . , xn ]. Aqui, discutiremos as propriedades desej´aveis que as ordens poderiam ter, e construiremos v´arios exemplos diferentes que satisfar˜ao nossas necessidades. Cada uma destas ordens ser´a usada em diferentes contextos. Primeiro observamos que podemos reconstruir o monˆomio xα = xα1 1 . · · · .xαnn a partir da n-upla de expontes α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Zn≥0 . Esta observa¸c˜ao estabelece uma correspondˆencia bijetiva entre monˆomios em K [x1 , . . . , xn ] e o conjunto Zn≥0 . Al´em disso, qualquer ordem > sobre o espa¸co Zn≥0 nos dar´a uma ordem sobre monˆomios: se α > β, de acordo com esta ordem, n´os tamb´em diremos que xα > xβ . Existem v´arias maneiras diferentes de se deﬁnir uma ordem sobre Zn≥0 , mas exigimos sempre que tais ordens sejam compat´ıveis com a estrutura alg´ebrica de an´eis polinomiais. Para come¸car, como um polinˆomio ´e uma soma de monˆomios, n´os gostar´ıamos ser capazes de organizar os termos em um polinˆomio sem ambig¨ uidade na ordem decrescente (ou crescente). Para fazer isto, n´os temos que ser capazes de comparar todo par de monˆomios para estabelecer sua posi¸c˜ao relativa. Ent˜ao exigimos que a ordem seja total, i.e. para todo par de monˆomios xα e xβ , exatamente uma das trˆes condi¸c˜oes seja verdadeira: xα > xβ ou xα = xβ ou xα < xβ A seguir, n´os temos que levar em conta o efeito da soma e do produto sobre polinˆomios. Quando adicionamos polinˆomios podemos simplesmente reorganizar os termos na ordem apropriada para a presente soma sem diﬁculdades. Produtos s˜ao mais sutis, entretanto. Como a multiplica¸c˜ao no anel polinomial distribui sobre adi¸ca˜o, ´e suﬁciente considerar o que acontece quando n´os multiplicamos um monˆomio por um polinˆomio. Ent˜ao, n´os exigimos que todas as ordens de monˆomios tenham a seguinte propriedade adicional: se xα > xβ e xγ ´e um monˆomio qualquer, ent˜ao xα ·xγ > xβ ·xγ . Em termos dos vetores de expoentes, esta propriedade signiﬁca que se α > β na nossa ordem sobre Zn≥0 , ent˜ao, para todo γ ∈ Zn≥0 , α + γ > β + γ. Com essas considera¸c˜oes em mente, n´os fazemos a seguinte deﬁni¸c˜ao. ao > sobre Zn≥0 , ou Deﬁni¸c˜ ao 1 Uma ordem de monˆomios sobre K [x1 , . . . , xn ] ´e uma rela¸c˜ equivalentemente, uma rela¸ca˜o no conjunto dos monˆomios xα , α ∈ Zn≥0 , satisfazendo: i) > ´e uma ordem total sobre Zn≥0 ; ii) Se α > β e γ ∈ Zn≥0 , ent˜ ao α + γ > β + γ; iii) > ´e uma boa ordena¸ca˜o sobre Zn≥0 . Isto signiﬁca que todo conjunto n˜ao vazio de Zn≥0 tem um elemento m´ınimo em rela¸c˜ao a >. O Lema a seguir nos ajudar´a a entender o que a condi¸ca˜o da boa ordena¸ca˜o da parte (iii) da deﬁni¸ca˜o signiﬁca. Lema 1.1 Uma rela¸ca˜o de ordem > sobre Zn≥0 ´e uma boa ordena¸c˜ ao se e somente se toda seq¨ uˆencia estritamente decrescente em Zn≥0 α (1) > α (2) > α (3) > . . . eventualmente termina.

Demonstra¸c˜ ao: Provaremos a contrapositiva: > n˜ao ´e uma boa ordena¸c˜ao se e somente se existe uma seq¨ uˆencia estritamente decrescente inﬁnita em Zn≥0 . Se > n˜ao ´e uma boa ordena¸ca˜o, ent˜ao algum subconjunto n˜ao vazio S ⊂ Zn≥0 n˜ao tem um menor elemento. Agora pegue α (1) ∈ S. J´a que α (1) n˜ao ´e o menor elemento, n´os podemos encontrar α (2) ∈ S tal que α (1) > α (2) em S. Ent˜ao α (2) tamb´em n˜ao ´e o menor elemento, ent˜ao existe α (3) tal que α (2) > α (3) em S. Continuando este processo, n´os temos uma seq¨ uˆencia estritamente decrescente inﬁnita: α (1) > α (2) > α (3) > . . .. Por outro lado, dada uma seq¨ uˆencia inﬁnita, ent˜ao {α (1) , α (2) , α (3) , . . .} ´e um subconjunto n˜ao vazio de Zn≥0 sem o menor elemento, e ent˜ao > n˜ao ´e uma boa ordena¸ca˜o. 2 Esse lema ser´a usado para mostrar que v´arios algoritmos podem ser terminados, por que alguns termos s˜ao estritamente decrescentes (com respeito a uma determinada ordem ﬁxada) em cada passo do algoritmo. Como um exemplo simples de uma ordem de monˆomios, vemos que a ordem num´erica usual ... > m + 1 > m > ... > 3 > 2 > 1 > 0 nos elementos de Z≥0 satisfaz as trˆes condi¸c˜oes da Deﬁni¸ca˜o 1. Ent˜ao, a ordena¸ca˜o grau (1) sobre monˆomios em K [x] ´e uma ordem de monˆomios. Nosso primeiro exemplo de uma ordem sobre n-uplas ser´a a ordem lexicogr´aﬁca (ou ordem lex, abreviadamente). Deﬁni¸c˜ ao 2 (Ordem Lexicogr´ aﬁca) Sejam α = (α1 , . . . , αn ), β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Zn≥0 . N´os ao nula a partir dizemos que α >lex β se no vetor diferen¸ca α − β ∈ Zn a primeira entrada n˜ α β da esquerda ´e positiva. Escrevemos x >lex x se α >lex β. Exemplo 1.1

i) (1, 2, 0) >lex (0, 3, 4) j´a que α − β = (1, −1, −4);

ii) (3, 2, 4) >lex (3, 2, 1) j´a que α − β = (0, 0, 3); iii) As vari´aveis x1 , . . . , xn foram ordenadas do jeito usual [veja 2] pela ordem lex: (1, 0, . . . , 0) >lex (0, 1, 0, . . . , 0) >lex . . . >lex (0, 0, . . . , 1), ent˜ ao x1 >lex x2 >lex . . . >lex xn Na pr´atica, quando trabalhamos com polinˆomios em duas ou trˆes vari´aveis, chamamos as vari´aveis de x, y, z em vez de x1 , x2 , x3 . Tamb´em assumiremos que a ordem alfab´etica x > y > z sobre vari´aveis ´e usada para deﬁnir a ordem lexicogr´aﬁca a menos que dissermos outra explicitamente. A ordem Lex ´e an´aloga a ordem de palavras usadas em dicion´arios (por isso o nome). Proposi¸ c˜ ao 1.1 A ordem lex sobre Zn≥0 ´e uma ordem de monˆomios. Demonstra¸c˜ ao: Ver [1]

2

Existem v´arias ordens lex, dependendo de como as vari´aveis s˜ao ordenadas. At´e agora, n´os temos usado a ordem lex com x1 > x2 > . . . > xn , mas dada qualquer ordem das vari´aveis x1 , x2 , . . . , xn , existe uma ordem lex correspondente. Por exemplo, se as vari´aveis s˜ao x e y, ent˜ao temos uma primeira ordem lex com x > y e uma segunda com y > x. No caso geral de n vari´aveis, existem n! ordens lex. No que segue, a frase “ordem lex”se referir´a `a primeira, com x1 > x2 > . . . > xn , a menos que explicitada de outra forma.

Observe que na ordem lex, independentemente do grau total, uma vari´avel ´e maior que qualquer monˆomio envolvendo vari´aveis menores, por exemplo, utilizando a ordem lex x > y > z, temos x >lex y 5 z 3 . Para alguns prop´ositos, queremos considerar o grau total dos monˆomios e ordenar monˆomios de maior grau primeiro. Nossa primeira forma de se fazer isto ´e a ordem lexicogr´aﬁca graduada (ou ordem grlex). Deﬁni¸c˜ ao 3 (Ordem Grau-lex): Seja α, β ∈ Zn≥0 . Dizemos que α >grlex β se: |α| =

n

αi > |β| =

i=1

n

βi ou |α| = |β| e α >lex β

i=1

Assim, podemos concluir que as ordens grlex s˜ao dadas pelo grau total em primeiro lugar e ent˜ao “desempatamos”usando a ordem lex. Exemplo 1.2

i) (1, 2, 3) >grlex (3, 2, 0) j´a que |(1, 2, 3)| = 6 > 5 = |(3, 2, 0)|;

a que |(1, 2, 4)| = |(1, 1, 5)| e (1, 2, 4) >lex (1, 1, 5); ii) (1, 2, 4) >grlex (1, 1, 5) j´ iii) As vari´aveis s˜ao ordenadas de acordo com a ordem lex, isto ´e, x1 >grlex . . . >grlex xn . Como no caso da ordem lex, existem n! ordens grlex sobre n vari´aveis, dependendo de como as vari´aveis s˜ao ordenadas. Outra ordem, um tanto menos intuitiva, sobre monˆomios ´e a ordem lexicogr´aﬁca graduada reversa (ou ordem grevlex). Ainda que esta ordem dˆe algum trabalho para que nos acostumemos com ela, a ordem grevlex em algumas opera¸co˜es, ´e a mais eﬁciente para computa¸c˜oes (ou c´alculos). Deﬁni¸c˜ ao 4 (Ordem Grau-lex reversa): Seja α, β ∈ Zn≥0 . Dizemos que α >grevlex β se: |α| =

n i=1

αi > |β| =

n

βi ou

i=1

|α| = |β| e a primeira entrada n˜ ao nula a partir da direita de α − β ∈ Zn≥0 ´e negativa. Como na ordem grlex, a ordem grevlex ´e dada pelo grau total primeiro, por´em, nesta ordem, o “desempate” se d´a de um jeito diferente. Exemplo 1.3

i) (4, 7, 1) >grevlex (4, 2, 3) j´ a que |(4, 7, 1)| = 12 > 9 = |4, 2, 3|;

ii) (1, 5, 2) >grevlex (4, 1, 3) j´a que |(1, 5, 2)| = |(4, 1, 3)| e (1, 5, 2) − (4, 1, 3) = (−3, 4, −1); iii) A ordem grevlex d´ a a mesma ordem sobre as vari´ aveis que a ordem lex: (1, 0, . . . , 0) >grevlex (0, 1, 0, . . . , 0) >grevlex . . . >grevlex (0, 0, . . . , 1), ent˜ ao x1 >grevlex x2 >grevlex . . . >grevlex xn Igualmente as ordens lex e grlex, existem n! ordens grevlex, dependendo de como as vari´aveis s˜ao ordenadas.

2

Ordenando Polinˆ omios

Se f = α aα xα ´e um polinˆomio em K [x1 , . . . , xn ] e escolhida uma ordem de monˆomios >, podemos ent˜ao ordenar os monˆomios de f sem ambig¨ uidades com respeito a >. Exemplo 2.1 Seja f = 4xy 2 z + 4z 2 − 5x3 + 7x2 z 2 ∈ K [x, y, z] a) Com respeito a ordem lex, reordenando os termos de f na ordem decrescente temos: f = −5x3 + 7x2 z 2 + 4xy 2 z + 4z 2 b) Com respeito a ordem grlex, temos: f = 7x2 z 2 + 4xy 2 z − 5x3 + 4z 2 c) Com respeito a ordem grevlex, temos: f = 4xy 2 z + 7x2 z 2 − 5x3 + 4z 2 Usaremos a seguinte terminologia: Deﬁni¸c˜ ao 5 Sejam f = de monˆomios.

α

aα xα um polinˆ omio n˜ao nulo em K [x1 , . . . , xn ] e > uma ordem

i) O multi-grau de f ´e: multideg (f ) = max α ∈ Zn≥0 : aα = 0 (o m´aximo ´e dado com respeito a >) ii) O coeﬁciente l´ıder de f ´e: LC (f ) = amutideg(f ) ∈ K iii) O monˆomio l´ıder de f ´e: LM (f ) = xmultideg(f ) (com coeﬁciente 1) iv) O termo l´ıder de f ´e: LT (f ) = LC (f ) · LM (f ) Exemplo 2.2 Seja f = −5x3 +7x2 z 2 +4xy 2 z +4z 2 (como acima) e seja > a ordem lex. Ent˜ao: multideg (f ) = (3, 0, 0) LC (f ) = −5 LM (f ) = x3 LT (f ) = −5x3

3

Algoritmo da Divis˜ ao em K [x1, . . . , xn]

Para estudar o problema da pertinˆencia de polinˆomios de v´arias vari´aveis no ideal, formularemos um algoritmo de divis˜ao para polinˆomios em K [x1 , . . . , xn ] que estende o algoritmo para K [x]. No caso geral, a meta ´e dividir f ∈ K [x1 , . . . , xn ] por f1 , . . . , fs ∈ K [x1 , . . . , xn ]. Como veremos, isto signiﬁca expressar f na forma: f = a1 f1 + . . . + as fs + r onde os “quocientes” a1 , . . . , as e o resto r est˜ao em K [x1 , . . . , xn ]. Alguns cuidados ser˜ao necess´arios para caracterizar o resto e neste momento usaremos as ordens de monˆomios introduzidas. Ap´os o algoritmo pronto veremos como aplic´a-lo ao problema da pertinˆencia. A id´eia b´asica do algoritmo ´e a mesma que no caso de uma vari´avel: queremos cancelar o termo l´ıder de f (com respeito a ordem de monˆomios ﬁxada) multiplicando algum fi por um monˆomio apropriado e subtra´ı-lo de f . Ent˜ao esse monˆomio torna-se um termo correspondente ai . Em vez de escrever o algoritmo no caso geral, primeiro trabalharemos com alguns exemplos para ver o que ´e envolvido. Exemplo 3.1 Primeiro dividiremos f = xy 2 + 1 por f1 = xy + 1 e f2 = y + 1 usando a ordem lex com x > y. Queremos empregar o mesmo esquema para divis˜ ao de polinˆ omios de uma vari´avel, sendo que a diferen¸ca ´e que existem v´arios divisores e quocientes. xy 2 + 1

| xy + 1; y + 1

Os termos l´ıderes LT (f1 ) = xy e LT (f2 ) = y ambos dividem o termo l´ıder LT (f ) = xy 2 . J´a que f1 ´e listado primeiro, usaremos ele. Dividindo xy 2 por xy, temos y e ent˜ao subtraimos yf1 de f . xy 2 + 1 xy 2 + y −y + 1

|xy + 1; y + 1 y;

a que LT (f1 ) = xy Agora repetimos o mesmo processo sobre −y +1. Dessa vez usaremos f2 j´ n˜ao divide LT (−y + 1) = −y. Assim obtemos: xy 2 + 1 xy 2 + y −y + 1 −y − 1 2

|xy + 1; y + 1 y ; (−1)

J´a que LT (f1 ) e LT (f2 ) n˜ao dividem 2, o resto ´e r = 2 e concluimos a divis˜ao. Ent˜ao, temos escrito f = xy 2 + 1 na forma: xy 2 + 1 = y (xy + 1) + (−1) (y + 1) + 2 Exemplo 3.2 Neste exemplo, encontraremos uma sutileza inesperada que pode ocorrer quando estamos trabalhando com polinˆ omios de mais de uma vari´avel. Vamos dividir f = x2 y +xy 2 +y 2 por f1 = xy − 1 e f2 = y 2 − 1. Como no exemplo anterior, usaremos a ordem lex com x > y.

Os dois primeiros passos do algoritmo s˜ ao usuais, dando assim a seguinte divis˜ao parcialmente completada. x2 y + xy 2 + y 2 x2 y − x xy 2 + x + y 2 xy 2 − y x + y2 + y

|xy − 1; y 2 − 1 x+y ;

Note que nem LT (f1 ) = xy nem LT (f2 ) = y 2 dividem LT (x + y 2 + y) = x. Entretanto, x + y 2 + y n˜ao ´e o resto j´a que LT (f2 ) divide y 2 . Ent˜ao, se movemos x para o resto, podemos continuar dividindo. Observa¸ c˜ ao 3.1 Este ´e um problema que nunca acontece no caso de uma vari´ avel: uma vez que o termo l´ıder do divisor n˜ao divide mais o termo l´ıder que est´a abaixo do radical, o algoritmo termina. Para executar essa id´eia, criamos uma coluna de resto r, do lado esquerdo do radical, onde colocamos os termos que pertencem ao resto. E ent˜ ao continuamos dividindo at´e o dividendo intermedi´ ario seja zero (chamamos o polinˆ omio debaixo do radical de dividendo intermedi´ ario). Aqui est´a o pr´oximo passo, onde movemos x para a coluna do resto (como indicado pela seta): r

x

x2 y + xy 2 + y 2 x2 y − x xy 2 + x + y 2 xy 2 − y x + y2 + y ←− y2 + y

|xy − 1; y 2 − 1 x+y ;

Agora continuamos dividindo. Se podemos dividir pelo LT (f1 ) ou LT (f2 ), procedemos como usualmente, e se nenhum divide, movemos o termo l´ıder do dividendo intermedi´ ario para a coluna do resto. Aqui est´a o resto da divis˜ao: r

x

x+y x+y+1

x2 y + xy 2 + y 2 x2 y − x xy 2 + x + y 2 xy 2 − y x + y2 + y ←− y 2 + y y2 − 1 y+1 ←− 1 ←− 0

|xy − 1; y 2 − 1 x+y ; 1

Ent˜ao, o resto ´e x + y + 1, e obtemos: x2 y + xy 2 + y 2 = (x + y) (xy − 1) + 1 y 2 − 1 + x + y + 1

(3)

Observe que o resto ´e a soma de monˆomios, nenhum dos quais ´e divis´ıvel pelos termos l´ıderes LT (f1 ) ou LT (f2 ).

O exemplo acima ´e uma ilustra¸c˜ao bastante completa de como o algoritmo da divis˜ao trabalha. Este exemplo nos mostra tamb´em qual propriedade n´os queremos que o resto tenha: nenhum dos termos pode ser divis´ıvel pelos termos l´ıderes dos polinˆomios que est˜ao dividindo. Podemos agora enunciar a forma geral do algortimo da divis˜ao. Teorema 3.1 (Algortimo da Divis˜ao em K [x1 , . . . , xn ]): Fixe uma ordem de monˆomios > soomios ordenadas em K [x1 , . . . , xn ]. Ent˜ao bre Zn≥0 e seja F = (f1 , . . . , fs ) uma s-upla de polinˆ todo f ∈ K [x1 , . . . , xn ] pode ser escrito como: f = a1 f1 + . . . + as fs + r onde ai ,r ∈ K [x1 , . . . , xn ], e qualquer r = 0 ou r ´e uma combina¸c˜ ao linear, com coeﬁcientes em K, de monˆomios, nenhum dos quais ´e divis´ıvel por nenhum dos LT (f1 ) , . . . , LT (fs ). N´os chamaremos r um resto de f na divis˜ao por F . Al´em disso, se ai fi = 0, ent˜ao temos: multideg (f ) ≥ multideg (ai fi ) Demonstra¸c˜ ao: Provemos a existˆencia de a1 , . . . , as e r dando um algoritmo para a constru¸c˜ao deles e mostrando que ele opera corretamente sobre qualquer entrada dada. Vejamos a seguinte generaliza¸ca˜o: Input : f1 , . . . , fs , f Output : a1 , . . . , as , r a1 := 0, . . . , as := 0, r := 0 p := f W hile p = 0 Do i := 1 divisionocurred := f alse W hile i ≤ s e divisionocurred = f alse Do If LT (fi ) divides LT (p) T hen ai := ai + LT (p) / LT (fi ) p := p − (LT (p) /LT (fi )) fi divisionocurred = true Else i := i + 1 If divisionocurred = f alse T hen r := r + LT (p) p := p − LT (p) Relacionando este algoritmo com o exemplo anterior observamos que a vari´avel p representa o dividendo intermedi´ario para cada est´agio, a vari´avel r representa a coluna do lado esquerdo, e as vari´aveis a1 , . . . , as s˜ao os quocientes. Finalmente, a vari´avel booleana “divisionocurred”nos fala quando algum LT (fi ) divide o termo l´ıder do dividendo intermedi´ario. Observe que cada vez que vamos atrav´es do la¸co principal W hile . . . Do, precisamente uma das duas coisas acontece: i) (Passo da Divis˜ao): Se algum LT (fi ) divide LT (p), ent˜ao o algoritmo procede como o caso de uma vari´avel; ii) (Passo do Resto): Se nenhum LT (fi ) divide LT (p), ent˜ao o algoritmo adiciona LT (p) para o resto.

Estes passos correspondem exatamente ao que ﬁzemos no Exemplo 3.2. Para provar que o algoritmo funciona, primeiro mostraremos que: f = a1 f1 + . . . + as fs + r

(4)

´e v´alido para todos os est´agios. Isto ´e claramente verdadeiro para os valores iniciais de a1 , . . . , as , p e r. Agora suponha que (4) ´e v´alido para um passo do algoritmo. Se o pr´oximo passo for um Passo da Divis˜ao, ent˜ao algum LT (fi ) divide LT (p) e a igualdade ai fi + p = (ai + LT (p) / LT (fi )) fi + (p − (LT (p) / LT (fi )) fi ) mostra que ai fi + p ´e inalterado. E como todas as outras vari´aveis n˜ao s˜ao afetadas, temos que (4) ´e verdadeira. Por outro lado, se o pr´oximo passo for o Passo do Resto, ent˜ao p e r ser˜ao mudados, mas a soma p + r ´e inalterada j´a que p + r = (p − LT (p)) + (r + LT (p)) e como antes, a igualdade (4) ´e ainda preservada. A seguir, observe que o algoritmo p´ara quando p = 0. Nesta situa¸c˜ao, (4) torna-se: f = a1 f1 + . . . + as fs J´a que os termos s˜ao adicionados a r somente quando eles n˜ao s˜ao divis´ıveis por nenhum dos LT (fi ), isso segue que a1 , . . . , as e r tem a propriedade desejada quando o algoritmo termina. Finalmente, precisamos mostrar que o algoritmo eventualmente termina. A observa¸ca˜o chave ´e que cada vez que redeﬁnimos a vari´avel p, qualquer um dos seus multi-graus diminui (relativo a nossa ordem de termos) ou se torna 0. Para ver isso, primeiro suponha que durante um Passo da Divis˜ao, p ´e redeﬁnida por: p = p − Assim temos que:

LT

LT (p) fi LT (fi )

=

LT (p) fi LT (fi )

LT (p) LT (fi ) = LT (p) LT (fi )

para que p e LT (p) / LT (fi ) fi tenham o mesmo termo l´ıder. Ent˜ao, a diferen¸ca deles, p , tem o multi-grau estritamente menor quando p = 0. A seguir, suponha que durante um Passo do Resto, p ´e redeﬁnido por: p = p − LT (p) Aqui, ´e ´obvio que multideg (p ) < multideg (p) quando p = 0. Ent˜ao, em qualquer um dos casos, o multi-grau cai. Se o algoritmo nunca terminasse, ent˜ao ter´ıamos uma seq¨ uˆencia decrescente inﬁnita de multi-graus. A propriedade da boa ordena¸ca˜o de >, como mostrado no Lema 1.1, mostra que isto n˜ao pode ocorrer. Ent˜ao p = 0 tem que ocorrer eventualmente, para que o algoritmo termine depois de v´arios passos ﬁnalmente. Resta estudar a rela¸c˜ao entre multideg (f ) e multideg (ai fi ). Todo termo em ai ´e da forma LT (p) / LT (fi ) para algum valor da vari´avel p. O algoritmo come¸ca com p = f e acabamos de provar que o multi-grau de p decresce. Isto mostra que LT (p) ≤ LT (f ), e ent˜ao temos que: LT (p) ≤ LT (f ) =⇒

LT (p) LT (f ) LT (p) LT (f ) ≤ =⇒ LT (fi ) ≤ LT (fi ) =⇒ LT (fi ) LT (fi ) LT (fi ) LT (fi )

=⇒ ai LT (fi ) ≤ LT (f ) =⇒ multideg (ai fi ) ≤ multideg (f )

quando ai fi = 0. Isto prova o Teorema. 2 A ´algebra por detr´as do algoritmo da divis˜ao ´e muito simples (n˜ao existe nada al´em da ´algebra que foi feita no colegial), o que surpreende ´e que esta forma de algoritmo foi isolada e explorada somente nos u ´ltimos 30 anos. Infelizmente, esse algoritmo n˜ao possui as mesmas propriedades agrad´aveis da vers˜ao de uma vari´avel. A primeira propriedade importante do algoritmo da divis˜ao em K [x] ´e que o resto n˜ao ´e unicamente determinado. Para ver isto considere o seguinte exemplo: Exemplo 3.3 Vamos dividir f = x2 y + xy 2 + y 2 por f1 = y 2 − 1 e f2 = xy − 1. Usaremos a ordem lex com x > y. Este ´e o mesmo exemplo 3.2, exceto que mudamos a ordem dos divisores. r

2x 2x + 1

x2 y + xy 2 + y 2 xy 2 − x x2 y + x + y 2 y2 − 1 x2 y + x + 1 x2 y − x 2x + 1 ←− 1 ←− 0

|y 2 − 1; xy − 1 x+1 ; x

Isto mostra que: x2 y + xy 2 + y 2 = (x + 1) y 2 − 1 + x (xy − 1) + 2x + 1

(5)

Se compararmos esta equa¸ca˜o com a equa¸ca˜o (3), veremos que o resto ´e diferente do que vimos no Exemplo 3.2. Isto mostra que o resto n˜ao ´e unico, ou seja, para cada ordem F = (f1 , . . . , fs ), existe um resto na divis˜ao de f por F . Uma caracter´ıstica agrad´avel do Algortimo da Divis˜ao em K [x] ´e o jeito dele resolver o problema da pertinˆencia de polinˆomio de uma vari´avel no ideal. N´os temos alguma coisa similar para v´arias vari´aveis? Uma conseq¨ uˆencia ´e um simples corol´ario do Teorema 3.1: se ap´os a divis˜ao de f por F = (f1 , . . . , fs ) obtermos um resto r = 0, ent˜ao f = a1 f1 + . . . + as fs , de forma que f ∈ f1 , . . . , fs . Ent˜ao r = 0 ´e uma condi¸c˜ao suﬁciente para o problema da pertinˆencia. Contudo, como o seguinte exemplo mostra, r = 0 n˜ao ´e uma condi¸ca˜o necess´aria para estar no ideal. Exemplo 3.4 Seja f1 = xy + 1, f2 = y 2 − 1 ∈ K [x, y] com a ordem lex. Dividindo f = xy 2 − x por F = (f1 , f2 ), o resultado ´e: xy 2 − x = y (xy + 1) + 0 y 2 − 1 + (−x − y) Com F = (f2 , f1 ), entretanto, temos: xy 2 − x = x y 2 − 1 + 0 (xy + 1) + 0 O segundo c´alculo mostra que f ∈ f1 , f2 . Ent˜ao o primeiro c´alculo mostra que ainda que f ∈ f1 , f2 , ´e ainda poss´ıvel obter um resto n˜ao nulo na divis˜ao por F = (f1 , f2 ) . Ent˜ao conclu´ımos que o Algoritmo da Divis˜ao dado ´e uma generaliza¸ca˜o imperfeita do equivalente de uma vari´avel. E para resolver essa imperfei¸c˜ao para o problema da pertinˆencia, ser˜ao necess´arias as Bases de Hilbert.

4

O Teorema das de Groebner

Bases

de

Hilbert

e

as

Bases

Deﬁni¸c˜ ao 6 Um ideal I ⊂ K [x1 , . . . , xn ] ´e um ideal de monˆomios se existe um conjunto S ⊂ Zn≥0 (possivelmente inﬁnito) tal que I consiste de todos os polinˆ omios que s˜ao somas ﬁnitas α da forma Σα∈A hα x , onde hα ∈ K [x1 , . . . , xn ]. Neste caso, escrevemos I = xα : α ∈ A Lema 4.1 Seja I = xα : α ∈ A um ideal de monˆomios. Ent˜ao um monˆomio xβ pertence a I se e somente se xβ ´e divis´ıvel por xα para algum α ∈ A. Observe que xβ ´e divis´ıvel por xα exatamente quando xβ = xα · xγ para algum γ ∈ Zn≥0 . Lema 4.2 Seja I um ideal de monˆomios, e seja f ∈ condi¸co˜es s˜ao equivalentes:

K [x1 , . . . , xn ]. Ent˜ao as seguintes

i) f ∈ I ii) Todo termo de f est´a em I iii) f ´e uma K-combina¸ca˜o linear de monˆomios em I Corol´ ario 4.1 Dois ideais de monˆomios s˜ao os mesmos se, e somente se, eles cont´em os mesmos monˆomios. Teorema 4.1 (Lema de Dickson): Um ideal de monˆomios I = xα : α ∈ A ⊂ K [x1 , . . . , xn ] pode ser escrito sobre a forma I = xα(1) , . . . , xα(s) , onde α(1), . . . , α(s) ∈ A. Em particular, I tem uma base ﬁnita. O Teorema 4.1 soluciona a descri¸ca˜o do ideal para ideais de monˆomios, por ele dizer que qualquer ideal tem uma base ﬁnita. Isto, por sua vez, nos permite resolver o problema da pertinˆencia para ideais de monˆomios. A saber, se I = xα(1) , . . . , xα(s) , ent˜ao podemos facilmente mostrar que um polinˆomio f est´a em I se, e somente se, o resto de f na divis˜ao por xα(1) , . . . , xα(s) ´e zero. Deﬁni¸c˜ ao 7 Seja I ⊂ K [x1 , . . . , xn ] um ideal diferente de 0. i) Denotamos por LT (I) o conjunto dos termos l´ıderes dos elementos de I. Ent˜ao, LT (I) = cxα : existe f ∈ I com LT (f ) = cxα ii) Denotamos por LT (I) o ideal gerado pelos elementos de LT (I) J´a vimos que os termos l´ıderes tˆem um importante papel no algoritmo da divis˜ao. Com isso, surgi uma sutileza que deve ser mencionada: se damos um conjunto gerador ﬁnito para I, ´ digamos I = f1 , . . . , fs , ent˜ao LT (f1 ), . . . , LT (fs ) e LT (I) podem ser ideais diferentes. E verdade que LT (fi ) ∈ LT (I) ⊂ LT (I) pela deﬁni¸c˜ao, que implica LT (f1 ), . . . , LT (fs ) ⊂

LT (I). Entretanto, LT (I) pode ser estritamente maior. Para ver isto, considere o exemplo a seguir.

Exemplo 4.1 Seja I = f1 , f2 , onde f1 = x3 − 2xy e f2 = x2 y − 2y 2 + x e a ordem grlex sobre monˆomios em K [x, y]. Ent˜ao, x · (x2 y − 2y 2 + x) − y(x3 − 2xy) = x2 e x2 ∈ I. Logo, x2 = LT (x2 ) ∈ LT (I). Entretanto, x2 ∈ I n˜ao ´e divis´ıvel por LT (f1 ) = x3 ou LT (f2 ) = x2 y, logo, x2 n˜ao pertence LT (f1 ), LT (f2 ) pelo Lemma 4.1. Agora mostraremos que LT (I) ´e um ideal monomial e isto nos permitir´a aplicar os resultados anteriores. Em particular, seguir´a que LT (I) ´e gerado por um n´ umero ﬁnito de termos l´ıderes. Proposi¸ c˜ ao 4.1 Seja I ⊂ K [x1 , . . . , xn ] um ideal. i) LT (I) ´e um ideal monomial ii) Existem g1 , . . . , gt ∈ I tal que LT (I) = LT (g1 ), . . . , LT (gt ) Demonstra¸c˜ ao: i) O monˆomio l´ıder LM (g) dos elementos g ∈ I − {0} gera o ideal monomial

LM (g) : g ∈ I − {0}. J´a que LM (g) e LT (g) diferem apenas por uma constante n˜ao nula, pelo Corol´ario 4.1 temos que LM (g) : g ∈ I − {0} = LT (I). Ent˜ao, LT (I) ´e um ideal monomial. ii) J´a que LT (I) ´e gerado pelos monˆomios LM (g) para g ∈ I − {0}, o Lema de Dickson nos diz que LT (I) = LM (g1 ), . . . , LM (gt ) para inﬁnitos g1 , . . . , gt ∈ I. J´a que LM (gi ) difere de LT (gi )apenas por uma constante n˜ao nula, novamente pelo Corol´ario 4.1, temos que LT (I) = LT (g1 ), . . . , LT (gt ) e isto completa a prova. 2 Agora, podemos usar a Proposi¸c˜ao 4.1 e o Algoritmo da Divis˜ao para provar a existˆencia de um conjunto gerador ﬁnito de todo ideal de polinˆomios e, ent˜ao dando uma resposta aﬁrmativa para o problema da descri¸c˜ao. Seja I ⊂ K [x1 , . . . , xn ] um ideal qualquer e considere o ideal associado LT (I) como na Deﬁni¸ca˜o 7. Como sempre, selecionamos uma ordem de monˆomio particular para usar no algoritmo da divis˜ao e na computa¸c˜ao dos termos l´ıderes. Teorema 4.2 (Teorema da Base de Hilbert): Todo ideal I ⊂ K [x1 , . . . , xn ] tem um conjunto gerador ﬁnito. Isto, ´e, I = g1 , . . . , gt para algum g1 , . . . , gt ∈ I Demonstra¸c˜ ao: Se I = {0}, tomamos nosso conjunto gerador como {0}, que certamente ´e ﬁnito. Se I cont´em algum polinˆomio n˜ao nulo, ent˜ao um conjunto gerador g1 , . . . , gt para I pode ser construido como a seguir. Pela Proposi¸ca˜o 4.1, existem g1 , . . . , gt ∈ I tal que LT (I) =

LT (g1 ), . . . , LT (gt ). Aﬁrmamos que I = g1 , . . . , gt . ´ claro que I = g1 , . . . , gt ⊂ I, j´a que cada gi ∈ I. Por outro lado, seja f ∈ I um polinˆomio E qualquer. Se aplicarmos o algoritmo da divis˜ao para dividir f por g1 , . . . , gt ent˜ao chegamos numa express˜ao da forma: f = a1 g1 + . . . + at gt + r

onde nenhum termo de r ´e divis´ıvel por nenhum dos LT (g1 ), . . . , LT (gt ). Aﬁrmamos que r = 0. Para ver isto, observe que: r = f − a1 g1 + . . . + at gt ∈ I Se r = 0, ent˜ao LT (r) ∈ LT (I) = LT (g1 ), . . . , LT (gt ), e pelo Lema 4.1, segue que LT (r) deve ser divis´ıvel por algum LT (gi ). Isto contradiz o fato dele ser o resto e, conseq¨ uentemente, r tem que ser zero. Ent˜ao, f = a1 g1 + . . . + at gt + 0 ∈ LT (g1 ), . . . , LT (gt ) que mostra que I ⊂ g1 , . . . , gt e, portanto, I = g1 , . . . , gt

2 Al´em de responder a quest˜ao da descri¸ca˜o do ideal, a base {g1 , . . . , gt } usada na prova do Teorema 4.2 tem a propriedade especial LT (I) = LT (g1 ), . . . , LT (gt ). Como nem todas as bases possuem essa propridade, como vimos no exemplo 3.2, a`s essas bases daremos o seguinte nome. Deﬁni¸c˜ ao 8 Fixe uma ordem de monˆomios. Um subconjunto ﬁnito G = {g1 , . . . , gt } de um ideal I ´e dito ser uma base de Groebner (ou base padr˜ ao) se

LT (g1 ), . . . , LT (gt ) = LT (I) Equivalentemente, mas mais informalmente, um conjunto {g1 , . . . , gt } ⊂ I ´e uma base de Groebner de I se, e somente se, o termo l´ıder de algum elemento de I ´e divis´ıvel por um dos LT (gi ). A prova do Teorema 4.2 tamb´em estabelece o seguinte resultado. Corol´ ario 4.2 Fixe uma ordem de monˆomios. Ent˜ao todo ideal I ⊂ K [x1 , . . . , xn ] diferente de {0} tem uma base de Groebner. Al´em disso, qualquer base de Groebner para um ideal I ´e uma base de I. Deﬁni¸c˜ ao 9 Seja K um corpo e sejam f1 , . . . , fs polinˆ omios em K [x1 , . . . , xn ]. Denotamos por variedade aﬁm deﬁnida por f1 , . . . , fs o seguinte conjunto: V (f1 , . . . , fs ) = {(a1 , . . . , an ) ∈ K n : fi (a1 , . . . , an ) = 0, para todo 1 ≤ i ≤ s} Exemplo 4.2 Seja J = g1 , g2 = x + z, y − z. Temos que g1 e g2 formam uma base de Groebner usando a ordem lex em R[x, y, z]. Vamos mostrar que a forma inicial de todo elemento n˜ ao nulo de J implica no ideal

LT (g1 ), LT (g1 ) = x, y. Pelo Lema 4.1, isto ´e equivalente mostrando que o termo l´ıder de qualquer elemento n˜ao nulo de J ´e divis´ıvel por x ou y. Para provar isto, considere algum f = Ag1 + Bg2 ∈ J. Suponha, por absurdo, que f ´e n˜ao nulo e LT (f ) n˜ao ´e divis´ıvel por x e nem por y. Ent˜ao pela deﬁni¸c˜ao de ordem lex, f ser´ a um polinˆ omio em z somente. Entretanto, f se anula no subespa¸co linear L = V (x + z, y − z) ⊂ R3 j´a que f ∈ J. Observe que (x, y, z) = (−t, t, t), para algum n´ umero real t, j´a que pela deﬁni¸c˜ao de V , x + z = 0 ⇒ x = −z e y − z = 0 ⇒ y = z e assim fazendo z = t, temos (−t, t, t). Ou ´nico polinˆ omio em z que anula nesses inﬁnitos pontos ´e o polinˆ omio nulo, o que ´e uma contradi¸c˜ao. (De fato, pois caso contr´ ario, ter´ıamos que o polinˆ omio possuindo grau igual a d possuiria inﬁnitas raizes, o que ´e um absurdo.) Assim segue que g1 , g2 ´e uma base de Groebner.

Referˆ encias [1] Cox, D. and Little, J. and O’Shea, D., Ideals, varieties, and algorithms, Springer, segunda edi¸ca˜o, 1991. [2] Kreuzer, M. and Robbiano, L , Computational Commutative Algebra 1, Springer, 2000. [3] CoCoA: a system for doing Computations in Commutative Algebra, dispon´ıvel em http://cocoa.dima.unige.it

Evolução do Número de Alunos Reprovados nas Disciplinas do Curso De Matemática Da UFU Flávia Borges Arantes1, Ródney Silva Abreu2, Heyder Diniz Silva1, Rogério de Melo Costa Pinto1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática1 Faculdade de Engenharia Elétrica2 Av. João Naves de Ávila, s/n Santa Mônica 38408-100 Uberlândia – MG – Brasil

Resumo: No presente trabalho, utilizou-se a estatística descritiva com o objetivo de identificar se as reprovações e as evasões no Curso de Matemática da UFU estão relacionadas com as Diretrizes Curriculares do MEC, com o Currículo/FAMAT ou com a Grade Curricular/FAMAT. Observou-se que ocorre grande variação nos percentuais de reprovação entre as diversas disciplinas, sendo que no início do curso os percentuais de reprovação são mais elevados do que no final de curso. Nas disciplinas de início de curso há uma predominância de reprovações por nota e por desistência, enquanto que, nas de final de curso predominam as reprovações por falta. Palavras-chave: Parâmetros estatísticos; Analise descritiva; Taxas de repetência; Conteúdos curriculares.

Introdução: Os sistemas de avaliações de curso da UFU apresentam algumas características: Para cada disciplina são distribuídos 100(cem) pontos, em números inteiros. Para ser aprovado, o aluno deve alcançar o mínimo de 60 (sessenta) pontos na soma das notas e 75% (setenta e cinco por cento) de freqüência às aulas e outras atividades curriculares dadas. O plano de avaliação é parte integrante do Plano de Ensino e deve ser apresentado pelo professor ao Colegiado de Curso, para aprovação, após a discussão com sua turma, até 30(trinta) dias após o início do semestre ou ano letivo.

A critério do Colegiado do Curso, ao aluno dos cursos de regime semestral de matrícula por disciplina que atingir o mínimo de 45 e o máximo de 59 pontos de aproveitamento, e no mínimo de 75% de freqüência, em uma determinada disciplina, serão facultadas as matrículas nas disciplinas subseqüentes que tenha dependência de pré-requisito. O Sistema de avaliação do Curso de Matemática da UFU segue o regime semestral de matrícula por disciplina. A Matemática é uma linguagem, uma ciência e uma arte. Abstraindo e simplificando a partir dos dados dos sentidos, a Matemática põe o mundo da ciência e da vida cotidiana em foco, para que seja acessível à compreensão humana, tornando possível a descrição racional de experiências. A Estatística coleta organiza e analisa os dados do fenômeno em questão, no qual o profissional da Estatística orienta e conduz todo o levantamento dos dados referentes ao objeto de análise. No presente trabalho a Estatística é de importância fundamental na apresentação da análise descritiva da evolução dos alunos do Curso de Matemática da UFU de forma que se possam avaliar as falhas curriculares e apresentar sugestões de enfrentamento da problemática reprovação. Assim, o objetivo deste trabalho foi identificar se as reprovações e as evasões no Curso de Matemática da UFU estão relacionadas com as Diretrizes Curriculares do MEC, com o Currículo/FAMAT ou com a Grade Curricular/FAMAT, com uma visão estatística. Criar um modelo de analise de forma que se possam avaliar suas falhas curriculares. Apresentar sugestões de enfrentamento da problemática reprovação e evasão.

Material e Métodos Foram utilizados os dados referentes ao número de alunos reprovados por nota, falta e com RM em cada disciplina do curso de matemática do primeiro semestre de 2000 ao segundo semestre de 2004. Tais dados foram obtidos junto a Divisão de Registro e Acompanhamento Acadêmico da UFU – DIRAC. As disciplinas Cálculo I (MLI 11), Geometria Analítica (MLI 08), Cálculo3 (MLI 16), Álgebra Linear I (MLI 12) e Equações Diferenciais Ordinárias (DCE 10) não foram analisadas, porque, o código destas disciplinas são os mesmos do curso Física, não podendo separar os alunos da física com os da Matemática.

Foi realizada a estatística descritiva dos dados. Os dados foram apresentados na forma gráfica para facilitar sua visualização e análises.

Resultados e Discussão Na Figura 1(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Fundamentos de Matemática Elementar 1 (MLI31) (FME1). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 20 (01-02) a 65% (02-04). E também que o número de reprovações apresentou uma tendência de aumento. Quanto ao tipo de reprovação na Figura 1(b) verifica-se que em geral, a maior parte das reprovações é por nota, exceção feita às turmas 01-01, 02-01 e 01-02 em que houve um predomínio de reprovações por falta. Em todas as turmas avaliadas as reprovações com RM foram bem inferiores as por nota. Na Figura 1(d) observa-se uma clara tendência de aumento no número de alunos matriculados nesta disciplina, que esta associada a um aumento no número de reprovações (Figura 1(c)). Na Figura 2(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos em Fundamentos de Matemática Elementar 2 (MLI32) (FME2). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 4 (01-02) a 75% (01-03), apresentando uma amplitude de variação maior que FM1. Cabe salientar que os dois maiores índices de reprovação nesta disciplina ocorreram em dois semestres consecutivos 66% (02-02) e 75 % (01-03) depois voltando para média. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 2 (b) verifica-se que as reprovações ocorrem predominantemente por desistência e por nota, havendo um predomínio de desistência (faltas) o que não ocorreu com FM1. Apenas em (01-02) onde houve uma reprovação maior por nota. Na Figura 2(c) e 2(d) verifica-se que como vem aumentando o número de alunos também vem aumentando o número de reprovações. E como (01-02) teve uma reprovação mínima então no semestre consecutivo (02-02) o número de alunos matriculados foi o menor.

(a)

(b) REPROVAÇÕES FME1

TIPOS FME1 % DAS REPROVAÇÕE

70

% DE ALUNOS

60 50 40 30 20 10

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

FME1

20 10 0 45

55

65

75

85

02 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

01 .2 00

0

35

1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

30

1

40

80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 02 .2 00

y = 1,5883x - 74,436 R2 = 0,5213

50

01 .2 00

60

0

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 1. Disciplina FME1. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 3(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Geometria Plana e Desenho Geométrico (MLI33). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 23 (01-03) a 73% (02-04). E cabe salientar que entre os semestres 02-01 e 01-03 foram bem menores os índices de reprovações. E também que os índices de reprovações vêm aumentando a partir de 02-03. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 3(b) verifica-se que as reprovações ocorrem predominantemente por desistência, e é interessante observar os 23% e os 73% da Figura 3 (a) foram reprovados por desistência. As reprovações por RM foram mínimas em relação aos outros tipos de reprovações. E em 02-03 as reprovações ocorreram 70% por nota. Na Figura 3(d) verifica-se que tinha um número muito grande de alunos matriculados até (02-01), como observamos na Figura 3 (a) o índice de reprovação foi

mínimo neste e nos semestres consecutivos, então diminuiu o nº de alunos matriculados e depois (02-03) vem aumentando este número, e na Figura 3(c) o número de reprovações também aumenta.

(a)

(b) TIPOS FME2

REPROVAÇÕES FME2

70 60 50 40 30 20

01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

FME2

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

85

2

75

2

65

02 .2 00

55

TOTAL DE MATRICULADOS

1

45

01 .2 00

35

0

0

01 .2 00

10

1

20

02 .2 00

30

01 .2 00

y = 0,2495x + 17,834 R2 = 0,0948

40

0

85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35

50

02 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

01 .2 00

% DE ALUNOS

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

80

Figura 2. Disciplina FME2. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 4(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Cálculo Diferencial Integral 2 (MLI64) (3º período). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 35 (01-01) a 75% (02-04). E também que o número de reprovações não tem uma amplitude de variação, exceto nos semestres 0100,02-00,01-02 e 02-04. O índice de reprovação médio é bem menor do que Geometria

5

Plana e Desenho Geométrico (2º período). Quanto ao tipo da reprovação na Figura 4(b) verifica-se que as reprovações ocorrem tanto por desistência quanto por nota, exceto, no semestre (02-04) que houve uma reprovação por desistência maior. E a reprovação por RM como nas disciplinas anteriores é muito pequena.

(a)

(b) REPROVAÇÕES GEOM. PLANA E DES. GEOMÉTRICO

TIPOS GEOM. PLANA E DES. GEOMÉTRICO % DAS REPROVAÇÕE

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

70 60 50 40 30 20

01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

10 0

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

Geom. Plana e Desenho Geométrico

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

100

02 .2 00

80

2

60

01 .2 00

40

TOTAL DE MATRICULADOS

2

20

1

0

01 .2 00

0

1

10

02 .2 00

20

01 .2 00

30

02 .2 00

40

0

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

y = 0,6728x - 8,7057 R2 = 0,5207

0

50

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

02 .2 00

% DE ALUNOS

80

Figura 3. Disciplina GPDG. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 4(c) e 4(d) verifica-se que não tem uma correlação entre os matriculados e os reprovados. E o número de alunos matriculados vem diminuindo.

(a)

(b) TIPOS CÁLCULO II

REPROVAÇÕES CÁLCULO II 100% % DAS REPROVAÇÕE

80

60 50 40 30 20

80% 60% 40% 20% 0% 01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

CÁLCULO II 70

35

60

30 25

50

y = 0,2004x + 14,343 2 R = 0,1241

20 15

40 30 20

10 5

10 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

1

1

2

01 .2 00

80

01 .2 00

60

02 .2 00

40

02 .2 00

0

20

01 .2 00

0

0

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

02 .2 00

% DE ALUNOS

70

TOTAL DE MATRICULADOS

Figura 4. Disciplina Cálculo II. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 5(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Introdução da Teoria dos Números (MLI35). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 25 (02-03) a 74% (01-00). E também que o número de reprovações não tem uma amplitude de variação como Cálculo II, com exceção no semestre (01-04 e 02-04). Quanto ao tipo da reprovação na Figura 5(b) verifica-se que as reprovações ocorrem tanto por desistência quanto por nota, com exceções, nos semestres (01-04 e 02-04) que foram predominantes por desistência. Na Figura 5(c) verifica-se que o número de alunos matriculados influencia pouco em relação dos alunos reprovados. E na Figura 5(d) o número de alunos matriculados a partir de 01-01 vem se mantendo em média de 50 alunos.

(a)

(b) REPROVAÇÕES INT. TEORIA DOS NÚMEROS % DAS REPROVAÇÕE

TIPOS INT.TEORIA DOS NÚMEROS

70 60 50 40 30 20

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

10 0 01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

% DE ALUNOS

80

TURMA

TURMA NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

INT. TEORIA DOS NÚMEROS

TO TAL DE REPRO VADO S

RM

80 70 60 50 40 30 20 10 0

60 50 y = 0,5885x - 5,0834 R2 = 0,3336

40 30 20 10 0 0

20

40 TOTAL DE MATRICULADOS

60

80

0 2 0 2 3 4 1 3 4 1 00 0 0 20 0 00 00 00 00 00 00 00 .2 . .2 .2 .2 .2 .2 .2 .2 .2 01 01 02 02 02 01 01 02 01 02

Figura 5. Disciplina Int. Teoria dos Números. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 6(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Geometria Espacial (MLI34). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 10 (02-02) a 47% (01-04). E também que o número de reprovações é baixo tem uma pequena amplitude de variação, com exceções, nos semestres (01-00) e (01-04). Quanto ao tipo da reprovação na Figura 6(b) verifica-se que as reprovações ocorrem predominantemente por desistência, mas quando as reprovações foram por notas foram iguais às reprovações com ou sem RM. Na Figura 6(c) verifica-se que o número de alunos matriculados não interfere no número de reprovações como na disciplina Introdução a Matemática. E na Figura 6(d) o número de alunos matriculados vem diminuindo, com exceção 01 -04.

(a)

(b) TIPOS GEOM. ESP.

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

% D A S R EPR OVA Ç ÕE

100% 80% 60% 40% 20%

01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

0%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

% DE ALUNOS

REPROVAÇÕES GEOM. ESP.

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

GEOM. ESP.

5

10

20

30

TOTAL DE MATRICULADOS

40

50

02 .2 00

0

01 .2 00

0

0

1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

y = 0,2878x - 0,7853 R2 = 0,1411

10

1

15

02 .2 00

20

0

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

25

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 6. Disciplina Geometria Espacial. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 7(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Estatística e Probabilidade (MLI54). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 15 (01-04) a 40% (02-02). E também que tem uma pequena amplitude variação como em Geometria Espacial. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 7(b) observa-se que as reprovações ocorreram por desistência nos dois últimos semestres, os outros foram mais por notas. As reprovações com RM também foram mínimas. Na Figura 7(c) verifica-se que o número de alunos matriculados não interfere no número de reprovados. E na Figura 7(d) o número de alunos matriculados vem diminuindo.

(a)

(b) TIPOS ESTATÍSTICA

REPROVAÇÕES ESTATÍSTICA 100%

% DAS REPROVAÇÕE

40 35 30 25 20

80% 60% 40% 20%

15

0%

10 5

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

% DE ALUNOS

45

0

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

TURMA NOTA

RM

FREQÜÊNCIA

TURMA

(c)

(d) TOTAL ALUNOS 60

16 14 12 10 8 6 4 2 0

y = 0,2442x + 1,2922 R2 = 0,3992

50 40 30 20 10

4

4

02 .2 00

3

2

2

1

1

0

3

01 .2 00

60

02 .2 00

50

01 .2 00

40

02 .2 00

30

01 .2 00

20

02 .2 00

10

01 .2 00

0

02 .2 00

0

0 01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

ESTATÍSTICA

TOTAL DE MATRICULADOS

Figura 7. Disciplina Estatística. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 8(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Estruturas Algébricas 1 (MLI53) (Est.Alg.1). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 33 (02-02) a 90% (01-02). E também tem uma maior amplitude variação em relação às disciplinas anteriores. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 8(b) verifica-se que as reprovações ocorrem por notas e desistências. E as reprovações com RM são também menores como nas disciplinas anteriores. Na Figura 8(c) observa-se que o número em média 60 alunos matriculados tem uma reprovação maior. E na Figura 8(d) o número de alunos matriculados tem uma maior variação em relação às outras disciplinas. Cabe salientar, no semestre (02-02) teve o maior nº de alunos matriculados nesta disciplina e na Figura 8(a) verifica-se que

foi o menor índice de reprovação, então no semestre consecutivo caiu o nº de alunos matriculados.

(a)

(b) TIPOS EST. ALG. 1 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

% DAS REPROVAÇÕE

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

EST. ALG. 1

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

85

02 .2 00

75

2

65

2

55

TOTAL DE MATRICULADOS

02 .2 00

45

1

35

01 .2 00

0

1

10

02 .2 00

20

0

30

01 .2 00

y = 0,3246x + 16,51 R2 = 0,1283

40

02 .2 00

50

0

85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35

60

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

01 .2 00

% DE ALUNOS

REPROVAÇÕES EST. ALG. 1

Figura 8. Disciplina Estruturas Algébricas 1. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 9(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Cálculo Numérico (MLI55). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 7 (01-02) a 58% (01-04). Cabe salientar que até (02-02) tinha um índice de reprovação baixo e depois de (01-03) vinha aumentando este índice, até que 02-04 voltou a diminuir. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 9(b) verifica-se que as reprovações ocorrem por notas e desistências, com exceções: em dois semestres 01-02 e 02-04 todas as reprovações foram por desistência, e no semestre 02-01 foi 60% com RM e 20% por nota. A reprovação por RM é mínima também. Na Figura 9(d) e 9

(c) observa-se que o número de alunos matriculados tem uma variação, e o nº de alunos reprovados não tem uma correlação significativa com o nº de alunos matriculados.Cabe salientar que apesar do nº de reprovações serem alto em 01-04 (Figura .9(a)) o nº de alunos matriculados não aumentou Figura.9 (d).

(a)

(b) TIPOS CALC. NUMÉRICO

REPROVAÇÕES CALC NUMÉRICO 100%

% DAS REPROVAÇÕE

60 50 40 30 20

80% 60% 40% 20% 0%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

CALC. NUMÉRICO

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

2

40

02 .2 00

30

1

20 TOTAL DE MATRICULADOS

01 .2 00

10

1

0

02 .2 00

0

0

5

01 .2 00

y = 0,4276x - 4,7737 R2 = 0,2421

10

02 .2 00

15

0

40 35 30 25 20 15 10 5 0

20

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

01 .2 00

% DE ALUNOS

70

Figura 9. Disciplina Calculo Numérico. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d). Na Figura 10(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Cálculo 4 (MLI43) . Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 30 (01-02) a 69% (02-04). E também se observa que até o semestre (01-02) as reprovações vinham diminuindo e depois em (02-02) as reprovações são maiores quando a disciplina é ministrada no 2º semestre. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 10(b) verifica-se que as reprovações ocorrem por notas e desistências, com exceção, no semestre (02-02) que foi mais por desistência. As reprovações com RM são maiores nesta disciplina do que as disciplinas anteriores.

(a)

(b) REPROVAÇÕES CÁLCULO 4

TIPOS CÁLCULO 4

80

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

60 50 40 30 20 10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

TOTAL ALUNOS

CÁLCULO 4 60

30 y = 0,4216x + 3,5056 R2 = 0,3665

25

50

20

40

15

30

10

20

5

10

4

3

3

2

2

4 02 .2 00

01 .2 00

02 .2 00

01 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

02 .2 00

60

1

50

1

40

02 .2 00

30

0

20

01 .2 00

10

02 .2 00

0

0

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

(d)

01 .2 00

% DE ALUNOS

70

Figura 10. Disciplina Cálculo 4. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 10(c) observa-se que o nº de alunos matriculados até 40 não influenciam no nº de alunos reprovados, a partir daí maior nº de alunos matriculados maior nº de alunos reprovados. Na Figura10(d) como na Figura 10(a) o número de alunos matriculados no primeiro semestre 01-03 sempre aumenta porque tem uma reprovação maior no segundo semestre. Na Figura 11(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Álgebra linear 2 (MLI29) (AL2). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 22 (02-03) a 100% (02-00).Cabe salientar que apesar de que só nesta disciplina teve 100% de reprovação, a amplitude de variação de reprovação é pequena. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 11(b) verifica-se que as reprovações ocorrem mais por desistência do que por nota, menos em (02-00) onde houve

reprovação total por nota, isto é , o que se conclui que ocorreu um problema com esta turma, não foi uma reprovação por freqüência como geralmente acontece, e a média das reprovações tirando esta turma é de 40,9%. Observa-se também que em dois semestres as reprovações quando não eram por faltas os alunos conseguiram o RM (01-03 e 0204). Na Figura 11(c) , como as turmas tem um nº pequeno de alunos não foi possível relacionar os matriculados com os reprovados. Na Figura 11(d) o total de alunos matriculados estão em torno de 3 a 8 com exceção da turma (02-01) com 18 alunos matriculados. Na Figura 12(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Funções Variáveis Complexas (DCE13). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 14 (01-00) a 62% (02-02). Cabe salientar que as reprovações vieram aumentando até (02-02) e depois diminuindo, e agora parece que volta aumentar. Esta disciplina tem uma amplitude de variação bem diferente das disciplinas anteriores. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 12(b) verifica-se que as reprovações ocorrem mais por nota do que desistência, com exceções, dos semestres 0101 e 02-01.As reprovações com RM são poucas como na maioria das disciplinas. Na Figura 12(c) não tem uma relação entre os alunos matriculas e os reprovados. E a Figura 12(d) e 12(a) nos mostra que no semestre 02-03 teve o maior número de alunos matriculados se o índice de reprovação foi baixo.

(a)

(b) TIPOS AL 2

REPROVAÇÕES AL 2 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

100 80 60 40 20

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

% DE ALUNOS

120

0 01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

TURMA NOTA

RM

FREQÜÊNCIA

TURMA

(c)

(d) TOTAL ALUNOS

20

4

3

3

2

2

4

02 .2 00

15

01 .2 00

10

02 .2 00

5

01 .2 00

0

02 .2 00

0

0

02 .2 00

1

1

2

01 .2 00

3

1

4

02 .2 00

5

01 .2 00

y = 0,1928x + 1,5731 R2 = 0,3994

0

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

6

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

AL 2

TOTAL DE MATRICULADOS

Figura 11. Disciplina Álgebra Linear 2. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 13(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Análise1 (MLI 65). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 20 (01-03) a 82% (02-00). E as reprovações eram em média de 60% , com exceção em (02-00) depois diminui para uma média de 25%, com exceção (02-03). Quanto ao tipo da reprovação na Figura 13(b) verifica-se que as reprovações ocorrem predominantemente por nota do que por desistência, com exceções em 01-04 e 02-04, o que não acontece nas disciplinas anteriores. E também se observa que tem uma reprovação por RM mais expressiva. Na Figura 13(c) ,observa-se que não foi possível relacionar os matriculados e reprovados. E a Figura 13(d) nos mostra que as turmas

estavam aumentando depois que começaram a diminuir e agora esta aumentando de novo. E ainda apesar de 02-03 ter tido um índice grande de reprovação não aumentou o número de alunos matriculados no semestre consecutivo.

(a)

(b) REPROVAÇÕES FUN. VAR. COMPLEXA

TIPOS FUN.VAR.COMPLEXA 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

% DE ALUNOS

70 60 50 40 30 20 10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

FUN.VAR.COMPLEXA

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

50

2

40

02 .2 00

30 TOTAL DE MATRICULADOS

1

20

01 .2 00

10

1

0

02 .2 00

5

0

10

01 .2 00

y = 0,366x - 1,8856 R2 = 0,2489

02 .2 00

15

0

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

20

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 12. Disciplina Fun. Variável Complexa. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 14(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Estruturas Algébricas 2 (MLI24) (Est.Alg.2). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 0 (02-02) a 80% (01-04). As reprovações estão em torno de 40% exceto em 3 semestres que as reprovações foram acima de 60% 01-00, 02-03 e 01-04.

Cabe salientar que o semestre consecutivo a um índice alto de

reprovação tem-se o um índice abaixo de 20%. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 14(b) observa-se que as reprovações ocorrem mais por desistências, com exceção em

(02-00) que foi totalmente por nota e RM. Na Figura 14(c) e 14(d) verifica-se que o número de alunos matriculados é muito pequeno mesmo assim podemos observar que aumenta o número de reprovados quando aumenta o número de matriculados.

(a)

(b) REPROVAÇÕES ANALISE 1

TIPOS ANALISE 1 100%

% DAS REPROVAÇÕE

% DE ALUNOS

90 80 70 60 50 40 30 20 10

80% 60% 40% 20% 0%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) ANALISE 1

TOTAL ALUNOS

35

70

30 25

60 y = 0,239x + 9,4321 R2 = 0,1577

20

50 40

15

30

10 5

20 10 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

02 .2 00

01 .2 00

1

0 1

80

01 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

60

02 .2 00

40

0

20

01 .2 00

0

02 .2 00

0

0

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 13. Disciplina Análise 1. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 15(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Introdução à Matemática (MLI 15) (Int. a Matemática). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 0 (01-02),(02-02),(01-03) e (02-03) a 14% (02-00). Quanto ao tipo da reprovação na Figura 15(b) observa-se que as reprovações

ocorrem só por desistência. Na Figura 15(c) e 15(d) observa-se que o número de reprovações é muito baixo., independente do número de alunos matriculados

(a)

(b) TIPOS EST. ALG. 2

REPROVAÇÕES EST. ALG. 2 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

80 70 60 50 40 30 20

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

% DE ALUNOS

90

10 0 01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

TURMA NOTA

RM

FREQÜÊNCIA

TURMA

(c)

(d) TOTAL ALUNOS 14

10

12

8

y = 0,6067x - 1,0255 R2 = 0,652

6

10 8 6

4

4 2

2

0

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

02 .2 00

1

01 .2 00

1

02 .2 00

01 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

15

0

10

02 .2 00

5

0

0 0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

EST. ALG. 2

Figura 14. Disciplina Estrutura Algébrica 2. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 16(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Metodologia do Ensino da Matemática (MLI 37) (Met. Ensino Matemática). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 0 (01-02),(0202),(01-03) a 23% (01-00). Cabe salientar que ocorre da mesma forma que a disciplina Introdução a Matemática. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 16(b) observa-se que as reprovações ocorrem predominantemente por desistência. Na Figura 16(c) e 16(d) observa-se que o número de reprovações é muito baixo, independente do número de alunos matriculados.

(a)

(b) REPROVAÇÕES INT.A MATEMÁTICA

TIPOS INT.A MATEMÁTICA

16

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

% DE ALUNOS

14 12 10 8 6 4 2

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

INT.A MATEMÁTICA

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

40

02 .2 00

30

1

20 TOTAL DE MATRICULADOS

01 .2 00

10

1

0

02 .2 00

0

0

y = 0,0109x + 0,654 R2 = 0,0048

1 0,5

01 .2 00

2 1,5

02 .2 00

3 2,5

0

40 35 30 25 20 15 10 5 0

3,5

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 15. Disciplina Introdução a Matemática. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 17(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Métodos Matemáticos (DCE 19) . Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 23 (02-02) a 67% (01-00). E não tem uma variação nos índices de reprovação, ficando em média de 40%. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 17(b) verifica-se que as reprovações ocorrem mais por desistência e em dois semestres por notas, (01-01) e (01-04). Não tendo em nenhum semestre, alunos reprovados com RM. Na Figura 17(c) e 17(d) observa-se mesmo com um número pequeno de alunos matriculados nesta disciplina que maior o nº de alunos matriculados maior é a reprovação.(Esta disciplina é obrigatória somente para o bacharelado.)

(a)

(b) TIPOS MET.ENSINO MATEMÁTICA

REPROVAÇÕES MET. ENSINO MATEMÁTICA 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

20 15 10 5

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

MET.ENSINO MATEMÁTICA 35

2,5

30

2

25 20

1,5

15

1

y = -0,02x + 1,3364 R2 = 0,0267

0,5

10 5 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

1

01 .2 00

1

40

02 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

30

0

20

01 .2 00

10

02 .2 00

0

0

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

02 .2 00

% DE ALUNOS

25

Figura 16. Disciplina Metodologia do Ensino da Matemática. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 18(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Análise 2 (EXT 59) . Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 20 (01-04) a 84% (01-00). Cabe salientar que a amplitude de variação de reprovação desta disciplina é maior do que Métodos Matemáticos. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 18(b) observa-se que as reprovações ocorrem predominantemente por desistência, como na disciplina anterior. Nesta disciplina ocorreram reprovações por RM. Na Figura 18(c) e 18(d) observa-se como o nº de alunos é muito pequeno não tem uma relação entre matriculados e reprovados. (Esta disciplina é obrigatória somente para o bacharelado.)

(a)

(b) TIPOS MÉTODOS MATEMÁTICOS

REPROVAÇÕES MÉTODOS MATEMÁTICOS 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

% DE ALUNOS

80 70 60 50 40 30

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

20 10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

MÉTODOS MATEMÁTICOS 14

6

12

5

y = 0,2934x + 0,4981 R2 = 0,5718

4

10 8

3

6

2

4

1

2 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

02 .2 00

1

1

01 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

0 02 .2 00

15

01 .2 00

10

0

5

02 .2 00

0

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 17. Disciplina Métodos Matemáticos. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 19(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Topologia Espaços Métricos (MLI 50). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 16 (02-01) a 63% (02-03), sendo que esta disciplina não é ministrada em todos semestres. Cabe salientar que só em um semestre a reprovação foi muito grande. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 19(b) observa-se que as reprovações ocorrem em 3 semestres por desistência e os outros 3 predominantemente por notas e RM. Na Figura 19(c) e 19(d) verifica-se como o nº de alunos é muito pequeno não tem uma relação entre matriculados e reprovados. (Esta disciplina é obrigatória somente para o bacharelado.)

(a)

(b) TIPOS ANALISE 2

REPROVAÇÕES ANALISE 2

80 70

% DE ALUNOS

100%

% DAS REPROVAÇÕE

90

60 50 40 30 20 10

80% 60% 40% 20%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

ANALISE 2 14

8 7 6 5 4 3 2 1 0

12

y = 0.4436x + 0.2623 R2 = 0.4352

10 8 6 4 2 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

02 .2 00

1

01 .2 00

1

0

0 02 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

15

01 .2 00

10

02 .2 00

5

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 18. Disciplina Análise 2. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 20(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Geometria Não Euclidiana (DCE 14). Cabe salientar que ela tem uma maior amplitude de variação de reprovação. Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 5(01-03) a 57% (02-03). Quanto ao tipo da reprovação na Figura 20(b) observa-se que em alguns semestres a reprovação é total por desistência (01-00) e (01-03) , e em (02-00) total por nota. Os outros semestres por desistência, notas e RM. Esta disciplina tem também um número maior de reprovação com RM do que as outras disciplinas. Na Figura 20(c) e 20(d) observa-se que não tem uma relação entre matriculados e reprovados, e ainda que o número de alunos matriculados nesta disciplina veio aumentando após 02-000. (Esta disciplina é obrigatória somente para a licenciatura.)

(a)

(b) TIPOS TOP.DE ESP. METRIC.

REPROVAÇÕES TOP. DE ESP. METRIC % DAS REPROVAÇÕE

60 50 40 30 20

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

10

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

(d) TOTAL ALUNOS

TOP. DE ESP. MÉTRIC 14

6

12

5

10

y = 0,295x + 0,107 R2 = 0,6488

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

2

15

02 .2 00

10

1

5

TOTAL DE MATRICULADOS

01 .2 00

0

1

0 02 .2 00

2

0

01 .2 00

4

1

0

6

2

0

8

3

02 .2 00

4

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

FREQÜÊNCIA

RM

01 .2 00

% DE ALUNOS

70

Figura 19. Disciplina Topologia Espaços Métricos. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 21(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina o Ensino de Matemática Através de Problemas (MLI 62). Observase nessa Figura, que são poucas as reprovações, da mesma forma que as disciplinas Introdução a Matemática e Metodologia da Matemática. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 21(b) cabe salientar, que em alguns semestres a reprovação é total por desistência e no 01-04 mais de 60% da reprovação foi por RM. Na Figura 21(c) e 21(d) observa-se que como a reprovação é mínima então não tem relação entre matriculados e reprovados (esta disciplina é obrigatória somente para a licenciatura).

(a)

(b) REPROVAÇÕES GEOM. NÃO EUCLIDIANA.

TIPOS GEOM. NÃO EUCLIDIANA. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

50 40 30 20 10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) GEOM. NÃO EUCLIDIANA

TOTAL ALUNOS

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

02 .2 00

01 .2 00

3

50

0

40

02 .2 00

30

2

20

TOTAL DE MATRICULADOS

2

10

02 .2 00

0

1

0

01 .2 00

5

1

y = 0,2497x + 1,157 R2 = 0,16

10

02 .2 00

15

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

20

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

01 .2 00

% DE ALUNOS

60

Figura 20. Disciplina Geometria Não Euclidiana. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 22(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Geometria Diferencial (MLI 57). Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 0 (01-02) a 75% (02-04) e nos semestre (01-00), (02-02), e (02-03) não foi oferecida esta disciplina. Cabe salientar que esta disciplina também tem uma grande amplitude de variação nas reprovações. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 22(b) observa-se que as reprovações ocorrem predominantemente por desistência. E quando ocorre a reprovação por notas e RM com a mesma porcentagem. Na Figura 22(c) e 22(d) observa-se como o nº de alunos é muito pequeno não tem uma relação entre matriculados e reprovados .(Esta disciplina é obrigatória somente para o bacharelado.)

(a)

(b) TIPOS O ENS. MATEM. ATRAVÉS DE PROBLEMAS

REPROVAÇÕES O ENS. MATEM. ATRAVÉS DE PROBLEMAS

100%

% DAS REPROVAÇÕE

% DE ALUNOS

35 30 25 20 15 10 5

80% 60% 40% 20% 0%

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA NOTA

(c)

RM

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

O ENSINO DA MATEM. ATRAVÉS DE PROBLEMAS 30 25

6

20 15

4

10

y = 0,0795x - 0,2909 R2 = 0,0794

2

5 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

1

1

2

02 .2 00

40

01 .2 00

30

02 .2 00

20

01 .2 00

10

02 .2 00

0

0

0

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

35

8

TOTAL DE MATRICULADOS

Figura 21. Disciplina O Ensino da Matemática Através de Problemas. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Na Figura 23(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina o História da Matemática (DCE 17). Observa-se nessa Figura que são poucas as reprovações. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 23(b) observa-se que em alguns semestres a reprovação é total por desistência e no 02-01 foi total por nota. Na Figura 23(c) e 23(d) observa-se que não tem uma relação entre matriculados e reprovados. E o número de matriculados vem aumentando. Na Figura 24(a), encontram-se apresentados os resultados das reprovações dos alunos na disciplina Análise 3 (MLI 39) . Observa-se nessa Figura que as reprovações variaram de 0 (02-02) (02-03) e (02-04) a 75% (01-01) . o semestre (01-02) não foi oferecida esta disciplina. Cabe salientar como nas disciplinas Geometria Diferencial, Topologia dos Espaços Métricos os índices de reprovações tem uma grande variabilidade. Quanto ao tipo da reprovação na Figura 24(b) observa-se que as

reprovações ocorrem em 3 semestres por desistência e um por RM 02-04. Na Figura 24(c) e 24(d) observa-se como o nº de alunos é muito pequeno não tem uma relação entre matriculados e reprovados. (Esta disciplina é obrigatória somente para o bacharelado.)

(a)

(b) TIPOS GEOMETRIA DIFERENCIAL

REPROVAÇÕES GEOM. DIFERENCIAL

70

% DE ALUNOS

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

80

60 50 40 30 20

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

GEOM. DIFERENCIAL 14

5

12

4

10

y = 0,2587x + 0,3169 R2 = 0,5089

3

8 6

2

4

1

2 4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

02 .2 00

1

01 .2 00

1

02 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

15

0

10

01 .2 00

5

02 .2 00

0

0

0

0

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

Figura 22. Disciplina Geometria Diferencial. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

(a)

(b) REPROVAÇÕES HIST. MATEMÁTICA

TIPOS HIST. MATEMÁTICA 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

6 5 4 3 2 1

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

01 .2 00 02 0 .2 00 01 0 .2 00 02 1 .2 00 01 1 .2 00 02 2 .2 00 01 2 .2 00 02 3 .2 00 01 3 .2 00 02 4 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

HIST. MATEMÁTICA 35

2,5

30

2

25

1,5

20

y = 0,0684x - 0,8159 R2 = 0,3233

1

15 10

0,5

5

0

4

4

02 .2 00

3

01 .2 00

3

02 .2 00

2

01 .2 00

2

1

01 .2 00

1

40

02 .2 00

TOTAL DE MATRICULADOS

30

01 .2 00

20

02 .2 00

10

0

0

0

0

-0,5

01 .2 00

TOTAL DE REPROVADOS

RM

02 .2 00

% DE ALUNOS

7

Figura 23. Disciplina História da Matemática. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

(a)

(b) TIPOS ANALISE 3

REPROVAÇÕES ANALISE 3

70 60 50 40 30 20

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 02 1 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 02 3 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

10

01 .2 00 0 02 .2 00 0 01 .2 00 1 02 .2 00 1 01 .2 00 2 02 .2 00 2 01 .2 00 3 02 .2 00 3 01 .2 00 4 02 .2 00 4

0

TURMA

TURMA

NOTA

(c)

FREQÜÊNCIA

(d) TOTAL ALUNOS

ANALISE 3

10

4

3

3

2

2

1

4

02 .2 00

8

01 .2 00

6

02 .2 00

4

01 .2 00

2

02 .2 00

-1 0

01 .2 00

0

1 0

01 .2 00

2

1

y = 0,439x - 0,4561 R2 = 0,4924

3

02 .2 00

5 4

01 .2 00

6

0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

7 TOTAL DE REPROVADOS

RM

02 .2 00

% DE ALUNOS

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

% DAS REPROVAÇÕE

80

TOTAL DE MATRICULADOS

Figura 24. Disciplina Análise 3. Total de alunos reprovados por semestre (a), Tipo de reprovação (b); relação número de reprovados x número de matriculados (c) e total de alunos matriculados (d).

Conclusão: De forma geral as reprovações nas disciplinas do curso de matemática variaram de (0%) em disciplina/semestre a (100%) em disciplina/semestre. Nas disciplinas de início de curso há uma predominância de reprovações por nota e por desistência (falta), enquanto que, nas de final de curso predominam as reprovações por falta. São poucas as disciplinas que tem uma reprovação expressiva de alunos com RM. No início do curso os percentuais de reprovação são mais elevados do que os no final de curso. Assim como o número de alunos matriculados. Mas a variabilidade de índices de reprovação acontece mais no final do curso.

Bibliografia: BARDIN, Laurence. Análise de conteúdo. Lisboa, Edições 70, 1977. CASTANHO, Sérgio Ensino com Pesquisa na Graduação. [palestra].IV Seminário de Qualidade Acadêmica: o currículo como expressão do projeto pedagógico.Uberlândia: UFU/PROGRAD/DIREN. Mimeo, 2003. COELHO, Ildeu. O Saber, o Ensino e o Currículo em Questão. [palestra]. IV Seminário de Qualidade Acadêmica: o currículo como expressão do projeto pedagógico. Uberlândia: UFU/PROGRAD/DIREN. Mimeo, 2003. COSTA NETO, P.L.O.2002. ESTÍSTICA. Edgard Blücher, São Paulo. 264p. DE SORDI, Mara Regina Lemes. Avaliação Universitária: mecanismo de controle, de competição e exclusão ou caminho para construção da autonomia, da cooperação e da inclusão? [palestra]. III Seminário de Qualidade Acadêmica: o currículo como expressão do projeto pedagógico. Uberlândia: UFU/PROGRAD/DIREN. Mimeo, 2003 ForGRAD- Fórum de Pró- Reitores de Graduação das Universidades Brasileiras. Textos das Oficinas de ForGRAD. Curitiba, PR, 2001. ForGRAD- Plano Nacional de Graduação: um projeto em construção. Rio de Janeiro: UFF, 1999b LEVINE, D.M. ; BERENSON,M.L. ; SETEPHAN,D. 2000.Estatística: teoria e aplicações ( usando Microsoft Excel em português).LCT EDITORA,812P. MORETTIN,L. G. 1999.Estatística Básica – Inferência. V. 2. São Paulo. Makron Books. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. LTC-Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.Rio de Janeiro, RJ, 1999. VEIGA NETO, Alfredo.Princípios norteadores para um novo paradigma curricular: interdisciplinaridade, contextualização e flexibilidade. [palestra]. IV Seminário de Qualidade Acadêmica: o currículo como expressão do projeto pedagógico. Uberlândia: UFU/PROGRAD/DIREN. Mimeo, 2003.

O Problema da Condução do Calor em Dimensão Maior que 1 e o Teorema Espectral Karla Barbosa de Freitas1 e Valdair Bonfim2 Resumo Na Álgebra Linear ensina-se o teorema espectral para operadores auto-adjuntos, mas devido aos objetivos específicos da disciplina e a limitação do tempo pouco se fala da sua importância. Quando isto é feito, naturalmente se restringe ao caso de operadores definidos em espaços vetoriais de dimensão finita. O objetivo deste trabalho é ilustrar uma importante aplicação do Teorema Espectral no caso de operadores auto-adjuntos definidos em espaços de dimensão infinita, ampliando a gama de exemplos práticos, bem como motivando o estudo futuro de tópicos avançados, como por exemplo a questão da compacidade de conjuntos e operadores, espaços funcionais, integral de Lebesgue, dentre outros. Para levar isso a termo iniciaremos tratando o problema da condução de calor numa barra unidimensional, na qual o método de separação de variáveis conduz à uma solução que pode ser explicitamente calculada. Ao passarmos para o problema da condução do calor em dimensão superior a 1, veremos que o método de separação de variáveis conduz a uma equação diferencial parcial cuja solução explícita é impossível, exceto em casos particulares em que o domínio apresenta simetria. Entretanto veremos que o Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos poderá fornecer a existência - pelo menos teórica - de tais soluções mesmo em casos em que o domínio não apresente qualquer tipo de simetria. Em razão do nosso entendimento de que complicações técnicas não se compatibilizam com um texto que propõe ser apenas motivador, adotaremos neste artigo uma postura pouco rigorosa, evitando demonstrações complexas e restringindo-nos a citar referências das mesmas.

1 – Preliminares: Para posterior referência no texto enunciaremos o teorema espectral em dimensão finita, bem como alguns conceitos e notações.

Teorema 1 ( Teorema Espectral para Operadores Auto-Adjuntos ) : Sejam: • H um espaço vetorial de dimensão finita n munido de produto interno < , > . • T : H o H linear. Se T é auto-adjunto ( isto é, T u , v ! u , T v ! u , v H ), então H possui uma base ortonormal ^ v1 , v 2 , ... , v n ` constituída de autovetores de T. Definição 1: Uma função f : [ 0 , l ] o R é dita ser seccionalmente contínua quando ela tiver um número finito de descontinuidades, de primeira espécie, em qualquer intervalo limitado. 1 2

Bolsista do Programa de Educação Tutorial – PET Acadêmica do Curso de Matemática da UFU. Orientador; Professor da Faculdade de Matemática da UFU.

Utilizaremos as seguintes notações para designar espaços funcionais: • C ( [0, l ] ) é o conjunto das funções reais contínuas definidas em [ 0 , l ] ; • C k ( 0, l ) é o conjunto das funções cujas derivadas de ordem d k são contínuas ;

Definição 2: Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial V munido de produto interno < , > e completo na métrica d (u, v) u v, u v ! .

2 – O problema da condução do calor: o caso unidimensional:

Nosso primeiro objetivo é obter um candidato u ( x, t ) , solução do problema wu w 2 u , x (0, l ) , t ! 0 (1) ° 2 t w x w °° ( P1 ) ®u (0, t ) u (l , t ) 0 , t ! 0 (2) °u ( x,0) f ( x) , x [0, l ] ( 3) ° ¯° o qual modela a condução do calor numa barra unidimensional de comprimento l, cujas extremidades são mantidas à temperatura nula, e cuja distribuição inicial de temperaturas u (x,0) é uma função conhecida f (x) . O método de separação de variáveis consiste em procurar solução não-nula na forma ( 4 ) u ( x, t ) M ( x).\ (t ) , onde M : [0, l ] o R e \ : [0, f) o R são funções reais de uma variável. Levando (4) em (1) obtemos

M ( x) .\ c(t ) M cc( x) .\ (t ) , ou seja,

\ c(t ) \ (t )

M cc( x) . M ( x)

Como o primeiro membro depende apenas de t e o segundo apenas de x, então ambos são iguais a uma constante V , de onde segue que: ( 5 ) \ c(t ) V .\ (t ) , e ( 6 ) M cc( x) V .M ( x) .

Mais ainda, impondo que ( 4 ) satisfaça às condições de contorno ( 2 ), obtemos: ( 7 ) M (0) M (l )

0 .

Entretanto, como veremos no que segue, o problema M cc( x) V .M ( x) (8) ® ¯M (0) M (l ) 0

,

que nada mais é do que um problema de autovalores para o operador T (M ) M cc , só admite solução M z 0 quando V 0 . De fato, se M é uma solução não-nula de ( 8 ), então

³

l 0

l

M ( x) .M cc( x) dx V . ³ ( M ( x) ) 2 dx , 0

de onde segue, integrando por partes, que

M ( x) .M c( x)

l 0

l

³ ( M c( x) ) 0

2

l

V . ³ ( M ( x) ) 2 dx ,

dx

0

que devido a ( 7 ) nos fornece l

³ ( M c( x) ) ³ ( M ( x) )

2

0

V

l

2

0

dx 0 , dx

de onde concluímos que V 0 . Assim, escrevendo

V

W 2 , com W ! 0 ,

a equação ( 6 ) fica

M cc( x) W 2 .M ( x) 0 , cuja solução geral é

M ( x) Impondo a condição M (0)

c1 . cos(W x) c 2 . sen(W x) .

0 obtemos c1

nula M tomaremos c 2 z 0 , por exemplo c 2

0 , e para conseguirmos uma solução não-

2 se desejarmos que l

l

³ M ( x) 0

2

dx

1 . Assim,

2 . sen(W x) , e para que tenhamos também M (l ) l

M ( x)

0 , deveremos impor sen(W l )

0,

ou seja: nS ½ : nZ ¾ . ¯ l ¿

W ®

Concluindo: para cada número natural n, o problema de autovalores ( 8 ) tem uma auto-função 2 § nS x · . sen¨ ¸ , l © l ¹

2 . sen(W n x) l

M n ( x) associada ao auto-valor

Vn

W n

2

n 2S 2 . l2

Determinando uma solução não-nula de ( 5 ) com V

\ n (t ) e

V n obtemos, por exemplo,

n 2S 2 t l2

.

Conseqüentemente obtemos, para cada número natural n, uma função

u n ( x, t )

e

n2 S 2 t l2

.

2 § nS . sen¨ l © l

x· ¸ ¹

,

a qual satisfaz a equação diferencial ( 1 ) e também a condição de contorno ( 2 ). É lógico que qualquer combinação linear finita N

u ( x, t )

¦a

n

. u n ( x, t )

n 1

das funções u n ( x, t ) ainda satisfaz ( 1 ) e ( 2 ), e portanto será uma solução de ( P1 ) desde que N

f ( x)

¦ an . n 1

2 § nS . sen¨ l © l

x· ¸ ¹

N

¦a

n

.M n ( x ) .

n 1

Entretanto, quando f não tem a forma acima, podemos partir para as combinações lineares infinitas das funções { u n : n ^ }, o que ampliará enormemente o conjunto das funções f para as quais o problema ( P1 ) tem solução. Negligenciando a questão da

convergência e da derivação termo a termo – pois já assumimos uma abordagem não rigorosa neste texto – obtemos uma função f

¦a

u ( x, t )

(9)

f

n

. u n ( x, t )

n 1

¦a

n

.e

n2 S 2 t l2

.M n ( x) ,

n 1

que satisfaz a equação (1) e a condição de contorno (2), quaisquer que sejam as escolhas das constantes a n . Entretanto, esta u ( x, t ) somente será solução de ( P1 ) se tivermos também ( 10 )

f ( x)

u ( x,0)

ou seja, f

( 11 )

¦a

f ( x)

n

.M n ( x) .

n 1

No que segue veremos como devem ser escolhidas as constantes a n para que (11) efetivamente ocorra. Para isso, introduziremos a notação ( 12 )

f ,g !

³

l 0

f ( x) . g ( x) dx ,

a qual está bem definida quando f e g são seccionalmente contínuas no intervalo [ 0 , l ] , e observamos que 0 , se m z n ( 13 ) M m , M n ! ® . ¯ 1 , se m n t 1 Assim, supondo que uma dada função f possa ser escrita na forma (11) e que a integração termo a termo também possa ser realizada, teremos: f

f

¦ an .M n f ,M m ! n 1

f

¦ a n .M n , M m ! n 1

f

¦a

n

. M n ,M m !

am . M m ,M m !

am ,

n 1

e conseqüentemente ( 14 )

an

f ,M n !

³

l 0

f ( x)M n ( x) dx , n t1 .

Conforme se pode ver em [1] ou [2], quando f e f c são seccionalmente contínuas, então a série (11), cujos coeficientes a n são dados por (14), converge para a média aritmética dos limites laterais de f no ponto x, isto é, ( 15 )

f ( x 0) f ( x 0) 2

f

¦a

n

.M n ( x) ,

n 1

onde f ( x 0) e f ( x 0) denotam, respectivamente, os limites laterais de f à direita e à esquerda no ponto x. Ou seja, a série (11), também denominada Série de Fourier de Senos da função f , não “privilegia” nenhum dos limites laterais de f no ponto x, convergindo “democraticamente” para a média aritmética de ambos. Em particular, quando x é um ponto de continuidade de f , temos f ( x 0) f ( x 0) f ( x) , e portanto f

f ( x)

¦a n 1

f

n

M n ( x)

¦a . n

n 1

2 § nS x · . sen¨ ¸ . l © l ¹

Para ilustrar graficamente este resultado consideraremos f : [ 0 , 6 ] o R definida por f ( x)

L

6

e a função

x , se x [ 0 , 3 ) . ® ¯ x 3 , se x [ 3 , 6 ]

Em cada sistema de coordenadas abaixo vemos os gráficos de f em azul e o gráfico da N § nS x · N-ésima soma parcial, S N ( x) ¦ a n . sen¨ ¸ , para N 5 , N 10 e N 20 , em © L ¹ n 1 f ( x 0) f ( x 0) quando N o f . vermelho, onde se pode intuir que, de fato, S N ( x) o 2

Se exigirmos ainda que f :[ 0 , l ] o R seja contínua e f (0) f (l ) 0 , então a série em ( 9 ) converge uniformemente para uma função u ( x, t ) que é contínua em [ 0 , l ]u[ 0 , f ) , de classe C f em ( 0 , l ) u ( 0 , f ) , e resolve o problema ( P1 ), conforme demonstrado em [2]. Abaixo vemos duas vistas do gráfico da 10ª soma parcial S10 ( x, t ) para 0 d x d 4 e 0 d t d 2 da série-solução do problema ( P1 ) f

u ( x, t )

¦a n 1

f

n

. u n ( x, t )

¦a n 1

no caso em que o comprimento da barra é L f ( x) 4 x x 2 .

n

.e

n2 S 2 t l2

.

2 § nS x · . sen¨ ¸ , l © l ¹

4 e a distribuição inicial de temperaturas é

3 – Uma interpretação algébrica do parágrafo anterior:

Observe que as funções { M n : n ^ }, obtidas no parágrafo anterior são auto-funções do operador T : D C([ 0 , l ]) o C([ 0 , l ]) , definido no subespaço D

{ M C ( [ 0 , l ] ) C 2 ( 0 , l ) : M (0) M (l ) 0 } ,

e que associa a cada M D a sua derivada segunda T( M )

M cc .

Além disso, se considerarmos em C ( [ 0 , l ] ) o produto interno ( 16 ) f , g !

³

l

0

f ( x) . g ( x) dx ,

então podemos afirmar que

{ M n : n ^ } é ortonormal em relação ao produto interno < , >

conforme indica as relações obtidas em (13). Mais ainda, dadas M e \ D teremos, mediante integração por partes, que T (M ) , \ !

M cc , \ !

l

³ M cc( x).\ ( x) dx 0

\ ( x).M c( x)

l 0

l

³ M c( x).\ c( x) dx 0

,

e como \ D temos \ (0) \ (l ) 0 , de onde segue que ( 17 ) T (M ) , \ !

l

³ M c( x).\ c( x) dx . 0

De forma análoga, obtém-se ( 18 ) M , T (\ ) !

l

³ M c( x).\ c( x) dx . 0

o que nos leva a concluir que

T (M ) , \ !

M , T (\ ) ! , M ,\ D ,

ou seja:

O operador T é auto-adjunto com relação ao produto interno < , >

O que fizemos na sessão anterior nos permite afirmar que o espaço vetorial C ( [ 0 , l ] ) possui uma “base” ortonormal { M n : n ^ } composta de auto-funções do operador autoadjunto T. Ou seja, produzimos um exemplo de um operador linear auto-adjunto T definido num espaço vetorial de dimensão infinita para o qual a conclusão contida no Teorema Espectral da sessão 1 se verifica. A pergunta natural que fica é a seguinte:

Este exemplo é apenas uma coincidência, ou a conclusão do Teorema Espectral 1 é sempre verdadeira quando tivermos um operador linear auto-adjunto T definido num espaço com produto interno H ? Sem nenhuma hipótese adicional a resposta é não. Entretanto, é possível provar o seguinte resultado: Sejam H um espaço de Hilbert e T:H o H um operador linear compacto. Então existem uma seqüência O k k N de autovalores do operador T e uma seqüência ortonormal M k k N H tal que T (M k )

O k .M k para todo natural k .

Este afirmação é parte de um resultado mais geral conhecido como Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-Adjuntos em Espaços de Hilbert. Observe entretanto os novos adjetivos que apareceram no nome do teorema: não se trata mais de qualquer operador linear auto-adjunto, mas os compactos. Mais ainda, não basta estarmos ambientados num espaço com produto interno, mas num espaço que seja completo na norma proveniente deste produto interno. Ou seja, questões topológicas que não apareciam no caso finito-dimensional agora entram em cena e, na maioria das vezes, constituem a parte mais difícil de ser contornada no problema. No que segue citaremos um exemplo concreto que põe em evidência a importância dos estudos abstratos realizados nas disciplinas Topologia dos Espaços Métricos, Topologia Geral, Análise no Rn, Análise Funcional, Teoria da Medida – incluindo aí a integral de Lebesgue – , dentre outras. 4 – O problema da condução do calor em dimensão maior que 1:

x

O análogo do problema ( P1 ) consiste em determinar uma função real u ( x, t ) , com ( x1 , ... , x n ) : Rn , t ! 0 , satisfazendo: wu ° wt ( x, t ) 'u ( x, t ) , x : , t ! 0 ° ( P2 ) ® u ( x, t ) 0 , x w : , t ! 0 ° x : ° u ( x,0) f ( x) , ¯

,

n

onde ' é o Laplaciano nas variáveis espaciais x1 , ... , x n , isto é, 'u

¦ wx i 1

Procurando soluções não-nulas no formato u ( x, t ) M ( x) .\ (t ) ,

com M : : o R e \ : [ 0 , f ) o R obtemos ( 19 )

\ c(t ) V .\ (t ) , t ! 0

w 2u 2 i

.

e 'M ( x) ( 20 ) ® ¯ M ( x)

V .M ( x) , x : , x w :

0

.

Note que (20) é um problema de autovalores para o operador Laplaciano e, diferente de (8), trata-se de uma equação diferencial parcial com uma condição de contorno na fronteira de um domínio : do Rn, e não na fronteira de um intervalo [ 0 , l ] , que se reduz a dois pontos. Se o domínio : não apresentar algum tipo de simetria, fica difícil achar soluções explícitas para (20), conforme fizemos na sessão 2 para o problema (8). Entretanto, se para funções de quadrado integrável definidas em : colocarmos f ,g!

( 21 )

então cabe perguntar se o operador T ( M )

³

:

f ( x).g ( x) dx

'( M ) é auto-adjunto em relação a < , > .

Para isso consideraremos T no domínio D {M C 2 (:) C 1 (:) :M

w:

0}.

Dadas M ,\ D e usando o Teorema da Divergência com o campo vetorial G F ( x) \ ( x).M ( x) , x : ,

obtemos wM

³ M ( x).\ ( x) dx ³\ ( x).'M ( x) dx ³\ ( x). wnG ( x) dS

:

:

,

w:

e como a última integral é nula ( pois \ se anula em w: ) ficamos com

³ 'M ( x).\ ( x) dx

:

³ M ( x).\ ( x) dx , :

ou seja, T (M ) ,\ ! ³ M ( x).\ ( x) dx . :

G De maneira análoga, se considerarmos o campo de vetores F ( x) M ( x).\ ( x) , obteremos M , T (\ ) ! ³ M ( x).\ ( x) dx , :

o que nos leva a concluir que

T (M ) ,\ !

M , T (\ ) ! , M ,\ D ,

ou seja, que T é auto-adjunto com respeito ao produto interno (21).

A questão da compacidade é um tanto mais complicada. Como o operador T ( M ) '( M ) não é compacto, trabalha-se na tentativa de obter um domínio D contido num espaço de Hilbert H de modo que o operador T : D H o H fique inversível, com inverso '1 : H o H compacto. Como o inverso é automaticamente auto-adjunto, encontramo-nos nas condições do Teorema Espectral, e daí podemos afirmar que existirá uma seqüência ( Ok ) kN de números reais e uma seqüência ( M k ) kN de funções do espaço H tais que '1 (M k )

Ok M k

para todo k ^. Mais ainda, o conjunto ^M k : k N ` é ortonormal com relação ao produto interno < , >. Assim, para cada número natural k encontramos uma auto-função M k do operador ' : 1

'(M k ) V k M k , onde V k

para todo k ^ .

Ok

Agora, considerando uma solução de (19) com V k no lugar de V obtemos

eV k t ,

\ k (t )

eV k t .M k ( x) satisfará a equação do

e conseqüentemente, para cada natural k, a função u k ( x, t ) calor, pois

w ^ u k ( x, t ) ` w ^M k ( x) .\ k (t ) ` M k ( x) .\ k c (t ) wt wt

^V k .M k ( x) `.\ k (t ) ^ 'M k ( x) `.\ k (t )

'^M k ( x).\ k (t ) ` ' u k ( x, t ) ,

e também a condição de contorno u k ( x, t ) M k ( x).\ k (t ) 0 , para todo x w : , já que todas as funções M k se anulam na fronteira de : . A candidata natural a solução do problema ( P2 ) é a função f

( 22 )

u ( x, t )

¦a

k

. e V k t .M k ( x) ,

k 1

onde as constantes a k são escolhidas de modo que u ( x,0)

f ( x) , ou seja, de modo que

f

( 23 )

f ( x)

¦ a .M k

k

( x) .

k 1

Como o conjunto ^M k : k N ` é ortonormal, obtém-se

( 24 ) a k f , M k ! , para todo k. É possível provar, veja [3], que:

Se f C 2 : e f

w:

0 , então as séries (22) e (23) convergem

uniformemente para f e para uma solução u(x,t) do problema

u C 2 : u (0, f ) C : u[0, f) ° ®u t 'u , ( x, t ) : u (0, f) °u ( x,0) f ( x) , x : ¯

,

desde que : R3 tenha fronteira de classe C 2 .

5 – Considerações Finais :

Conforme pretendíamos, é possível observar que muitas das questões abstratas consideradas como objetos de estudo na Análise e na Topologia emergem naturalmente de problemas concretos. Vimos por exemplo que o Teorema Espectral, numa versão em dimensão infinita, rende soluções para o problema da condução do calor em domínios : do espaço Rn cuja fronteira seja suficientemente regular. Convém observar também que, sendo o nosso texto apenas motivador, não detalhamos como são as funções do espaço H no qual procuramos as auto-funções M k : : o R . Apenas “acenamos” com uma possibilidade de trabalhar com um espaço de funções que possuem quadrado integrável em : , de modo que o produto interno (21) de duas tais funções estivesse bem definido. Entretanto, para que este espaço usualmente denotado por L2 (:) - resulte completo, é necessário trabalhar com uma noção de integral mais geral que a de Riemann. Trata-se da integral de Lebesgue, da qual um estudo aprofundado consome boa parte de um curso de Teoria da Medida. A noção de compacidade e suas caracterizações ocupam, por sua vez, uma parte significativa de uma disciplina de Topologia. Mais ainda, a questão da compacidade de um operador definido entre espaços de funções demandam o estudo de desigualdades não triviais conhecidas como Desigualdades de Sobolev. Esperamos com este texto ter conscientizado o leitor da importância do estudo de tópicos abstratos, principalmente aqueles alunos de cursos de Matemática que estão em vias de fazer sua opção entre Licenciatura ou Bacharelado. Claro que esta é uma das várias motivações e, dependendo do gosto pessoal do leitor, ela pode até mesmo ser desmotivadora. O que nos interessa, entretanto, é fazer o leitor entender que os objetos de estudo da Matemática Pura não estão desvinculados dos problemas reais. Ainda que um tanto sofisticadas, as teorias matemáticas estão por trás de uma série de situações do cotidiano que um cidadão comum sequer pode imaginar. Essa não consciência por parte de uma maioria esmagadora não invalidam e nem devem desencorajar a pesquisa matemática. Se o texto serviu, pelo menos, para diminuir o preconceito de muitos para com a Matemática Pura, já nos damos por satisfeitos.

6 – Bibliografia:

[1] Figueiredo, Djairo G. de; Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais . [2] Iório, Valéria; EDP: Um Curso de Graduação. Rio de Janeiro; Instituto de Matemática Pura e Aplicada; CNPq, 1991. Coleção Matemática Universitária. [3] Iório Jr, R. J. & Iório, Valéria; Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática pura e Aplicada, CNPq, 1988. Projeto Euclides.

PERFIL SÓCIO-ECONÔMICO DOS CANDIDATOS DO PAIES/UFU: SUBPROGRAMA 2002-20051 KÁTIA ALESSANDRA DE SOUZA CAETANO2, EDNALDO CARVALHO GUIMARÃES3, ROGÉRIO DE MELO COSTA PINTO4, MARCELO TAVARES4

RESUMO

A avaliação seriada para a admissão de alunos no ensino superior público sempre foi alvo de controversas em sua eficácia e como substituta dos vestibulares, e não é incomum o número de pesquisadores que criticam esta forma de processo seletivo que algumas universidades federais do país têm adotado. A Universidade Federal de Uberlândia é uma dentre estas universidades que utilizam este tipo de avaliação como forma de ingresso de seus candidatos, sendo o PAIES (Programa Alternativo de Ingresso ao Ensino Superior) o processo seletivo seriado da UFU que avalia os candidatos ao longo do Ensino Médio. A presente pesquisa propõe a exploração do banco de dados do PAIES da COPEVE/UFU (Comissão Permanente de Vestibular), objetivando analisar os dados socioeconômicos - culturais dos candidatos que foram aprovados e reprovados durante a etapa de 2002-2005, buscando analisar o perfil dos estudantes que obtém êxito no processo seletivo em questão, e verificar se existem diferenças sócio demográficas entre os candidatos aprovados e reprovados. Foi utilizada a estatística descritiva e o software SPSS 13.0 for Windows. Os resultados obtidos indicam diferenças entre os candidatos, sendo que a maioria dos alunos aprovados reside na cidade de Uberlândia; possuem maior renda econômica mensal familiar e acesso a computadores e internet; fizeram a maior parte ou toda formação de 2º grau em escolas particulares; e a escolaridades de seus pais é maior que a dos pais dos alunos reprovados. Já entre estes candidatos, há um número maior de estudantes que trabalham, e verificou-se também que há um número maior de estudantes das etnias negra, indígena e outras que não a branca, que são reprovados no processo seletivos seriado da UFU. Palavras-chave: Avaliação seriada; dados sócio-demográficos; PAIES; estatística descritiva. 1. INTRODUÇÃO Nos últimos anos as universidades federais têm buscado formas alternativas de ingresso ao ensino superior. Programas que consideram a nota recebida por alunos do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e os programas de exame seriado foram algumas alternativas apresentadas pelas universidades federais. 1

Pesquisa de iniciação científica (PROMAT/FAMAT/UFU) desenvolvida no período de novembro de 2006 a agosto de 2007. 2 Acadêmica do curso de Psicologia - Av. João Naves de Ávila, 2160, Bairro Santa Mônica, Uberlândia – MG, CEP: 38400-900- [email protected] 3 Prof. Orientador – FAMAT/UFU – Av. João Naves de Ávila, 2160, Bairro Santa Mônica, Uberlândia – MG, CEP: 38400-900 – [email protected] 4 Prof. Colaborador – FAMAT/UFU

O primeiro programa de exame seriado das universidades federais foi instituído pela Universidade de Brasília (UnB), no ano de 1996 (UnB, 2007). O PAIES – Programa Alternativo de Ingresso ao Ensino Superior – aprovado pelo CONSEP – Conselho Superior de Ensino e Pesquisa da UFU – representa uma nova modalidade de avaliação gradual e sistemática, e constitui-se como processo alternativo para o aluno do Ensino Médio na conquista de uma vaga na UFU. No PAIES, em vez de fazer somente uma prova para conseguir uma vaga no ensino superior (como ocorre no vestibular), os estudantes do ensino médio interessados fazem uma prova ao fim de cada ano, somando o resultado das três no fim do 2º grau. Os que obtiverem notas mais altas são classificados e garantem assim, o direito a uma vaga na Universidade Federal de Uberlândia (UFU, 2007). São destinados ao PAIES 25% do total das vagas anuais da Universidade; e 2007 marca o décimo ano no qual a prova é realizada, pois em 1.997 o PAIES executou a primeira etapa do programa, com a participação de 9.336 candidatos inscritos, oriundos de 190 diferentes municípios brasileiros e processou o credenciamento de 403 escolas do Ensino Médio. Nota-se que o programa possui grande importância na avaliação do ensino da região, devido á relevante amplitude das escolas credenciadas e diferentes municípios que participam do processo. É notório, portanto, que os dados sócio-econômicos e o desempenho dos alunos nas mais diversas disciplinas, são uma importante fonte de análises estatísticas e inferências não só para a UFU, mas para a comunidade em geral, principalmente para aqueles preocupados com a qualidade do ensino médio, e porque não dizer, do ensino fundamental na região. Autores como Pantaleo Junior (2005), Frois e Barreto (2005), Franco (2006), Rodrigues (2006), Sobral e Oliveira (2006), Veiga et al (2007) apresentam aspectos de descrição estatística de processos seletivos. O presente trabalho visou analisar, através do banco de dados do PAIES da COPEVE/UFU, os dados sócio-demográficos dos candidatos do PAIES 2002/2005 e compará-los entre os candidatos que foram aprovados e reprovados, objetivando verificar se existem diferenças sócio-demográficas entre os sujeitos que obtiveram êxito no processo seletivo e os que não obtiveram. Verificar e identificar algumas características sócio-demográficas que poderiam estar relacionadas com o desempenho exitoso do aluno, e analisar e compreender sobre qual o perfil de estudante que tem sido aprovado pelo PAIES na Universidade, são também objetivos da pesquisa. 2. MATERIAL E MÉTODOS A amostra utilizada na pesquisa foi retirada do banco de dados da Comissão Permanente de Vestibular (COPEVE/UFU), e é composta por 200 candidatos que responderam ao questionário socioeconômico-cultural durante a inscrição da terceira etapa do PAIES 2002-2005, sendo que 99 foram reprovados e 101 aprovados. As perguntas do questionário utilizadas na pesquisa foram: Qual o seu sexo? ; Qual sua idade em 31 de dezembro de 2004? ; Qual seu estado civil? ; Onde você reside? ; Você reside? ; Você se considera? ; Qual sua religião? ; Você exerce atividade remunerada? ; Em que faixa melhor se enquadra a renda bruta mensal (sem descontos) de seu grupo familiar (soma dos rendimentos dos seus pais, irmãos, conjugue, filhos, etc.)? ; Nível de instrução do seu pai? ; Nível de instrução da sua mãe? ; Indique o principal responsável pelo sustento da sua família? ; Possui computador em sua residência? ; Meio de transporte que você mais utiliza? ; Pretende trabalhar enquanto faz curso superior? ; Você mora? ; Qual é a ocupação principal exercida pelo seu pai? ;

Qual é a ocupação principal exercida pela sua mãe? ; Qual a sua principal fonte de informações sobre os acontecimentos atuais? ; Dos tipos de revistas citadas abaixo, qual você mais lê? ; Onde você cursou o ensino fundamental? ; Onde você cursou, integralmente ou em sua maior parte, o Ensino Médio? ; O que o levou a escolher seu curso? ; O que você espera em primeiro lugar de um curso universitário? ; e Qual a razão principal que o levou a escolher a UFU? . Foi utilizado o software SPSS 13.0 for Windows, e a estatística escolhida para obter os resultados e comparações entre os candidatos aprovados e reprovados, foi a estatística descritiva conforme procedimentos encontrados em Arango (1999), Triola (1999), Bussab e Morettin (2002). Foi realizado também um teste de hipóteses para diferença entre duas proporções, objetivando a averiguação de diferenças entre freqüências. Outro software utilizado foi o Microsoft Office Excel 2003, para a montagem de gráficos. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO A primeira variável analisada foi o sexo, e observou-se que a mesma não intervém na reprovação ou aprovação do candidato, pois não houve diferenças significativas entre o número de mulheres e homens reprovados e aprovados (do total de candidatos reprovados, 52,8% eram mulheres e 47,2% eram homens; e do total de candidatos aprovados, 52,6% eram mulheres e 47,4% eram homens). Em relação ao estado de origem, 77,5% dos candidatos reprovados residem no estado de Minas Gerais; 15,7% no estado de São Paulo; 4,5% no estado de Goiás; 1,1% no Distrito Federal (Brasília) e 1,1% no Mato Grosso do Sul. Entre os aprovados, 89,7% residem em Minas Gerais e 9,3% no estado de São Paulo. Nota-se uma maior heterogeneidade em relação ao estado de origem entre os candidatos reprovados, do que entre os candidatos aprovados. É interessante notar que grande parte dos candidatos aprovados (72,2%) reside na cidade de Uberlândia. Os estudantes têm em média 17 anos (62,9% dos reprovados e 73,2% dos aprovados), e nota-se que há um número maior de candidatos reprovados com idade superior a 18 anos (37%), do que os candidatos aprovados com essa faixa etária (26,8%). Enfim, observa-se em geral que entre os aprovados no processo seletivo, há uma maior correspondência entre a faixa etária e o nível de escolaridade adequado, fato que não ocorre tão frequentemente entre os candidatos reprovados, que possuem maior discrepância entre a faixa etária e o nível de escolaridade correto. Em relação á etnia, 62,9% dos reprovados se considera brancos, contrastando com os 77,3% que se declaram pertencer a este grupo étnico, entre os candidatos aprovados. Foi realizado um teste de hipótese para diferença entre duas proporções onde se encontrou um p-valor (significância) de 0,0272. Nota-se, portanto que há diferença significativa entre o número de sujeitos que se declaram brancos e outras etnias (como pardo, negro, indígena e amarelo) que ingressam no processo seletivo. Entretanto não se deve considerar etnia como uma variável causal pelo ingresso ou não no processo seletivo em questão, e sim a outras variáveis intervenientes como renda mensal, tipo de ensino freqüentado durante o ensino médio, etc. Deve-se recordar também, que etnia é uma variável subjetiva, ficando à percepção individual, a “cor” que cada candidato possui, podendo ou não a mesma corresponder a realidade. O estado civil de praticamente 100% da amostra é solteiro. Já em relação á religião, obteve-se resultados semelhantes entre os candidatos aprovados e reprovados: a maioria se declarou cristãos (71% dos reprovados e 80,4% dos aprovados).

Sobre o exercício de atividade remunerada, observa-se que entre os candidatos reprovados, há um número maior de sujeitos que praticam algum tipo de trabalho, do que entre os candidatos aprovados (65% dos reprovados não praticam atividade remunerada, contra 85% dos aprovados, que alegam não exercer tal tipo de atividade). A dinâmica familiar dos candidatos também foi analisada, e observou-se que em 58,4% dos lares dos candidatos reprovados, o pai é o único responsável pelo sustento familiar, contrastando com os 48, 5% dos alunos aprovados; indicando que nos lares dos estudantes que não obtiveram êxito no processo seletivo, o padrão familiar mais comum é o do chefe de família que sustenta a casa. Observou-se também que praticamente todos os candidatos moram com família, em imóvel próprio (82% dos reprovados e 79,4% dos aprovados residem em imóvel próprio). Em relação à renda mensal familiar dos candidatos reprovados, obtiveram-se resultados distintos dos candidatos aprovados, pois 62,9% de tais candidatos possuem renda mensal de até R$ 1820 (estando a classe modal entre R$ 261 até R$ 780), e já entre os candidatos aprovados, apenas 41,2% tem renda familiar semelhante a esta quantia. Entre os aprovados, 58,7% têm renda mensal superior a R$ 1.821 e a classe modal encontra-se entre os valores de R$ 2.601 até R$ 5.200. O que se pode inferir através da análise frequencial dos dados e da classe modal, é que, no geral, os candidatos aprovados e seus familiares vivem com rendimentos mensais médio a alto, ganhando quantias entre 7 a 30 ou mais salários mínimos (em relação ao salário mínimo de R$ 260 do ano de 2004); e os candidatos reprovados e seus familiares vivem com renda mensal baixa a média, ganhando quantias entre menos de 1 e até 7 salários mínimos. Obviamente, a distribuição gráfica desta variável é distinta entre os dois tipos de candidatos, conforme pode ser observado na Figura 1:

Frequência

Renda mensal familiar dos candidatos aprovados e reprovados 30 25 20 15 10 5 0

Aprovados Reprovados

Até R$ Entre 260 R$ 261 e R$ 780

Entre Entre Entre Entre Entre Acima R$ 781 R$ R$ R$ R$ de R$ e R$ 1381 e 1821 e 2601 e 5201 e 7800 1380 R$ R$ R$ R$ 1820 2600 5200 7800 Renda Mensal

Figura 1. Renda familiar dos candidatos reprovados e aprovados. Observou-se que a variável escolaridade dos pais também sofreu diferenças significativas ao se analisar os dados entre os aprovados e os reprovados. Em relação á estes, 77,5% dos pais e 66,3% das mães têm até o ensino médio completo, contrastando com a escolaridade dos 48,5% dos pais e 34% das mães dos aprovados que tem até o 2º grau completo. Entre estes candidatos (aprovados), nota-se que o nível de escolaridade mais freqüente entre os pais é de superior incompleto à pós-graduação completo (sendo

51,5% dos pais e 66% das mães). Enfim, o que se observa é que entre os estudantes aprovados no processo seletivo, a escolaridade de seus pais é significativamente maior que a escolaridade dos pais dos reprovados no processo. Entretanto, um dado recorrente entre ambos os candidatos foi o maior nível de instrução das mães em relação aos pais, demonstrando que estas se preparam mais para o mercado de trabalho e tem maior formação educacional que seus parceiros. As Figuras 2 e 3 demonstram tanto a diferença entre o nível de instrução dos pais dos sujeitos aprovados e reprovados; quanto a sobrepujança do nível de escolaridade das mães sobre os pais:

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Pai

Pósgraduação completo

Pósgraduação incompleto

Superior completo

Superior incompleto

Médio completo

Médio incompleto

Fundamental completo

Fundamental incompleto

Mãe

Não alfabetizado

Frequência

Nível de escolaridade entre os pais dos candidatos reprovados

Nível de instrução

Figura 2. Nível de escolaridade entre os pais dos candidatos reprovados.

35 30 25 20 15 10 5 0

Pai

Pósgraduação completo

Pósgraduação incompleto

Superior completo

Superior incompleto

Médio completo

Médio incompleto

Fundamental completo

Fundamental incompleto

Mãe

Não alfabetizado

Frequência

Nível de escolaridade entre os pais dos candidatos aprovados

Nível de instrução

Figura 3. Nível de escolaridade entre os pais dos candidatos aprovados. Observam-se também diferenças entre as profissões e tipo de atividades remuneradas mais exercidas pelos pais dos candidatos reprovados e aprovados, estando entre os candidatos aprovados, maiores porcentagens em atividades que exigem formação superior e especializada, e entre os reprovados, freqüência maior em atividades mais subalternas, que não exigem um alto grau de formação acadêmica ou especializada. As Figuras 4 e 5 permitem a diferenciação entre o tipo de trabalho exercido pelos pais dos estudantes aprovados e reprovados, e a Tabela 1 permite a diferenciação entre as profissões:

Atividade remunerada exercida pelos pais dos aprovados

50

50

40

40

30

Pai

20

Mãe

10

Frequência

Frequência

Atividade remunerada exercida pelos pais dos reprovados

30

Pai

20

Mãe

10

0

0

1

2

3

4

5

6

1

Profissões

2

3

4

5

6

Profissões

Figura 4. Atividade remunerada exercida pelos pais dos reprovados

Figura 5. Atividade remunerada exercida pelos pais dos aprovados

Tabela 1. Diferenciação das profissões. Profissões 1 Banqueiro; deputado; senador; diplomata; capitalista; grande industrial; grande proprietário rural, (olhar no manual e completar as profissões que faltam) 2 Profissionais liberais de nível universitário, cargo técnico-científico, cargo de chefia ou gerência em empresa de porte médio, posto militar; grande comerciante; dono de propriedade rural de 200 a 2000 hectares e outras ocupações semelhantes. 3 Bancário; oficial de justiça, professor do Ensino Médio e Fundamental; despachante; representante comercial; auxiliar administrativo e de escritório; posto militar de sargento, subtenente e equivalentes; pequeno industrial; comerciante médio; proprietário rural de 20 a 200 hectares, e outras ocupações com características semelhantes. 4 Datilógrafo; telefonista; mecanógrafo (olhar no manual e completar as profissões que faltam) 5 Operário não-qualificado; servente; operador; (olhar no manual e completar as profissões que faltam) 6 Dona de casa . Em relação a possuir ou não computador em casa, observa-se que o número de candidatos aprovados que possuem computador em suas residências é significativamente maior que o número de candidatos reprovados que possuem o aparelho (77,3% dos aprovados têm computador em casa, sendo que destes, 70,1% tem acesso á internet; contra 53,4% dos reprovados que possuem o aparelho em seus domicílios, sendo que destes, apenas 35,2% possuem acesso á internet.). Fica claro que os candidatos reprovados enfrentam maiores barreiras e dificuldades de acesso á informação digital, haja vista que, o universo virtual tem a primazia da fonte de informações do mundo contemporâneo globalizado. Portanto, sobre o adquirir informações e conhecimentos que possam ser úteis e facilitadores na aprovação do processo seletivo em questão, e posterior entrada no universo acadêmico, os candidatos reprovados ficam aquém dos candidatos aprovados.

A fonte de informações prevalente sobre os acontecimentos atuais tanto entre aprovados, quanto em reprovados, é o telejornal, sendo lembrado por 76,4% dos reprovados e 53,6% dos aprovados. As revistas e a internet são as segundas fontes de informações, sendo que entre os aprovados, 17,5% se informam através de revistas e 17,5% através da internet; e entre os reprovados, 11,2% utilizam revistas para manter-se informados e 6,7% usam a internet. Outras fontes como, jornal escrito e o jornal falado (rádio) também foram citadas. Ainda em relação à fonte de conhecimentos atuais, observa-se que as revistas do tipo informativa (Veja, Exame, etc.) são as mais lidas, tanto por candidatos aprovados (71,1%), quanto por candidatos reprovados (68,5%). Em relação ao tipo de ensino (se público ou privado) mais frequentemente cursado pelos candidatos, notou-se que entre os aprovados, tanto no que tange ao ensino fundamental, quanto ao ensino médio, há um número maior de candidatos que cursaram todo ou a maioria do ensino em escolas particulares; dado que não ocorreu entre os candidatos reprovados, que tiveram sua formação educacional realizada de forma mais recorrente em escolas públicas. O ensino fundamental entre os candidatos que não obtiveram êxito no processo seletivo, foi cursado em escolas públicas por 66,3% dos alunos, e entre os que obtiveram sucesso, por 50,5%. Já em relação ao 2º grau, 50,6% dos candidatos reprovados cursaram todo ou a maioria do ensino médio em escolas públicas, e entre os aprovados, somente 20,6% tiveram sua formação média realizada na rede pública de ensino. A Figura 6 deixa claro a discrepância existente entre o tipo de ensino mais freqüentado pelos estudantes aprovados e reprovados (é interessante notar a prevalência do setor privado principalmente na educação e formação média dos aprovados): Tipo de ensino (se público ou privado) utilizado pelos candidatos 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Escolas privadas (todo ou a maior parte) Escolas públicas( todo ou a maior parte)

1º Grau Reprovados

1º Grau 2º Grau 2º Grau Aprovados Reprovados Aprovados

Figura 6. Tipo de ensino (se público ou privado) utilizado pelos candidatos. As expectativas dos candidatos em relação ao curso superior, vida acadêmica e a escolha da UFU também foram analisadas e constatou-se que a maioria dos estudantes escolheu o curso superior pelo interesse que o mesmo desperta, independente se eram candidatos aprovados ou reprovados. Já quando questionados sobre o que esperam obter em primeiro lugar de um curso superior, o item “formação profissional voltada para o trabalho” foi o mais lembrado pelos candidatos, embora entre os reprovados, o número de estudantes que escolheram este item tenha sido muito maior (71,9%) do que entre os candidatos aprovados (53,6%). Pode-se hipotetizar que entre os candidatos reprovados, a aquisição de um curso superior e a utilidade do papel do 3º grau está mais atrelada à formação técnica voltada exclusivamente para o mercado de trabalho, e não, por exemplo, correlacionada à aquisição de conhecimentos e cultura em geral. A Figura 7 permite a comparação entre as expectativas dos candidatos aprovados e reprovados

sobre um curso superior e também, o levantamento de algumas hipóteses como a suscitada anteriormente:

Diferenças entre as expectativas sobre um curso universitário entre aprovados e reprovados

Outro

Aquisição de conhecimentos que me permitam melhorar minha instrução Aquisição de conhecimentos que me permitam compreender melhor o mundo Aprovados Reprovados

Formação acadêmica voltada pra melhorar a atividade prática

Formação teórica voltada para a pesquisa

Formação profissional voltada para o trabalho

Aquisição de cultura geral

0

20

40

60

80

Figura 7. Diferenças entre as expectativas de um curso universitário entre candidatos reprovados e aprovados. Já em relação à principal razão que levou os candidatos a escolher a UFU, notase uma grande heterogeneidade de respostas, sendo a mais freqüente, (38,1% dos aprovados e 42,7% dos reprovados) devido à qualidade do curso oferecido pela instituição.

4. CONCLUSÕES 1) A maioria dos candidatos aprovados reside em Uberlândia ou em outras cidades do estado de Minas Gerais. Pode-se levantar a hipótese de que a maioria dos aprovados é da própria cidade de Uberlândia pelo fato das escolas da cidade terem o PAIES e a aprovação de seus alunos neste processo seletivo, como uma de suas metas educacionais a serem atingidas. Escolas de São Paulo, ou Goiás, por exemplo, poderiam não ver o processo seletivo seriado da UFU como importante prova de admissão para o ensino superior público, buscando contemplar a preparação de seus alunos para outras universidades que não a Universidade Federal de Uberlândia. 2) Há um número maior de candidatos que se declaram brancos que são admitidos no processo seletivo, indicando que um número menor de alunos de outras etnias, como a negra e a indígena são aprovados no PAIES. È óbvio, entretanto, que não se deve concluir que negros, indígenas e outras etnias, são menos inteligentes e capazes de serem aprovados em uma universidade pública de qualidade. O resultado estatístico obtido somente espelha as desigualdades sociais, culturais e econômicas, e a exclusão existente no país, principalmente para aqueles de outras etnias que não a branca. O que se pode observar através desta sobrepujança de etnia, são as raízes históricas de um país escravocrata e excludente como o Brasil, que durante séculos não delegou aos seus cidadãos iguais oportunidades de ascensão social. 3) Há um número maior de candidatos reprovados que trabalham, e também entre estes candidatos encontram-se os menores índices de renda econômica mensal familiar. Observa-se que os estudantes que não foram aprovados no processo seletivo, no geral, são de classe econômica inferior, e muitas das vezes precisam trabalhar, além de estudar, para ajudar na economia familiar, o que obviamente diminui as horas e a qualidade dedicada á preparação para o PAIES. 4) A escolaridade dos pais dos candidatos reprovados foi inferior em relação aos aprovados. Entre estes, há um número maior de pais que estão concluindo ou concluíram a graduação em um curso superior e/ou especialização. Ainda sobre esta variável (escolaridade dos pais), observou-se que tanto entre aprovados, quanto em reprovados, as mães possuem maior nível de escolaridade, demonstrando e confirmando os dados obtidos nos últimos censos realizados pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), de que as mulheres têm buscado maior formação acadêmica e especialização em relação aos homens, conquistando maiores e melhores espaços no mercado de trabalho. Contudo, observou-se também na pesquisa que mesmo as mães possuindo, no geral, maior formação educacional, elas ainda exercem atividades econômicas mais subalternas e inferiores do que os pais, que, no geral, possuem menor escolaridade. Estes dados demonstram a discriminação e exclusão de gênero que ainda existe no país, refletindo as desigualdades existentes nas relações de trabalho entre homens e mulheres. 5) Os candidatos reprovados enfrentam maiores dificuldades de acesso á informação do mundo contemporâneo, haja vista que o universo virtual tem a primazia da fonte dos meios de comunicação sobre os acontecimentos atuais. É conspícuo, portanto, que os candidatos reprovados sofrem sim a “exclusão digital”, ficando aquém dos candidatos aprovados no ter acesso aos conhecimentos atuais e também curriculares, que são úteis na aprovação no PAIES.

6) Entre os candidatos reprovados, há uma prevalência do setor público na formação básica e média educacional, e pode-se hipotetizar que esta variável influenciou na aprovação do candidato no processo seletivo, haja vista que no atual sistema público educacional de 1º e 2º graus, o ensino encontra-se defasado e as condições ofertadas pelo Estado, em suas mais variadas instâncias, são precárias e muito aquém do desejado e necessário para uma educação de qualidade. Praticamente 80% dos candidatos que foram aprovados cursaram todo ou a maior parte do Ensino Médio em escolas particulares e fica claro o quão importante é a qualidade e a formação de 2º grau na aprovação do aluno. 7) A maioria dos candidatos (aprovados e reprovados) escolheram o curso ao qual concorreram a uma vaga na universidade, pelo interesse que esse desperta nos mesmos. Observou-se que entre os candidatos reprovados, a formação superior correlaciona-se mais à obtenção de formação profissional específica voltada para o mercado de trabalho, demonstrando que possivelmente para esses candidatos, a graduação é vista como uma ferramenta para a ascensão social e admissão no mercado de trabalho. Já entre os estudantes aprovados, o curso superior está além de correlacionado á formação para o trabalho, atrelado também à aquisição de cultura em geral, por exemplo; e a formação superior não é vista como útil somente para a ascensão ao mercado de trabalho, mas também como um meio de crescimento e amadurecimento pessoal.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARANGO, H. G. Bioestatística: Teórica e Computacional. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 235p., 2001.

BUSSAB, W. O.; Morettin, P. A. Estatística Básica. 5ª edição. São Paulo: Saraiva, 2002, 526 p.. FRANCO, H. F. S. Avaliação do desempenho dos alunos aprovados e reprovados durante as três etapas. Monografia. Especialização em Estatística Aplicada, Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia, 22 p., 2006. FROIS, L. A.; BARRETO, C. L. Perfil sócio-econômico dos candidatos a ingresso em 2004 no mestrado profissionalizante em Ensino de Ciências Naturais e Matemática da UFRN. In: Simpósio Nacional de Ensino de Física. Anais do..., 16, 2005, 3 p.. PANTALEO JUNIOR, M.; TAKEUCHI, M. Y.; TEIXEIRA, R. R. P. Perfil dos alunos ingressantes em Licenciatura em Física do Centro Federal de Educação Tecnológica de São Paulo. In: Simpósio Nacional de Ensino de Física. Anais do..., 16, 2005, 3 p.. RODRIGUES, A. Análise dos resultados do PAIES em suas três etapas. Monografia. Especialização em Estatística Aplicada, Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia, 17 p., 2006. SOBRAL, D. T.; OLIVEIRA, P. G. Avaliação seriada versus exame vestibular: semelhanças e diferenças entre os coortes no curso de medicina da Universidade de Brasília. Revista Brasileira de Educação Médica. V. 30, n. 3, p. 181-191, 2006. TRIOLA. M. F. Introdução à Estatística. 7. ed. Rio de Janeiro. 1999.

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA - CESPE. Programa de Avaliação Seriada (PAS). Disponível em: www.cespe.unb.br/pas/oquepas/principios/principiospas.htm [Acesso em: 14/05/2007]. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA – COPEVE. Manual do PAIES. Disponível: http://www.ingresso.ufu.br/Paies2007/pdf/Manual_candidato_3etapa_20042007.pdf [Acesso em; 16/05/2007] VEIGA, R. D.; LANCHOTE, L. N.; POMPEU, P. V.; SILVA, A. L. L. Relação entre desempenho no vestibular e em cursos de graduação – Universidade Federal de Lavras. In: Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria (RBRAS) e Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica. Anais da..., 52, CD-ROOM, 2007, 5 p. (2007)

Um Texto Sobre Superf´ıcies Parametrizadas Regulares La´ıs B´assame Rodrigues∗

Edson Agustini†

Faculdade de Matem´atica - Famat Universidade Federal de Uberlˆ andia - Ufu - MG Setembro de 2007

Resumo Este trabalho ´e um texto sobre superf´ıcies parametrizadas regulares, assunto abordado nos cursos de Geometria Diferencial O texto avan¸ca at´e os Teoremas Egregium de Gauss e Fundamental das Superf´ıcies, sendo que o primeiro est´a demonstrado.

1

Superf´ıcies

1.1 Seja

Uma Pequena Revis˜ ao de An´ alise no Rn R3 F : U ⊂ R2 −→ (u, v) −→ F (u, v) = (F1(u, v) , F2(u, v), F3 (u, v))

sendo Fi : U ⊂ R2 −→ R; i = 1, 2, 3. Dizemos que F ´e cont´ınua quando cada Fi ´e cont´ınua. Dizemos que F ´e de classe Ck quando cada Fi for de classe Ck, ou seja, quando existirem todas as derivadas parciais de Fi at´e a ordem k e todas forem cont´ınuas. avel em P = (u, v) ∈ U quando existir uma Dizemos que F : U ⊂ R2 −→ R3 ´e diferenci´ aplica¸c˜ao linear dFP : R2 −→ R3 R (w) = tal que, para todo w ∈ R2, temos F (w + P) = F (P)+dFP (w)+R (w) , sendo lim w→0 |w| 0. A demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1 abaixo pode ser encontrada em livros de An´alise Real como, por exemplo, [5]. Proposi¸ c˜ ao 1. Se F : U ⊂ R2 −→ R3 ´e diferenci´avel em P ∈ U, ent˜ao F (P + tw) − F (P) t→0 t

dFP (w) = lim ∗ †

[email protected] Orientanda Pet Faculdade de Matem´atica - jan/06 a dez/06. [email protected] Professor orientador.

para todo w ∈ R2. Seja B = {e1, e2} base canˆonica do R2. Temos: F (P + te1) − F (P) t F (u0 + t, v0) − F (u0, v0) = lim t→0 t ∂F2 ∂F3 ∂F1 (P) , (P) , (P) = ∂u ∂u ∂u = Fu (P)

dFP (e1) = lim

t→0

sendo P = (u0, v0) . Analogamente:

dFP (e2) =

∂F2 ∂F3 ∂F1 (P) , (P) , (P) ∂v ∂v ∂v

= Fv (P) .

Assim, a matriz de dFP em rela¸ca˜o a` base B ´e dada por: ⎤ ⎡ ∂F1 ∂F1 (P) (P) ⎥ ⎢ ∂u ∂v ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂F2 ∂F 2 ⎥ JF (P) = ⎢ (P) (P) ⎥ ⎢ ∂u ∂v ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ∂F ∂F3 3 (P) (P) ∂u ∂v e ´e a chamada matriz jacobiana de F em P.

1.2

Superf´ıcies Parametrizadas

Uma superf´ıcie parametrizada diferenci´ avel ´e uma aplica¸ca˜o S : U ⊂ R2 −→ ab

(u, v)

R3

−→ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v))

diferenci´avel, sendo U um subconjunto aberto e conexo do R2. z

v

R3

R2

S(u,v) (u,v)

U

u

y

S x S(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

Al´em disso, quando dSP ´e injetora para qualquer P = (u, v) ∈ U, dizemos que S ´e regular. Como S (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) , temos x, y, z : U ⊂ R2 −→ R como fun¸c˜oes componentes (ou coordenadas) de S. Seja R3 Su : R2 −→ ∂y ∂z ∂x . (P) , (P) , (P) P −→ ∂u ∂u ∂u Indicaremos Su =

∂x ∂y ∂z , , ∂u ∂u ∂u

. Analogamente, Sv =

∂x ∂y ∂z , , ∂v ∂v ∂v

.

Proposi¸ c˜ ao 2. Seja S superf´ıcie parametrizada diferenci´avel. Ent˜ao: (1)

(2)

dSP ´e injetora ⇐⇒ os vetores Su (P) e Sv (P) s˜ao linearmente independentes ⇐⇒ Su (P) × → (3) − Sv (P) = 0 ⇐⇒ JS (P) tem posto 2. Demonstra¸c˜ao. De (1): Recordemos que Su (P) = dSP (e1) e Sv (P) = dSP (e2) . =⇒) Suponhamos que ∃α1, α2 ∈ R tais que α1Su (P) + α2Sv (P) = 0. Seja w = (α1, α2) = α1e1 + α2e2 ∈ R2. Logo, dSP (w) = dSP (α1e1 + α2e2) = α1dSP (e1) + α2dSP (e2) = α1Su (P) + α2Sv (P) = 0. Como dSP ´e injetora temos que w = 0 =⇒ α1e1 + α2e2 = 0 =⇒ α1 = α2 = 0, ou seja, Su (P) e Sv (P) s˜ao linearmente independentes. ⇐=) Seja w ∈ ker (dSP) . Ent˜ao: dSP (w) = 0 =⇒ α1dSP (e1) + α2dSP (e2) = 0 =⇒ α1Su (P) + α2Sv (P) = 0 =⇒ α1 = α2 = 0 (pois Su (P) e Sv (P) s˜ao linearmente independentes) Assim, w = 0. Logo, ker (dSP) = {0} , ou seja, dSP ´e injetora. Demonstra¸c˜ao de (2) e (3):

Temos: ⎡

⎤ e2 e3 e1 ⎢ ∂x ⎥ ∂y ∂z ⎢ ⎥ ⎢ ∂u (P) ∂u (P) ∂u (P)⎥ Su (P) × Sv (P) ≡ det ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂x ⎦ ∂y ∂z (P) (P) (P) ∂v ∂v ∂v ⎛ ⎡ ⎜ ∂y ⎜ (P) ⎜ ⎢ ∂u ⎜ ⎢ =⎜ ⎜det ⎢ ⎣ ∂y ⎜ ⎜ (P) ⎝ ∂v

D1

e

⎡

∂x (P) ⎢ ∂u ⎢ ⎢ ⎢ ∂y JS (P) = ⎢ ⎢ ∂u (P) ⎢ ⎢ ⎣ ∂z (P) ∂u

⎞

⎡ ⎤ ∂z ∂z (P)⎥ (P) ⎢ ∂u ⎢ ∂u ⎥ ⎥,det ⎢ ⎣ ∂z ⎦ ∂z (P) (P) ∂v ∂v D2

⎡ ⎤ ∂x ∂x (P)⎥ (P) ⎢ ∂u ⎢ ∂u ⎥ ⎥, det ⎢ ⎣ ∂x ⎦ ∂x (P) (P) ∂v ∂v D3

⎤⎟ ∂y ⎟ (P)⎥⎟ ∂u ⎥⎟ ⎥⎟ ⎦⎟ ⎟ ∂y (P) ⎟ ⎠ ∂v

⎤ ∂x (P) ⎥ ∂v ⎥ ⎥ ⎥ ∂y (P)⎥ ⎥ ∂v ⎥ ⎥ ⎦ ∂z (P) ∂v

Assim, JS (P) tem posto 2 ⇐⇒ Di = 0 para algum i = 1, 2, 3 ⇐⇒ Su (P) × Sv (P) = (0, 0, 0) ⇐⇒ Su (P) e Sv (P) s˜ao linearmente independentes. Deﬁnimos o tra¸co da superf´ıcie regular S como sendo a imagem da aplica¸ca˜o S.

Podemos ampliar nossa deﬁni¸c˜ao de superf´ıcie regular como segue. Seja

S : U ⊂ R2 −→ ab

(u, v)

R3

−→ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v))

uma aplica¸ca˜o diferenci´avel e U aberto conexo do R2. Dizemos que S ´e uma superf´ıcie parametrizada diferenci´ avel regular quando qualquer uma das aﬁrma¸c˜oes a seguir forem verdadeiras: (i) dSP ´e injetora para ∀P = (u, v) ∈ U; (ii) JS (P) tem posto 2 para ∀P = (u, v) ∈ U; ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x (P) , (P) , (P) e Sv (P) = (P) , (P) , (P) s˜ao lin(iii) Su (P) = ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v earmente independentes para ∀P = (u, v) ∈ U; (iv) Su (P) × Sv (P) = (0, 0, 0) , ∀P = (u, v) ∈ U. Daqui em diante diremos superf´ıcie regular para designar uma superf´ıcie parametrizada diferenci´avel regular.

Exemplos: (1) Seja

S:

R2 −→ R3 (u, v) −→ u, v, u2 + v2

Se u = 0 =⇒ S (0, v) = 0, v, v2 =⇒ par´abola. Se v = 0 =⇒ S (u, 0) = u, 0, u2 =⇒ par´abol.a √ Se u2 +v2 = k > 0 temos circunferˆencias de raio k (intersec¸c˜ao de S com o plano z = k). z k

S z=k y=v

x=u

S ´e diferenci´avel e Su (u, v) = (1, 0, 2u) ; Sv (u, v) = (0, 1, 2v) . ⎡

⎤ 1 0 1 0 ⎣ ⎦ Logo, JS (u, v) = 0 1 tem posto 2 pois det = 1 = 0. 0 1 2u 2v Portanto, S ´e regular. (2) Seja f : U ⊂ R2 −→ R de classe C∞ e consideremos S : U ⊂ R2 −→ R3 (u, v) −→ (u, v, f (u, v)) z S(u,v)

y (u,v) x

U

Tr(S) = Im(S) = Graf(f)

O gr´aﬁco de f ´e dado por {(u, v, f (u, v)) | (u, v) ∈ U} = Im (S) . S ´e uma superf´ıcie regular: ⎡ ⎤ 1 0 ⎢ 1 ⎥ JS (P) = ⎣ 0 ⎦ ∂f ∂f (P) (P) ∂u ∂v

1 0 det = 1 = 0 =⇒ JS (P) tem posto 2. 0 1

e

(3) Consideremos a superf´ıcie S: √

R2

−→ R3 √ 2 2 (u, v) −→ u, v, u + v

u v ∂f ∂f (u, v) = √ (u, v) = √ e . 2 2 2 ∂u ∂v u +v u + v2 Logo, S ´e diferenci´avel em R2 − {(0, 0)} . Conseq¨ uentemente, pelo Exemplo 2, S ´e regular em R2 − {(0, 0)} . Neste caso, f (u, v) =

u2 + v2;

z S

x

S não é regular em (0,0)

y

(4) Consideremos S:

R3 R2 −→ (u, v) −→ (a1u + b1v + c1, a2u + b2v + c2, a3u + b3v + c3)

sendo (a1, a2, a3) = k (b1, b2, b3) . Observa¸c˜ao: se (a1, a2, a3) = k (b1, b2, b3) ent˜ao, fazendo t = ku + v, temos S (u, v) = S (t) = (b1t + c1, b2t + c2, b3t + c3) , ou seja, S se degeneraria em um uma reta ou em um ponto. Temos que Tra¸co (S) ´e um plano no espa¸co. S ´e diferenci´avel, Su (u, v) = (a1, a2, a3) e Sv (u, v) = (b1, b2, b3) . Logo, Su e Sv s˜ao linearmente independentes. Assim, S ´e regular. z a

b

a = Ýa 1 , a 2 , a 3 Þ b = Ýb 1 , b 2 , b 3 Þ

y x

Equa¸c˜ao vetorial do plano: X (u, v) = (c1, c2, c3) + u (a1, a2, a3) + v (b1, b2, b3) = S (u, v) . (5) Consideremos

S:

R2 −→ R3 (u, v) −→ (cos (u) , sen (u) , v) z=v

S(u,v) y

u

x

S1

× R : cilindro circular reto

S ´e diferenci´avel, Su (u, v) = (− sen (u) , cos (u) , 0) e Sv (u, v) = (0, 0, 1) . ⎡ ⎤ e1 e2 e3 Su (u, v) × Sv (u, v) ≡ det ⎣− sen (u) cos (u) 0 ⎦ ≡ (cos (u) , sen (u) , 0) = (0, 0, 0) . 0 0 1 Portanto, S ´e regular. (6) Consideremos S:

R2 −→ R3 (u, v) −→ (cos (u) cos (v) , cos (u) sen (v) , sen (u))

Temos:

Tra¸co (S) = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 ; Su (u, v) = (− sen (u) cos (v) , − sen (v) sen (u) , cos (u)) ; Sv (u, v) = (− sen (v) cos (u) , cos (u) cos (v) , 0) ; Su (u, v) × Sv (u, v) = − cos2 (u) cos (v) , − cos2 (u) sen (v) , − cos (u) sen (u) ; |Su (u, v) × Sv (u, v)|2 = cos4 (u) cos2 (v) + cos4 (u) sen2 (v) + cos2 (u) sen2 (u) = cos4 (u) + cos2 (u) sen2 (v) = cos2 (u) . Assim, S ´e regular se cos2 (u) = 0. Mas: cos2 (u) = 0 ⇐⇒ cos (u) = 0 ⇐⇒ u =

π + kπ, k ∈ Z. 2

π π Se v ∈ R e u ∈ − , obtemos a esfera menos os p´olos. 2 2

z S(u,v) v

y esfera

x

1.3

u

Superf´ıcies de Revolu¸ c˜ ao

Superf´ıcies regulares obtidas por revolu¸c˜ao de curvas em torno de eixos s˜ao muito importantes em Geometria Diferencial. Al´em disso, elas possuem parametriza¸c˜oes bastante simples, conforme veremos abaixo. Em torno do eixo z. Seja α : ]a, b[ ⊂ R −→ R3 uma curva regular tal que α (u) = (f (u) , 0, g (u)) com f, g : ]a, b[ −→ R diferenci´aveis e f (u) = 0, ∀u ∈ ]a, b[ . A matriz de rota¸c˜ao de α por um ˆangulo v em torno do eixo z ´e dada por: ⎡ ⎤ cos (v) − sen (v) 0 ⎣sen (v) cos (v) 0⎦ . 0 0 1 Para obter a superf´ıcie descrita pela curva α em torno do eixo z fazemos ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ cos (v) − sen (v) 0 f (u) f (u) cos (v) ⎣sen (v) cos (v) 0⎦ . ⎣ 0 ⎦ = ⎣f (u) sen (v)⎦ 0 0 1 g (u) g (u) com v variando em R, ou seja: S : ]a, b[ × R −→ R3 (u, v) −→ (f (u) cos (v) , f (u) sen (v) , g (u)) ´e chamada de superf´ıcie de revolu¸ca˜o da curva α em torno do eixo z. As curvas S (u, v0) , com v0 ﬁxo e u ∈ ]a, b[ s˜ao chamadas de meridianos da superf´ıcie de revolu¸c˜ao S. As curvas S (u0, v) , com u0 ﬁxo e u ∈ R s˜ao chamadas de paralelos da superf´ıcie de revolu¸c˜ao S. z curva meridiano paralelo x

y

Observa¸c˜ oes: (i) Fazendo v variar em um intervalo de R de comprimento menor do que 2π, obtemos parte de uma superf´ıcie de revolu¸ca˜o. Por exemplo, fazendo v ∈ ]0, 2π[ obtemos a superf´ıcie S menos um meridiano (o que corresponderia a v0 = 0 ou v0 = 2π). (ii) Se permit´ıssemos f (u0) = 0 para algum u0 ∈ ]a, b[ , ter´ıamos que α (u0) = (0, 0, g (u0)) seria um ponto do eixo z e S (u0, v) = (0, 0, g (u0)) , ∀v ∈ R, ou seja, ter´ıamos um paralelo degenerado em um ponto do eixo z fazendo com que S n˜ao seja regular nesse ponto. Exemplos: (1) Seja α (u) = (1, 0, u) , u ∈ R, uma reta do plano xz perpendicular ao eixo x. Temos a superf´ıcie de revolu¸ca˜o de α em torno de z dada por S (u, v) = (cos (v) , sen (v) , u) , que ´e um cilindro circular reto de raio 1. z

y x

(2) Seja α (u) = (a + r cos (u) , 0, r sen (u)) , 0 < r < a, uma circunferˆencia de centro (a, 0, 0) e raio r no plano xz. De fato, fazendo x = a + r cos (u) (x − a)2 = r2 cos2 (u) =⇒ (x − a)2 + z2 = r2. =⇒ z = r sen (u) z2 = r2 sen2 (u) Temos f (u) = a + r cos (u) = 0 ⇐⇒ cos (u) = −

a < −1, r

ou seja, f (u) = 0, ∀u ∈ R. Temos a superf´ıcie de revolu¸ca˜o de α em torno de z dada por S (u, v) = ((a + r cos (u)) cos (v) , (a + r cos (u)) sen (v) , r sen (u)) , que ´e um toro circular de raios a e r. z

y Circunferência de centro (a,0,0) e raio r

x

“Toro Circular”

Em torno do eixo x. Seja α : ]a, b[ ⊂ R −→ R3 uma curva regular tal que α (u) = (g (u) , f (u) , 0) com f, g : ]a, b[ −→ R diferenci´aveis e f (u) = 0, ∀u ∈ ]a, b[ . A matriz de rota¸c˜ao de α por um ˆangulo v em torno do eixo x ´e dada por: ⎡ ⎤ 1 0 0 ⎣0 cos (v) − sen (v)⎦ . 0 sen (v) cos (v) Para obter a superf´ıcie descrita pela curva α em torno do eixo x fazemos ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ g (u) g (u) 1 0 0 ⎣0 cos (v) − sen (v)⎦ . ⎣ f (u) ⎦ = ⎣f (u) cos (v)⎦ 0 f (u) sen (v) 0 sen (v) cos (v) com v variando em R, ou seja: S : ]a, b[ × R −→ R3 (u, v) −→ (g (u) , f (u) cos (v) , f (u) sen (v)) ´e chamada de superf´ıcie de revolu¸c˜ao da curva α em torno do eixo x. z

y

x

Meridianos e paralelos de S s˜ao deﬁnidos de modo an´alogo ao caso anterior. Observa¸co˜es an´alogas ao caso anterior tamb´em s˜ao v´alidas. Exemplo: Seja α (u) = (u, cosh (u) , 0) , u ∈ R, uma caten´aria no plano xy. Temos g (u) = u e f (u) = cosh (u) = 0, ∀u ∈ R. Logo, S (u, v) = (u, cosh (u) cos (v) , cosh (u) sen (v)) , u, v ∈ R, que ´e chamada de caten´oide. z

y S é um catenóide

x

é uma catenária

Em torno do eixo y. Seja α : ]a, b[ ⊂ R −→ R3 uma curva regular tal que α (u) = (0, g (u) , f (u)) com f, g : ]a, b[ −→ R diferenci´aveis e f (u) = 0, ∀u ∈ ]a, b[ . A matriz de rota¸c˜ao de α por um ˆangulo v em torno do eixo y ´e dada por: ⎡ ⎤ cos (v) 0 − sen (v) ⎣ 0 ⎦. 1 0 sen (v) 0 cos (v) Para obter a superf´ıcie descrita pela curva α em torno do eixo x fazemos ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 0 cos (v) 0 − sen (v) ⎦ . ⎣g (u)⎦ = ⎣ g (u) ⎦ ⎣ 0 1 0 f (u) f (u) cos (v) sen (v) 0 cos (v) com v variando em R, ou seja: S : ]a, b[ × R −→ R3 (u, v) −→ (−f (u) sen (v) , g (u) , f (u) cos (v)) ´e chamada de superf´ıcie de revolu¸ca˜o da curva α em torno do eixo y. z

y x

Meridianos e paralelos de S s˜ao deﬁnidos de modo an´alogo ao caso anterior. Observa¸co˜es an´alogas ao caso anterior tamb´em s˜ao v´alidas.

1.4

Curvas Coordenadas

Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e P = (u0, v0) ∈ U. As curvas αu0 (v) = S (u0, v) , (u0, v) ∈ U e αv0 (u) = S (u, v0) , (u, v0) ∈ U s˜ao chamadas curvas (ou linhas) coordenadas da superf´ıcie S. Observemos que meridianos e paralelos de superf´ıcies de revolu¸c˜ao s˜ao curvas coordenadas da superf´ıcie. Exemplos: (1) Seja S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2, um cilindro. Fazendo P = (u0, v0) temos αu0 (v) = S (u0, v) = (cos (u0) , sen (u0) , v) uma reta e αv0 (u) = S (u, v0) = (cos (u) , sen (u) , v0) uma circunferˆencia como curvas coordenadas passando por P.

z J v 0 ÝuÞ SÝu 0 , v 0 Þ

y

x

J u 0 Ýv Þ

(2) Seja S (u, v) = u, v, u2 + v2 , u,v ∈ R, um parabol´ oide circular. 2 2 Fazendo P = (u0, v0) temos αu0 (v) = u0, v, u0 + v uma par´abola e αv0 (u) = u, v0, u2 + v20 , tamb´em um par´abola como curvas coordenadas passando por P. z S

J v 0 ÝuÞ (paralelo ao plano xz)

J u 0 Ýv Þ (paralelo ao plano yz)

y

S(u0,v0)

x

1.5

Plano Tangente

Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e P ∈ U. O plano tangente a S em P ´e o plano, denotado por TPS, que passa por S (P) e ´e paralelo aos vetores Su (P) e Sv (P) . S u ÝPÞ × S v ÝPÞ

TPS

S v ÝPÞ

S u ÝPÞ

S(P) S

´ comum considerarmos TPS passando por (0, 0, 0) , isto ´e: Observa¸c˜ ao: E TPS = {λSu (P) + μSv(P), λ, μ ∈ R} . Exemplo: Seja S (u, v) = u, v, u2 + v2 , u, v ∈ R um parabol´oide circular. Temos Su (u, v) = (1, 0, 2u) e Sv (u, v) = (0, 1, 2v) . Em P = (0, 0) temos: Su (P) = (1, 0, 0) e Sv (P) = (0, 1, 0) , Su (P) × Sv (P) = (0, 0, 1) e S (P) = (0, 0, 0) . Logo: TPS = {λ (1, 0, 0) + μ (0, 1, 0) , λ, μ ∈ R} = {(λ, μ, 0) , λ, μ ∈ R} , ou seja, o plano xy (de equa¸c˜ao z = 0).

z S

Su(P) Sv(P) z=0 Sv(P)

Su(P)

TPS

y

S(P)

x

1.6

Mudan¸ ca de Parˆ ametros

Sejam

S : U ⊂ R2 −→ R3

uma superf´ıcie regular e

h : V ⊂ R2 −→ R2

aplica¸c˜ao diferenci´avel tal que h (V) = U e

|Jh (P)| = det Jh (P) = 0, ∀P ∈ V.

= S ◦ h : V ⊂ R2 −→ R3 ´e uma superf´ıcie regular que tem o mesmo tra¸co A aplica¸ca˜o S de S. R2

v z

S

U

R3

u t

h

æ = S

R2

V

y

SEh x

w

(P) = J (S ◦ h) (P) = JS (h (P)) Jh (P) . Como JS (h (P)) tem posto 2, pois S ´e De fato: JS (P) tem posto 2. Logo, S ´e regular. regular e Jh (P) tem posto 2 por hip´otese, ent˜ao JS A aplica¸ca˜o h ´e chamada mudan¸ca de parˆ ametros para S. ´e diferenci´avel pois ´e composta de aplica¸co˜es diferenci´aveis. Quanto ao Observa¸c˜ ao: S tra¸co: Seja Q ∈ Im S, ent˜ao ∃P ∈ U tal que Q = S (P) . Como h (V) = U, ent˜ao ∃R ∈ V tal que (R) , ou seja, Q ∈ Im S. Assim, Im S ⊂ Im S. h (R) = P. Logo, Q = S (h (R)) = S

ent˜ao ∃R ∈ V tal que S (R) = Q. Mas S = S ◦ h. Logo, S ◦ h (R) = Q ⇒ Seja Q ∈ Im S, ⊂ Im S. Q = S (h (R)) , ou seja, Q ∈ Im S. Assim, Im S Conclus˜ao: Im S = Im S. R2

v

P

R3

z

S U

Q u t

h

Im S = Im S

y

S

R2

R

V

x

w

Observemos que a aplica¸c˜ao h n˜ao precisa ser, necessariamente, injetora. Exemplos: (1) h (w, t) = (ew cos (t) , ew sen (t)) . Temos: w e cos (t) −ew sen (t) =⇒ |Jh (w, t)| = ew = 0, ∀ (w, t) ∈ R2. Jh (w, t) = w e sen (t) ew cos (t) No entanto, h (w, 0) = h (w, 2π) = (ew, 0) , ou seja, h n˜ao ´e injetora. (w, t) = w, t, w2 − t2 ; (w, t) ∈ (2) Sejam S (u, v) = (u + v, u − v, 4uv) ; (u, v) ∈ R2 e S ´e uma reparametriza¸ca˜o de S. R2. Mostremos que S Queremos determinar h:

R2 −→ R2 (w, t) −→ (h1 (w, t) , h2 (w, t))

= S ◦ h e |Jh (w, t)| = 0, ∀ (w, t) ∈ R2. Assim: tal que S (w, t) = S (h (w, t)) =⇒ S w, t, w2 − t2 = S (h1 (w, t) , h2 (w, t)) =⇒ w, t, w2 − t2 = (h1 (w, t) + h2 (w, t) , h1 (w, t) − h2 (w, t) , 4h1 (w, t) h2 (w, t)) . Logo:

⎧ ⎨ h1 + h2 = w w+t w−t h1 − h2 = t e h2 (w, t) = , =⇒ h1 (w, t) = ⎩ 2 2 4h1h2 = w2 − t2

ou seja:

w+t w−t , h (w, t) = . 2 2 Temos que h ´e diferenci´avel C∞ , h ´e sobrejetora e 1 1 1 |Jh (w, t)| = det 21 21 = − = 0; ∀ (w, t) ∈ R2. −2 2 2

z v

R2

S

y

u x

Parabolóide hiperbólico

1.7

Forma Local das Superf´ıcies Regulares

Consideremos a esfera unit´aria com centro na origem:

C = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 , que ´e uma superf´ıcie regular. z C

y x

Temos:

1 − x2 − y2, ou seja, z = f1 (x, y) se z > 0, z = . se z < 0, z = − 1 − x2 − y2, ou seja, z = f2 (x, y)

Isto signiﬁca que, sob certas condi¸c˜oes podemos enxergar partes da superf´ıcie C como gr´aﬁco de fun¸co˜es reais de duas vari´aveis. Este exemplo pode ser generalizado, ou seja, toda superf´ıcie regular pode ser vista localmente como gr´aﬁco de uma fun¸c˜ao real diferenci´avel de duas vari´aveis reais. Este ´e o conte´ udo da proposi¸ca˜o abaixo: Proposi¸ c˜ ao 3. Seja S : U −→ R3 uma superf´ıcie regular e seja P = (u0, v0) . Ent˜ao, existem um conjunto aberto V ⊂ U, com P ∈ V e uma mudan¸ca de parˆametros h : W −→ = S ◦ h ´e o gr´aﬁco de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. V tal que o tra¸co de S Demonstra¸ca˜o. De acordo com as hip´oteses da proposi¸ca˜o acima podemos considerar o seguinte diagrama:

R2

v z

S

R3

P

Im S

U

V

S(P) u

t

y

h S

R2

x

W

w

Sendo S (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) e S regular, ent˜ao JS (P) tem posto 2. Vamos supor: ⎤ ⎡ ∂x ∂x ⎢ ∂u (P) ∂v (P) ⎥ ⎥ ⎢ det ⎢ ⎥ = 0. ⎦ ⎣ ∂y ∂y (P) (P) ∂u ∂v Seja F (u, v) = (x (u, v) , y (u, v)) . Logo, |JF (P)| = D = 0. Pelo Teorema da Fun¸ca˜o Inversa (aplicado a F), existe um aberto V ⊂ R2; V ⊂ U; P ∈ V tal que F|V : V −→ F (V) = W tem inversa h = F−1 diferenci´avel: h:

W −→ V . −1 (w, t) −→ F (w, t)

Seja h (Q) = P. Temos que Jh (Q) tem posto 2. De fato: F ◦ h = F ◦ F−1 = Id =⇒ JF ◦ h (Q) = JId (Q) = Id. Logo, |JF ◦ h (Q)| = |JF (P)| . |Jh (Q)| = 1. Temos |Jh (Q)| = 0, ou seja, Jh (Q) tem posto 2. Temos, portanto, = S ◦ h : W −→ R3 ´e regular. que S Observemos que: F ◦ h (w, t) = Id (w, t) =⇒ F (h (w, t)) = (w, t) =⇒ (x (h (w, t)) , y (h (w, t))) = (w, t) =⇒ x ◦ h (w, t) = w . y ◦ h (w, t) = t Logo, (w, t) = S ◦ h (w, t) = (x (h (w, t)) , y (h (w, t)) , z (h (w, t))) = (w, t, z ◦ h (w, t)) , S ´e o gr´aﬁco da fun¸ca˜o diferenci´avel: ou seja, o tra¸co de S z◦h:

W −→ R . (w, t) −→ z ◦ h (w, t)

1.8

Aplica¸ c˜ ao Normal de Gauss

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e P ∈ U. Vamos denotar vetor unit´ario normal a S em P o vetor: Su (P) × Sv (P) . η (P) = |Su (P) × Sv (P)| (P)

z v

S u ÝPÞ S v ÝPÞ

S(P) U S

y

u x

A aplica¸ca˜o:

η : U ⊂ R2 −→ (u, v)

R3 Su × Sv (u, v) → − |Su × Sv|

chamada Aplica¸ca˜o Normal de Gauss de S. Observando que |η (u, v)| = 1, ∀ (u, v) ∈ U, temos que a imagem da Aplica¸ca˜o Normal de Gauss est´a contida na esfera unit´aria

S2 = (x, y, z) ∈ R3 | |(x, y, z)| = 1 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 . v

z

S U u

y

z

x

C y

Colocando todos os vetores “na origem”:

x

Exemplo: S (u, v) = u, v, u2 + v2 ; (u, v) ∈ R2. (parabol´oide circular) Temos: Su (u, v) = (1, 0, 2u) ; Sv (u, v) = (0, 1, 2v) ; ⎡ ⎤ e1 e2 e3 (Su × Sv) (u, v) = det ⎣ 1 0 2u⎦ = (−2u, −2v, 1) . 0 1 2v √ Logo, |(Su × Sv) (u, v)| = 1 + 4u2 + 4v2.

Assim: η:

1.9

R2

R3 (−2u, −2v, 1) . (u, v) − → √ 1 + 4u2 + 4v2 −→

Curvas sobre uma Superf´ıcie Regular

Sejam α : I ⊂ R → U ⊂ R2 uma curva regular e S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular. A curva β = S ◦ α ´e uma curva cujo tra¸co est´a contido na Im S. Al´em disso, β ´e diferenci´avel, pois ´e composta de aplica¸c˜oes diferenci´aveis. R2

v

U

z

S

R3

u y

x I

§

K = SEJ

A curva β ´e regular. De fato: β (t) = (S ◦ α) = JS (α (t)) α (t) = Su (α (t)) x1 (t) + Sv (α (t)) x2 (t) , sendo α (t) = (x1 (t) , x2 (t)) . Como Su (α (t)) e Sv (α (t)) s˜ao linearmente independentes:

β (t) = (0, 0, 0) ⇐⇒

x1 (t) = 0 . x2 (t) = 0

Mas α ´e regular. Logo, α (t) = (x1 (t) , x2 (t)) = (0, 0) . Conclus˜ao: β (t) = (0, 0, 0) , ∀t ∈ I, ou seja, β ´e regular. Reciprocamente: seja β : I ⊂ R −→ R3 uma curva regular tal que Im β ⊂ Im S sendo S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular. Ser´a que existe α : I ⊂ R −→ R2 tal que β = S ◦ α?

R2

v

U

z

S

R3

u y

x I

§

K = SEJ

Temos β (t) ∈ Im S, ∀t ∈ I. Logo, para cada t existem u = u (t) e v = v (t) tais que β (t) = S (u (t) , v (t)) . Deﬁnindo α : I ⊂ R −→ R2 t −→ α (t) = (u (t) , v (t)) temos S ◦ α (t) = β (t) . Observemos que α ´e diferenci´avel pois S e β s˜ao diferenci´aveis. Consideremos as duas curvas coordenadas de S passando por S (P) = S (u0, v0): αu0 (v) = S (u0, v) e αv0 (u) = S (u, v0) . Temos αu0 (v) = Sv (u0, v) αv0

e (u) = Su (u, v0) ,

ou seja, os vetores tangentes a`s curvas coordenadas αu0 e αv0 no ponto S (u0, v0) pertencem ao plano tangente a` superf´ıcie S em S (u0, v0) . J vv 0 Ýu 0 Þ = S u Ýu 0 , v 0 Þ

S(P) TPS

J vu 0 Ýv 0 Þ = S vÝu 0 , v 0 Þ

Jv0

Ju 0 J v 0 Ýu 0 Þ = J u 0 Ýv 0 Þ = SÝu 0 , v 0 Þ = SÝPÞ

Na verdade, um vetor β (t0) tangente a uma curva regular β qualquer de uma superf´ıcie ser´a paralelo ao plano tangente a` superf´ıcie no ponto β (t0) . Este ´e o conte´ udo da proposi¸ca˜o abaixo.

Proposi¸ c˜ ao 4. Seja β : I ⊂ R −→ R3 uma curva regular na superf´ıcie S : U ⊂ R2 −→ R3. Seja t0 ∈ I e β (t0) = S (P) para algum P ∈ U. Ent˜ao, β (t0) ∈ TPS. Demonstra¸ca˜o. Vimos que ∃α : I ⊂ R −→ U ⊂ R2 tal que β = S◦α, sendo α (t) = (u (t) , v (t)) . Tamb´em vimos que: β (t) = x1 (t) Su (α (t)) + x2 (t) Sv (α (t)) . Fazendo t = t0:

β (t0) = λSu (α (t0)) + μSv (α (t0)) ,

sendo λ = x1 (t0) e μ = x2 (t0) , ou seja, β (t0) ∈ Tα(t0 )S = TPS. Conclus˜ao: Os vetores tangentes a`s curvas na superf´ıcie S passando por S (P) s˜ao paralelos a TPS, ou seja, A = {β (t0) | β ´e uma curva S com β (t0) = S (P)} ⊂ TPS,

como quer´ıamos.

Tomando w ∈ TPS; w = aSu (P) + bSv (P) ; ´e poss´ıvel mostrar que existem α : I ⊂ R −→ R2 e β = S ◦ α tais que β (t0) = S (P) e β (t0) = w, ou seja, TPS ⊂ A. Assim podemos concluir que TPS = A, ou seja:

TPS = w ∈ R3 | w = β (t0) onde β ´e uma curva em S tal que β (t0) = S (P) .

1.10

Primeira Forma Quadr´ atica

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e seja P ∈ U. A aplica¸ca˜o R IP : TPS −→ w −→ w, w = |w|2 ´e chamada de Primeira Forma Quadr´ atica (ou Fundamental ) de S em P. Temos w ∈ TPS =⇒ w = aSu (P) + bSv (P) . Logo, IP (w) = aSu (P) + bSv (P) , aSu (P) + bSv (P) = a2 Su (P) , Su (P) + 2ab Su (P) , Sv (P) + b2 Sv (P) , Sv (P) Fa¸camos

⎧ ⎨ E (P) = Su (P) , Su (P) F (P) = Su (P) , Sv (P) , ⎩ G (P) = Sv (P) , Sv (P)

que s˜ao chamados de coeﬁcientes da Primeira Forma Quadr´ atica. Logo, IP (w) = a2E (P) + 2abF (P) + b2G (P) . Observa¸c˜ ao: E (P) , G (P) > 0.

Exemplo: Consideremos S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2. Seja P ∈ R2. Temos: Su (P) = (− sen (u) , cos (u) , 0) ; Sv (P) = (0, 0, 1) . Logo: E (P) = Su (P) , Su (P) = cos2 (u) + sen2 (u) + 02 = 1 F (P) = Su (P) , Sv (P) = 0 + 0 + 0 = 0 G (P) = Sv (P) , Sv (P) = 02 + 02 + 12 = 1 Assim:

1.11

IP (w) = a2 + b2.

Comprimento de Curvas em Superf´ıcies

Consideremos uma curva β sobre a superf´ıcie S: R2

v R3

z

S

U P= (t0)

’(t0)

S(P) u y

x I t0

§

K = SEJ

Temos:

β (t) = u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t)) ,

sendo α (t) = (u (t) , v (t)) . Seja l o comprimento de β entre os pontos a e b, a < b e a, b ∈ I: b l = |β (t)| dt a

Temos: 2

|β (t)| = u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t)) , u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t)) 2

2

= (u (t)) Su, Su (α (t)) + 2u (t) v (t) Su, Sv (α (t)) + (v (t)) Sv, Sv (α (t)) 2

2

= (u (t)) E (α (t)) + 2u (t) v (t) F (α (t)) + (v (t)) G (α (t)) = Iα(t) (β (t))

Logo: l=

b a

Iα(t) (β (t))dt,

ou seja, o comprimento de β entre a e b s´o depende da primeira forma quadr´atica. Exemplo: Seja S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2. Calculemos o comprimento da curva β = S ◦ α, sendo α (t) = (t, t) , t ∈ [0, 2π] . z

v 2 2 0

S

2 u

§

y x

Se w = aSu (P) + bSv (P) , vimos que IP (w) = a2 + b2. Temos P = α (t) , α (t) = (u (t) , v (t)) = (1, 1) e β (t) = u (t) Su (P) + v (t) Sv (P) . Logo, Iα(t) (β (t)) = 12 + 12 = 2. Assim, l=

2π √ 0

√ 2dt = 2 2π.

Observa¸ca˜o: β (t) = S ◦ α (t) = S (t, t) = (cos (t) , sen (t) , t) , ou seja, β ´e uma h´elice. z

2

y

0

x

§

1.12

´ Area de uma Superf´ıcie

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular. Considere V uma regi˜ao do R2 tal que ◦

V ⊂ U, sendo V compacto, conexo, homeomorfo a um disco do R2 e S| ◦ injetora. (V ´e o V interior de V) Do C´alculo Diferencial e Integral: Su(P)

|S u ÝPÞ × S v ÝPÞ |

S(P) Sv(P)

S

A ´area de S (V) ´e dada por: A (S (V)) =

V

|Su (P) × Sv (P)| dudv.

Mas vimos que ⎡

⎛

Su (P)×Sv (P) = ⎝det ⎣

∂y ∂u ∂y ∂v

(P)

∂z ∂u

(P)

∂z ∂v

(P)

⎤

⎡

⎦ , det ⎣

(P)

∂z ∂u ∂z ∂v

(P)

∂x ∂u

(P)

∂x ∂v

(P)

⎡

⎤

⎦ , det ⎣

∂x ∂u ∂x ∂v

(P)

(P)

∂y ∂u

(P)

(P)

∂y ∂v

(P)

Dessa forma, no ponto P: |Su × Sv|2 =

∂y ∂z

− ∂y ∂z 2 ∂u ∂v

∂y ∂z 2 ∂v ∂u

+

∂z ∂x

− ∂y ∂z ∂y ∂z ∂u ∂v

∂z ∂x 2 ∂v ∂u

∂x ∂y + ∂u − ∂v ∂y ∂z 2

∂x ∂y 2 ∂v ∂u

+ ∂v ∂u ∂v ∂u ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x 2 + ∂u ∂v − 2 ∂u ∂v ∂v ∂u + ∂v ∂u ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 + ∂v ∂u + ∂u − 2 ∂u ∂v ∂v ∂v ∂u ∂x 2 ∂z 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 − ∂u = ∂u + ∂v + ∂v ∂v ∂v ∂y 2 ∂z 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 + ∂u + ∂v + ∂v − ∂u ∂v ∂v ∂z 2 ∂z 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂z 2 ∂z 2 + ∂u + ∂v + ∂v − ∂u ∂v ∂v ∂z ∂x ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂z − 2 ∂u ∂v ∂v ∂u − 2 ∂u ∂v ∂v ∂u −2 ∂v ∂u ∂u ∂v ∂z 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x 2 + ∂v + ∂v = ∂u + ∂u + ∂u ∂v ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z − ∂u ∂v ∂v ∂u + ∂v ∂u + ∂v ∂u ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z − ∂u + ∂v ∂u + ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u ∂x ∂z ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x − ∂u ∂v ∂v ∂u + ∂y + ∂v ∂u ∂v ∂u ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 2 = Su, Su Sv, Sv − ∂v ∂u + ∂v ∂u + ∂v ∂u =

−2 ∂z ∂x 2

∂u ∂v

∂u ∂v

= Su, Su Sv, Sv − Su, Sv2

= EG − F2. Logo,

A (S (V)) = E (P) G (P) − F (P)2dudv. V

Exemplo: Consideremos S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2. Seja V = [0, 2π] × [0, 1] . Vimos que E (P) = 1; F (P) = 0 e G (P) = 1. Logo, 2π 1 A (S (V)) = 1.1 − 02dudv = 2π. 0

0

⎤⎞ ⎦⎠ .

z

v 1

“Anel de raio 1 e altura 1.”

S

y

2 u

0

x

1.13

Segunda Forma Quadr´ atica

Consideremos uma curva β sobre a superf´ıcie S: v U P= (t0)

S TPS

S(P)

u

w

S b

t0 a

K = SEJ

(t0) = S(P) ’(t0) = w

§ Deﬁnimos a Segunda Forma Quadr´atica (ou Fundamental ) da superf´ıcie S em P como sendo a aplica¸c˜ao: IIP : TPS −→ R w −→ β (t0) , η (P) sendo η (P) o vetor normal unit´ario `a S em P: η (P) =

Su (P) × Sv (P) |Su (P) × Sv (P)|

e w = β (t0) para alguma curva β sobre S satisfazendo β (t0) = P. A express˜ao da Segunda Forma Quadr´atica n˜ao depende da curva β escolhida. De fato: seja β = S ◦ α e α (t) = (u (t) , v (t)) . Temos β (t) = u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t)) . Logo, β (t) = u (t) Su (α (t)) + u (t) [Suu (α (t)) u (t) + Suv (α (t)) v (t)] + v (t) Sv (α (t)) + v (t) [Svu (α (t)) u (t) + Svv (α (t)) v (t)] = u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t)) + u (t)2 Suu (α (t)) + 2u (t) v (t) Suv (α (t)) + v (t)2 Svv (α (t))

Suv = Svu pois as fun¸c˜oes componentes s˜ao C∞ . Fa¸camos a = u (t0) e b = v (t0) ; P = α (t0) . Temos: β (t0) = u (t0) Su (P) + v (t0) Sv = aSu (P) + bSv (P) . Logo, IIP (w) = β (t0) , η (P) = u (t0)2 Suu, η (P) + 2u (t0) v (t0) Suv, η (P) + v (t0)2 Svv, η (P) = a2 Suu, η (P) + 2ab Suv, η (P) + b2 Svv, η (P) Sejam: e (P) = Suu (P) , η (P) ; f (P) = Suv (P) , η (P) ; g (P) = Svv (P) , η (P) . Logo, IIP (w) = a2e (P) + 2abf (P) + b2g (P) , sendo w = aSu (P) + bSv (P) , ou seja, IIP (w) n˜ao depende de β. Exemplo: Seja S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R. Seja P = (u0, v0) qualquer e consideremos o plano tangente TPS. Temos: Su (P) = (− sen (u0) , cos (u0) , 0) ; Sv (P) = (0, 0, 1) ; ⎡ ⎤ e1 e2 e3 Su (P) × Sv (P) = det ⎣− sen (u0) cos (u0) 0 ⎦ = (cos (u0) , sen (u0) , 0) ; 0 0 1 Suu (P) = (− cos (u0) , − sen (u0) , 0) ; Suv (P) = (0, 0, 0) ; Svv (P) = (0, 0, 0) ; e (P) = Suu (P) , η (P) =

(cos (u0) , sen (u0) , 0)

(− cos (u0) , − sen (u0) , 0) ,

cos2 (u0) + sen2 (u0) + 02

= − cos2 (u0) − sen2 (u0) + 02 = −1; f (P) = Suv (P) , η (P) = 0 g (P) = Svv (P) , η (P) = 0 Assim, se w = aSu (P) + bSv (P) , temos IIP (w) = −a2.

1.14

Superf´ıcies Isom´ etricas

Uma superf´ıcie S : U ⊂ R2 −→ R3 ´e dita simples quando S ´e injetora. Observa¸c˜ ao: Se S : U ⊂ R2 −→ R3 ´e regular, ent˜ao ∃V ⊂ U tal que S|V ´e injetora. Duas superf´ıcies simples S, S : U ⊂ R2 −→ R3 s˜ao ditas isom´etricas quando os coeﬁcientes das Primeiras Formas Quadr´aticas de S e S coincidem, isto ´e, E (P) = E (P) , F (P) = F (P) e G (P) = G (P) , ∀P ∈ U. Exemplo: As superf´ıcies S : ]0, 2π[ × R −→ R3 (u, v) −→ (u, v, 0)

S : ]0, 2π[ × R −→ R3 (u, v) −→ (cos (u) , sen (u) , v)

e

s˜ao superf´ıcies isom´etricas pois E (u, v) = E (u, v) = 1, F (u, v) = F (u, v) = 0 e G (u, v) = G (u, v) = 1, ∀ (u, v) ∈ ]0, 2π[ × R. Observa¸c˜ ao: se S, S : U ⊂ R2 −→ R3 s˜ao superf´ıcies regulares simples, ent˜ao existe uma bije¸c˜ao φ : S (U) −→ S (U) . De fato, S : U −→ S (U) e S : U −→ S (U) s˜ao bijetoras. Logo, a composta φ = S ◦ S−1 : S (U) −→ S (U) ´e bijetora. z S(U) R3

S

v

y

R2

U x

S

z

u

d = S E S ?1 S(U)

y

R3

x

1.15

Distˆ ancia Intr´ınseca e Isometrias

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e sejam x1, x2 ∈ S (U) . Considere uma curva D : [a, b] −→ S ⊂ R3 tal que D (a) = x1 e D (b) = x2. Seja l (D) o comprimento de D. Deﬁnimos a distˆancia intr´ınseca entre x1 e x2 sobre S como sendo: d (x1, x2) = inf {l (D) : D ´e uma curva na superf´ıcie S ligando x1 a x2} . l(D) x1 = D(a) x2 = D(b)

Sejam S, S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcies regulares. Uma aplica¸c˜ao φ : S (U) −→ S (U) ´e dita uma isometria entre S e S quando preserva distˆancias intr´ınsecas, ou seja, quando d (x1, x2) = d (φ (x1) , φ (x2)) , ∀x1, x2 ∈ S (U) , sendo d a distˆancia intr´ınseca em S e d a distˆancia intr´ınseca em S. Proposi¸ c˜ ao 5. Sejam S, S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcies isom´etricas. Se β : I −→ R3 ´e uma curva na superf´ıcie S, ent˜ao o comprimento de β entre a, b ∈ I, a < b ´e igual ao comprimento de φ ◦ β entre a, b ∈ I, onde φ = S ◦ S−1. Demonstra¸ca˜o. Temos: β = S ◦ α; φ ◦ β = S ◦ S−1 ◦ S ◦ α = S ◦ α. Seja α (t) = (u (t) , v (t)) . z

v U

S

S(U)

y

S

u

d = S E S ?1

x

I

§

S(U)

dEK

dEK = S EJ

b

z

K = SEJ

y

a

x

Temos: l (β) = =

t1 t t01

|β (t)| dt =

t1 t0

|u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t))| dt

u (t)2 E (α (t)) + 2u (t) v (t) F (α (t)) + v (t)2 G (α (t))dt

t0

Analogamente: l (φ ◦ β) = =

t1 t

(φ ◦ β) (t) dt =

t01 t0

t1 t0

u (t) Su (α (t)) + v (t) Sv (α (t)) dt

u (t)2 E (α (t)) + 2u (t) v (t) F (α (t)) + v (t)2 G (α (t))dt

Mas S e S s˜ao isom´etricas, ou seja, E (α (t)) = E (α (t)) , F (α (t)) = F (α (t)) e G (α (t)) = G (α (t)) . Logo, l (β) = l (φ ◦ β) .

Proposi¸ c˜ ao 6. Se S, S : U ⊂ R2 −→ R3 s˜ao superf´ıcies isom´etricas, ent˜ao φ = S ◦ S−1 ´e uma isometria entre S e S. Demonstra¸ca˜o.

Sejam d distˆancia intr´ınseca em S (U) e d distˆancia intr´ınseca em S (U) . Vamos mostrar que d (x1, x2) = d (φ (x1) , φ (x2)) . S

d ?1 E L

x1

(x1)

x2

dEK

S

(x2)

Vimos na proposi¸c˜ao anterior que A = B sendo A = {l (β) : β ´e curva em S ligando x1 a x2}

B = l (φ ◦ β) : φ ◦ β ´e uma curva em S ligando φ (x1) a φ (x2) . Logo, inf A = inf B e, portanto, d (x1, x2) = d (φ (x1) , φ (x2)) . Como x1 e x2 s˜ao arbitr´arios, temos que φ ´e isometria. Proposi¸ c˜ ao 7. Sejam S, S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcies simples. Se a aplica¸c˜ao φ : S (U) −→ S (U) , tal que φ = S◦S−1, preserva comprimento de curvas, ent˜ao as superf´ıcies S e S s˜ao isom´etricas. Demonstra¸c˜ao.

Se β = S ◦ α ´e uma curva em S, ent˜ao, por hip´otese, l (β) = l (φ ◦ β) . S

d ?1 E L

x1

(x1)

x2

dEK

S

(x2)

→ − Seja α (t) = P + t− v , sendo P = (u0, v0) ∈ U, → v = (m, n) um vetor n˜ao nulo e α (t) ∈ U para ∀t ∈ [0, b] . v

v

U

P = (u0,v0) u

Logo, α (t) = (u0 + tm, v0 + tn) . Sejam β = S ◦ α e β = φ ◦ β. As fun¸co˜es comprimento de arco para β e β s˜ao dadas por: t S (t) = |β (u)| du; S (b) = l (β) 0

e

t S (t) = β (u) du; S (b) = l β 0

Como φ preserva comprimento de curvas temos S (t) = S (t) ; ∀t ∈ [0, b] . Logo, S (t) = S (t) =⇒ |β (t)| = β (t) , ∀t. → v . Al´em disso, Mas α (0) = P = (u0, v0) e α (0) = (m, n) = − 2

|β (0)| = Iα(0) (β (0)) e

2 β (0) = I α(0) β (0) .

Assim, IP (β (0)) = IP β (0) =⇒ m2E (P) + 2mnF (P) + n2G (P) = m2E (P) + 2mnF (P) + n2G (P) . Como (m, n) ´e um vetor qualquer tal que m = 0 ou n = 0, vamos supor que m = 0 e n = 0. Assim: n2G (P) = n2G (P) =⇒ G (P) = G (P) . Se n = 0 e m = 0 temos: m2E (P) = m2E (P) =⇒ E (P) = E (P) . Se n = 0 e m = 0 temos

F (P) = F (P) .

Logo, S e S s˜ao isom´etricas.

Exemplo: Vimos na subse¸ca˜o anterior que as superf´ıcies: S : ]0, 2π[ × R −→ S (]0, 2π[ × R) ⊂ R3 e S : ]0, 2π[ × R −→ S (]0, 2π[ × R) ⊂ R3 (u, v) −→ (u, v, 0) (u, v) −→ (cos (u) , sen (u) , v) s˜ao isom´etricas. Logo, a aplica¸ca˜o φ : S (]0, 2π[ × R) −→ S (]0, 2π[ × R) dada por φ (u, v, 0) = S ◦ S−1 (u, v, 0) = S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) ´e uma isometria entre S (]0, 2π[ × R) (parte do plano) e S (]0, 2π[ × R) (parte do cilindro).

1.16

Fun¸ c˜ ao Curvatura Normal

Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e P ∈ U. A fun¸ca˜o curvatura normal kN de S em P ´e deﬁnida por: kN : TPS − {0} −→

R IIP (w) . → − IP (w)

w

Mostra-se que kN n˜ao depende do m´odulo de w e, portanto, podemos falar de fun¸ca˜o curvatura normal segundo uma dire¸c˜ao no plano tangente. Interpreta¸c˜ ao Geom´ etrica da Curvatura Normal Seja w ∈ TPS − {0} tal que |w| = 1. Existe uma curva β : I ⊂ R −→ R3; (β = S ◦ α) ; tal que β (t0) = w e β (t0) = S (P) . Vamos supor β parametrizada pelo comprimento de arco. Temos: kN (w) = =

IIP (w) IP (w)

β (t0) , η (P)

|w|2 = β (t0) , η (P) = T (t0) , η (P) = k (t0) N (t0) , η (P) = k (t0) N (t0) , η (P) , sendo k (t0) a curvatura de β em t0, T (t0) = β (t0) vetor velocidade de β em t0, N (t0) Su × Sv (P) vetor normal unit´ario `a superf´ıcie o vetor normal a` curva β em t0 e η (P) = |Su × Sv| S em P. Seja θ o ˆangulo entre N (t0) e η (P) . Temos: cos (θ) =

N (t0) , η (P) = N (t0) , η (P) . |N (t0)| . |η (P)|

Logo, kN = k (t0) cos (θ) . (P) N(t0) S(P) ’(t0) S

Seja w ∈ TPS. Consideremos a curva β determinada pela intersec¸ca˜o de S com o plano determinado por η (P) , w e S (P) . Esta curva ´e denominada sec¸c˜ao normal da superf´ıcie S determinada por w ∈ TPS.

(P)

w S(P)

S

Pode-se provar que existe t0 ∈ I tal que β (t0) = S (P) , β (t0) = w e N (t0) = ±η (P) . Desta forma, kN (w) = ±k (t0) , pois o ˆangulo entre η (P) e N (t0) ´e 0 ou π radianos. Logo, |kN (w)| = k (t0) . Conclus˜ ao: o m´odulo da curvatura normal de S em P na dire¸ca˜o de w ´e a curvatura em t0 da curva obtida pela intersec¸ca˜o de S com o plano determinado por S (P) , w e η (P) . Com isso, |kN (w)| mede o quanto a superf´ıcie S “se afasta” da dire¸c˜ao tangente determinada por w. Observa¸c˜ oes: (1) Os pontos X do tra¸co de β s˜ao os pontos β (t) = S (u (t) , v (t)) que satisfazem a equa¸c˜ao

X − S (P) , η (P) × w = 0. O primeiro vetor est´a no plano normal a S em t0 que determina β e o segundo ´e perpendicular a esse plano. (2) Se β ´e uma curva na superf´ıcie S, a curvatura normal de S em β (t) na dire¸ca˜o de w = β (t) ´e dada por: IIα(t) (β (t)) , kN = Iα(t) (β (t)) sendo: β (t) = S ◦ α (t) ; α (t) = (x (t) , y (t)) ; β (t) = x (t) Su (α (t)) + y (t) Sv (α (t)) . Exemplo 1: (i) Seja S (u, v) = (u, v, 1) , (u, v) ∈ R2. (S ´e um plano) z

P

S (§2)

(P)

R2 S

S(P)

w

y x

Temos TPS = S R2 . Seja w ∈ TPS. O plano determinado por w, S (P) e η (P) determina uma reta β em S, ou seja, as sec¸c˜oes normais determinadas por qualquer w s˜ao retas, cuja curvatura ´e nula. Logo: |kN (w)| = k (t0) = 0 =⇒ kN (w) = 0, ∀w ∈ TPS. (ii) Seja S (u, v) = (a sen (v) cos (u) , a sen (v) sen (u) , a cos (v)) , (u, v) ∈ R2; a > 0. As sec¸c˜oes normais na esfera s˜ao c´ırculos m´aximos β, cuja curvatura ´e constante e igual 1 a . Logo: a 1 1 |kN (w)| = k (t0) = =⇒ kN (w) = ± . a a O sinal depende da parametriza¸ca˜o de S. S(P) w

(P)

}

a

Existem dire¸co˜es determinadas por w onde a curvatura normal ´e m´axima ou m´ınima. Vejamos, primeiramente, um exemplo. Exemplo 2: Sejam S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2 e P = (u, v) . Temos: E (P) = 1, F (P) = 0, G (P) = 1. e (P) = −1, f (P) = 0, g (P) = 0. Seja: w = aSu (P) + bSv (P) ∈ TPS − {0} . Logo: kN =

−a2 IIP (w) = 2 =⇒ −1 ≤ kN (w) ≤ 0, ∀w ∈ TPS − {0} . Ip (w) a + b2

Seja w1 = 1Su (P)+0Sv (P) = (− sen (u) , cos (u) , 0) . Temos kN (w1) = −1 (valor m´ınimo de kN). Seja w2 = 0Su (P) + 1Sv (P) = (0, 0, 1) . Temos kN (w2) = 0 (valor m´aximo de kN). As curvas normais que correspondem aos valores m´ınimos s˜ao c´ırculos de raio 1. As curvas normais que correspondem aos valores m´aximos s˜ao retas. A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o abaixo pode ser encontrada em [6], p´aginas 164, 165, 166 e 167. Proposi¸ c˜ ao 8. Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular, P ∈ U e kN : TPS − {0} −→ R a fun¸c˜ao curvatura normal de S em P. Ent˜ao, existem vetores ortogonais

e unit´arios w1 e w2 em TPS tais que k1 = kN (w1) ´e valor m´ınimo de kN e k2 = kN (w2) ´e valor m´aximo de kN. Os valores k1 e k2 da proposi¸ca˜o acima s˜ao chamados de curvaturas principais de S em P e os vetores w1 e w2 s˜ao os vetores principais de S em P. As dire¸co˜es determinadas por w1 e w2 s˜ao chamadas de dire¸c˜oes principais de S em P. A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o abaixo pode ser encontrada em [6], p´aginas 169 e 170. Proposi¸ c˜ ao 9. (F´ormula de Euler ) Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular; P ∈ U, w1, w2 os vetores principais de S em P e k1, k2 as curvaturas principais de S em P. Seja w ∈ TPS − {0} tal que |w| = 1. Se w = w1 cos (θ) + w2 sen (θ) , ent˜ao kN (w) = k1 cos2 (θ) + k2 sen2 (θ) .

1.17

Curvatura Gaussiana e Curvatura M´ edia de S em P

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular com curvaturas principais k1 e k2 em P. Deﬁnimos K (P) = k1k2 como sendo a curvatura gaussiana de S em P e H (P) =

k1 + k2 2

como sendo a curvatura m´edia de S em P. Observa¸c˜ ao: Conhecendo-se K (P) e H (P) , podemos encontrar as curvaturas principais resolvendo a equa¸ca˜o do segundo grau: x2 − 2H (P) x + K (P) = 0. A demostra¸ca˜o da proposi¸ca˜o abaixo pode ser encontrada em [6] , p´aginas 171 e 172. Proposi¸ c˜ ao 10. Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e p ∈ U. Ent˜ao, as curvaturas gaussiana e m´edia s˜ao dadas por: K (P) = e

e (P) g (P) − f (P)2 E (P) G (P) − F (P)2

1 e (P) G (P) − 2f (P) F (P) + E (P) g (P) H (P) = . , 2 E (P) G (P) − F (P)2

sendo E (P) , F (P) e G (P) coeﬁcientes de da Primeira Forma Quadr´atica de S em P e e (P) , f (P) e g (P) os coeﬁcientes da Segunda Forma Quadr´atica de S em P. Exemplos: (1) Seja S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2 a parametriza¸ca˜o de um cilindro.

Temos: E (P) = 1, F (P) = 0, G (P) = 1 e (P) = −1, f (P) = 0, g (P) = 0 1 1 1 0 − = − = 0, ∀P ∈ U. Assim, K (P) = = 0, ∀P ∈ U e H (P) = 1 2 1 2 (2) Seja S (u, v) = u, v, v2 − u2 , (u, v) ∈ R2. (parabol´oide hiperb´olico) Temos: E (0, 0) = 1, F (0, 0) = 0, G (0, 0) = 1 e (0, 0) = −2, f (0, 0) = 0, g (0, 0) = 2 Assim, K (0, 0) = −4 e H (0, 0) = 0. As curvaturas principais em P = (0, 0) s˜ao k1 = −2 e k2 = 2. + 1 , −1 < u < 1 e v ∈ R. (3) Sejam S (u, v) = 1 − u3 cos (v) , u, 1 − u3 sen (v) Esta superf´ıcie ´e obtida pela rota¸c˜ao da curva α (u) = 0, u, u3 , −1 < u < 1, em torno da reta z = 1 contida no plano yz. Seu nome ´e Chap´eu de Sherlock. Temos: E (0, v) = 1, F (0, v) = 0, G (0, v) = 1 e (0, v) = 0, f (0, v) = 0, g (0, v) = −1 para qualquer (0, v) ∈ R2. z

S(0,v)

y

x

1 Logo, K (0, v) = 0 e H (0, v) = − para todo v ∈ R. As curvaturas principais em (0, v) 2 s˜ao k1 = −1 e k2 = 0. Dizemos que S : U ⊂ R2 −→ R3 regular ´e uma superf´ıcie m´ınima se H (P) = 0; ∀P ∈ U. Dentre as superf´ıcies regulares em R3, duas classes se destacam: (1) As superf´ıcies de curvatura gaussiana constante (para qualquer ponto), como por exemplo: (1 − i) plano e cilindro, no qual K (P) = 0, ∀P. 1 (1 − ii) esfera de raio r > 0, na qual K (P) = 2 , ∀P. r

(1 − iii) pseudo-esfera, na qual K (P) = −1, ∀P. A pseudo-esfera pode ser obtida pela rota¸c˜ao da tratriz: π t , t ∈ 0, , α (t) = sen (t) , 0, cos (t) + ln tan 2 2 em torno do eixo z. (2) As superf´ıcies m´ınimas, como por exemplo: (2 − i) plano, no qual H (P) = 0, ∀P. (2 − ii) caten´oide no qual H (P) = 0, ∀P. (2 − iii) helic´oide, no qual H (P) = 0, ∀P. (superf´ıcie gerada por todos os segmentos paralelos a xy ligando o eixo z a uma h´elice cil´ındrica de eixo z. Algumas propriedades geom´etricas interessantes em superf´ıcies com K (P) = c ou H (P) = 0, ∀P, s˜ao: (1) Se S e S possuem mesma curvatura gaussiana constante, ent˜ao ´e poss´ıvel restringir os dom´ınios de S e S de tal modo que exista uma isometria entre S e S (homogeneidade). (2) Se S ´e superf´ıcie m´ınima, ent˜ao considerando uma regi˜ao suﬁcientemente pequena em S, a ´area dessa regi˜ao ´e menor do que ou igual a` ´area de qualquer superf´ıcie que tenha a mesma fronteira da regi˜ao (´e a superf´ıcie da “pel´ıcula de sab˜ao”).

1.18

Classiﬁca¸ c˜ ao de Pontos em uma Superf´ıcie

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Dizemos que o ponto P ´e: (i) el´ıptico quando K (P) > 0. (ii) hiperb´ olico quando K (P) < 0. (iii) parab´ olico quando K (P) = 0 e H (P) = 0. (iv) planar quando K (P) = 0 e H (P) = 0. Exemplo 1: (i) Todos os pontos de um plano s˜ao planares, pois K (P) = H (P) = 0, ∀P. 1 , ∀P. r2 (iii) O ponto P = (0, 0) do parabol´oide hiperb´olico S (u, v) = u, v, v2 − u2 , (u, v) ∈ R2 ´e hiperb´olico pois K (0, 0) = −4. Na verdade, todos os pontos de um parabol´oide hiperb´olico s˜ao hiperb´olicos.

(ii) Todos os pontos de uma esfera de raio r s˜ao el´ıpticos pois K (P) =

(iv) Todos os pontos do cilindro S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2 s˜ao parab´olicos, 1 pois K (P) = 0 e H (P) = − = 0, ∀P ∈ U. 2 Exemplo 2: (i) No “Chap´eu de Sherlock” S (u, v) = 1 − u3 cos (v) , u, 1 − u3 sen (v) + 1 , −1 < u < 1 e v ∈ R, os pontos da forma S (u, v) com u = 0 s˜ao parab´olicos; com −1 < u < 0 s˜ao hiperb´olicos e; com 0 < u < 1 s˜ao el´ıpticos.

(ii) No toro S (u, v) = ((a + r cos (u)) cos (v) , (a + r cos (u)) sen (v) , r sen (u)) , (u, v) ∈ R2, 0 < r < a temos: π π (a) Se − + 2hπ < u < + 2hπ, h ∈ Z, ent˜ao os pontos P = (u, v) s˜ao el´ıpticos. 2 2 π (b) Se u = + hπ, h ∈ Z, ent˜ao os pontos P = (u, v) s˜ao pontos parab´olicos. 2 π 3π (c) Se + 2hπ < u < + 2hπ, h ∈ Z, ent˜ao os pontos P = (u, v) s˜ao hiperb´olicos. 2 2

Observa¸c˜ ao: Em uma superf´ıcie m´ınima temos k1 = −k2. Logo: K (P) = − (k2)2 ≤ 0, ∀P ∈ U. Conclus˜ao: Em uma superf´ıcie m´ınima todos os pontos s˜ao hiperb´olicos ou planares. Planos Tangentes e Classiﬁca¸ c˜ ao de Pontos (1) Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Vimos que P ´e el´ıptico quando K (P) > 0. Mas, K (P) = k1k2 > 0 =⇒ k1, k2 > 0 ou k1, k2 < 0. Lembrando que a curvatura normal R kN : TPS − {0} −→ w −→ kN (w) ´e tal que k1 ≤ kN (w) ≤ k2 para todo w, temos: (1 − i) Se k1, k2 > 0, ent˜ao: 0 < k1 ≤ kN ≤ k2 =⇒ kN (w) > 0, ∀w. Vimos que |kN (w)| = k (t0) sendo k (t0) a curvatura da curva β que ´e a sec¸c˜ao normal da superf´ıcie S determinada por w, (β (t0) = S (P)). Como kN (w) > 0 para qualquer w ∈ TPS − {0} , ent˜ao k (t0) > 0 para qualquer sec¸c˜ao normal da superf´ıcie S passando por S (P) . Vimos em curvas planas que se k (t0) > 0, ent˜ao a curva β tem concavidade voltada para o sentido do vetor β (t0) . Mas N (t0) =

β (t0) |β (t0)|

´e o vetor normal unit´ario a` curva β em β (t0) e vimos kN (w) = k (t0) cos (θ)

sendo θ o ˆangulo entre os vetores N (t0) e η (P) , com η (P) vetor unit´ario normal a S em P. Como, neste caso: cos (θ) = 1 =⇒ θ = 0 =⇒ N (t0) = η (P) para qualquer sec¸ca˜o normal de S passando por S (P) , ou seja, todas as sec¸co˜es normais β possuem concavidades voltadas para o sentido do vetor η (P) . Conclus˜ao: Existe uma vizinhan¸ca V de P tal que S (V) est´a contido em apenas um dos semiespa¸cos determinados pelo plano tangente a S em S (P) . S(P) = (t0) N(t0) = (P) = S

N(t0) S

TPS

S(P)

(1 − ii) Se k1, k2 < 0, ent˜ao: k2 ≤ kN (w) ≤ k1 < 0 =⇒ kN (w) = 0, ∀w ∈ TPS − {0} . Como kN (w) = k (t0) cos (θ) e k (t0) > 0 (as parametriza¸co˜es de β s˜ao tais que a curvatura k (t0) seja positiva), temos que cos (θ) = −1 =⇒ θ = π, ou seja, η (P) e N (t0) possuem sentidos opostos. Assim, para qualquer sec¸c˜ao normal de S passando por S (P) temos a concavidade voltada para o sentido do vetor −η (P) . Conclus˜ao: Existe uma vizinha¸ca V de P tal que S (V) est´a contido em apenas um dos semiespa¸cos determinado pelo plano tangente a S em S (P) . (S) TPS

S(P) S N(t0)

(2) Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Vimos que P ´e hiperb´olico quando K (P) < 0. Mas K (P) = k1k2 < 0 =⇒ k1 e k2 possuem sinais opostos. Neste caso temos sec¸c˜oes normais a S passando por S (P) com concavidades locais voltadas para os dois semiespa¸cos determinados por TPS. (P)

TPS

S(P)

(3) Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Vimos que P ´e parab´olico quando K (P) > 0 e H (P) = 0. Mas K (P) = k1k2 = 0 ⇐⇒ k1 = 0 ou k2 = 0. k1 + k2 Como H (P) = = 0 =⇒ k1 e k2 n˜ao s˜ao nulos ao mesmo tempo. 2 Assim, se k1 = 0 temos: 0 = k1 ≤ kN (w) ≤ k2 =⇒ 0 ≤ kN (w) . Se k2 = 0 temos: k1 ≤ kN (w) ≤ k2 = 0 =⇒ kN (w) ≤ 0. Geometricamente temos que h´a uma sec¸ca˜o normal de S passando por S (P) na qual a curvatura k (t0) ´e nula e todas as outras sec¸c˜oes normais a S passando por S (P) est˜ao com concavidades locais voltadas para um mesmo semiespa¸co determinado por TPS. No entanto, isso n˜ao quer dizer que, localmente, todas as se¸c˜oes normais est˜ao com concavidades voltadas para um mesmo lado de TpS. A se¸c˜ao normal que possui curvatura nula pode ter comportamento do tipo da curva y = x3 no plano. No “Chap´eu de Scherlock” h´a exemplos desse tipo de comportamento. (4) Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Vimos que P ´e planar quando K1 + K2 , ent˜ao: K (P) = H (P) = 0. Como K (P) = K1K2 e H (P) = 2 K1 = K2 = 0 =⇒ KN (w) = 0; ∀w ∈ TpS. Geometricamente, toda sec¸c˜ao normal a S passando por S (P) possui curvatura nula, ou seja, localmente (em torno de S (P)) a superf´ıcie S se comporta como um plano. Assim como no caso dos pontos parab´olicos, nada se pode aﬁrmar sobre a concavidade das sec¸co˜es normais em P ∈ S em rela¸c˜ao ao plano tangente TPS. Dois exemplos do comportamento err´atico dos pontos planares com rela¸ca˜2o ao plano tangente s˜ao dados 3 2 , (u, v) ∈ R (Sela de Macaco) e S (u, v) = − 3uv pelas superf´ ıcies S (u, v) = u, v, u 4 4 2 v cos (u) , v sen (u) , v , (u, v) ∈ R (rota¸c˜ao de z = x4 em torno do eixo z).

1.19

Pontos Umb´ılicos

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Dizemos que um ponto P ´e umb´ılico de S quando k1 = k2 em P, ou seja, a curvatura normal kN ´e constante em P. Exemplo 1: Os pontos umb´ılicos de uma superf´ıcie m´ınima s˜ao planares. De fato: como em uma superf´ıcie m´ınima k1 = −k2, se P ´e umb´ılico, ent˜ao k1 = k2, ou seja, k1 = k2 = 0 =⇒ K (P) = H (P) = 0. Proposi¸ c˜ ao 11. Se P ´e um ponto umb´ılico de uma superf´ıcie S, ent˜ao H (P)2 = K (P) . Demonstra¸ca˜o.

Temos: 2 k1 + k2 H (P) − K (P) = − k1k2 2 k2 + 2k1k2 + k22 − 4k1k2 = 1 4 2 k1 − 2k1k2 + k22 = 4 (k1 − k2)2 = 2 ≥ 0.

2

Como P ´e umb´ılico: k1 = k2. Logo: H (P)2 − K (P) = 0 =⇒ H (P)2 = K (P) ,

como quer´ıamos. Exemplo 2: 1 (i) Na esfera todos os pontos s˜ao umb´ılicos pois k1 = k2 = . r (ii) No plano todos os pontos s˜ao umb´ılicos pois k1 = k2 = 0.

Proposi¸ c˜ ao 12. Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e P ∈ U. Ent˜ao, P ´e umb´ılico se, e somente se, ∃λ ∈ R tal que e (P) = λE (P) ; f (P) = λF (P) e g (P) = λG (P) . Demonstra¸ca˜o. =⇒) Se P ´e umb´ılico, ent˜ao: k1 = k2 = λ =⇒ kN (w) =

IIP (w) = λ (pois k1 ≤ kN (w) ≤ k2). IP (w)

Se w = aSu (P) + bSv (P) temos: a2e (P) + 2abf (P) + b2g (P) = λ =⇒ kN = 2 a E (P) + 2abF (P) + b2G (P) a2e (P) + 2abf (P) + b2g (P) = a2λE (P) + 2abλF (P) + b2λG (P) para quaisquer (a, b) ∈ R2 − {(0, 0)} . Fazendo: ⎧ ⎨ a = 1 e b = 0 temos e (P) = λE (P) a = 0 e b = 1 temos g (P) = λG (P) . ⎩ a = 1 e b = 1 temos f (P) = λF (P) ⇐=) Se e (P) = λE (P) , f (P) = λF (P) e g (P) = λG (P) temos: IIP (w) = λIP (w) =⇒

IIP (w) = λ =⇒ kN (w) = λ =⇒ P ´e umb´ılico. IP (w)

Exemplo 3. Determina¸c˜ao de todos os pontos umb´ılicos de um parabol´oide circular S (u, v) = u, v, u2 + v2 , (u, v) ∈ R2. z

x

y

Temos: Su (u, v) = (1, 0, 2u) e Sv (u, v) = (0, 1, 2v) ; (Su × Sv) (u, v) = (−2u, −2v, 1) ; Suu (u, v) = (0, 0, 2) , Svv (u, v) = (0, 0, 2) e Suv (u, v) = (0, 0, 0) . Temos:

(−2u, −2v, 1) . η (u, v) = √ 4u2 + 4v2 + 1

Assim: E (u, v) = 1 + 4u2, F (u, v) = 4uv e G (u, v) = 1 + 4v2; 2 2 , f (u, v) = 0 e g (u, v) = √ . e (u, v) = √ 2 2 2 4u + 4v + 1 4u + 4v2 + 1 Vimos que P = (u, v) ´e umb´ılico se, e somente se, e (P) = λE (P) , f (P) = λF (P) e g (P) = λG (P) , sendo λ = k1 = k2 = kN (w) , ∀w ∈ TPS − {0} . Seja λ ∈ R tal que 2 (1) = λ 1 + 4u2 e (u, v) = λE (u, v) =⇒ √ 4u2 + 4v2 + 1 f (u, v) = λF (u, v) =⇒ 0 = λ4uv (2) 2 g (u, v) = λG (u, v) =⇒ √ (3) = λ 1 + 4v2 4u2 + 4v2 + 1 De (1) temos λ = 0. De (2) temos u = 0 ou v = 0. De (1) e (3) temos u2 = v2. Logo, u = v = 0 e P = (0, 0) ´e o u ´nico ponto umb´ılico de S. A demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao abaixo pode ser encontrada em [6] , p´aginas 189, 190 e 191. Proposi¸ c˜ ao 13. Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular, sendo U um aberto conexo do R2. Se todo P ∈ U ´e um ponto umb´ılico de S, ent˜ao a curvatura gaussiana K ´e constante e K (P) ≥ 0, ∀P ∈ U. Se K (P) = 0, ent˜ao S (U) est´a contida em um plano. 1 . Se K (P) > 0, ent˜ao S (U) est´a contida numa esfera de raio K (P)

1.20

Linhas de Curvatura

Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e α : I ⊂ R −→ R3 curva regular tal que α (t) ∈ S (U) , ou seja, ∃β (t) = (u (t) , v (t)) ∈ U tal que α (t) = S ◦ β (t) = S (u (t) , v (t)) . Dizemos que α ´e uma linha de curvatura em S quando α (t) ´e uma dire¸c˜ao principal de S para todo t ∈ I. v z

U S

S

(t)

’(t)

(t) u

y ’(t) é vetor principal

t I

§

x

Exemplo 1: (1 − i) Plano. Temos que kN (w) = 0 para todo w ∈ TPS − {0} . Logo, qualquer vetor no plano ´e vetor principal e, portanto, qualquer dire¸ca˜o no plano ´e dire¸ca˜o principal. Deste modo, qualquer curva regular no plano ´e uma linha de curvatura. 1 (1 − ii) Esfera. Temos que kN (w) = , ∀w ∈ TPS − {0} . Logo, qualquer w determina r uma dire¸ca˜o principal na esfera. Deste modo, qualquer curva regular na esfera ´e uma linha de curvatura. (1 − iii) Cilindro. As linhas de curvatura no cilindro s˜ao os meridianos (retas) e os paralelos (circunferˆencias).

linhas de curvatura

As demonstra¸c˜oes das proposi¸c˜oes abaixo podem ser encontradas em [6] , p´aginas 195, 197, 198 e 199.

Proposi¸ c˜ ao 14. Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e α (t) = S (u (t) , v (t)) uma curva regular sobre S. Ent˜ao, α ´e uma linha de curvatura se, e somente se, as fun¸co˜es u (t) e v (t) satisfazem ⎡ ⎤ v (t)2 −u (t) v (t) u (t)2 det ⎣ E (u (t) , v (t)) F (u (t) , v (t)) G (u (t) , v (t)) ⎦ = 0, e (u (t) , v (t)) f (u (t) , v (t)) g (u (t) , v (t)) sendo E, F, G, e, f, g os coeﬁcientes da primeira e segunda formas quadr´aticas de S em (u (t) , v (t)) . Proposi¸ c˜ ao 15. (Olinde Rodrigues) Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e α (t) = S (u (t) , v (t)) , t ∈ I, uma curva regular em S. Ent˜ao, α ´e uma linha de curvatura em S se, e somente se, ∃λ : I −→ R diferenci´avel tal que η (t) + λ (t) α (t) = 0, ∀t ∈ I, sendo η (t) = η (u (t) , v (t)) . Neste caso, λ (t) = kN (α (t)) . Proposi¸ c˜ ao 16. Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e P ∈ U um ponto n˜ao umb´ılico de S. Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca V ⊂ U, P ∈ V tal que ∀Q ∈ V, Q ´e um ponto n˜ao umb´ılico de S. Al´em disso, se Q ∈ V, existem exatamente duas linhas de curvatura em P, α1 e α2, tais que α1 (t) = S (u1 (t) , v1 (t)) e α2 (t) = S (u2 (t) , v2 (t)) com (u1 (0) , v1 (0)) = Q = (u2 (0) , v2 (0)) .

S

2

1 S(Q) Q não é umbílico

Observa¸c˜ ao: Se o ponto P for umb´ılico na proposi¸c˜ao acima, nada podemos aﬁrmar sobre a existˆencia de linhas de curvatura. Considere os seguintes exemplos. Exemplo 2: (2 − i) Seja S (u, v) = u, v, u2 + v2 , (u, v) ∈ R2 (parabol´oide circular). Vimos que P = (0, 0) ´e o u ´nico ponto umb´ılico de S. Nesse caso, E (P) = 1, F (P) = 0, G (P) = 1, e (P) = 2, f (P) = 0 e g (P) = 2. Seja α (t) = S (u (t) , v (t)) uma linha de curvatura. Pela Proposi¸ca˜o 14, as fun¸c˜oes u (t) e v (t) devem satisfazer: ⎤ ⎡ −u (t) v (t) u (t)2 v (t)2 δ = det ⎣ E (u (t) , v (t)) F (u (t) , v (t)) G (u (t) , v (t)) ⎦ = 0. e (u (t) , v (t)) f (u (t) , v (t)) g (u (t) , v (t)) No entanto, quaisquer fun¸co˜es u (t) , v (t) satisfazem δ = 0. Logo, temos inﬁnitas linhas de curvatura em P = (0, 0) . (2 − ii) Pelos pontos umb´ılicos do elips´oide n˜ao existem linhas de curvatura.

Exemplo 3: Se S ´e superf´ıcie de rota¸ca˜o ent˜ao os meridianos e paralelos s˜ao linhas de curvatura. De fato: (1) α (t) = S (u0, v (t)) ´e tal que α (t) = Su (u0, v (t)) 0 + Sv (u0, v (t)) v (t) ; (2) β (t) = S (u (t) , v0) ´e tal que β (t) = Su (u (t) , v0) u (t) + Sv (u (t) , v0) 0. Em ambos os casos, u (t) = 0 e v (t) = 0. Por outro lado, ´e f´acil veriﬁcar que F (u (t) , v (t)) = f (u (t) , v (t)) = 0 em uma superf´ıcie de rota¸ca˜o.\ Logo, o determinante da Proposi¸ca˜o 14 sempre se anula para os meridianos e paralelos, ou seja, os mesmos s˜ao linhas de curvatura.

1.21

Linhas Assint´ oticas

Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e P ∈ U. Uma dire¸c˜ao assint´otica em P ´e uma dire¸ca˜o determinada por um vetor tangente w ∈ TPS − {0} tal que kN (w) = 0. Exemplo 1: (1 − i) No plano, todo w ∈ TPS − {0} ´e tal que kN (w) = 0. Logo, qualquer dire¸c˜ao no plano ´e uma dire¸ca˜o assint´otica. 1 = 0, ∀w ∈ TPS − {0} . Logo, n˜ao existem dire¸c˜oes (1 − ii) Na esfera, kN (w) = r assint´oticas na esfera. (1 − iii) Seja o parabol´oide hiperb´olico S (u, v) = u, v, u2 − v2 , (u, v) ∈ R2. Seja P = (0, 0) . Se w = aSu (0, 0) + bSv (0, 0) , temos kN (w) =

−2a2 + 2b2 . a2 + b2

Assim: kN (w) = 0 ⇐⇒ a = ±b. Como Su (0, 0) = (1, 0, 0) e Sv (0, 0) = (0, 1, 0) temos w = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) =⇒ w = (a, a, 0) ou w = (a, −a, 0) determinam as dire¸c˜oes assint´oticas em P = (0, 0) . direções assintóticas

S(P)

S

A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o abaixo pode ser encontrada em [6] , p´aginas 200 e 201. Proposi¸ c˜ ao 17: Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular e seja P ∈ U. (a) Se P ´e el´ıptico, ent˜ao n˜ao existem dire¸co˜es assint´oticas em P. (b) Se P ´e hiperb´olico, ent˜ao existem exatamente duas dire¸c˜oes assint´oticas em P. (b) Se P ´e parab´olico, ent˜ao existe exatamente uma dire¸ca˜o assint´otica em P, que tamb´em ´e principal. (d) Se P ´e planar, ent˜ao todas as dire¸co˜es s˜ao assint´oticas em P. Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular. Uma curva regular α (t) = S (u (t) , v (t)) , t ∈ I ⊂ R, ´e uma linha assint´otica de S, se para todo t ∈ I, α (t) determina uma dire¸ca˜o assint´otica de S em (u (t) , v (t)) . Exemplo 2: (2 − i) Toda curva regular do plano ´e uma linha assint´otica. (2 − ii) Na esfera n˜ao h´a linhas assint´oticas. (2 − iii) No cilindro os meridianos (retas) s˜ao linhas assint´oticas.

linhas assintóticas

(2 − iv) Se α (t) = S (u (t) , v (t)) ´e uma reta em S, ent˜ao α ´e uma linha assint´otica. De fato: kN (α (t)) = k (t) cos (θ) , sendo θ o ˆangulo entre N (t) e η (u (t) , v (t)) . Logo, kN (α (t)) = 0, ∀t ∈ I, isto ´e, α ´e linha assint´ otica. 2 Desta forma, no parabol´oide hiperb´olico S (u, v) = u, v, u − v2 , (u, v) ∈ R2 temos que as retas α1 (t) = (t, t, 0) e α2 (t) = (t, −t, 0) s˜ao linhas assint´oticas. Observa¸c˜ ao: Seja α (t) = S (β (t)) uma linha assint´otica em S, sendo β (t) = (u (t) , v (t)) Ent˜ao: IIβ(t) (α (t)) kN (α (t)) = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ IIβ(t) (α (t)) = 0. (4) Iβ(t) (α (t)) Temos α (t) = Su (β (t)) u (t) + Sv (β (t)) v (t) , isto ´e, a = u (t) e b = v (t). Logo, de (4): u (t)2 e (β (t)) + 2u (t) v (t) f (β (t)) + v (t)2 g (β (t)) = 0 que ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria que permite encontrar as linhas assint´oticas. (u e v s˜ao as solu¸c˜oes) Exemplo 3:

(3 − i) Consideremos S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2. Temos: Su (u, v) = (− sen (u) , cos (u) , 0) e Sv (u, v) = (0, 0, 1) ; η (u, v) = (cos (u) , sen (u) , 0) ; Suu (u, v) = (− cos (u) , − sen (u) , 0) , Suv (u, v) = (0, 0, 0) e Svv (u, v) = (0, 0, 0) . Logo, e (u, v) = 1, f (u, v) = 0 e g (u, v) = 0. A equa¸ca˜o diferencial ordin´aria acima ﬁca u (t)2 1 = 0 =⇒ u (t) = a (constante). Assim: α (t) = (cos (a) , sen (a) , v (t)) , com v (t) qualquer. Logo, as linhas assint´oticas de um cilindro s˜ao os meridianos. Os meridianos são as únicas linhas assintóticas do cilindro.

(3 − ii) Consideremos S (u, v) = (u, v, uv) , (u, v) ∈ R2. Temos Su (u, v) = (1, 0, v) e Sv (u, v) = (0, 1, u) ; (−v, −u, 1) ; η (u, v) = |(Su × Sv) (u, v)| Suu (u, v) = (0, 0, 0) , Suv (u, v) = (0, 0, 1) e Svv (u, v) = (0, 0, 0) . Logo, e (u, v) = 0, f (u, v) = ordin´aria acima ﬁca

1 e g (u, v) = 0. A equa¸ca˜o diferencial |(Su × Sv) (u, v)| 1 = 0 =⇒ |(Su × Sv) (u, v)| u (t) v (t) = 0 =⇒ u (t) = 0 =⇒ v (t) = 0

2u (t) v (t)

u (t) = a (constante) ou v (t) = b (constante). Assim, α (t) = (a, v (t) , av (t)) com v (t) qualquer (reta contida no plano x = a) ou α (t) = (u (t) , b, b.u (t))

com u (t) qualquer (reta contida no plano y = b). (3 − iii) Consideremos S (u, v) = u, v, u2 + v2 ; (u, v) ∈ R2. (parabol´oide circular) Temos: Su (u, v) = (1, 0, 2u) e Sv (u, v) = (0, 1, 2v) ; (−2u, −2v, 1) ; η (u, v) = |(Su × Sv) (u, v)| Suu (u, v) = (0, 0, 2) , Suv (u, v) = (0, 0, 0) e Svv (u, v) = (0, 0, 2) . 2 2 , f (u, v) = 0 e g (u, v) = . A equa¸ca˜o |(Su × Sv) (u, v)| |(Su × Sv) (u, v)| diferencial ordin´aria acima ﬁca: Logo, e (u, v) =

2 2 u (t)2 + v (t)2 = 0 =⇒ |(Su × Sv) (u, v)| |(Su × Sv) (u, v)| u (t)2 + v (t)2 = 0 =⇒ u (t) = 0 e v (t) = 0 =⇒ u (t) = a (constante) e v (t) = b (constante). Logo, n˜ao existem linhas assint´oticas em S (al´em disso, α (t) deveria ser regular =⇒ α (t) = 0 =⇒ u (t) = 0 ou v (t) = 0.

1.22

Geod´ esicas

Uma curva α parametrizada pelo comprimento de arco na superf´ıcie regular S : U ⊂ R2 −→ R3, α (t) = S (u (t) , v (t)) , t ∈ I ´e uma geod´esica quando α (t) ´e paralelo a η (u (t) , v (t)) para qualquer t ∈ I, sendo que η (u (t) , v (t)) denota o vetor normal a` superf´ıcie S. α (t) ´e o vetor normal a` curva α em t. Se |α (t)| α ´e uma geod´esica, ent˜ao N (t) // η (u (t) , v (t)) .

Observa¸c˜ ao: Se α (t) = 0, ∀t ∈ I, N (t) =

NÝtÞ = RÝuÝtÞ, vÝtÞÞ

S

(t)

NÝtÞ = ?RÝuÝtÞ, vÝtÞÞ

Exemplo 1: (1 − i) Todas as retas em uma superf´ıcie regular S s˜ao geod´esicas. De fato, se α (t) ´e uma reta em S, ent˜ao: α (t) = 0 =⇒ α (t) // η (u (t) , v (t)) , (α (t) = 0.η (u (t) , v (t))) .

Observa¸c˜ao: Seja α (t) uma sec¸ca˜o normal de S em P = α (t0) ∈ U. Embora N (t0) // η (P) , nem sempre a sec¸ca˜o α ´e geod´esica de S, pois os vetores N (t) e η (u (t) , v (t)) podem ser paralelos apenas em α (t0) . (1 − ii) Cilindro: S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) , (u, v) ∈ R2. Os meridianos de um cilindro s˜ao geod´esicas (pois s˜ao retas). Seja α (t) = (cos (t) , sen (t) , c) , c constante (um c´ırculo contido no cilindro). Temos α (t) = (− cos (t) , − sen (t) , 0) e η (u, v) = (cos (u) , sen (u) , 0) =⇒ η (u (t) , v (t)) = η (t, c) = (cos (t) , sen (t) , 0) (observemos que α (t) = S (t, c)). Logo, α (t) // η (t, c) , ou seja, α (t) ´e uma geod´esica em S. Seja α (t) = (cos (t) , sen (t) , t) (uma h´elice circular contida no cilindro). Temos α (t) = (− cos (t) , − sen (t) , 0) e η (u, v) = (cos (u) , sen (u) , 0) =⇒ η (u (t) , v (t)) = η (t, t) = (cos (t) , sen (t) , 0) (observemos que α (t) = S (t, t)). Logo, α (t) // η (t, t) , ou seja, α (t) ´e uma geod´esica em S.

Meridiano Círculos

Hélice

A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o abaixo pode ser encontrada em [6] , p´aginas 203 e 204. Proposi¸ c˜ ao 18. Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular. Se α (t) = S (u (t) , v (t)) , t ∈ I ⊂ R, ´e uma geod´esica, ent˜ao: (a) |α (t)| ´e constante; d (b) ± (η (u (t) , v (t))) = −k (t) T (t) − τ (t) B (t) , quando α for parametrizada por dt comprimento de arco e α (t) = 0. (k ´e curvatura e τ ´e a tor¸ca˜o) Com o aux´ılio da proposi¸ca˜o acima, ´e f´acil provar que de uma curva α na esfera ´e uma geod´esica se, e somente se, α ´e um c´ırculo m´aximo. Observa¸c˜ ao: Considere o plano π gerado por η (u (t) , v (t)) e α (t) passando por α (t) em uma superf´ıcie regular S. Vamos supor α parametrizada pelo comprimento de arco. Se α ´e uma geod´esica, ent˜ao N (t) = ±η (u (t) , v (t)) . Logo, o plano π ´e gerado por N (t) e T (t) = α (t) , ou seja, π ´e o plano osculador de α em t.

Conclus˜ao: Se α ´e uma geod´esica em S, ent˜ao o plano osculador de α em t ´e perpendicular ao plano tangente a` superf´ıcie S em α (t) . Seja S : U ⊂ R2 −→ R3 uma superf´ıcie regular. Temos que Su (u, v) , Sv (u, v) e η (u, v) = Su × Sv (u, v) s˜ao linearmente independentes. Logo, {Su, Sv, η} forma uma base de R3 |Su × Sv| para cada (u, v) ∈ U. Deste modo, os vetores Suu (u, v) , Suv (u, v) e Svv (u, v) podem ser escritos como combina¸c˜oes lineares de Su, Sv e η, ou seja: ⎧ 1 2 Su (u, v) + Γ11 Sv (u, v) + a11η (u, v) ⎨ Suu (u, v) = Γ11 1 2 Suv (u, v) = Γ12Su (u, v) + Γ12Sv (u, v) + a12η (u, v) (5) ⎩ 1 2 Svv (u, v) = Γ22 Su (u, v) + Γ22 Sv (u, v) + a22η (u, v) sendo Γijk = Γijk (u, v) ∈ R e aij = aij (u, v) ∈ R. Sabemos que ηu, η (u, v) = 0 e ηv, η (u, v) = 0. Portanto, ηu e ηv s˜ao vetores do plano tangente a S em P = (u, v) . Logo: ηu (u, v) = b11Su (u, v) + b12Sv (u, v) (6) ηv (u, v) = b21Su (u, v) + b22Sv (u, v) sendo bij = bij (u, v) ∈ R. Ap´os algumas contas: 1 (u, v) = Γ11

GEu − 2FFu + FEv (u, v) 2 (EG − F2)

1 (u, v) = Γ12

1 Γ22 (u, v) =

GEv − FGu (u, v) 2 (EG − F2)

2GFv − GGu − FGv (u, v) 2 (EG − F2)

b11 (u, v) =

fF − eG (u, v) EG − F2

2 (u, v) = Γ11

2EFu − EEv − FEu (u, v) 2 (EG − F2)

2 Γ12 (u, v) =

2 Γ22 (u, v) =

EGu − FEv (u, v) 2 (EG − F2)

EGv − 2FFv + FGu (u, v) 2 (EG − F2)

b12 (u, v) =

(7)

eF − fE (u, v) EG − F2

gF − fG fF − gE (u, v) b22 (u, v) = (u, v) 2 EG − F EG − F2 a11 (u, v) = e (u, v) ; a12 (u, v) = f (u, v) ; a22 (u, v) = g (u, v)

b21 (u, v) =

Os n´ umeros reais Γijk; k, i, j = 1, 2; s˜ao chamados S´ımbolos de Christoﬀel da superf´ıcie S. A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o abaixo pode ser encontrada em [6] , p´aginas 207 e 208. Proposi¸ c˜ ao 19. Sejam S : U ⊂ R2 −→ R3 superf´ıcie regular e α : I ⊂ R −→ R3, α (t) = S (u (t) , v (t)) curva regular sobre S. Ent˜ao, α ´e uma geod´esica de S se, e somente se, as fun¸co˜es u = u (t) e v = v (t) satisfazem o sistema de equa¸co˜es diferenciais ordin´arias: 1 1 1 + 2u v Γ12 + (v )2 Γ22 =0 u + (u )2 Γ11 2 2 2 2 2 v + (u ) Γ11 + 2u v Γ12 + (v ) Γ22 = 0

Exemplo 2: (2 − i) Plano: S (u, v) = P + uw1 + vw2, u, v ∈ R. Tomemos Su (P) = w1 e Sv (P) = w2. Temos E = |w1|2 , F = w1, w2 , G = |w2|2 , Eu = Ev = 0, Fu = Fv = 0 e Gu = Gv = 0. Substituindo no sistema de equa¸co˜es diferenciais ordin´arias acima:

u = 0 =⇒ v = 0

u = b =⇒ v = d

u = a + bt . v = c + dt

Logo: α (t) = S (a + bt, c + dt) = P + (a + bt) w1 + (c + dt) w2 =⇒ α (t) = P + aw1 + cw2 + t (bw1 + dw2) . Logo, α ´e geod´esica do plano ⇐⇒ α ´e uma reta. (2 − ii) Vimos que S, S : U ⊂ R2 −→ R3 s˜ao superf´ıcies isom´etricas se, e somente se, E = E, F = F e G = G. Sejam S (u, v) = (u, v, 0) ; 0 < u < 2π; v ∈ R. (plano) S (u, v) = (cos (u) , sen (u) , v) ; 0 < u < 2π; v ∈ R. (cilindro) Assim, E = 1 = E, F = 0 = F e G = 1 = G. Observemos que em superf´ıcies isom´etricas os S´ımbolos de Christoﬀel s˜ao iguais. Logo, se α (t) = S (u (t) , v (t)) ´e uma geod´esica em S, ent˜ao α (t) = S (u (t) , v (t)) ´e uma geod´esica em S. Como vimos no exemplo anterior, u (t) = a + bt e v (t) = c + dt. Logo, as geod´esicas do cilindro s˜ao α (t) = S (a + bt, c + dt) =⇒ α (t) = (cos (a + bt) , sen (a + bt) , c + dt) . Se b = 0 e d = 0, ent˜ao α (t) = (cos (a) , sen (a) , c + dt) ´e um meridiano do cilindro. Se b = 0 e d = 0, ent˜ao α (t) = (cos (a + bt) , sen (a + bt) , c) ´e um c´ırculo do cilindro. Se b = 0 e d = 0, ent˜ao α (t) = (cos (a + bt) , sen (a + bt) , c + dt) ´e uma h´elice do cilindro. E estes trˆes tipos de curvas s˜ao as u ´nicas geod´esicas poss´ıveis em um cilindro. Veja ilustra¸c˜ao acima.

Outra conseq¨ uˆencia importante da proposi¸ca˜o acima: Se S, S : U ⊂ R2 −→ R3 s˜ao superf´ıcies isom´etricas, φ : S (U) −→ S (U) ´e uma isometria entre S e S e α (t) = S (u (t) , v (t)) ´e uma geod´esica em S, ent˜ao φ ◦ α (t) = φ (S (u (t) , v (t))) ´e uma geod´esica em S.

S

S

S

v

S U u

§

I

Temos que α = S ◦ β e α = φ ◦ α. De fato: φ ◦ α (t) = φ (S (u (t) , v (t))) = φ (S (β (t))) = S (β (t)) =⇒ φ ◦ α = S ◦ β.

1.23

Teorema Egregium de Gauss

Proposi¸ c˜ ao 20. (Teorema Egregium de Gauss) A curvatura gaussiana s´o depende da primeira forma quadr´atica. Demonstra¸c˜ao: Inicialmente, lembramos que se S : U ⊂ R2 → R3 ´e uma superf´ıcie e η ´e a Aplica¸ca˜o Normal de Gauss a ela associada, ent˜ao como vimos na se¸ca˜o anterior, Suu, Suv, Svv s˜ao combina¸c˜oes lineares de Su, Sv e η. Al´em disso, ηu, ηv, por serem tangentes a` superf´ıcie, s˜ao combina¸co˜es lineares de Su e Sv. Os coeﬁcientes destas combina¸c˜oes lineares, que foram obtidos em (7) , n˜ao s˜ao independentes, pois devem satisfazer as rela¸c˜oes: (Suu)v = (Suv)u , (Svv)u = (Suv)v , ηuv = ηvu.

(8)

Substituindo (5) e (6) em (8) , cada equa¸ca˜o de (8) se reduz a anular uma combina¸ca˜o linear de Su, Sv e η, que s˜ao vetores linearmente independentes de R3. Portanto, anulando os coeﬁcientes destas combina¸c˜oes lineares obtemos nove rela¸co˜es. Vejamos com detalhes as rela¸c˜oes que resultam da primeira equa¸c˜ao de (8) . Substituindo (7) na primeira equa¸c˜ao de (8) temos ∂ 1 ∂ 1 2 2 Γ11Su + Γ11 Γ12Su + Γ12 Sv + eη = Sv + fη . ∂v ∂u Efetuando as derivadas parciais acima e substituindo Suu, Suv, Svv, ηu e ηv em fun¸c˜ao de Su, Sv e η, pelas rela¸co˜es (7) , obtemos as seguintes equa¸co˜es: 1 gF − fG 1 fF − eG 1 1 2 1 1 1 2 1 Γ12 + Γ11 Γ22 + e = Γ + Γ Γ + Γ Γ + f , Γ11 v + Γ11 12 12 11 12 12 u EG − F2 EG − F2 2 2 fF − gE eF − fE 1 2 2 2 1 2 2 2 Γ11 v + Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 + e = Γ12 u + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ12 + f , 2 EG − F EG − F2 1 2 1 2 fΓ11 + gΓ11 + ev = eΓ12 + fΓ12 + fu,

onde nas equa¸c˜oes acima substituimos os coeﬁcientes bij de ηu e ηv por suas express˜oes dadas em (7) . As trˆes equa¸co˜es acima podem ser escritas na forma 1 1 eg − f2 2 1 2 1 = Γ − Γ11 v + Γ12 Γ12 − Γ11 Γ22, 12 u 2 EG − F 2 2 eg − f2 1 2 1 2 2 2 2 2 = Γ12 − Γ11 + Γ12 Γ11 − Γ11 Γ12 + Γ12 Γ12 − Γ11 Γ22, −E u v 2 EG − F 2 1 1 2 − gΓ11 ev − fu = eΓ12 + f Γ12 − Γ11 . F

(9) (10)

´ltimas equa¸c˜oes De modo an´alogo, considerando os coeﬁcientes de Su, Sv e η das duas u de (8) obtemos outras seis rela¸c˜oes, dais quais destacamos 2 1 1 2 − gΓ12 + f. Γ22 − Γ12 (11) fv − gu = eΓ22 A equa¸ca˜o (9) ´e precisamente 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 − Γ11 + Γ12 Γ11 − Γ11 Γ12 + Γ12 − Γ11 Γ22 −EK = Γ12 u v

(12)

e como os s´ımbolos de Christoﬀel s´o dependem da primeira forma quadr´atica, concluimos que a curvatura gaussiana depende apenas da primeira forma quadr´atica. A equa¸ca˜o (12) da demonstra¸ca˜o do Teorema Egregium de Gauss: 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 − Γ + Γ Γ − Γ Γ + Γ12 − Γ11 Γ22 −EK = Γ12 11 12 11 11 12 u v ´e dita Equa¸c˜ao de Gauss. As equa¸co˜es (10) e (11)

2 1 1 2 − gΓ11 + f Γ12 − Γ11 ev − fu = eΓ12 1 2 1 2 − gΓ12 fv − gu = eΓ22 + f Γ22 − Γ12

s˜ao chamadas Equa¸co˜es de Codazzi-Mainardi. As equa¸c˜oes equa¸co˜es de Gauss e de Codazzi-Mainardi s˜ao ditas Equa¸c˜oes de compatibilidade. Observa¸c˜ oes: (1) Como vimos, a curvatura gaussiana ´e deﬁnida a partir da primeira e segunda formas quadr´aticas, mas o teorema acima aﬁrma que, na verdade, a curvatura gaussiana depende apenas da primeira forma quadr´atica. Como consequˆencia, superf´ıcies isom´etricas possuem mesma curvatura gaussiana. (2) A rec´ıproca da propriedade descrita em (1) n˜ao ´e verdadeira, isto ´e, duas superf´ıcies podem possuir mesma curvatura gaussiana e n˜ao serem isom´etricas. (3) A rec´ıproca descrita em (2) ´e verdadeira se a curvatura gaussiana das superf´ıcies forem iguais e constantes. (4) Como as curvaturas gaussianas do plano e da esfera s˜ao diferentes, temos que seus coeﬁcientes da primeira forma fundamental ser˜ao diferentes e, conseq¨ uentemente, o plano e a esfera n˜ao s˜ao isom´etricos, mesmo restringindo seus dom´ınios. O mesmo com o toro e a esfera, toro e cilindro, esfera e cilindro, plano e toro, esfera e cone, etc.

1.24

Teorema Fundamental das Superf´ıcies

Proposi¸ c˜ ao 21. (Teorema Fundamental das Superf´ıcies) Sejam E, F, G, e, f, g fun¸c˜oes reais diferenci´aveis deﬁnidas em um aberto conexo U ⊂ R2, tais que E, F, EG − F2 > 0. Se E, F, G, e, f, g satisfazem as Equa¸c˜oes de Compatibilidade, ent˜ao: (a) Existe uma superf´ıcie parametrizada regular S : U ⊂ R2 −→ R3 tal que E, F, G s˜ao os coeﬁcientes da primeira forma quadr´atica de S e e, f, g s˜ao os coeﬁcientes da segunda forma quadr´atica de S. (b) Se S e S s˜ao duas superf´ıcies satisfazendo (a) , ent˜ao existe um movimento r´ıgido M de R3 (uma isometria de R3) tal que S = M ◦ S. A demonstra¸ca˜o do Teorema Fundamental das Superf´ıcies envolve conceitos de equa¸c˜oes diferenciais parciais e est´a al´em dos objetivos deste trabalho. No entanto, sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [2] , p´aginas de 375 a 379.

2

Referˆ encias Bibliogr´ aﬁcas

[1] Araujo, P. V. Geometria Diferencial. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matem´atica. (Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria). 1998. [2] Carmo, M. P. do. Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matem´atica. (Cole¸ca˜o Textos Universit´arios). 2005. ´ [3] Lima, E. L. Algebra Linear. 3a . ed. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matem´atica. (Cole¸ca˜o Matem´atica Universit´aria). 1999. [4] Lima, E. L. Curso de An´ alise. Vol. 1. 12a . ed. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matem´atica. (Cole¸ca˜o Matem´atica Universit´aria). 2000. [5] Lima, E. L. Curso de An´ alise. Vol. 2. 9a . ed. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matem´atica. (Cole¸ca˜o Matem´atica Universit´aria). 2000. [6] Tenemblat, K. Introdu¸ca˜o `a Geometria Diferencial. Bras´ılia: Editora da UnB. 1988. [7] www-groups.dcs.st-and.ac.uk/˜history/. Site de Hist´oria da Matem´atica da Universidade de Saint Andrews-UK.

O Teorema de Barlotti Luciana Yoshie Tsuchiya∗ Gabriela Aparecida dos Reis† Edson Agustini‡ Faculdade de Matem´atica - Famat Universidade Federal de Uberlˆ andia - Ufu - MG Setembro de 2007

1

Introdu¸c˜ ao

Este trabalho de inicia¸c˜ao cient´ıﬁca est´a baseado na disserta¸ca˜o de mestrado “Complexidade em Geometria Plana Euclidiana”, de S. M. R. Lopes, ref. [4] , e tivemos por objetivo demonstrar o Teorema de Barlotti: “Se Pn ´e um n-´agono regular aﬁm do plano complexo, ent˜ao o n-´agono Bn cujos v´ertices s˜ao os baricentros dos n-´agonos regulares constru´ıdos (todos externamente ou todos internamente) sobre cada um dos n lados de Pn ´e regular.” utilizando o conceito de complexidade alg´ebrica associado `as demonstra¸co˜es de Geometria Euclidiana Plana. Este conceito ´e oriundo do fato de que em algumas demonstra¸c˜oes de geometria ´e poss´ıvel utilizar determinados polinˆomios cujas ra´ızes representam casos particulares no qual o teorema que se deseja provar se torna verdadeiro e, a partir desses casos particulares, ´e poss´ıvel demonstrar o caso geral. Considerando p como sendo o polinˆomio de menor grau que podemos deduzir em uma determinada demonstra¸c˜ao de um teorema, podemos deﬁnir a complexidade alg´ebrica do teorema como sendo o grau de p. No Teorema de Barlotti enunciado acima, um n-´agono ´e dito regular aﬁm do plano complexo quando for imagem de um n-´agono regular por uma transforma¸c˜ao que ´e composta de uma transla¸c˜ao com um operador linear do plano complexo. Como todo triˆangulo ´e regular aﬁm, temos como corol´ario imediato do Teorema de Barlotti o Teorema de Napole˜ao: “Dado um triˆangulo ABC qualquer, sejam os triˆangulos equil´ateros apoiados externamente (ou internamente) sobre cada um de seus lados. Ent˜ao, os baricentros X, Y e Z destes triˆangulos equil´ateros formam um triˆangulo XYZ tamb´em equil´atero, chamado Triˆ angulo de Napole˜ ao Externo (ou Interno).” Para empenhar o estudo acima, introduzimos uma se¸c˜ao de resultados preliminares que se mostraram bastante u ´teis para a familiariza¸ca˜o dos conceitos que utilizamos na ∗

[email protected] - Pet - Programa de Educa¸c˜ao Tutorial - Famat - Ufu. [email protected] - Pet - Programa de Educa¸c˜ao Tutorial - Famat - Ufu. ‡ [email protected] Professor orientador. †

demonstra¸c˜ao do Teorema de Barlotti. Trata-se de uma breve introdu¸c˜ao a alguns con´ ceitos de Algebra Linear, N´ umeros Complexos e Isometrias no Plano Euclidiano.

2

Preliminares

2.1

´ Algebra Linear

2.1.1

Espa¸ cos Vetoriais

Seja o conjunto V n˜ao-vazio sobre o qual est˜ao deﬁnidas as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸c˜ao por escalar, isto ´e: (i) ∀u, v ∈ V, u + v ∈ V; (ii) ∀λ ∈ R, ∀u ∈ V, λu ∈ V. O conjunto V munido dessas duas opera¸c˜oes ´e chamado espa¸co vetorial sobre R se forem veriﬁcados os seguintes axiomas: (A) Em relal¸ca˜o a` adi¸c˜ao, para quaisquer u, v, w ∈ V temos: (A1) (u + v) + w = u + (v + w) ; (A2) u + v = v + u; (A3) ∃0 ∈ V tal que u + 0 = u; (A4) ∀u ∈ V, ∃ (−u) ∈ V tal que u + (−u) = 0. (M) Em rela¸ca˜o a` multiplica¸ca˜o por escalar, para quaisquer u, v ∈ V e α, β ∈ R temos: (M1) (αβ) u = α(βu); (M2) (α + β) u = αu + βu; (M3) α(u + v) = αu + av; (M4) 1u = u. Os elementos do espa¸co vetorial V s˜ao chamados vetores, independentemente de sua natureza. Sejam V um espa¸co vetorial e S um subconjunto n˜ao-vazio de V. O subconjunto S ´e um subespa¸co vetorial de V quando S ´e um espa¸co vetorial em rela¸ca˜o a` adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao por escalar. Seja V um espa¸co vetorial. Um conjunto B = {v1, ..., vn} ⊂ V ´e uma base de V quando: (i) B ´e linearmente independente, ou seja, um vetor de B n˜ao pode ser escrito como combina¸c˜ao linear dos demais vetores de B; (ii) B gera V, ou seja, qualquer vetor de V pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de vetores de B. Seja V um espa¸co vetorial. (i) Quando V possui uma base com n vetores, dizemos que V tem dimens˜ao n e denotamos dim V = n; (ii) Quando V n˜ao possui base, dizemos que V ´e o espa¸co vetorial nulo e denotamos dim V = 0. 2.1.2

Transforma¸ co ˜es Lineares

Para dizer que T ´e uma transforma¸ca˜o do espa¸co vetorial V no espa¸co vetorial W, escrevese T : V −→ W. Sendo T uma fun¸ca˜o, cada vetor v ∈ V tem um s´o vetor imagem w ∈ W, que ser´a indicado por w = T (v) .

Sejam V e W espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸ca˜o: T : V −→ W v −→ T (v) = w ´e chamada transforma¸c˜ao linear de V em W quando para quaisquer u, v ∈ V e α ∈ R: (i) T (u + v) = T (u) + T (v) ; (ii) T (αu) = αT (u) . Sejam T1 : V −→ W e T2 : V −→ W transforma¸c˜oes lineares. Chama-se soma das tranforma¸c˜oes lineares T1 e T2 `a transforma¸ca˜o linear: W T1 + T2 : V −→ . u −→ (T1 + T2)(u) = T1(u) + T2(u) Sejam T : V −→ W uma transforma¸c˜ao linear e α ∈ R. Chama-se produto de T pelo escalar α `a transforma¸ca˜o linear: αT : V −→ W . u −→ (αT )(u) = αT (u) Sejam T1 : U −→ V e T2 : V −→ W transforma¸c˜oes lineares. Chama-se aplica¸ca˜o composta de T1 com T2, e representa-se por T2 ◦ T1, `a transforma¸c˜ao linear: T2 ◦ T1 : U −→ W . u −→ (T2 ◦ T1)(u) = T2(T1(u)) Dada uma aplica¸ca˜o T : V −→ W, diremos que T ´e injetora quando: dados u, v ∈ V tais que u = v, ent˜ao T (u) = T (v). A aplica¸c˜ao T : V −→ W ser´a sobrejetora quando: dado w ∈ W, existir v ∈ V tal que T (v) = w. Chama-se n´ ucleo de uma transforma¸ca˜o linear T : V −→ W ao conjunto de todos os vetores v ∈ V que s˜ao transformados em 0 ∈ W pela transforma¸ca˜o T. Indica-se esse conjunto por N(T ) ou ker(T ). Assim, N(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0}. Chama-se imagem de uma transforma¸ca˜o linear T : V −→ W ao conjunto dos vetores w ∈ W que s˜ao imagens de pelo menos um vetor v ∈ V. Indica-se esse conjunto por Im(T ) ou T (V). Propriedades: Sejam V e W espa¸cos vetoriais e T : V → W transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao: I) O n´ ucleo de T ´e um subespa¸co vetorial de V. II) T ´e injetora se, e somente se, N (T ) = {0}. III) A imagem de T ´e um subespa¸co vetorial de W. IV) Se dim V = dim W, ent˜ao T ´e injetora se, e somente se, T ´e sobrejetora. V) Se dim V = dim W e T ´e injetora, ent˜ao T transforma base em base, isto ´e, se B = {v1, ..., vn} ´e base de V, ent˜ao T (B) = {T (v1), ..., T (vn)} ´e base de W. Chama-se isomorﬁsmo do espa¸co vetorial V no espa¸co vetorial W a uma transforma¸c˜ao linear T : V −→ W, que ´e bijetora. Nesse caso, os espa¸cos vetoriais V e W sao ditos isomorfos.

2.1.3

Operadores Lineares

Uma transforma¸c˜ao linear de V em V (ou seja, V = W) ´e chamada operador linear sobre V. As propriedades gerais das transforma¸c˜oe lineares s˜ao v´alidas para os operadores lineares. Propriedades: Seja T : V −→ V um operador linear. I) Se T ´e invers´ıvel e T −1 ´e sua inversa, ent˜ao T ◦ T −1 = T −1 ◦ T = I (identidade). II) T ´e invers´ıvel se, e somente se, N(T ) = {0}. III) Se T ´e invers´ıvel, ent˜ao T transforma base em base, isto ´e, se B ´e uma base de V, T (B) tamb´em ´e base de V. ! IV) Se T ´e invers´ıvel e B uma base de V, entao T −1 : V −→ V ´e linear e T −1 B = ([T ]B)−1 , isto ´e, a matriz do operador linear inverso numa certa base B ´e a inversa da matriz do operador T nessa mesma base. Da´ı temos que: T ´e invers´ıvel se, e somente se, det [T ] = 0. Seja V um espa¸co vetorial euclidiano (espa¸co vetorial real, de dimens˜ao ﬁnita, com um produto interno deﬁnido). Um operador linear T : V −→ V ´e ortogonal quando preserva o m´odulo de cada vetor, isto ´e, quando para qualquer v ∈ V temos |T (v)| = |v| . Observa¸c˜oes: 1) Tendo emvista que o m´odulo de um vetor ´e calculado por meio de um produto interno (|v| = v, v), ent˜ao os operadores ortogonais s˜ao deﬁnidos nos espa¸cos vetoriais euclidianos. 2) Nos operadores ortogonais, ser˜ao consideradas somente bases ortogonais em V. Propriedades: I) Seja T : V −→ V um operador ortogonal sobre o espa¸co !euclidiano V. Ent˜ao, a inversa da matriz de T coincide com a sua transposta, isto ´e, T −1 = [T ]t . II) O determinante da matriz de um operador ortogonal ´e +1 ou −1. III) Todo operador ortogonal T : V −→ V preserva o produto interno de vetores, isto ´e, para quaisquer vetores u, v ∈ V, tem-se u, v = T (u) , T (v) ; IV) A composta de dois operadores ortogonais ´e um operador ortogonal ou, equivalentemente, o produto de duas matrizes ortogonais ´e uma matriz ortogonal. V) As colunas (ou linhas) de uma matriz ortogonal formam um conjunto de vetores ortonormais. 2.1.4

Transforma¸ co ˜es Lineares no Plano

Iremos trabalhar com o espa¸co vetorial R2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R} munido das opera¸c˜oes de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o por escalar usuais sobre o corpo dos n´ umeros reais R, ou seja: se u = (x1, x2), v = (y1, y2) e λ ∈ R, ent˜ao: (i) u + v = (x1 + y1, x2 + y2) ; (ii) λu = (λx1, λx2) . Para efeitos geom´etricos, iremos identiﬁcar o plano euclidiano com o espa¸co vetorial R2. Entende-se por transforma¸c˜oes lineares no plano as transforma¸co˜es lineares de R2 em R2.

Reﬂex˜ oes (i) Reﬂex˜ao em torno do eixo dos x. Essa transforma¸ca˜o linear leva cada ponto (x, y) em (x, −y) , sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo dos x, ou seja: R2 T : R2 −→ . (x, y) −→ (x, −y) y

(x,y) T o

x (x,-y)

(ii) Reﬂex˜ao em torno do eixo dos y: R2 R2 −→ . (x, y) −→ (−x, y)

T:

y

(-x,y)

T

(x,y)

O

x

(iii) Reﬂex˜ao em torno da origem: T:

R2 −→ R2 . (x, y) −→ (−x, −y) y

T o (-x,-y)

(x,y)

x

(iv) Reﬂex˜ao em torno da reta y = x: R2 −→ R2 . (x, y) −→ (y, x)

T:

y y=x (y,x) T (x,y) o

x

(v) Reﬂex˜ao em torno da reta y = −x: R2 −→ R2 . (x, y) −→ (−y, −x)

T:

y

y=-x

o T

x

(x,y)

(-y,-x)

Dilata¸ c˜ oes e Contra¸ co ˜es (i) Dilata¸c˜ ao ou contra¸c˜ao na dire¸c˜ao do vetor v = (x, y): T:

R2 −→ R2 , α ∈ R∗ . (x, y) −→ α (x, y) y T(v)

v o

x

se se se se

|α| > 1, ent˜ao T “dilata” o vetor v; |α| < 1, ent˜ao T “contrai” o vetor v; α = 1, ent˜ao T ´e a identidade I; α < 0, ent˜ao T muda o sentido (sinal) do vetor v.

(ii) Dilata¸c˜ao ou contra¸c˜ao na dire¸c˜ao do eixo dos x: T:

R2 R2 −→ , α ∈ R∗ . (x, y) −→ (αx, y) y (x,y)

(3x,y)

o

x

se |α| > 1, ent˜ao T “dilata” o plano real na dire¸c˜ao do eixo dos x a partir do eixo dos y. se 0 = |α| < 1, ent˜ao T “contrai” o plano real na dire¸ca˜o do eixo dos x a partir do eixo dos y. (iii) Dilata¸c˜ao ou contra¸c˜ao na dire¸c˜ao do eixo dos y: T:

R2 R2 −→ , α ∈ R∗ . (x, y) −→ (x, αy) y 2y

(x,2y)

y

(x,y)

y

(x,__21y)

1 __ 2

o

x

Rota¸ c˜ ao A rota¸c˜ao no plano, que faz cada ponto descrever um aˆngulo θ no sentido anti-hor´ario em torno da origem, determina uma transforma¸c˜ao linear: Tθ :

R2 −→ R2 , (x, y) −→ (x cos (θ) − y sen (θ) , x sen (θ) + y cos (θ))

ou seja, a matriz de Tθ em rela¸c˜ao as bases canˆonicas de R2 ´e dada por: cos (θ) − sen (θ) [Tθ] = . sen (θ) cos (θ)

y T(v)

e2 o

T v

x

e1

Cisalhamentos (i) Cisalhamento na dire¸ca˜o do eixo dos x: R2 R2 −→ . (x, y) −→ (x + αy, y)

T:

y

y

B

P

o

A

P’

B’ T

x

o

A

x

O efeito do cisalhamento pode ser visto na transforma¸c˜ao do retˆangulo OAPB no paralelogramo OA P B, de mesma base e mesma altura. Observemos que, por esse cisalhamento, cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos x at´e chegar em (x + αy, y), com exce¸c˜ao dos pontos do pr´oprio eixo dos x, que permanecem em sua posi¸c˜ao, pois para eles y = 0. (ii) Cisalhemento na dire¸c˜ao do eixo dos y: T:

2.2 2.2.1

R2 R2 −→ . (x, y) −→ (x, y + αx)

N´ umeros Complexos Deﬁni¸ c˜ oes B´ asicas

√ N´ umeros complexos s˜ao n´ umeros da forma x + yi, onde i = −1 ´e chamado unidade imagin´ aria; x ´e chamado de parte real e y de parte imagin´aria do n´ umero complexo. A igualdade e as opera¸co˜es de adi¸c˜ao e multiplica¸ca˜o de n´ umeros complexos s˜ao deﬁnidas de maneira que permane¸cam v´alidas as propriedades associativa, comutativa e distributiva usuais.

Assim os n´ umeros complexos s˜ao determinados pelas seguintes deﬁni¸c˜oes: i2 = −1; ai = ia; a + ib = c + id ⇐⇒ a = c e b = d; (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) ; (a + ib) (c + id) = (ac − bd) + i (ad + bc) . A subtra¸c˜ao de n´ umeros complexos ´e deﬁnida em termos da adi¸c˜ao e do oposto de um n´ umero. O oposto de z = x + yi ´e o n´ umero −z = (−x) + i (−y) . Dados z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, deﬁnimos: z1 − z2 = z1 + (−z2), isto ´e, z1 − z2 = (x1 − x2) + i (y1 − y2) . Observemos que os n´ umeros complexos da forma x + i0 se comportam, com rela¸ca˜o a` adi¸c˜ao e `a multiplica¸ca˜o, do mesmo modo que os n´ umeros reais. Dado o n´ umero complexo z = x + yi, sua parte real x ´e designada por Re z e sua parte imagin´aria y por Im z. O plano complexo consiste na representa¸ca˜o de todos os n´ umeros complexos z = x + yi pelos pontos P = (x, y) do plano. Im

z = x + yi

y

x

Re

De acordo com essa representa¸ca˜o temos as seguintes deﬁni¸c˜oes: (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d; (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) . As conhecidas regras do paralelogramo para soma e subtra¸c˜ao de vetores se aplicam no caso de soma e subtra¸ca˜o de n´ umeros complexos quando representados no plano. Im

z2

z1+z2

z1 Re

O m´odulo ou valor absoluto de um n´ umero complexo z = x + iy ´e a distˆancia do ponto z `a origem e ´e deﬁnido como sendo o n´ umero real n˜ao-negativo |z| = x2 + y2.

Propriedades: i) |z| ≥ 0 e |z| = 0 ⇐⇒ z = 0; ii) |Re z| ≤ |z| e |Im z| ≤ |z| ; iii) |z| = |−z| ; iv) |z1z2| = |z1| |z2| ; v) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| , designada como desigualdade do triˆangulo; vi) |z1 − z2| ≤ |z1| + |z2| . O complexo conjugado de z = x+iy ´e deﬁnido como sendo o n´ umero complexo z = x−iy. Im

z = x + yi

Re

z = x - yi

Assim, temos as seguintes propriedades: i) zz = |z|2 . Com esta propriedade podemos calcular o quociente z = z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2, z2 = 0, da seguinte forma: z=

z1 z2

de dois n´ umeros complexos

x1x2 + y1y2 −x1y2 + y1x2 z1 z1z2 (x1 + iy1) (x2 − iy2) = = = + i . z2 z2z2 (x2 + iy2) (x2 − iy2) x22 + y22 x22 + y22

ii) |z| = |z| ; iii) Re z = z+z ; 2 z−z iv) Im z = 2 ; v) z1 + z2 = z1 + z2; vi) z1z2 = z1z2; vii) zz12 = zz12 . 2.2.2

Representa¸ c˜ ao Polar

Considerando a representa¸ca˜o geom´etrica de um n´ umero complexo z = (a, b) , chama-se de argumento de z o ˆangulo θ formado pelo vetor (1, 0) e o vetor (a, b) . Im

z = (a,b) z q

O

Re

(1,0)

Os ˆangulos s˜ao orientados de Ox para Oz e consideraremos positivo o sentido anti-hor´ario. O argumento de z s´o pode ser deﬁnido quando z = 0, mesmo nesta hip´otese o argumento s´o ﬁca determinado a menos de m´ ultiplos inteiros de 2π. Como x = |z| cos (θ) e y = |z| sen (θ) , temos a representa¸c˜ao polar de z: z = r (cos (θ) + i sen (θ)) , r = |z| ; r e θ s˜ao designados as coordenadas polares de z. O produto de dois n´ umeros complexos na forma polar ´e o n´ umero cujo m´odulo ´e o produto dos m´odulos dos fatores e, cujo argumento ´e a soma dos argumentos dos fatores. De fato, sejam dois n´ umeros complexos z1 = r1 (cos (θ1) + i sen (θ1)) e z2 = r2 (cos (θ2) + i sen (θ2)) . Multiplicando-os temos: z1z2 = r1r2 (cos (θ1) + i sen (θ1)) (cos (θ2) + i sen (θ2)) = r1r2 (cos (θ1) cos (θ2) − sen (θ1 ) sen (θ2)) + i (sen (θ1) cos (θ2) + cos (θ1) sen (θ2)) = r1r2 (cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)) . Fica f´acil perceber ent˜ao que para fazermos a rota¸ca˜o de um n´ umero complexo em torno da origem, basta multiplic´a-lo por uma constante complexa de m´odulo 1. Usando o f´ormula acima, fazendo z2 ter m´odulo um, ou seja r2 = 1 temos: z1z2 = r1.1. (cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)) = r1 (cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)) Observe que o produto dos dois n´ umeros complexos acima tˆem o mesmo m´odulo de z1 e o argumento de z1 foi somado com o argumento de z2, ou seja, z1 foi rotacionado, no sentido anti-hor´ario, de um aˆngulo de medida θ2 em torno da origem. Im

z2

z1z2 q q

z1 q

q

z1 Re

De forma an´aloga a` dedu¸ca˜o da f´ormula para multiplica¸ca˜o obtemos o resultado para a divis˜ao. Da´ı: z1 r1 = (cos (θ1 − θ2) + i sen (θ1 − θ2)) , z2 r2 ou seja, para dividir n´ umeros complexos na forma polar, basta fazer o quociente dos m´odulos e a diferen¸ca dos argumentos.

A f´ormula de multiplica¸ca˜o acima se estende para um n´ umero qualquer de fatores. Sendo zj = rj (cos (θj) + i sen (θj)) , j = 1, 2, ..., n, temos z1z2...zn = r1r2...rn (cos (θ1 + θ2 + ... + θn) + i sen (θ1 + θ2 + ... + θn)) . Em particular quando todos os fatores s˜ao iguais e de m´odulo unit´ario, obtemos a F´ormula de De Moivre: (cos (θ) + i sen (θ))n = cos (nθ) + i sen (nθ) . √ 1 umero complexo a = 0 s˜ao obtidas como as As ra´ızes n-´esimas n a = a n = z de um n´ n solu¸c˜oes da equa¸c˜ao z = a. Pondo a = r (cos (θ) + i sen (θ)) , z = ρ (cos (φ) + i sen (φ)) e usando a F´ormula de De Moivre, obtemos ρn (cos (nφ) + i sen (nφ)) = r (cos (θ) + i sen (θ)) . Da´ı temos, ρn cos (nφ) = r cos (θ)

e

ρn sen (nφ) = r sen (θ)

donde conclu´ımos que: ρn = r, nφ = θ + 2kπ, com k ∈ Z. Segue daqui que ρ ´e uma raiz n-´esima positiva de r e: √ θ + 2kπ θ + 2kπ n + i sen . z = r cos n n Esta f´ormula produz n ra´ızes distintas zk, quando k varia de 0 a n − 1, todas com mesmo n , k = 0, 1, ..., n − 1. m´odulo ρ = |a| e com argumentos φk = θ+2kπ n z2 z3

z1

z0

qn

2 n

zn-1

zn-2

No caso particular a = 1, obtemos as ra´ızes n-´esimas da unidade: 1, ω, ω2, ..., ωn−1, onde 2π 2π ω = cos + i sen . n n

Deﬁni¸c˜ ao de Exponencial Desenvolvendo a fun¸ca˜o exponencial f (x) = ex e as fun¸co˜es trigonom´etricas sen (x) e cos (x) em s´eries de potˆencias para x ∈ R temos: ∞ xn x2 x3 =1+x+ + + ··· ; 2! 3! n=0 n! ∞ (−1)n x2n x2 x4 x6 cos (x) = =1− + − + ··· ; 2! 4! 6! n=0 (2n) ! ∞ (−1)n x2n+1 x3 x5 x7 sen (x) = =x− + − + ··· 3! 5! 7! n=0 (2n + 1) !

ex =

Fazendo x = iθ para a fun¸c˜ao exponencial temos: eiθ = 1 + iθ −

θ2 iθ3 − + ··· 2! 3!

Fazendo x = θ para as fun¸c˜oes trigonom´etricas temos: θ2 θ4 θ6 + − + ··· ; 2! 4! 6! θ3 θ5 θ7 sen (x) = θ − + − + ··· 3! 5! 7! cos (x) = 1 −

Reescrevendo a fun¸ca˜o eiθ, separando a parte real e a imagin´aria temos: θ3 θ5 θ7 θ2 θ4 θ6 iθ + − + ··· + i θ − + − + ··· e =1− 2! 4! 6! 3! 5! 7! ou seja,

eiθ = cos (θ) + i sen (θ) .

Essas considera¸c˜oes, que s˜ao puramente informais, n˜ao estabelecem a rela¸c˜ao acima, mas servem como motiva¸c˜ao para deﬁnirmos a fun¸c˜ao exponencial. Tomando z = x + iy como um expoente qualquer, a deﬁni¸ca˜o da exponencial ´e feita de maneira a manter a propriedade aditiva da exponencial real: ex1 +x2 = ex1 ex2 . Deﬁnimos, ent˜ao, a exponencial ez como: ez = ex+iy = ex (cos (y) + i sen (y)) .

2.3

Isometrias Planas

Isometrias no plano π s˜ao transforma¸co˜es T : π −→ π que tem a propriedade de preservar distˆancias. Admitiremos ﬁxada uma unidade de comprimento e indicaremos por AB a distˆancia do ponto A ao ponto B no plano, ou seja, o comprimento do segmento de reta AB.

Se T ´e uma isometria, ent˜ao para quaisquer pontos X, Y ∈ π, sendo X = T (X) e Y = T (Y), tem-se X Y = XY. Toda isometria T : π −→ π ´e uma transforma¸ca˜o injetiva, pois: X = Y =⇒ XY > 0 =⇒ X Y = XY > 0 =⇒ X = Y . E ´e tamb´em sobrejetiva, logo ela ´e uma bije¸c˜ao cuja a inversa T −1 : π −→ π ´e ainda uma isometria. Conseq¨ uentemente, toda isometria T : π −→ π transforma retas em retas. O exemplo mais o´bvio de isometria ´e a transforma¸ca˜o identidade Id : π −→ π. Outros exemplos de isometrias s˜ao dados na pr´oxima subse¸c˜ao. 2.3.1

Tipos de Isometrias Planas

Simetria em torno de um ponto. Tomemos um ponto A no plano π. A simetria em torno de A ´e a transforma¸ca˜o SA : π −→ π assim deﬁnida: SA(A) = A e, para X = A, SA(X) = X , sendo X o sim´etrico de X relativamente a A. Em outras palavras A ´e o ponto m´edio do segmento XX . X

Y

A

X’

Y’

Reﬂex˜ ao em torno de uma reta. Seja r uma reta no plano π. A reﬂex˜ao em torno da reta r ´e a transforma¸ca˜o Rr : π −→ π / r, Rr(X) = X , sendo X tal que a assim deﬁnida: Rr(X) = X para todo X ∈ r e, para X ∈ mediatriz do segmento XX ´e a reta r. Em outras palavras, se Y ´e o p´e da perpendicular baixada de X sobre r, ent˜ao Y ´e o ponto m´edio do segmento XX . X r Y

X’

Um fato geom´etrico importante a respeito da reﬂex˜ao Rr : π −→ π ´e que ela transforma o triˆangulo ABC num triˆangulo A B C no qual o sentido da rota¸c˜ao dos v´ertices A −→ B −→ C ´e o oposto do sentido A −→ B −→ C, isto signiﬁca que a reﬂex˜ao em torno de uma reta ´e uma isometria “impr´opria”, que inverte a orienta¸ca˜o no plano.

C C B A

B

A

r A’

C’

A’

B’

B’

C’

Transla¸c˜ ao. Sejam A, B pontos distintos do plano π. A transla¸ca˜o TAB : π −→ π ´e a transforma¸c˜ao assim deﬁnida: (1) Dado X ∈ π, com X, A e B n˜ao colineares, sua imagem X = TAB(X) ´e o quarto v´ertice do paralelogramo que tem AB e XX como lados. X’

X M A

B’

← → ← → (2) Dado X ∈ AB ⊂ π sua imagem X por T ´e deﬁnida na pr´opria reta AB tal que XX = AB. Qualquer que seja a posi¸c˜ao de X no plano π, sua imagem X = TAB(X) ﬁca inteiramente caracterizada pelo fato de que o segmento de reta AX e BX tem o mesmo ponto m´edio M. ´ importante observar que na deﬁni¸c˜ao de TAB ´e essencial levar em conta a ordem em E que s˜ao mencionados os pontos A e B. A transla¸ca˜o TBA ´e diferente de TAB. Na realidade, como se vˆe facilmente, tem-se TBA = (TAB)−1. Podemos dizer, tamb´em, que o ponto X foi −→ transladado segundo um vetor AB. A transla¸ca˜o TAB n˜ao possui pontos ﬁxos, pois para todo ponto X ∈ π, com T (X) = X , tem-se XX = AB. Como A = B temos AB = 0, ou seja, XX = 0 que implica X = X . Rota¸ c˜ ao. " um ˆangulo de v´ertice O. A rota¸c˜ao de ˆangulo Sejam O um ponto no plano π e α = AOB α em torno do ponto O ´e a transforma¸ca˜o ρO,α : π → π assim deﬁnida: ρO,α (O) = O e, para todo ponto X = O em π, ρO,α (X) = X , sendo X o ponto do plano π tal que: " = α, XO = X O e XOX e o sentido de rota¸ca˜o de A para B ´e o mesmo de X para X .

X B

X’

A

O

Reﬂex˜ ao com deslizamento. −→ Sejam v = AB um vetor n˜ao-nulo e r uma reta paralela a v no plano π. A reﬂex˜ao com deslizamento, determinada pelo vetor v e pela reta r, ´e a isometria T = Tv ◦ Rr : π → π, obtida fazendo a transla¸ca˜o Tv seguida da reﬂex˜ao Rr. A reﬂex˜ao com deslizamento n˜ao possui pontos ﬁxos. C v X

B

A

r A’

B’

X’

Rr(X)

C’

2.3.2

Classiﬁca¸ c˜ ao de Isometrias Planas

Para o desenvolvimento seguinte, utilizaremos um resultado da teoria de isometrias planas dado abaixo: “Se duas isometrias T : π → π e T : π → π coincidem em trˆes pontos distintos, ent˜ao T = T .” Existem apenas quatro tipos de isometrias T : π → π al´em da identidade, a saber: transla¸c˜ao, rota¸ca˜o, reﬂex˜ao e reﬂex˜ao com deslizamento. Com efeito, seja T : π → π uma isometria diferente da identidade. Existe um ponto A ∈ π tal que A = T (A) = A. Seja A = T (A ) . Evidentemente A A = AA > 0. H´a trˆes casos a considerar. Primeiro caso: A, A e A s˜ao n˜ao-colineares. B A’ A"

A

B

A imagem do triˆangulo pela isometria T ´e um triˆangulo que tem A e A como v´ertices e os seus lados tˆem medidas iguais `as dos lados de AA A . Assim, existem duas posi¸c˜oes poss´ıveis para o seu terceiro v´ertice B. ←−→ (i) A e B est˜ao do mesmo lado da reta A A . Nesse caso o ponto B = T (A ) forma com A, A e A o quadril´atero convexo AA A B, no # e A # s˜ao congruentes. qual os lados AA , A A e A B tˆem a mesma medida e os ˆangulos A " eB " no quadril´atero tamb´em s˜ao congruentes e, portanto, Consequentemente, os ˆangulos A # , respectivamente. # e A suplementares aos seus ˆangulos opostos A Assim, o quadri´atero AA A B pode ser inscrito em um c´ırculo de raio OA, cujo o centro O ´e o ponto de encontro das mediatrizes dos segmentos AA , A A e A B. A’

A’’

B

A O

Seja O = T (O) . Ent˜ao, como OA ≡ OA ≡ OA , temos O A ≡ O A ≡ O B, logo O pertence as mediatrizes dos segmentos A A e A B e portanto O = O . Assim, temos que OA ≡ OA ≡ OA ≡ OB e tamb´em AA ≡ A A ≡ A B, ent˜ao os triˆangulos AOA , A OA e A OB s˜ao congruentes (caso LLL), isto signiﬁca que os aˆngulos " e A OB " tamb´em s˜ao congruentes. " , A OA AOA " , teremos ρ (A) = Portanto, se considerarmos a rota¸c˜ao ρ de centro O e ˆangulo AOA A = T (A) , ρ (A ) = A = T (A ) e ρ (A ) = B = T (A ) . Da´ı temos que T = ρ ´e uma rota¸c˜ao. (ii) A e B n˜ao est˜ao do mesmo lado da reta AA . Neste caso B forma com os pontos A, A e A um paralelogramo no qual AA e A B s˜ao lados opostos e A A ´e uma diagonal. B

A’ M A

P

N

r

A’’

Seja M, N e P os pontos m´edios dos segmentos AA , A A e A B respectivamente. Temos que M, N e P est˜ao sobre uma mesma reta r.

Se considerarmos a isometria S = TMN ◦ Rr, composta da transla¸ca˜o TMN com a reﬂex˜ao em torno de r, veremos que S e T coincidem nos pontos n˜ao-colineares A, A e A , logo T = S. Conclu´ımos ent˜ao que T ´e uma reﬂex˜ao com deslizamento. Segundo Caso: A, A e A s˜ao pontos distintos e colineares. Note que neste caso A ´e ponto m´edio do segmento AA pois AA = A A . A reta r que contˆem os trˆes pontos dados, ´e transformada em si mesma pela isometria T. Al´em disso T coincide nos pontos A e A com a transla¸c˜ao TAA : π → π. Ent˜ao, em todos os pontos de r, T coincide com esta transla¸c˜ao. Consideremos um ponto B fora da reta r. B

A

B’

A’’

A’

B’’

O triˆangulo AA B ´e transformado pela isometria T em outro triˆangulo que tem A e A como v´ertices e lados com as mesmas medidas que os de AA B. Assim existem duas posi¸co˜es poss´ıveis B e B para o terceiro v´ertice. (i) B e B est˜ao do mesmo lado da reta r. Neste caso AB e A B s˜ao lados opostos de um paralelogramo logo,considerando a transla¸ca˜o TAA : π → π, vemos que ela coincide com a isometria T nos pontos n˜ao-colineares A, A e B. Logo T = TAA , portanto, T ´e uma transla¸ca˜o. (ii) B e B est˜ao de lados opostos da reta r. Neste caso B ´e o sim´etrico de B em rela¸c˜ao `a reta r, considerando a reﬂex˜ao com deslizamento S = TAA ◦ Rr : π → π, vemos que S (A) = T (A) = A , S (A ) = T (A ) = A e S (B) = T (B) = B . Logo, S = T. Portanto, T ´e uma reﬂex˜ao com deslizamento. Terceiro caso: A = A. Neste caso, a isometria T transforma o segmento de reta AA em si mesmo. Logo T (M) = M se M ´e o ponto m´edio de AA . A mediatriz s desse segmento ´e ent˜ao transformada em si mesmo por T.

s B

M

A

r

A’

B’

Seja B um ponto dessa mediatriz diferente de M. H´a ent˜ao duas possibilidades: T (B) = B ←→ ou T (B) = B , ponto sim´etrico de B relativamente a` reta r = AA. (i) T (B) = B Neste caso T coincide com a reﬂex˜ao Rs : π → π nos pontos A, A e B, logo T = Rs. (ii) T (B) = B . Neste caso T coincide com a a rota¸c˜ao ρ : π → π em torno do ponto M, com ˆangulo de 180◦ , nos pontos n˜ao-colineares A, B e M, logo T = ρ. Portanto, neste terceiro caso, T ´e uma transla¸ca˜o ou uma rota¸c˜ao de 180◦ . 2.3.3

Centro da composi¸ c˜ ao de duas rota¸ c˜ oes

Rota¸ c˜ ao como composta de duas reﬂex˜ oes Seja ρO,α uma rota¸c˜ao no sentido anti-hor´ario de um ˆangulo α e de centro O e r e s duas retas concorrentes em O que formam entre si um ˆangulo β, tal que β = α2 . Aﬁrmamos que ρO,α = Rs ◦ Rr, ou seja, a composta das duas reﬂex˜oes Rs e Rr (nesta ordem) ´e a rota¸ca˜o de centro O e ˆangulo igual ao dobro do aˆngulo de r para s. De fato, Rs ◦ Rr coincide com a rota¸c˜ao ρO,α em todos os pontos X ∈ r e em todos os pontos Y ∈ s , onde s = Rr (s) . Y’

X O

r

Y

X’

s

s’

Composta de duas rota¸ co ˜es. Se duas rota¸c˜oes ρO,α e ρO,β tˆem o mesmo centro O, ´e claro que, ρO,α ◦ ρO,β = ρO,β ◦ ρO,α = ρO,α+β. Onde ρo,α+β ´e a identidade,quando α + β = 360◦ e ´e a simetria em torno de O se α + β = 180◦ . Consideremos ent˜ao, duas rota¸c˜oes ρO,α e ρO ,β de centros distintos O e O . Seja r a reta que passa pelos dois centros. Tomemos s, passando por O, tal que o aˆngulo de r para s α seja , e a reta t, pasando por O , e concorrente com a reta s no ponto O e de modo 2 β que o ˆangulo de t para r seja . 2 O’’

s

O

O’

r t

Assim podemos escrever: ρO,α = Rs ◦ Rr, ρO,β = Rr ◦ Rt, donde ρO,α ◦ ρO,β = Rs ◦ Rr ◦ Rr ◦ Rt = Rs ◦ Rt. Mas Rs ◦ Rt ´e a rota¸ca˜o em torno de O com ˆanguloigual ao dobro do aˆngulo da reta t α+β para a reta s, ou seja, com ˆangulo igual a 2 = α + β. 2 Logo, ρO,α ◦ ρO,β = ρO ,α+β. Portanto, O ´e o centro de ρO,α ◦ ρO,β. Analogamente se vˆe que ρO,β ◦ ρO,α = ρO ,α+β.

3

O Teorema de Barlotti

Nosso objetivo nesta se¸ca˜o ´e demonstrar o chamado Teorema de Barlotti, que ´e uma generaliza¸c˜ao do famoso Teorema de Napole˜ ao (corol´ario abaixo). Para tanto, consideremos C como espa¸co vetorial sobre R com as opera¸c˜oes usuais. Lema 1. Seja Qn um n-´agono regular no plano complexo. Ent˜ao, o centro de Qn ´e m´edia aritm´etica de seus v´ertices.

Demonstra¸ca˜o (i) Considere um n-´agono regular Rn de centro c = 0 e v´ertices 1, ω1, . . . , ωn−1 (ra´ızes n-´esimas da unidade). Da´ı temos: 1 + ω1 + · · · + ωn−1 =c=0 (1) n De fato: observemos que S = 1 + ω1 + · · · + ωn−1 + ωn ´e a soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica com 1o . termo a1 = 1 e raz˜ao r = ω. Assim, S ser´a: S=

1 − ωn+1 a1(1 − rn+1) = . 1−r 1−ω

Da´ı, 1 − ωn+1 ⇒ 1−ω 1 − ωn+1 − ωn 1 + ω1 + · · · + ωn−1 = 1−ω 1 − ωn+1 − ωn(1 − ω) = 1−ω n+1 1−ω − ωn + ωn+1 = 1−ω

1 + ω1 + · · · + ωn−1 + ωn =

Mas ωn = 1 (pois c = 0). Logo: 1 + ω1 + · · · + ωn−1 =

1−1 = 0. 1−ω

Portanto, a equa¸ca˜o (1) ﬁca veriﬁcada. Um n-´agono regular Qn qualquer no plano complexo pode ser obtido de Rn por meio da aplica¸c˜ao de uma composta F = T ◦ h ◦ ρ : C → C, sendo ρ uma rota¸ca˜o: ρ : C −→ C , 0 ≤ α < 2π, z −→ zeiα h uma homotetia:

e T uma transla¸ca˜o:

h : C −→ C , k ∈ R∗ , z −→ kz T : C −→ C , z0 ∈ C. z −→ T (z) = z + z0

Assim, o centro de Qn = F (Rn) ´e z0 e seus v´ertices s˜ao dados por k1eiα + z0, kωeiα + z0, . . . , kωn−1eiα + z0. Logo: n−1 k1eiα + z0 + kωeiα + z0 + · · · + kωn−1eiα + z0 nz0 iα 1 + ω + · · · + ω = ke + n n n keiα0 + z0 = n = z0.

Da´ı, conclu´ımos que o centro de um n-´agono regular Qn qualquer no plano complexo ´e a m´edia aritm´etica de seus v´ertices. Lema 2. Sejam z ∈ C, V1 = a1 + b1z e V2 = a2 + b2z, sendo a1, b1, a2, b2 ∈ C tais que V1 = V2. Seja Q um n-´agono regular no plano complexo tendo V1 e V2 como v´ertices consecutivos. Ent˜ao, os v´ertices de Q s˜ao da forma ak + bkz com ak, bk ∈ C, isto ´e, os v´ertices de Q s˜ao express˜oes aﬁns em z. Demonstra¸ca˜o. Sejam V1 = a1 + b1z e V2 = a2 + b2z pontos distintos do plano complexo. Seja n ∈ N, n ≥ 3. (n − 2)π . Logo, Deﬁnamos V3 = ((a1 + b1z) − (a2 + b2z)) e−iα + (a2 + b2z), sendo α = n fazendo a3 = (a1 − a2) e−iα + a2 ∈ C e b3 = (b1 − b2) e−iα + b2 ∈ C, temos V3 = a3 + b3z uma express˜ao aﬁm em z. Geometricamente V3 foi obtido girando-se V1 de um ˆangulo α no sentido hor´ario em torno de V2 (ver ﬁgura). Vn=an+bnz

V1=a1+b1z

V3=a3+b3z

(a1+b1z) (a2+b2z)

V2=a2+b2z

Procedendo de modo an´alogo, Vk = ((ak−2 + bk−2z) − (ak−1 + bk−1z)) e−iα + (ak−1 + bk−1z) , k = 3, ..., n, s˜ao todos express˜oes aﬁns em z. Finalmente, Q ´e um pol´ıgono regular de n lados que possui os v´ertices todos como express˜oes aﬁm em z. Chamaremos F : C → C de transforma¸c˜ao aﬁm quando F = T ◦ L, sendo L : C → C uma transforma¸c˜ao linear (C espa¸co vetorial sobre R com opera¸co˜es usuais) e T : C → C uma transla¸c˜ao. Chamaremos um n-´agono Pn do plano complexo de regular aﬁm quando Pn = F (Rn) , sendo Rn um n-´agono regular com centro na origem e v´ertices nas ra´ızes n-´esimas da unidade e F uma transforma¸ca˜o aﬁm bijetiva. Teorema (Barlotti ). Se Pn ´e um n-´agono regular aﬁm do plano complexo, ent˜ao o n-´agono Bn cujos v´ertices s˜ao os baricentros dos n-´agonos regulares constru´ıdos (todos externamente ou todos internamente) sobre cada um dos n lados de Pn ´e regular.

Bn

F(Rn)=Pn

Rn

Demonstra¸ca˜o Faremos a demonstra¸c˜ao desse teorema usando o conceito de complexidade alg´ebrica. Temos Pn = F (Rn) = T ◦ L (Rn) , sendo T transla¸ca˜o, L transforma¸c˜ao linear bijetiva e Rn um n-´agono regular com centro na origem e v´ertices nas ra´ızes n-´esimas da unidade. Como a natureza (ser regular) de Bn n˜ao ´e alterada por transla¸co˜es, homotetias e rota¸co˜es aplicadas a Pn, podemos considerar, sem perda de generalidade, que Pn ´e a imagem de Rn por L. Sejam L (1) = z0 = |z0| eiα um v´ertice de Pn, h : C −→ C z −→ h(z) = homotetia

z |z0 |

ρ : C −→ C z −→ ρ(z) = ze−iα

rota¸c˜ao e

f : C −→ C z −→ f(z) = ρ ◦ h ◦ L (z)

transforma¸c˜ao linear bijetiva. z0

L 0

1

h

z e _ _ z =

i

0

0

z0

0

0

z0

0

1

o h o L=f

Assim, f (1) = 1 e, mais uma vez, como a natureza de Bn n˜ao ´e alterada por homotetias e rota¸c˜oes aplicadas a Pn, podemos supor, sem perda de generalidade que 1 ´e v´ertice de Pn. Toda transforma¸ca˜o linear f : C → C ﬁca completamente determinada pelos seus valores na base {1, i} de C, ou seja, pelos valores f (1) = 1 e f(i) = z, sendo que estes s˜ao linearmente independentes, pois f ´e bijetiva. Os v´ertices de Rn ser˜ao as ra´ızesn-´esimas da unidade: 1, ω1, . . . , ωn−1. Logo, os v´ertices de Pn s˜ao f (1) = 1, . . . , f ωn−1 .

Sendo: ent˜ao:

ωj = aj + bji, com aj e bj ∈ R, f(ωj) = f(aj + bji) = f(1aj) + f(ibj) = ajf(1) + bjf(i) = aj + bjz,

(2)

ou seja, todo v´ertice de Pn ´e uma express˜ao aﬁm em z. Tomemos sobre os lados de Pn = f(Rn), n-´agonos regulares, dos quais obtemos Bn a partir da uni˜ao dos baricentros desses n-´agonos. Queremos mostrar que Bn ´e um n-´agono regular. Sejam Q0, . . . , Qn−1, n-´agonos regulares k+1sobre os lados de Pn de modo que construidos k . Pelo Lema 2, os v´ertices de cada Qk tenha como v´ertices consecutivos f ω e f ω Qk s˜ao express˜oes aﬁns em z. Sejam q0, . . . , qn−1 os centros dos n-´agonos Q0, . . . , Qn−1 e Bn o n-´agono de v´ertices nesses centros. Pelo Lema 1, cada qk ´e m´edia aritm´etica dos v´ertices de Qk. Logo, qk ´e, tamb´em, express˜ao aﬁm em z. Im Im

Rn

q1

1

f

2

1

O

Re

f(1)

f(1)=1 f(i)=z

q0

f(2)

q2

n-1

O

f(1)=1

f(n-1)

Re

qn-1

Para veriﬁcar que Bn ´e regular, vamos mostrar que ao rotacionarmos um v´ertice de Bn 2π , no sentido anti-hor´ario, em torno da origem, esse v´ertice coincidir´a de um ˆangulo de n com o pr´oximo. Isso ´e verdade para um n-´agono regular, pois ele pode ser inscrito em uma circunferˆencia de tal modo que todos os seus v´ertices estejam sobre essa circunferˆencia. Logo, seus aˆngulos centrais formados com seus v´ertices dois a dois consecutivos 2π . s˜ao congruentes e de medida n Mas sabemos que no plano complexo fazer a rota¸ca˜o de um n´ umero no sentido anti-hor´ario em torno da origem de um aˆngulo α equivale a multiplic´a-lo pela constante complexa eαi, de m´odulo 1. Assim, para mostrar que Bn ´e regular precisamos veriﬁcar que a equa¸ca˜o 2π

qk+1 = qke n i, k = 0, . . . , n − 1.

(3)

´e sempre verdadeira para qualquer z = f (i) . Para isto, basta encontrarmos dois valores de z que s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao aﬁm (3) , ou seja, duas transforma¸c˜oes lineares f para as quais o Teorema de Barlotti ´e verdadeiro, pois duas ra´ızes s˜ao suﬁcientes para mostrar que uma express˜ao aﬁm em z ´e uma identidade e vale para qualquer z. Vamos tomar, por exemplo, z1 = i. Assim, temos f(1) = 1 e f(i) = i, ou seja, f ser´a a identidade e Pn = Rn. Geometricamente: Im

Im f(1) =1 1

f(i)=i q1

2

0

O

q0 f(1)

Re f(2)

f(0)

Re

O n-1 q2

f(n-1)

qn-1

Assim, q0, . . . , qn−1 estar˜ao `a mesma distˆancia da origem 0, centro de Pn. Al´em disso, o 2π , pois Pn ´e regular. ˆangulo entre eles ´e n q1

q0

2 n 2 n

q2

O

2 n

2 2 n n

qn-1

Logo, a equa¸c˜ao aﬁm (3) ﬁca satisfeita para z = i. Outra raiz que satisfaz a equa¸c˜ao aﬁm (3) ´e z2 = −i. Assim, f(1) = 1 e f(i) = −i. Dessa forma f ´e a reﬂex˜ao com rela¸ca˜o ao eixo real. De fato, f(ωj) = T (aj + bji) = aj − bji em (2) .

Im Im f(1) =1 1 2

f(i)=i 0

O

Re

f(n-1)

q2

qn-1 Re

f(2)

f(0)

n-1 f(1) q1

q0

Ent˜ao, neste caso, os v´ertices de Pn ter˜ao a orienta¸ca˜o invertida em rela¸ca˜o aos v´ertices de Rn e, portanto, Pn ´e regular. Deste modo, a demonstra¸c˜ao de que Bn ´e regular, para z2 = −i, segue de maneira an´aloga ao caso z1 = i.

Logo, a equa¸c˜ao aﬁm (3) ﬁca satisfeita para z = −i. Conclus˜ao: a equa¸c˜ao (3) ´e uma identidade e, portanto, vale para qualquer z, ou seja, vale para qualquer n-´agono Pn regular aﬁm.

4

O Teorema de Napole˜ ao

Dado um triˆangulo ABC qualquer, sejam os triˆangulos eq¨ uil´ateros apoiados externamente (ou internamente) sobre cada um de seus lados. Unindo-se os baricentros X, Y e Z dos triˆangulos eq¨ uil´ateros obtemos o chamado Triˆ angulo Externo (ou Interno) de Napole˜ ao.

Corol´ ario (Teorema de Napole˜ ao) O Triˆangulo Externo (ou Interno) de Napole˜ao XYZ de qualquer triˆangulo ABC ´e eq¨ uil´atero.

Q

P' R Z

Y

C

C X'

B

A

Z' A

X

Y' R'

B

Q' P

Demonstra¸ca˜o. Basta mostrar que todo triˆangulo ABC com v´ertices a1 + b1i, a2 + b2i e a3 + b3i ´e regular aﬁm, ou seja ABC = P3 = F (R3) = T ◦ L (R3) , sendo T transla¸c˜ao, L transforma¸ca˜o linear ngulo regular√com centro na origem e v´ertices nas ra´ızes c´ ubicas da bijetiva e R3 o triˆa√ 1 1 3 3 ie− − i. unidade: 1, − + 2 2 2 2 Sejam L (1) = α + βi, L (i) = γ + δi e T (z) = z + (a + bi) , sendo α, β, γ, δ, a, b ∈ R e z ∈ C. Logo: F (x + yi) = L (x + yi) + a + bi = xL (1) + yL (i) + a + bi = xα + xβi + yγ + yδi + a + bi = (xα + yγ + a) + (yδ + xβ + b) i. Fazendo: F (1) = a1 + b1i √ % 1 3 F − + i = a2 + b2i 2 2 $ √ % 3 1 i = a3 + b3i F − − 2 2 $

Encontramos:

2a1 − a2 − a3 a2 − a3 a1 + a2 + a3 F (x + iy) = x +y √ + 3 3 3 b2 − b3 b1 + b2 + b3 2b1 − b2 − b3 +y √ i, + x + 3 3 3

que ´e uma transforma¸ca˜o aﬁm. Conclus˜ao: todo triˆangulo ABC ´e regular aﬁm e, pelo Teorema de Barlotti, o Triˆangulo de Napole˜ao ´e eq¨ uil´atero.

5

Referˆ encias Bibliogr´ aﬁcas

[1] Avila, G. Vari´ aveis Complexas e Aplica¸c˜oes. Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıﬁcos Editora. 1990. ´ [2] Callioli, C. A., Domingues, H. H. & Costa, R. C. F. Algebra Linear e Aplica¸c˜oes. S˜ao Paulo: Atual Editora. 1983. [3] Lima, E. L. Isometrias. Rio de Janeiro: SBM - Sociedade Brasileira de Matem´atica (Cole¸c˜ao do Professor de Matem´atica). 1996. [4] Lopes, S. M. R. Complexidade em Geometria Plana Euclidiana. (Disserta¸c˜ao de Mestrado). Rio de Janeiro: PUC - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica. 2002.

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach Marcelo Lopes Vieira 1 Valdair Bonfim 2 1. Introdução: O Teorema do Ponto Fixo de Banach é crucial na demonstração de vários resultados importantes da Matemática. Na teoria das equações diferenciais ordinárias, por exemplo, ele é utilizado para demonstrar que se o campo vetorial f : D R n o R n é lipschitziano, então o problema de valor inicial x' (t ) (P) ® ¯ x ( 0)

f ( x(t )) x0

possui uma única solução x : I R o R n definida num intervalo maximal I contendo a

origem. ( ver p.ex.[1] ou [3] ). Na demonstração do Teorema de Stampacchia, o qual é útil na teoria das equações diferenciais parciais elípticas, o Teorema do Ponto Fixo de Banach desempenha um papel crucial, conforme se pode ver à página 82 de [2]. Além destes dois exemplos, vale citar que a existência de solução f (x ) para a equação integral f ( x)

b

O . ³ K ( x, y ). f ( y ) dy g ( x) , a

onde K ( x, y ) e g ( y ) são funções contínuas dadas, também pode ser estabelecida com o auxílio do Teorema do Ponto Fixo de Banach, desde que O seja suficientemente pequeno. ( ver p. ex. [3], à página 19 ). Dada a importância deste teorema de ponto fixo é natural perguntar se as hipóteses do mesmo podem ser enfraquecidas, o que levaria a eventuais generalizações dos teoremas que dele dependem. O que faremos neste trabalho é discutir a necessidade das hipóteses do referido teorema, mostrando por meio de exemplos que elas são realmente essenciais.

1

Acadêmico do Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia Projeto de Iniciação Científica – PROMAT – FAMAT - UFU. 2 Professor da Faculdade de Matemática – Universidade Federal de Uberlândia Orientador de Projeto de Iniciação Científica no âmbito do PROMAT.

.

2. Preliminares:

Definição 1 ( Contração ):

Sejam ( M , d ) e ( N , U ) espaços métricos. Uma aplicação dita

ser

uma

contração

quando

existe

uma

f : (M ,d ) o ( N ,U ) é

constante

c (0,1)

tal

que

U ( f ( x) , f ( y ) ) d c . d ( x , y ) , x , y M . Definição 2 ( Sequência de Cauchy ):

Uma seqüência ( x n ) num espaço métrico ( M , d ) é denominada Sequência de Cauchy quando para cada H ! 0 dado, existe n0 N tal que: m , n ! n0 d ( x m , x n ) H . Definição 3 ( Espaço Métrico Completo ) :

Dizemos que o espaço métrico ( M , d ) é completo quando toda seqüência de Cauchy ( x n ) em M converge para um ponto p M na métrica d, isto é, d ( x n , p) o 0 quando n o f.

Definição 4 ( Ponto Fixo ):

Dizemos que p M é um ponto fixo da aplicação T : M o M se T ( p)

p.

3. O Teorema Principal e a necessidade de suas hipóteses

Teorema do Ponto Fixo de Banach: Seja M um espaço métrico completo e seja T : M o M uma contração. Então T possui um único ponto fixo, isto é, existe um

único p M tal que T ( p)

p.

Demonstração: Seja x0 um ponto qualquer de M e considere a seqüência ( x n ) nt1 construída da seguinte forma: x1

T ( x0 ), x 2

T ( x1 ), ..., x n 1

T ( x n ), ...

Observe que d ( x1 , x 2 )

d ( x 2 , x3 )

.

d (T ( x 0 ), T ( x1 )) d c. d ( x 0 , x1 )

d (T ( x1 ), T ( x 2 )) d c. d ( x1 , x 2 ) d c 2 . d ( x0 , x1 )

Em geral temos que d ( x n , x n 1 ) d c n . d ( x0 , x1 ) para todo inteiro positivo n. Segue, então, que para todos os números naturais n , p temos:

d ( x n , x n p ) d d ( x n , x n 1 ) d ( x n 1 , x n 2 ) d ( x n 2 , x n 3 ) ... d ( x n p 1 , x n p ) d d [c n c n 1 c n 2 ... c n p 1 ]. d ( x0 , x1 )

c n [1 c ... c p 1 ].d ( x0 , x1 ) d

cn .d ( x0 , x1 ) 1 c

e como 0 c 1 , segue que c n o 0 quando n o f , de onde concluímos que ( x n ) é uma seqüência de Cauchy em ( M , d ) . Sendo M completo, ( x n ) converge para um ponto p M . Assim, como T é contínua (pois sendo contração, é lipschitziana), T transformará seqüência convergente em seqüência convergente, ou seja: T ( p)

T (lim x n )

lim T ( x n )

lim x n 1

p.

Fica demonstrada, portanto, a existência de ponto fixo de T . Provemos agora a unicidade. Para isso, suponhamos que existam a , b M tais que a

T (a) e b

T (b) . Então, d (T (a), T (b)) d c . d (a, b) (1 c).d (a, b) d 0

d ( a, b)

e como 1 c ! 0 , concluímos que d (a, b)

0 , ou seja, a

b.

Um fato que chama a atenção neste teorema é a presença de apenas duas hipóteses, suficientes para demonstrá-lo. Veremos agora alguns exemplos que mostrarão ser estas hipóteses também necessárias. Precisamente, veremos que a conclusão do teorema fica prejudicada com a falta de qualquer uma delas.

Exemplo1: Uma das hipóteses do Teorema do Ponto Fixo de Banach é que o espaço

métrico seja completo. Para mostrar que esta hipótese é essencial consideremos o espaço métrico M por f ( x)

(0,1) , o qual não é completo, e a função f : (0,1) o (0,1) definida

1 1 x . É fácil ver que f é uma contração e que f não possui ponto fixo 2 2

p no intervalo (0,1) , pois f ( p)

p

1 1 p 2 2

p p 1 .

Este exemplo mostra que, mesmo tendo uma contração, é impossível obter as conclusões do Teorema do Ponto Fixo de Banach caso o espaço métrico em questão não seja completo. A próxima figura ilustra o comportamento da seqüência x n construída

.

iterativamente na demonstração do Teorema do Ponto Fixo de Banach. Observe que apesar de ser de Cauchy, ela não converge para um ponto do domínio da função f . Observe também que, se estendermos f continuamente no completamento do espaço

(0,1) , isto é, no domínio [0,1] , então a seqüência x n convergirá, de fato, para o único ponto fixo de f , a saber, o ponto p 1 .

y

f ( x)

1 1 x 2 2

y

x

x0

x1

x2

x3

Exemplo 2:

Quanto à outra hipótese do teorema, basta tomarmos o espaço métrico completo dos números reais com a métrica usual e a função f : R o R definida primeiramente por f ( x)

x 2 1 . É fácil ver que esta função não é uma contração no domínio R, e que não

possui ponto fixo pois f ( x)

x x 2 x 1 0 , que não possui solução real. Logo, f

não possui nenhum ponto fixo. Por outro lado, se definirmos f ( x)

x 2 1 , notamos

facilmente que esta função também não é uma contração, como no exemplo acima, mas agora perdemos a unicidade pois f possui dois pontos fixos, a saber: 1 5 2

.

e

1 5 . 2

De fato, f ( x)

x x2 1

x x2 x 1 0 x

1r 5 . 2

Exemplo 3: Não-expansões admitem ponto fixo?

Não necessariamente. Neste caso tudo pode ocorrer. As não-expansões são aplicações f : ( M , d ) o ( M , d ) tais que d ( f ( x) , f ( y ) ) d d ( x , y ) , x , y M , e, a menos que se consiga obter uma desigualdade análoga com uma constante c (0,1) , não dá pra afirmar que f terá ponto fixo, ou então que f terá um único ponto fixo. Os exemplos simples que seguem ilustram essa afirmação. Um exemplo é a função f : R o R definida por f ( x)

x 1 , que é uma não-expansão. Neste caso claramente f não possui

ponto fixo, caso contrário, teríamos a igualdade 0 1 . Outro exemplo é a função f : R o R definida por f ( x)

x , que é uma não-expansão.

Observe que, em oposição ao exemplo anterior, neste caso todos os pontos do domínio são pontos fixos.

Bibliografia

[1] Lima, Elon Lages; Espaços Métricos. Rio de Janeiro, IMPA, CNPq, 1977 ( Projeto Euclides )

[2] Brezis, H.; Analyse Fonctionnelle, Theorie et applications; Collection Mathématiques Appliquées pour la maitrise.

[3] Goffman, C. & Pedrick, G.; First Course in Functional Analysis. Prentice-Hall – Series in Modern Analysis

.

HEURÍSTICAS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS Michelle Crescêncio de Miranda Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática – PROMAT [email protected] Luiz Alberto Duran Salomão Professor orientador [email protected] Faculdade de Matemática – FAMAT Universidade Federal de Uberlândia – UFU

Resolver problemas é uma habilidade prática como nadar, esquiar ou tocar piano; você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. (...)se você quer aprender a nadar, você tem que entrar na água e se você quer se tornar um bom “resolvedor de problemas”, tem que resolver problemas. George Polya Introdução Neste artigo, desenvolvemos um breve estudo sobre equações diofantinas. No entanto, não menos importante que o tema desenvolvido é a oportunidade de nos exercitarmos em diversas heurísticas especialmente adequadas para tratar problemas da natureza que permeia o assunto em tela. Uma heurística é uma sugestão ou estratégia geral, independente de algum tópico particular ou do assunto em questão, que ajude os “resolvedores de problemas” a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus recursos para resolvê-lo. Neste breve estudo, destacamos o emprego de algumas dessas heurísticas, a saber, a redução de um problema a uma situação mais simples, o argumento por contradição, o método da descida infinita e o Princípio de Dirichlet. 1. A equação pitagórica Um dos mais antigos problemas da teoria dos números é a determinação de todas as soluções inteiras da equação x2 y2

z 2 . (I)

Como veremos, a solução dessa equação pode ser obtida através de propriedades elementares de números inteiros. Um terno (x, y, z) de inteiros que satisfaz (I) é dito um terno pitagórico. Obviamente, vamos omitir qualquer caso onde uma das coordenadas do terno (x, y, z) seja zero. Inicialmente, notemos que se (x, y, z) é um terno pitagórico, então qualquer terno (kx, ky, kz) também o será, onde k é um inteiro diferente de zero. É claro, ainda, que a recíproca da afirmação que acabamos de fazer também é verdadeira. Portanto, vamos restringir nossa busca ao caso em que as coordenadas x, y, e z do terno não têm nenhum fator comum maior do que 1. Nesse caso, dizemos que uma tal solução (x, y, z) de (I) é primitiva. Por exemplo, (3, 4, 5) é uma solução primitiva de (I) mas (6, 8, 10), embora seja solução de (I), não é primitiva. Podemos, na verdade, dizer que se (x, y, z) é uma solução primitiva de (I) não há duas de suas coordenadas que não sejam inteiros primos entre si. Em outras palavras, se (x, y, z) é uma solução primitiva de (I), então mdc(x, y) = mdc(x, z) = mdc(y, z) = 1. De fato, se p é um número primo divisor comum de x e y, então é claro que p também é divisor de x 2 y 2

z2

e, conseqüentemente de z (pois p é primo), o que contraria o fato de (x, y, z) ser solução primitiva de (I). Portanto, mdc (x, y) = 1. Claramente, o mesmo argumento mostra que mdc(x,z) = 1 e mdc(y, z) = 1. Como conseqüência do fato que acabamos de justificar, x e y não podem ser ambos pares, se (x, y, z) for uma solução primitiva de (I). Porém, podemos ainda fazer uma outra afirmação: x e y não podem ser ambos ímpares. De fato, se x = 2a +1 e y = 2b+1, onde a, b =, então x 2 + y 2 = (2a +1) 2 + (2b +1) 2 = 2 + 4( a + a 2 + b + b 2 ), ou seja, z 2 é divisível por 2 mas não por 4. Ora, isto não é possível pois, se z 2 é divisível por 2, z também o é; daí, z 2 é divisível por 4. Concluímos, assim, que se (x, y, z) é um terno pitagórico primitivo, exatamente um dos inteiros x ou y é par e z é ímpar. Vamos assumir daqui em diante, sem perda de generalidade, que x é par. Vamos, agora, determinar todas as soluções primitivas (x, y, z) de (I), reduzindo o problema a uma situação mais simples. Observe que, uma condição necessária para (x, y, z) ser uma solução de (I) é que x 2 = z 2 - y 2 = (z – y) (z + y). (II). No caso da solução ser primitiva, z – y e z + y são inteiros pares. Daí, podemos dividir por 4 os membros extremos de (II), obtendo §1 · ¨ x¸ ©2 ¹

2

1 z y z y . 4

1 z y e n1 2

Chamando m1

1 z y , obtemos 2 §1 · ¨ x¸ ©2 ¹

2

m1 n1 (III)

e podemos afirmar que m1 e n1 são primos entre si - de fato, se p é um divisor comum de m1 e n1 , p divide m1 n1

z e p divide m1 n1

y o que não é possível pois, como vimos,

mdc(y, z) = 1. Além disso, de (III) concluímos que m1 e n1 são quadrados perfeitos, já que mdc m1 , n1 = 1 e o produto m1n1 é um quadrado perfeito. Portanto, existem inteiros positivos m e n n2

n1

tais que m1 = m 2 , e n1 = n 2 e

mdc(m, n) = 1. Logo, m 2

m1

1 1 z y, 2 2

1 1 1 z y e m 2 n 2 = x 2 . Decorre daí que 2 2 4

x = 2mn, y = m 2 - n 2 e z = m 2 n 2 . (IV) Observe que m e n, em (IV), têm paridades opostas, pois z e y são ímpares. É imediato verificar que se x, y, e z são da forma dada em (IV), então (x, y, z) satisfaz a equação pitagórica (I). As considerações feitas acima permitem-nos enunciar a seguinte proposição.. Proposição 1: A condição necessária e suficiente para que (x, y, z) seja um terno pitagórico primitivo, com coordenadas positivas, é que existam inteiros positivos m e n, primos entre si, de paridades opostas, com m > n, de modo que x = 2mn, y = m 2 - n 2 e z = m 2 + n 2 . A tabela a seguir ilustra parcialmente uma representação dos ternos pitagóricos primitivos, conforme a proposição acima. m

2

3

4

5

6

7

n 1 2 3 4 5 6

(4,3,5)

(8,15,17) (12,5,13)

(12,35,37) (20,21,29)

(28,45,53)

(40,9,41)

(56,33,65)

(24,7,25)

(60,11,61) (84,13,85)

2. Inexistência de soluções não triviais de algumas equações diofantinas Ao contrário do que vimos no parágrafo anterior, algumas equações diofantinas podem não ter soluções, além das triviais. Uma ferramenta poderosa para provar a inexistência de soluções de algumas dessas equações é o método da descida infinita, cuja criação é atribuída ao matemático francês Pierre de Fermat (1601 – 1665). Basicamente, esse método consiste em supor a existência e uma solução não trivial que seja, em algum sentido, mínima. Em seguida, deve-se encontrar uma solução que, de alguma forma, venha a contrariar a minimalidade da tal solução, advindo daí uma contradição. A seguir, veremos algumas aplicações desse método. Proposição 2: A equação x2 + y2 =3z2 não tem soluções inteiras não nulas. Demonstração: Suponha que a equação dada tenha soluções (x, y, z) em inteiros positivos não nulos. Assim, seja (a, b, c) a solução que tenha a coordenada z = c mínima. Sabemos que, se um número inteiro n não for múltiplo de 3, então seu quadrado n2 deixa resto 1 quando dividido por 3. Daí, a e b têm que ser ambos múltiplos de 3, ou seja, existem inteiros r e s tais que a = 3r e b = 3s. Assim, 9r2 + 9s2 =3c2, o que acarreta 3(r2 + s2) = c2. Portanto, c2 é múltiplo de 3 e, conseqüentemente, c é múltiplo de 3. Logo, existe um inteiro t de modo que c=3t. Por fim, temos 3(r2 + s2) =9t2 e, daí, r2 + s2 =3t2, o que quer dizer que o terno (r, s, t) é c solução da equação dada, com t c . Contradição com o fato da coordenada c ser 3 mínima. A proposição a seguir emprega uma pequena variação do método utilizado na Proposição 1. Proposição 3: A equação x2 + y2 + z2 = 2xyz não tem soluções inteiras não nulas. Demonstração: Observe que, no membro da esquerda da equação dada, exatamente um dos termos é par ou todos os três são pares. Todavia, na primeira situação, o membro da esquerda seria múltiplo de 2 mas não de 4, enquanto o da direita seria múltiplo de 4. Isso reduz o problema ao caso em que x, y e z são todos pares. Dessa forma, se (x, y, z) satisfaz a equação dada, existem inteiros x1, y1 e z1 tais que x =2x1, y =2y1 e z = 2z1 e, daí, 2

2

x1 y1 z1

2

4 x1 y1 z1 .

Usando o mesmo argumento, temos que existem inteiros x1, y1 e z1 tais que x1 =2x2, y1 =2y2 e z1 = 2z2 e, por conseguinte, 2 2 2 x2 y 2 z 2 8x2 y 2 z 2 . Este argumento pode ser repetido indefinidamente e, assim, teremos que x 2 x1 2 2 x 2 2 3 x3 ... 2 n x n ... y

2 y1

22 y2 2

2 3 y3 3

...

2 n yn

...

n

z 2 z1 2 z 2 2 z 3 ... 2 z n ... o que mostra que x, y e z são divisíveis por 2n, para todo inteiro n. Ora, isso só seria possível para x = y = z = 0.

O resultado a seguir é um caso particular do célebre Último Teorema de Fermat. Proposição 4: A equação diofantina xn + yn = zn não tem soluções em inteiros não nulos, se n for um inteiro positivo múltiplo de 4.

Demonstração: Suponha que n = 4k, onde k é um inteiro positivo. Se xn + yn = zn , então temos que (xk)4 + (yk)4 = (z2k)2, ou seja, (xk, yk, z2k) será uma solução da equação a4 + b4 = c2. Assim, o problema fica reduzido a se mostrar que essa última equação não tem soluções além das triviais. Suponha, por absurdo, que a, b e c sejam inteiros positivos que satisfaçam a equação a4 + b4 = c2. Além disso, para aplicarmos o método da descida infinita de Fermat, vamos incluir a hipótese adicional de que c seja mínima, isto é, que não exista uma outra solução (a’, b’, c’), em inteiros positivos, com c’ < c. Então, a e b são primos entre si e, pela Proposição 1, existem inteiros positivos primos entre si u e v tais que a2 = u2 – v2, b2 = 2uv e c = u2 + v2. Como a2 + v2 = u2, novamente pela Proposição 1, temos que existem inteiros positivos primos entre si p e q tais que a = p2 – q2, v = 2pq e u = p2 + q2. Daí, segue que b2=2uv = 4pq(p2 + q2). Como p e q são relativamente primos, ambos são também relativamente primos com p2 + q2. Agora, sendo 4pq(p2 + q2) um quadrado perfeito, deveremos ter p, q e p2 + q2 também quadrados perfeitos; portanto, existem inteiros positivos D , E e J de modo que p D 2 , q E 2 e p 2 q 2 J 2 . Daí segue que D 4 E 4 J 2 , sendo c u 2 v 2 ! u p 2 q 2 J 2 t J . Isso contradiz a minimalidade de c. 3. A equação de Pell Se d é um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito, sabemos que d é um número irracional. A equação x 2 dy 2 m , onde m representa um inteiro qualquer, é conhecida como a equação de Pell. É claro que, no caso m=0, a equação de Pell não tem solução além x da trivial (x = y = 0) pois, caso contrário, teríamos d , o que iria contradizer a y irracionalidade de d . Neste parágrafo, desenvolveremos um breve estudo sobre a determinação das soluções da equação de Pell. A proposição que veremos a seguir é um resultado clássico devido a P.G. Lejeune Dirichlet (1805 – 1859). p Proposição 5: Dado um número irracional D , existem infinitos racionais , com p e q q p 1 2. q q Demonstração: Dado um inteiro positivo N qualquer, consideremos os N+1 elementos do intervalo [0, 1) da forma jD ¬ jD ¼ , com 0 d j d N , onde ¬x ¼ representa o maior inteiro inteiros não nulos primos entre si, tais que D

N 1

ª k k 1· ¸ , pelo Princípio de Dirichlet, existem dois N ¹ k 0 desses elementos, digamos j1D ¬ j1D ¼ e j 2D ¬ j 2D ¼ pertencentes a um mesmo intervalo

que não supera x. Como >0, 1

«¬ N ,

ª k k 1· «¬ N , N ¸¹ . Supondo, sem perda de generalidade, que j1 < j2 e chamando q = j2 – j1 e p 1 1 1 p > j 2D > j1D , temos que 0 qD p e, daí, D d 2 . Por fim, podemos q qN q N supor que p e q são primos entre si. De fato, se p = p1c e q = q1c, para algum inteiro c>1, p 1 1 então D 1 2 2 . q1 q q1

O resultado a seguir mostra a existência de valores de m para os quais a equação de Pell tem infinitas soluções nos inteiros. Proposição 6: Se d é um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito, existe um inteiro m tal que a equação x2 – dy2 = m admite infinitas soluções inteiras. Demonstração: Como d é irracional, segue pela Proposição 5, que existem infinitos pares x 1 (x, y) de inteiros primos entre si tais que d 2 (*). Agora, se x e y são inteiros y y satisfazendo essa desigualdade, temos que · 1 1§1 x 2 dy 2 x dy x dy x d y 2 d y ¨¨ 2 d y ¸¸ 2 d 1 . y y© y ¹

Segue, daí, que algum inteiro não nulo m entre 2 d 1 e 2 d 1 repete-se um número infinito de vezes dentre os valores de x2 – dy2, para x e y satisfazendo a condição (*), ou seja, a equação x2 – dy2 = m admite infinitas soluções inteiras, para um tal m. Proposição 7: A equação x2 – dy2 = 1, onde d é um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito, admite soluções. Demonstração: Conforme a Proposição 6, podemos tomar um inteiro não nulo m de modo que a equação x2 – dy2 = m admite infinitas soluções inteiras. Podemos escolher duas dessas soluções (x1, y1) e (x2, y2) de modo que x1 z x 2 , mas x1 { x2 (mod m) e y1 { y 2 (mod m) . Assim,

x

1

y1 d x 2 y 2 d 2

x1 x 2 dy1 y 2 x 2 y1 x1 y 2

d . (**)

2

Mas, x1 x2 dy1 y2 { x1 dy1 { 0(mod m) e x 2 y1 { x1 y 2 (mod m) e, daí, existem inteiros u e v tais que x1 x2 dy1 y2 = mu e x2 y1 x1 y 2 mv . Segue, então, de (**) que

x y d x y d = mu v d e, daí, x y d x y d = mu v d . 1

1

1

2

1

2

2

2

Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades acima, obtemos 2 2 2 2 m2 x1 dy1 x 2 dy 2 m 2 u 2 dv 2 , ou seja, u 2 dv 2 1 . Assim, a demonstração estará concluída se mostrarmos que u e v não são nulos. De fato, se u = 0, teríamos –dv2 = 1, o que é um absurdo. Se v = 0, teríamos u = 1 ou -1. De (**), viria x1 y1 d x2 y2 d = r m e, conseqüentemente, x1 y1 d r x 2 y 2 d e, ainda,

x1

x 2 , o que contraria nossa hipótese sobre as soluções (x1, y1) e (x2, y2).

Proposição 8: Se d é um inteiro positivo que não é um quadrado perfeito então existe uma solução (x0, y0) da equação x2 – dy2 = 1, onde x0 e y0 são inteiros positivos, de modo que todas

n

x0 y 0 d , as demais soluções (xn, yn) dessa equação satisfazem a condição x n y n d para algum inteiro n. Demonstração: Mais uma vez, teremos uma aplicação do método da descida infinita. Consideremos a solução (x0, y0) da equação dada, com coordenadas inteiras positivas, de modo que, dentre todas as soluções da equação, o valor x0 y 0 d seja o menor possível. Vamos identificar cada solução (x, y) da equação com o número x y d . Pela igualdade

x 2 dy 2 x y d x y d , é fácil ver que o produto de duas soluções da equação também é uma solução, no sentido da identificação acima. Vamos mostrar que todas as

x

soluções da equação dada são da forma

0

n

y0 d , para algum inteiro n. Suponha que

(u, v) seja uma solução da equação em tela e que u v d não seja uma potência com expoente inteiro de x0 y 0 d . Assim, para algum n, temos

x

. Multiplicando cada membro da expressão acima pela solução x y 1 < ( u v d ) x y d < ( x y d ) 0

n

y0 d < u v d < x 0 y 0 d

n 1

0

n

0

d , obtemos

n

0

0

0

0

o que é um absurdo pois o termo intermediário é uma solução, o que contraria a minimalidade da solução x0 y 0 d . Referências bibliográficas [1] ANDERSON, J. A. e BELL, J. M. – Number Theory with applications – Prentice Hall – 1997 [2] ENGEL, A. – Problem-Solving Strategies – Springer – 1997 [3] MOREIRA, C. G. – Propriedades estatísticas de frações contínuas e aproximações diofantinas – Matemática Universitária – Sociedade Brasileira de Matemática – nº 29 – 2000 [4] MUNIZ NETO, A. C. – Equações Diofantinas – EUREKA! – Sociedade Brasileira de Matemática – nº 7 - 2000

Obtenção dos projetos ótimos de gráficos de X utilizando o Matlab. Robson Silva Rossi 1 FEMEC [email protected] Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues 2 FAMAT [email protected] Resumo Foi desenvolvido um programa em MATLAB para a seleção de parâmetros (tamanho de amostra, intervalo de tempo entre amostras e largura dos limites de controle) de gráficos de X para controle estatístico de processos. Esse programa fornece soluções ótimas em termos de rapidez de detecção do descontrole. Apresenta-se um procedimento para selecionar o projeto ótimo através das tabelas geradas pelo programa. A simplicidade do programa o torna viável para implementação em qualquer ambiente. Palavras-chave: gráficos de X , controle estatístico de qualidade, projeto de gráfico de controle. 1. Introdução Os processos de produção devem ser permanentemente monitorados, para detectar a presença de causas especiais (que aumentam sua dispersão e/ou tiram sua média do valor-alvo). Detectada essa presença, deve-se proceder a uma investigação para identificar a(s) causa(s) especial(is) e intervir para eliminá-las. A principal ferramenta utilizada para monitorar os processos de produção é o gráfico de controle e foi desenvolvido em 1924 por Walter A. Shewhart. Os gráficos de controle de X , também conhecidos como gráficos da média, servem para monitorar processos cuja característica de qualidade de interesse X é uma grandeza mensurável: o diâmetro de um eixo, volume de uma lata de óleo, o teor de carbono em uma liga metálica etc. O monitoramento é realizado através da análise periódica de amostras: a cada intervalo de tempo h retira-se uma amostra de n itens para análise. Por exemplo, a cada uma hora de produção (h = 60 min), selecionam-se aleatoriamente, cinco garrafas (n = 5), cujos volumes são medidos. Para cada amostra, é calculada a média X dos valores medidos. Os valores de X das diversas amostras são marcados no gráfico. A implementação e o desempenho satisfatório do gráfico de controle de X dependem da identificação do projeto (design) do gráfico, ou seja, da seleção dos valores para os parâmetros: n (tamanho de amostra), h (intervalo de tempo entre amostra consecutivas), e k (fator de abertura dos limites de controle). A dificuldade em obter valores precisos para esses parâmetros é grande. A estabilidade do processo está associada à freqüência com que ele tem tendência de sair de controle, a qual pode ser medida pelo tempo médio que opera isento de causas especiais, ou seja, em controle. O prejuízo de operar um processo sob efeito de uma ou mais causas especiais está associado ao prejuízo devido ao aumento da proporção de 1 2

Aluno de graduação em Engenharia Mecânica (UFU) e de Iniciação Científica (PROMAT). Orientadora. Professora Adjunto da Faculdade de Matemática (UFU).

unidades produzidas fora das especificações quando a média do processo desloca-se e/ou a variabilidade aumenta. Esse prejuízo é função da magnitude do aumento da variância. Na prática quase geral, o valor de h acaba sendo escolhido arbitrariamente. Ao arbitrar o valor de h, devemos ter sempre em mente o seguinte: valores pequenos de h implicam custos elevados com amostragens e maior incidência de alarmes falsos. Exemplo: se k = 3, n = 4 e h = 1 hora, então, inspecionam-se quatro itens por hora e, em média, há um alarme falso a cada 370,4 horas. Por outro lado, se h = 30 minutos, então inspecionam-se oito itens por hora e, em média há um alarme falso a cada 185,2 horas (Costa et al. 2004). O objetivo deste trabalho foi desenvolver um programa em Matlab (2002), o qual fornece o projeto ótimo do gráfico de X e auxilia o usuário na escolha dos parâmetros desse projeto. O presente trabalho baseia-se no procedimento de Costa et. al. (2004), que utiliza uma planilha do Excel, para obter a melhor combinação de n, h e k para a determinação dos valores ótimos para os parâmetros do gráfico X . Aqui é abordado apenas o gráfico de X . No entanto, o programa apresentado pode ser facilmente adaptado a outros gráficos, ou conjunto de gráficos. 2. Modelo matemático Se a característica de qualidade de interesse for representada por variáveis contínuas (mensuráveis), por exemplo, volume de refrigerante em uma garrafa, então, o tipo de gráfico indicado para monitorar o processo são os gráficos de controle por variáveis. Neste caso, o gráfico da média (de X ) é o mais usado para controlar a média de um processo, enquanto que o gráfico da amplitude (de R) ou o gráfico do desvio-padrão (S) controla a variabilidade do processo. Assim, é recomendável e usual a implementação simultânea dos gráficos de X e R ou (S) para controlar a média e a variabilidade do processo. Aqui, será descrito apenas o gráfico de X ; o desenvolvimento dos gráficos de R ou de S pode ser encontrado na literatura especializada. Ver, por exemplo, Montgomery (2004) e Costa et al. (2004). Suponha que a característica de qualidade X de um processo seja uma variável contínua. Considere que, com o processo em controle, X seja normalmente distribuída com média P0 e variância V02; toma-se uma amostra de tamanho n, então a estatística n

¦X X

i

i 1

n

é normalmente distribuída com média e variância dadas, respectivamente, por: E X P0 Var X V 0 2 n

Logo, os limites de controle do gráfico de X são LSC = P0 + kV0/ n LM = P0

(1) (2) (3) (4) (5)

LIC = P0 - kV0/ n (6) Os pontos no gráfico são as médias de cada amostra dos dados. Tipicamente, as médias são registradas nos gráficos durante algum tempo, por exemplo, durante dias ou semanas. Se os valores de P0 e V0 não forem conhecidos, precisam ser estimados a partir de amostras iniciais. Recomenda-se vinte amostras, no mínimo, para construir gráficos que forneçam boas estimativas estatísticas.

Suspeita-se que um processo esteja fora de controle quando um ponto se encontra acima do limite de controle superior ou abaixo do limite de controle inferior, ou ainda se for identificado um comportamento não aleatório dos pontos, ou seja, os pontos apresentam um padrão; por exemplo, pontos consecutivos crescendo ou decrescendo. Ver a figura 1. Portanto, outras regras que identificam indícios de processos fora de controle foram desenvolvidas; são as chamadas regras suplementares. A inclusão de novas regras de decisão implica sempre um aumento na incidência de alarmes falsos. Uma boa discussão sobre uso de regras suplementares é feita por Costa et al. (2004). LSC

LM

LIC

Variação devida a causas especiais

Variação devida a causas comuns

Variação devida a causas especiais Figura 1: Ilustração esquemática de um gráfico de controle

Quando for localizado um ponto fora dos limites de controle ou identificado um comportamento não aleatório dos pontos no gráfico, passa-se então ao processo de investigação para descobrir se de fato o processo está fora de controle; se ele de fato estiver, as causas especiais devem ser removidas. O sensato é não parar o desenvolvimento da qualidade quando o sistema está em controle. É necessário que se busque o aperfeiçoamento contínuo da qualidade, por exemplo, através do uso de outras ferramentas como fluxogramas, gráficos de causa e efeito, gráficos de Pareto e projeto e análise de experimentos. Descrições dessas ferramentas são encontradas, em Montgomery (2004). 2.1 Medidas de desempenho de gráficos de controle Existe uma conexão estreita entre os gráficos de controle e os testes de hipótese. Basicamente, um gráfico de controle é um teste de hipótese em que a hipótese nula é a de que o processo está em controle: H0: P = P0 H1: P z P0 Este teste é realizado para cada nova amostra, pois o estado do processo pode mudar.

Região de LSC

rejeição de H0

LM

Região de aceitação de H0

LIC

Região de rejeição de H0

Figura 2: Relação entre gráficos de controle e testes de hipóteses

Quando o ponto amostral se situa entre limites de controle, LIC e LSC, aceita-se a hipótese nula; caso contrário, deve-se rejeitá-la. Como em qualquer teste de hipótese, podem ocorrer erros do tipo I e tipo II; caso, respectivamente, se rejeite a hipótese nula de que o processo está em controle quando ele na realidade está em controle e caso se aceite a hipótese nula de que o processo está em controle quando ele, na realidade, não está. As probabilidades dos erros do tipo I e II são denotadas por D e E, respectivamente. O NMA (ou ARL, do inglês Average Run Length) representa o número médio de amostras retiradas até que seja emitido um sinal pelo gráfico. Quando o processo está em controle, o NMA é denotado por NMA0 e quando o processo está fora de controle, o NMA é denotado por NMA1. A variável aleatória NA, que representa o número de amostras até um sinal, é distribuída geometricamente, com probabilidade de sucesso p, onde p é igual a D quando o processo está em controle e igual a (1 - E) quando o processo está fora de controle. Então, NMA0

1 Į

NMA1

1 1 E

(7) 1 poder

(8)

Lembrando que D é a probabilidade do erro do tipo I e E é a probabilidade do erro tipo II; logo, aqui no caso, (1 - E) representa o poder do gráfico. Para um gráfico com limites de 3V, D = 0,0027 é a probabilidade nominal (supondo distribuição normal da estatística amostral, e P0 e V0 estimados sem erro) de que um ponto caia fora dos limites de controle, quando o processo está em controle. Assim: NMA0 =

1 = 370 amostras. 0, 0027

(9)

Ou seja, mesmo que o processo esteja em controle, um sinal de alarme – alarme falso – será gerado, em média, a cada 370 amostras. Por outro lado, quando o processo está fora de controle e um alarme é gerado, esse alarme é um alarme verdadeiro. Portanto, são desejáveis valores grandes para NMA0 e valores pequenos para NMA1. 2.2. Tempo esperado até o sinal Suponha que o processo está sujeito a descontroles, na forma de deslocamentos bruscos (shifts) em sua média. Um ponto X i fora dos limites de controle é interpretado como sinal de que o processo está fora de controle. Seja P1 o valor da média após o deslocamento, defina-se P1 P0 d (10) V0 Essa expressão representa o deslocamento em unidades de desvio padrão. O intervalo de tempo entre a alteração do parâmetro do processo (média, por exemplo) que está sendo monitorado por um gráfico de controle e a ocorrência do alarme é uma medida de eficiência do gráfico. O valor esperado desse intervalo de tempo, que será chamado tempo esperado até o sinal (TES), depende da magnitude da alteração do parâmetro do processo (d), do tamanho das amostras (n), do intervalo de tempo entre as amostras (h) e do fator de abertura dos limites de controle (k).

descontrole

t

t+h

SINAL

t +2h

t +(NA)h

h S

TS

(NA)h

Figura 3: Tempo até o sinal, sendo intervalo de tempo entre amostras fixo

Suponha-se que a alteração da média seja brusca e mantida (ocorre instantaneamente e permanece até que se intervenha no processo), definam-se as seguintes variáveis aleatórias (ver Figura 3): S, tempo decorrido entre a extração da última amostra anterior ao descontrole (alteração) e o descontrole (0 d S d h); NA, o número de amostras extraídas entre a ocorrência do descontrole e o sinal emitido pelo gráfico, e TS, o tempo entre descontrole e o sinal. Então, TS = (NA)h – S. (11) O tempo esperado entre o descontrole e o sinal, TES, é: TES = E(TS) = hE(NA) – E(S). (12)

Dado que E(NA) é o número médio de amostras até o sinal (NMA), já definido anteriormente, e como S tem uma distribuição aproximadamente uniforme no intervalo [0, h], (Reynolds,1988). Então, E S #

h . 2

(13)

Portanto, TES # h(NMA – 0,5).

(14)

2.3. Formulação do problema Considere o seguinte exemplo: se amostras de tamanho 2 são retiradas do processo a cada meia hora e os limites adotados são de 3V (n = 2; h = 0,5; k = 3,00). Se a média do processo se deslocar de 1,5 desvios-padrão ( d = 1,5), então, em média, serão necessárias 5,26 amostras até o sinal de descontrole (NMA1= 5,26 amostras) e o TES = 2,38 horas (143 minutos). Ao aumentar o tamanho de n, por exemplo, se n = 4, o NMA1 e o TES serão reduzidos, ou seja, NMA1= 2 amostras e TES = 0,75 horas (45 minutos). Contudo, a taxa de amostragem, r = n/h, passa de 4 itens por hora para 8 itens por hora. Em ambos os casos haverá, em média, um alarme falso a cada 370,4 amostras ou a cada 185,2 horas, pois, o tempo médio entre alarmes falsos é TMAF = NMA0 u h = h/D. Veja situação 1 na Tabela 1. Tabela 1: Exemplos de projetos para o gráfico de controle X , d = 1,5 e TMAF = 500

n h k r NMA1 TES MNA0 TMAF

2 amostras 0,5 hora 3,00 4 amostras/hora 5,26 amostras 2,38 horas 370,4 amostras 185,2 horas

Situação 1 4 amostras 0,5 hora 3,00 8 amostras/hora 2 amostras 0,75 horas 370,4 amostras 185,2 horas

Situação 2 2 amostras 0,25 hora 3,00 8 amostras/hora 5,26 1,19 amostras 370,4 amostras 92,6 horas

Outra alternativa para reduzir o TES consiste em retirar as amostras com maior freqüência; por exemplo, uma amostra de tamanho n = 2 a cada 15 minutos (0,25 horas). Veja situação 2 na Tabela 1. O valor de TES cai para a metade, TES =1,19 minutos. Agora, além de a taxa de amostragem r dobrar, a freqüência de alarmes falso também dobra, ou seja passa-se a ter em média um alarme falso a cada 370,4 u 0,25 = 92,6 horas. Nesse exemplo, a primeira alternativa é melhor, pois leva a um menor TES e a um maior TMAF. Mas pode ser que haja alguma alternativa ainda melhor, mantendo a taxa de amostragem r = 8, como, por exemplo. Retirar amostras de tamanho n = 8 de hora em hora. Seria preciso calcular o TES dessa alternativa para dizer se ela é ou não mais vantajosa que a primeira. Percebe-se pelo exemplo dado que, para determinar os parâmetros do gráfico de controle X , é conveniente usar o TES como medida de rapidez de detecção, mas é preciso definir primeiro a freqüência admissível de alarmes falsos (TMAF) e a taxa de amostragem (r) . Existe uma infinidade de combinações de n, h e k, que resultam em uma mesma taxa de amostragem r e num mesmo TMAF pré-especificados. No entanto, para cada valor hipotético do deslocamento, d, há uma combinação que minimiza o

TES. Por meio de um programa simples em MATLAB, ver Apêndice, é possível obter o TES para diferentes combinações de n, h, TMAF e do deslocamento d contra o qual se deseja maior proteção (isto é, para o qual se quer minimizar o TES). O parâmetro n assume valores inteiros (1, 2, ...) e o parâmetro h, valores práticos ( 1/4 de hora, ½ hora, 2 horas). Portanto, através da tabela gerada pelo programa, podemos rapidamente encontrar a melhor combinação de n, h e k, ou seja, aquela que minimiza o TES. Para cada valor de h, o valor de k é determinado por: k

§ · h I1 ¨ ¸, © 2(TMAF ) ¹

(15)

pois D = 2I (-k), ou seja, k = - I-1(D/2) = - I-1(h / (2TMAF)). Após obtenção do valor de k, utiliza-se a expressão para calcular o poder do gráfico, ou simplesmente, Poder : Poder 1 E = Pr ª Z k G n º Pr ª Z k G n º (16) ¬

¼

¬

¼

Utilizando o valor do Poder, calcula-se o NMA1 (na equação 8) e finalmente o TES (na equação 14) 3. Soluções ótimas Utilizando o programa em MATLAB, ver no Apêndice, é possível obter o projeto ótimo do gráfico X , ou seja, combinação de valores para n, h e k que possui o menor TES. O programa consiste em implementar as equações 8, 15 e 16. Aqui, os valores de TMAF, r, d e n serão fixos, veja tabelas 2, 3 e 4: TMAF = 500 horas; r = 6, 8 e 10 n = 1 a 20; d = 0,5 a 3,5 Caso seja de interesse do usuário, ele pode atribuir outros valores para TMAF, r, d e n no programa em MATLAB. Conforme tabelas 2 a 4, é possível concluir que: a) d d 1,0: é melhor utilizar amostras grandes (n t 16) e intervalo entre amostragens longo (h t 96 minutos). b) 1,25 d d d 1,5: é melhor utilizar amostras médias (8 d n d 16) e intervalos entre amostragens moderados (48 minutos d h d 120 minutos). c) 1,75 d d d 2,25: é melhor utilizar amostras pequenas (4 d n d 6) e intervalos entre amostragens curtos (24 minutos d h d 60 minutos). d) d t 2,5: é melhor utilizar amostras muito pequenas (2 d n d3) e intervalos entre amostragens muito curtos (12 minutos d h d 30 minutos).

Tabela 2: Tempo esperado até o sinal, em horas ( r = n/h = 6 e TMAF = 500 minutos)

n =1 h* = 10,0 k =3,59 0,50 161,79 0,75 73,09 1,00 34,42 1,25 17,11 1,50 8,97 1,75 4,96 2,00 2,88 2,25 1,76 2,50 1,12 2,60 0,95 2,70 0,81 2,80 0,69 2,90 0,59 3,00 0,52 3,10 0,45 3,20 0,39 3,30 0,35 3,40 0,31 3,50 0,28 * em minutos d

2 3 4 5 20,0 30,0 40,0 50,0 3,40 3,29 3,21 3,14 94,25 64,85 48,65 38,53 34,60 21,29 14,90 11,29 14,10 8,14 5,55 4,16 6,37 3,59 2,45 1,88 3,17 1,80 1,26 1,01 1,72 1,01 0,75 0,65 1,01 0,63 0,52 0,50 0,64 0,44 0,41 0,44 0,44 0,34 0,36 0,42 0,38 0,31 0,35 0,42 0,34 0,30 0,34 0,42 0,30 0,28 0,34 0,42 0,27 0,27 0,34 0,42 0,25 0,26 0,34 0,42 0,23 0,26 0,33 0,42 0,22 0,26 0,33 0,42 0,20 0,25 0,33 0,42 0,20 0,25 0,33 0,42 0,19 0,25 0,33 0,42

6 60,0 3,09 31,69 9,02 3,33 1,55 0,89 0,63 0,54 0,51 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

7 70,0 3,04 26,80 7,48 2,80 1,35 0,84 0,65 0,60 0,59 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58 0,58

8 80,0 3,00 23,15 6,40 2,43 1,23 0,83 0,70 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67 0,67

9 90,0 2,97 20,35 5,59 2,17 1,17 0,85 0,77 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 150,0 160,0 170,0 180,0 190,0 200,0 2,94 2,91 2,88 2,85 2,83 2,81 2,79 2,77 2,75 2,73 2,71 18,14 16,35 14,89 13,67 12,64 11,77 11,02 10,37 9,80 9,30 8,86 4,98 4,51 4,13 3,83 3,59 3,39 3,23 3,10 2,99 2,91 2,84 1,99 1,86 1,77 1,72 1,68 1,67 1,67 1,69 1,72 1,76 1,80 1,14 1,14 1,16 1,20 1,24 1,30 1,37 1,44 1,52 1,59 1,67 0,89 0,95 1,02 1,09 1,17 1,25 1,34 1,42 1,50 1,58 1,67 0,84 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67 0,83 0,92 1,00 1,08 1,17 1,25 1,33 1,42 1,50 1,58 1,67

Tabela 3: Tempo esperado até o sinal, em horas ( r = n/h = 8 e TMAF = 500 minutos)

n =1 2 3 4 h* = 7,5 15,0 22,5 30,0 k =3,66 3,48 3,37 3,29 0,50 156,48 89,62 60,88 45,19 0,75 69,41 32,09 19,39 13,38 1,00 32,13 12,77 7,22 4,83 1,25 15,71 5,64 3,10 2,08 1,50 8,11 2,75 1,52 1,05 1,75 4,41 1,46 0,83 0,61 2,00 2,53 0,85 0,51 0,41 2,25 1,52 0,53 0,35 0,31 2,50 0,96 0,35 0,26 0,27 2,60 0,81 0,31 0,24 0,26 2,70 0,68 0,27 0,23 0,26 2,80 0,58 0,24 0,22 0,26 2,90 0,50 0,22 0,21 0,25 3,00 0,43 0,20 0,20 0,25 3,10 0,37 0,18 0,20 0,25 3,20 0,33 0,17 0,19 0,25 3,30 0,29 0,16 0,19 0,25 3,40 0,25 0,15 0,19 0,25 3,50 0,22 0,14 0,19 0,25 * em minutos d

5 37,5 3,23 35,46 10,01 3,57 1,57 0,82 0,52 0,39 0,34 0,32 0,32 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31 0,31

6 45,0 3,17 28,93 7,91 2,83 1,27 0,71 0,49 0,41 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38

7 52,5 3,13 24,28 6,51 2,35 1,10 0,66 0,50 0,45 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44 0,44

8 60,0 3,09 20,84 5,51 2,02 0,99 0,64 0,53 0,51 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

9 67,5 3,06 18,20 4,78 1,79 0,92 0,65 0,58 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56

10 75,0 3,02 16,13 4,23 1,63 0,89 0,68 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63 0,63

11 82,5 2,99 14,46 3,80 1,51 0,88 0,72 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69 0,69

12 90,0 2,97 13,10 3,47 1,42 0,89 0,77 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75

13 14 97,5 105,0 2,94 2,92 11,97 11,03 3,19 2,97 1,37 1,33 0,91 0,95 0,82 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88 0,81 0,88

15 112,5 2,90 10,22 2,79 1,31 0,99 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94 0,94

16 120,0 2,88 9,53 2,65 1,30 1,03 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

17 127,5 2,86 8,93 2,53 1,31 1,09 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06

18 135,0 2,84 8,41 2,43 1,32 1,14 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13 1,13

19 142,5 2,82 7,96 2,35 1,35 1,20 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19

20 150,0 2,81 7,55 2,28 1,38 1,26 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25

Tabela 4: Tempo esperado até o sinal, em horas ( r = n/h =10 e TMAF = 500 minutos)

n =1 2 3 4 h* = 6,0 12,0 18,0 24,0 k =3,72 3,54 3,43 3,35 0,50 152,52 86,23 58,00 42,70 0,75 66,72 30,29 18,05 12,32 1,00 30,48 11,84 6,58 4,34 1,25 14,71 5,14 2,77 1,83 1,50 7,50 2,46 1,33 0,90 1,75 4,04 1,29 0,72 0,52 2,00 2,29 0,74 0,43 0,34 2,25 1,36 0,46 0,29 0,26 2,50 0,85 0,30 0,22 0,22 2,60 0,71 0,26 0,20 0,21 2,70 0,60 0,23 0,19 0,21 2,80 0,51 0,20 0,18 0,20 2,90 0,43 0,18 0,17 0,20 3,00 0,37 0,16 0,16 0,20 3,10 0,32 0,15 0,16 0,20 3,20 0,28 0,14 0,16 0,20 3,30 0,25 0,13 0,15 0,20 3,40 0,22 0,12 0,15 0,20 3,50 0,19 0,12 0,15 0,20 * em minutos d

5 30,0 3,29 33,27 9,13 3,18 1,36 0,70 0,43 0,32 0,27 0,26 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

6 36,0 3,24 26,97 7,15 2,49 1,10 0,60 0,40 0,33 0,31 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30

7 42,0 3,19 22,51 5,84 2,05 0,93 0,55 0,41 0,36 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35

8 48,0 3,16 19,22 4,92 1,75 0,83 0,53 0,43 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40

9 54,0 3,12 16,70 4,24 1,54 0,77 0,53 0,47 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45

10 60,0 3,09 14,73 3,73 1,39 0,74 0,55 0,51 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

11 66,0 3,06 13,16 3,34 1,28 0,73 0,58 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55

12 72,0 3,04 11,88 3,03 1,20 0,73 0,62 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60

13 78,0 3,01 10,81 2,78 1,15 0,74 0,66 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65 0,65

14 84,0 2,99 9,92 2,57 1,11 0,77 0,71 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70

15 90,0 2,97 9,17 2,41 1,09 0,80 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75

16 96,0 2,95 8,52 2,27 1,07 0,83 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,80

17 102,0 2,93 7,97 2,16 1,07 0,87 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85

18 108,0 2,91 7,48 2,07 1,08 0,92 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 0,90

19 114,0 2,89 7,06 1,99 1,10 0,96 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95

20 120,0 2,88 6,68 1,93 1,12 1,01 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

4. Procedimento para obtenção do projeto ótimo do gráfico X Os valores ótimos de n, h e k podem ser facilmente obtidos utilizando as tabelas 2 a 4 ou o programa em MATLAB, ver apêndice. Veja o procedimento a seguir. 1°) Fixar TMAF e r . Exemplo: TMAF = 500 minutos e r = 6 amostras por hora. 2°) Localizar a tabela que contempla a situação do passo anterior. Exemplo: tabela 2, para TMAF = 500 minutos e r = 6 amostras por hora . Se for o caso, utilizar o programa em MATLAB para gerar outra tabela com outros valores de interesse para TMAF e r. Outros valores também podem ser atribuídos a n e d. 3°) Fixar o valor de d (primeira coluna da tabela gerada). Exemplo: d = 1,75. 4°) Na linha de d fixo, identificar o TESmínimo e o respectivo projeto ótimo. Exemplo: na tabela 2, para d = 1,75, obtém-se TESmínimo = 0, 63 horas. 5°) Identificar os valores ótimos para n, h e k. Exemplo: na tabela 2, para d = 1,75 e TESmínimo = 0, 63; tem-se nótimo = 6; h ótimo =60 minutos e k ótimo = 3,09. 5. Conclusão O presente trabalho apresenta um programa em MATLAB que gera tabelas para auxiliar o usuário na escolha dos parâmetros ótimos (tamanho de amostra n, intervalo de tempo entre amostras h e fator de abertura do limites de controle k) do gráfico de X . É comum o uso do gráfico X em conjunto com o gráfico de R ou S para monitoramento da variabilidade. O procedimento e programa aqui apresentados podem ser adaptados para outros gráficos ou conjuntos de gráficos Os gráficos de controle de X e outros gráficos de controle de Shewhart são relativamente insensíveis para pequenos desvios no processo, ou seja, para d < 1,5. Neste caso, outros gráficos podem ser usados, por exemplo o gráfico da soma acumulada ( CUSUM) e o gráfico da média móvel ponderada exponencialmente ( EWMA). Esses gráficos são descritos por Montgomery (2004) e Costa et al. (2004). 5. Referências bibliográficas COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R. Controle Estatístico de Qualidade. São Paulo: Editora Atlas, 2004. HANSELMAN, D.; LITTLEFIELD, D. B. Matlab 6: curso completo. São Paulo: Prentice Hall, 2003. MATLAB 6.5 Release 13, The Mathworks. 2002. MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. 5. ed. New York: John Wiley, 2004. REYNOLDS, M. R.; AMIN, R. W.; ARNOLD, J. C.; NACHLAS, J. A. x charts with variable sampling intervals. Technometrics, v.30, n.2, p.181-192, 1988.

Apêndice: Programa em MATLAB clear all; TMAF=500 ; %tempo medio ate a ocorrencia de um alarme falso. r=6; %taxa de amostragem. i=0; for d=[.5:.25:2.25 2.5:.1:3.5]; i=i+1; j=0; for n= [1:1:20] %tamanho da amostra. L=length(d); m=length(n); j=j+1; h=n/r ; %intervalo de tempo entre as amostras, em horas. k=(norminv(h/(2*TMAF)))*(-1) %fator de abertura do limite de controle. vetk(:,j)= k poder=normcdf(-k+(d*sqrt(n)),0,1)+ normcdf(-k-(d*sqrt(n)),0,1); % poder do grafico de controle NMA1=1/poder; %Numero medio de amostras ate detecçao de descontrole TES(L,m)=(h*(NMA1-0.5)); A(i,j)= TES(L,m); end end

Formas Quadráticas e Cônicas Stela Zumerle Soares 1 ([email protected])

Antônio Carlos Nogueira 2 ([email protected]) Faculdade de Matemática, UFU, MG

1. Resumo Nesse trabalho pretendemos apresentar alguns resultados da álgebra linear. Nosso objetivo é exibir os conceitos de formas bilineares e formas quadráticas. Além disso, faremos a classificação das cônicas no plano.

2 - Formas Bilineares Definição 2.1 - Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F . Uma forma bilinear sobre V é uma função f , que associa a cada par ordenado de vetores D , E em V , um escalar f (D , E ) em F , e que satisfaz f (cD1 D 2 , E ) cf (D1 , E ) f (D 2 , E ) . f (D , cE1 E 2 ) cf (D , E1 ) f (D , E 2 ) A função nula de V u V é também uma forma bilinear. Além disso, toda combinação linear de formas bilineares sobre V é uma forma bilinear. Assim, o conjunto das formas bilineares sobre V é um subespaço vetorial do espaço das funções de V u V em F . Exemplo 2.1 – Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F e sejam L1 e L2 funcionais lineares sobre V . Definamos f por f (D , E )

L1 (D ) L2 ( E ) .

Fixando E e considerando f como uma função de D , então temos simplesmente um múltiplo escalar do funcional linear L1 . Com D fixo, f é um múltiplo escalar de L2 . Assim, é evidente que f é uma forma bilinear sobre V . Definição 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja E {D1 , , D n } uma base ordenada de V . Se f é uma forma bilinear sobre V , a matriz de f em relação à base

1 2

Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia

ordenada E é a matriz n u n A com elementos Aij

f (D i , D j ) . Às vezes indicaremos esta

matriz por [ f ]E . Teorema 2.1 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo F . Para cada base ordenada E de V , a função que associa a cada forma bilinear sobre V sua matriz em relação à base ordenada E é um isomorfismo do espaço L (V , V , F ) no espaço das matrizes n u n sobre o corpo F . Demonstração: Observamos anteriormente que f o > f @E é uma correspondência bijetora entre os conjuntos das formas bilineares sobre V e o conjunto de todas as matrizes n u n sobre F . E isso é uma transformação linear, pois

cf

g D i , D j cf D i , D j g D i , D j

Para todos i e j . Isto diz simplesmente que

>cf g @E Corolário – Se E

^D1 ,, D n `

c > f @E > g @E .Ŷ

é uma base ordenada de V e E *

^L1 ,, Ln `

é a base dual

de V * , então as n 2 formas bilineares

fij D , E Li D L j E

,

1d i d n ,

1d j d n

formam uma base do espaço L (V , V , F ) . Em particular, a dimensão de L (V , V , F ) é n 2 . Demonstração: A base dual ^ L1 ,, Ln ` é definida essencialmente pelo fato de que Li D é a i-ésima coordenada de D em relação à base ordenada E (para todo D em V ). Ora, as funções fij definidas por

fij D , E Li D L j E são formas bilineares do tipo considerado no exemplo 1. Se

D

x1D1 xnD n e E

y1D1 ynD n ,

então

fij D , E

xi y j .

Seja f uma forma arbitrária sobre V e seja A a matriz de f em relação à base ordenada E . Então

f D , E

¦A x y ij i

j

i, j

o que diz simplesmente que

f

¦ A f D , E . ij ij

i, j

Agora é evidente que as n 2 formas fij formam uma base de L (V , V , F ) .Ŷ Outra maneira de demonstrar o corolário: A matriz da forma bilinear fij em relação à base ordenada E é a matriz “unitária” E i , j , cujo único elemento não-nulo é um 1 na linha i e coluna j . Como estas matrizes E i , j constituem uma base do espaço das matrizes n u n , as formas fij constituem uma base do espaço das formas bilineares. Ŷ Definição 2.3 – Uma forma bilinear f sobre um espaço vetorial V é dita não-degenerada (ou não-singular) se sua matriz em relação a alguma (toda) base ordenada de V é uma matriz não-singular, ou seja, se Posto( f ) n .

2.1 - Formas Bilineares Simétricas e Formas Quadráticas Nesta seção descreveremos um tipo especial de forma bilinear, as chamadas formas bilineares simétricas. Definição 2.4 - Seja f uma forma bilinear sobre o espaço vetorial V . Dizemos que f é simétrica se f (D , E ) f ( E , D ) , para quaisquer vetores D , E em V . Se V é de dimensão finita, a forma bilinear f é simétrica se, e somente se, sua matriz A em relação a alguma ou (toda) base ordenada é simétrica, isto é, A At . Para ver isto, perguntamos quando é que a forma bilinear f X , Y X t AY é simétrica. Isto acontece se, e somente se, X t AY Y t AX para todas matrizes-colunas X e Y . Como X t AY é uma 1u 1 matriz, temos X t AY Y t At X . Assim, f é simétrica se, e somente se, Y t At X Y t AX para todas X , Y . Evidentemente, isto significa apenas que A At . Em particular, deve-se notar que se existir uma base ordenada de V em relação à qual f seja representada por uma matriz diagonal, então f é simétrica, pois qualquer matriz diagonal é uma matriz simétrica.

Se f é uma forma bilinear simétrica, a forma quadrática associada a f é a função q de V em F definida por

q(D )

f (D , D ) .

Se F é um subcorpo do corpo dos números complexos, a forma bilinear simétrica f é completamente determinada por sua forma quadrática associada, de acordo com a seguinte identidade, conhecida por identidade de polarização: f (D , E )

1 1 q(D E ) q(D E ) . 4 4

Demonstração: Temos que:

q (D E ) f (D E , D E ) f (D E , D ) f (D E , E ) f (D , D ) f ( E , D ) f (D , E ) f ( E , E ) f (D , D ) 2 f (D , E ) f ( E , E ) (1) q (D ) 2 f (D , E ) q ( E ).

Temos também que:

q (D E ) f (D E , D E ) f (D E , D ) f (D E , E ) f (D , D ) f ( E , D ) f (D , E ) f ( E , E ) f (D , D ) 2 f (D , E ) f ( E , E ) (2) q (D ) 2 f (D , E ) q ( E ).

Fazendo (1) – (2), obtemos:

q(D E ) q(D E ) q(D ) 2 f (D , E ) q( E ) q(D ) 2 f (D , E ) q( E ) 4 f (D , E )

E então,

f (D , E ) f (D , E )

1 (q(D E ) q(D E )) 4 1 1 q(D E ) q(D E )). Ŷ 4 4

(3)

Observe que, fazendo (1)+(2), obtemos a identidade do paralelogramo

q(D E ) q(D E ) 2(q(D ) q( E )) .

(4)

Uma classe importante de formas bilineares simétricas consiste dos produtos internos sobre espaços vetoriais reais. Se V é um espaço vetorial real, um produto interno sobre V é um a forma bilinear simétrica f sobre V que satisfaz

f (D , D ) ! 0 , se D z 0 . (5) Se f é uma forma bilinear dada pelo produto escalar, então a forma quadrática associada é q ( x1 , x2 , , xn )

x12 x22 xn2 .

Em outras palavras, q(D ) é o quadrado do comprimento de D . Para a forma bilinear f A ( X , Y ) X t AY , a forma quadrática associada é

qA ( X )

X t AX

¦A xx ij i

j

.

i, j

Uma forma bilinear que satisfaz a equação (5) é dita positiva definida. Assim, um produto interno sobre um espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica positiva definida sobre aquele espaço. Note que, um produto interno é não degenerado. Dois vetores D , E são ditos ortogonais em relação ao produto interno f se f D , E 0 . A forma quadrática q D

f D , D toma apenas valores não-negativos e q D é usualmente considerado como o quadrado do comprimento de D .

Observe que se f é uma forma bilinear simétrica sobre um espaço vetorial V , é conveniente dizer que D e E são ortogonais em relação à f se f D , E 0 . Mas não é aconselhável considerar f D , D como sendo o quadrado do comprimento de D . Por exemplo, se V é

um espaço vetorial complexo, podemos ter f D , D

1 i , ou num espaço vetorial real

f D , D 2 . Teorema 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo de característica zero, e seja f uma forma bilinear simétrica sobre V . Então, existe uma base ordenada de V em relação à qual f é representada por uma matriz diagonal. Demonstração: O que precisamos encontrar é uma base ordenada

^D1 , D 2 , , D n `

E tal que f D i , D j 0 para i z j , ou seja

§ f11 0 · § * 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 f ¸ ¨0 *¸ nn ¹ © © ¹ Se f 0 ou n 1 , o teorema é verdadeiro, pois a matriz 1u 1 é uma matriz diagonal. Assim, podemos supor f z 0 e n ! 1 . Se f D , D 0 para todo D em V , a forma quadrática q é identicamente 0 e a identidade de polarização mostra que f 1 1 f (D , D ) q (D D ) q (D D ) . 4 4 Assim, existe um vetor D em V tal que f D , D q D z 0.

0 , pois

Seja W o subespaço unidimensional de V que é gerado por D e seja W A ( W ortogonal) o conjunto de vetores E em V tais que f D , E 0 . Afirmamos agora, que V W W A . Certamente os subespaços W e W A são independentes. Um vetor típico em W é cD , onde c é um escalar. Se cD está, também, em W A , então f cD , cD c 2 f D , D 0 . Mas, f D , D z 0 , logo c 0 . Além disso, todo vetor em V é a soma de um vetor em W e um em W A . De fato, seja

J

um vetor arbitrário em V e coloquemos:

E

J

f J ,D D. f D , D

Então f D , E

f D , J

f J ,D f D , D f D , D

E como f é simétrica, f D , E 0 , (pois f é diagonal e D z E ). Portanto, E está no subespaço W A . A expressão f J ,D J D E f D , D nos mostra que V

W W A .

A restrição de f a W A é uma forma bilinear simétrica sobre W A . Como W A tem dimensão

n 1 (pois W tem ^D 2 , , D n ` tal que

dim 1 ), podemos supor, por indução, que

f D i , D j 0

Colocando D Obs:

E

Em

,

W A possua uma base

i z j i t 2, j t 2

D1 , obtemos uma base ^D1 , , D n ` de V tal que f D i , D j 0 para i z j .Ŷ termos

das

coordenadas

dos

vetores

y1D1 y2D 2 ynD n relativamente à base

bilinear f se expressa como f D , E

¦O x y i i

i

D

x1D1 x2D 2 xnD n

^D1 , , D n ` do

e

teorema 2.2 a forma

.

Em particular, a forma quadrática q associada a f é dada por uma combinação linear de quadrados: q D O1 x12 O2 x22 On xn2 . Os escalares O1 , O2 , , On são os autovalores da matriz da forma bilinear.

2.2 – Formas Quadráticas no plano

De acordo com o teorema §a matriz simétrica A ¨ ©c §a c· A ¨ ¸ associa ao © c b¹

1, uma forma quadrática no plano pode ser representada por uma c· ¸ . Isto é feito da seguinte maneira: a matriz simétrica real b¹ vetor vs

( x, y ) R 2 , referido à base canônica S

{e1 , e2 } ,

( e1 (1, 0) e e2 (0,1) ), o polinômio ax 2 2bxy cy 2 que é um polinômio homogêneo do 2º grau em x e y chamado forma quadrática no plano. Na forma matricial, este polinômio é representado por:

§ a c ·§ x · ¸¨ ¸ , © c b¹© y ¹

x y ¨

vst Avs

sendo a matriz simétrica A a matriz da forma quadrática. Assim, a cada vetor vs corresponde um número real: ax 2 2bxy cy 2 .

p

2.2.1 – Redução da Forma Quadrática à Forma Canônica.

A forma quadrática no plano vst Avs pode ser reduzida através de mudanças de coordenadas à forma:

O1 x '2 O2 y '2 onde O1 e O2 são os autovalores da matriz A , e x ' e y ' as componentes do vetor v na base P {u1 , u2 } , isto é, v p ( x ', y ') , sendo u1 e u2 os autovetores associados a O1 e O2 . Demonstração: Temos que a matriz P é a matriz mudança de base de P para S , pois: P

> I @S

S 1 P

IP

P

E, portanto: vs

Pv p

logo, vst Avs

t

Pv A Pv p

p

ou, vSt AvS

Como P diagonaliza A ortogonalmente

vPt P t AP vP .

Pt AP

§O 0 · D ¨ 1 ¸; © 0 O2 ¹

conclui-se que, vSt AvS

vPt DvP ,

ou,

§ a c ·§ x · ¸¨ ¸ © c b¹© y ¹

x y ¨

x'

§O y ' ¨ 1 ©0

0 ·§ x ' · O2 ¸¹ ¨© y ' ¸¹

ou ainda, ax 2 2bxy cy 2

O1 x '2 O2 y '2 . Ŷ

A forma O1 x '2 O2 y '2 é denominada forma canônica da forma quadrática no plano, ou também, forma quadrática diagonalizada. O que na verdade acabamos de fazer foi uma mudança de base ou uma mudança de referencial. Essa mudança de referencial corresponde a uma rotação de um ângulo T do sistema xOy até o sistema x ' Oy ' . A matriz responsável por essa rotação é a matriz ortogonal P , cujas colunas são os autovetores u1 e u2 de A .

3 – Cônicas.

Chama-se cônica a todo conjunto de pontos M do plano cujas coordenadas x e y , em relação à base canônica, satisfazem a equação do 2º grau: ax 2 2bxy cy 2 dx ey f onde a, b, c não são todos nulos.

3.1- Equação reduzida de uma Cônica.

Dada a cônica C de equação

0

ax 2 2bxy cy 2 dx ey f

0

(6)

queremos, através de mudanças de coordenadas, reduzí-la a uma equação de uma forma mais simples, chamada equação reduzida da cônica. Para isto seguimos as seguintes etapas. 1ª etapa: Eliminação do termo em xy : 1º passo: escrever a equação na forma matricial § a c ·§ x · §x· ¸¨ ¸ d e ¨ ¸ f © c b ¹© y ¹ © y¹

x y ¨

0

(7)

ou, vst Avs Nvs f

0.

2º passo: calcular os autovalores O1 e O2 e os autovetores unitários u1 u2 ( x21 , x22 ) da matriz simétrica A .

( x11 , x12 ) e

3º passo: substituir na equação (7) a forma quadrática: § a c ·§ x · vst Avs x y ¨ ¸ ¨ ¸ pela forma canônica © c b¹© y ¹

vPt DvP

vs

x'

§ O 0 ·§ x ' · y ' ¨ 1 ¸¨ ¸ , e © 0 O2 ¹ © y ' ¹

§x· ¨ ¸ por PvP © y¹

§ x11 ¨ © x12

x21 · § x ' · ¸ x22 ¹ ¨© y ' ¸¹

tendo o cuidado para que det( P) 1 , a fim de que essa transformação seja uma rotação. Assim, a equação (7) se transforma em:

x'

§O 0 ·§ x ' · § x11 y ' ¨ 1 ¸ ¨ ¸ d e ¨ © 0 O2 ¹ © y ' ¹ © x12

x21 · § x ' · f ¸ x22 ¹ ¨© y ' ¸¹

0

ou,

O1 x '2 O2 y '2 px ' qy ' f

0 (8)

que é a equação da cônica dada em (7), porém referida ao sistema x ' Oy ' , cujos eixos são determinados pela base P {u1 , u2 } . Observe que enquanto a equação (7) apresenta o termo misto xy , a equação (8) é desprovida dele.

Portanto da equação (7) para a (8) ocorreu uma simplificação. 2ª etapa: Translação de eixos: Conhecida a equação da cônica

O1 x '2 O2 y '2 px ' qy ' f

0 . (9)

Para se obter a equação reduzida efetua-se uma nova mudança de coordenadas, que consiste na translação do último referencial x ' Oy ' para o novo, o qual denominaremos xO ' y . A seguir é feita a análise das duas possibilidades: (I) Supondo O1 e O2 diferentes de zero, podemos escrever:

§

O1 ¨ x '2 ©

§

p

©

O1

O1 ¨ x '2

x '

· § q · x ' ¸ O2 ¨ y '2 y ' ¸ f O1 ¹ O2 ¹ © p

0

§ 2 q p2 · q2 · p2 q2 y y f O ' ' ¸ 2¨ ¸ 4O12 ¹ O2 4O22 ¹ 4O1 4O2 © 2

0

2

§ § p · q · p2 q2 O1 ¨ x ' ¸ O2 ¨ y ' ¸ f 2O1 ¹ 2O2 ¹ 4O1 4O2 © ©

0.

Fazendo: f

p2 q2 4O1 4O2

F

e por meio das fórmulas de translação: X

x '

p 2O1

e

Y

y '

q 2O2

vem,

O1 X 2 O2Y 2 F 0 O1 X 2 O2Y 2 F .

(10)

A equação (10) é a equação reduzida de uma cônica de centro, e como se vê, o 1º membro é a forma canônica da forma quadrática do plano. (II) Se um dos autovalores for igual a zero, O1

0 , por exemplo, a equação (9) fica:

O2 y '2 px ' qy ' f

0

ou seja,

§

· y ' ¸ px ' f 0 O2 ¹ © § 2 q q2 · q2 O2 ¨ y ' y ' 2 ¸ px ' f O2 4O2 ¹ 4O2 ©

O2 ¨ y '2

q

0

2

§ § q · f q2 · O2 ¨ y ' ¸ p ¨ x ' ¸ 2O2 ¹ p 4 pO2 ¹ © ©

0.

Fazendo, por meio de uma translação: X

x '

f q2 p 4 pO2

e

Y

O2Y 2 pX

0.

(11)

y '

q 2O2

vem,

A equação (11) é a equação reduzida de uma cônica sem centro. Se O2

0 , a equação (9) fica:

O1 x '2 px ' qy ' f §

0

· x ' ¸ qy ' f 0 O1 ¹ © § 2 p p2 · p2 O1 ¨ x ' x ' 2 ¸ qy ' f O1 4O1 ¹ 4O1 ©

O1 ¨ x '2

p

0

2

§ § p · f p2 · q y O1 ¨ x ' ' ¸ ¨ ¸ q 4qO1 ¹ 2O1 ¹ © ©

0.

Fazendo por meio de uma translação: Y vem,

f p2 y ' p 4qO1

e

X

x '

p 2O1

O1 X 2 qY

0.

3.2- Classificação das Cônicas.

I) A equação reduzida de uma cônica de centro é:

O1 X 2 O2Y 2 x x

F.

Se O1 e O2 forem de mesmo sinal, a cônica será do gênero elipse. Se O1 e O2 forem de sinais contrários, a cônica será do gênero hipérbole.

II) A equação de uma cônica sem centro é:

O2Y 2 pX

0

ou

O1 X 2 qY

0.

Uma cônica representada por qualquer uma dessas equações é do gênero parábola. É usada a mesma classificação para as formas quadráticas. Exemplo 3.1: a) Para a cônica de equação 2 x 2 2 y 2 2 xy 7 2 x 5 2 y 10 0 , a matriz A é dada §2 1· por A ¨ ¸ e seus autovalores são O1 3 e O2 1 . Portanto, pela classificação de ©1 2¹ cônicas, como os sinais dos autovalores são iguais, a cônica em questão é uma elipse.

b) Para a cônica de equação x 2 2 xy y 2 8 x 4

0 , a matriz A é dada por A

§1 1· ¨ ¸ e ©1 1¹

como um de seus autovalores é nulo, concluímos que esta cônica é uma parábola.

c) A equação 4 x 2 3 y 2 24 xy 156 0 , representa uma hipérbole, pois a matriz § 4 12 · A ¨ ¸ apresenta autovalores de sinais opostos ( O1 12 e O2 13 ). © 12 3 ¹

3. Referências bibliográficas [1] HOOFMAN, K. & KUNZE, R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, Editora da Universidade de São Paulo,1971.

[2] GREUB, W. Linear Algebra. 4ª ed. Nova York: Springer-Verlag, 1974. [3] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1987. [4] LIMA, E. L. Álgebra Linear. 2ª ed. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1996 (Coleção Matemática Universitária).

Soma de Quadrados Stela Zumerle Soares 1 ([email protected])

Antônio Carlos Nogueira 2 ([email protected])

Faculdade de Matemática, UFU, MG

1. Resultados Preliminares Historicamente, um problema que tem recebido uma atenção considerável é a representação de números como soma de quadrados. Por exemplo: 1 12 2 12 12 3 12 12 12 4 22 5 22 12 6 22 12 12 7 22 12 12 12 Nos preocuparemos, neste trabalho, em descrever os inteiros positivos que podem ser representados como soma de dois quadrados. Observamos inicialmente que, a solução do problema proposto depende do conhecimento de alguns resultados pertinentes às congruências quadráticas, ou seja, congruências do tipo ax2 bx c { 0(mod n) .

Começamos então, considerando a congruência ax2 bx c { 0(mod p) , onde p é um primo ímpar e a { 0(mod p) . Definição 1.1 – Seja p um primo ímpar e mdc a, p 1 . Se a congruência quadrática x2 { a(mod p) tem uma solução, então a é dito ser um resíduo quadrático de p . Exemplo 1.1 – Considere o primo p 13 . Para encontrar quais dos inteiros 1, 2, 3, , 12 são resíduos quadráticos de 13, precisamos saber quais das congruências x2 { a mod13 são solúveis com a percorrendo a série ^1, 2, , 12` . Módulo 13, as equações dos inteiros

1, 2, 3, , 12 são

1 2

Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia

12 { 122 { 1 22 { 112 { 4 32 { 102 { 9 42 { 92 { 3

.

52 { 82 { 12 62 { 72 { 10 Consequentemente, os resíduos quadráticos de 13 são 1, 3, 4, 9, 10, 12 , e os não resíduos quadráticos são 2, 5, 6, 7, 8, 11 . Critério de Euler – Seja p um primo ímpar e mdc a, p 1 . Então a é um resíduo quadrático se, e somente se, a

p 1 2

{ 1 mod p .

Demonstração: Seja a um não resíduo quadrático de p e seja c um dos inteiros 1, 2, , p 1 . Pela teoria das congruências lineares, existe uma solução c ' de cx { a mod p , com c ' também no conjunto {1, 2, , p 1} . Note que c ' z c ; caso contrário teremos que c2 { a mod p , o que contradiz o que assumimos na definição de resíduo quadrático. Assim, os inteiros entre 1 e p 1 p 1 p 1 podem ser divididos em pares, c, c ' , onde cc ' { a mod p . Isto leva às 2 2 congruências c1c1 ' { a mod p

c2c2 ' { a mod p .

c p1 c p1 ' { a mod p 2

2

Multiplicando-os e observando o produto c1c1 ' c2c2 'c p1 c p1 ' . 2

2

É simplesmente um rearranjo de 1 2 3 ( p 1) , nós obtemos p 1

p 1 ! { a

mod p . Neste ponto o Teorema de Wilson entra em cena; para p 1 ! { 1 mod p , vem que a

p 1 2

2

{ 1 mod p

que é o Critério de Euler quando a é um não resíduo quadrático de p .

Posteriormente, examinamos o caso em que a é um resíduo quadrático de p . Estabelecendo que a congruência x2 { a mod p admite duas soluções x x1 e x

p x1 , para algum x1

satisfazendo 1 d x1 d p 1 . Se x1 e p x1 são tirados do conjunto {1, 2, , p 1} , então sobram p 3 inteiros que podem ser agrupados em pares c, c ' (onde c ' z c ) tal que p 3 congruências, adicionamos a congruência cc ' { a mod p . Para estas 2 x1 p x1 { x12 { a mod p . Tomando o produto de todas as congruências envolvidas, chegamos à relação p 1

p 1 ! { a 2 mod p . Do Teorema de Wilson temos que p 1 ! { 1 mod p e daí segue que a p 1 2

p 1 2

{ 1 mod p .

{ 1 mod p ou a quadrático ou não resíduo quadrático de p . Ŷ

Juntando tudo, mostramos que a

p 1 2

{ 1 mod p , caso a seja um resíduo

Corolário - Seja p um primo ímpar e mdc a, p 1 . Então a é um resíduo quadrático (resp. não resíduo quadrático) de p se a

p 1 2

{ 1 mod p (resp. a

p 1 2

{ 1 mod p ).

Exemplo 1.2 – No caso onde p 13 , nós encontramos que 131 2

2 26 64 { 12 { 1 mod13 . Assim, em virtude do último corolário, o inteiro 2 é um não resíduo quadrático de 13. Por outro lado, 131 2

3

36

272 { 12 { 1 mod13 ,

e isto indica que 3 é um resíduo quadrático de 13 e assim a congruência x2 { 3 mod13 é solúvel, de fato, as duas soluções não congruentes são x { 4 e 2 mod13 .

Definição 1.2 – Seja p um primo ímpar e seja mdc a, p 1 . O símbolo de Legendre a / p é definido por

a / p

1 se a e um residuo quadratico de p . ® ¯1 se a e um nao residuo quadratico de p

Exemplo 1.3 – Tomemos o primo p 13 , em particular. Tomando o símbolo de Legendre, o resultado do exemplo 1.1 pode ser expresso como

1/13 3/13 4 /13 9 /13 10 /13 12/13

1

e

.

2 /13 5/13 6 /13 7 /13 8/13 11/13

1

Teorema 1.1 – Seja p um primo ímpar e sejam a e b inteiros relativamente primos a p . Então o símbolo de Legendre tem as seguintes propriedades: a) Se a { b mod p , então a / p { b / p b)

a

2

/ p 1 p 1

d)

a / p { a 2 mod d a / p a / p b / p

e)

1/ p

c)

1 e 1/ p

1

p 1 2

.

Observe que a propriedade c é simplesmente o corolário reformulado nos termos dos Símbolos de Legendre. Corolário – Se p é um primo ímpar, então:

1/ p

°1 ® °¯1

se p { 1 mod 4 se p { 3 mod 4

.

Este corolário pode ser considerado como uma afirmação de que a congruência quadrática x2 { 1 mod p tem uma solução para um primo ímpar p se, e somente se, p é da forma

4k 1 . Exemplo 1.4 - Vamos verificar se a congruência x2 { 46 mod17 é solúvel. Isto acontece

46 /17 .

pela avaliação do símbolo de Legendre

propriedades (d) e (e) do teorema 1.1 para escrever 46 /17 1/17 16 /17

Primeiramente, recorremos às

46/17 .

Como 46 { 12 mod17 , segue do item (a) do teorema 1.1 que

46 /17 12 /17 . Agora da propriedade (f) segue que 12/17 Mas,

3 2

2

/17

3/17 .

3/17 3

171 2

2

2

{ 38 { 81 { 4 { 1 mod17

onde usamos a propriedade (c) do teorema 1.1; daí, 3/17 1 . Visto que 46/17 1 , a congruência quadrática x2 { 46 mod17 não admite solução.

2. Inteiros que são escritos como soma de dois quadrados Consideremos o seguinte lema. Lema 2.1 - Se m e n são cada um uma soma de dois quadrados, então seu produto mn também o é. Demonstração: Se m a 2 b2 e n c2 d 2 para inteiros a, b, c, d então mn (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 . Ŷ É claro que nem todo primo pode ser escrito como uma soma de dois quadrados, por exemplo, 3 a2 b2 não tem solução para inteiros a e b . No caso mais geral, podemos provar o teorema 1.1. Teorema 2.1 - Nenhum primo p da forma 4k 3 é uma soma de dois quadrados. Demonstração: Dado qualquer inteiro

a { 0, 1, 2, ou 3(mod 4) ; consequentemente, a { 0 ou 1 mod 4 . Daí, segue que, para inteiros arbitrários a e b , a,

temos que

2

a 2 b2 { 0, 1, ou 2(mod 4) Como p { 3(mod 4) , a equação p

a 2 b2 é impossível. Ŷ

De outro modo, todo primo que é congruente a 1 módulo 4 é expresso como a soma de dois quadrados. A demonstração deste fato, utiliza um teorema de congruência devido ao matemático norueguês Axel Thue. Este, por sua vez, fez uso do Princípio da Casa dos Pombos de Dirichlet. Princípio da Casa dos Pombos – Se n objetos são dispostos em m caixas (ou casa de pombos), e se n ! m , então alguma caixa conterá ao menos dois objetos. Exprimindo em termos mais matemáticos, este simples princípio afirma que se um conjunto com n elementos está na união de m de seus subconjuntos, e se n ! m , então algum de seus subconjuntos têm mais que um elemento.

Lema de Thue - Seja p um número primo e mdc(a, p) 1 . Então a congruência

ax { y (mod p) admite uma solução xo , yo , onde

0 xo p

e 0 yo p

Demonstração: Seja k ª¬ p º¼ 1 , e considere o conjunto de inteiros

S

^ax y | 0 d x d k 1,0 d y d k 1`

Como ax y tem k 2 ! p valores possíveis, o Princípio da Casa dos Pombos garante que ao menos dois membros de S são congruentes módulo p ; chamá-lo-emos de ax1 y1 e ax2 y2 , onde x1 z x2 ou y1 z y2 . Então podemos escrever

a x1 x2 { y1 y2 mod p Fazendo x0

x1 x2 e y0

y1 y2 , segue que x0 e y0 fornece uma solução para a

congruência ax { y mod p . Se x0 ou y0 é igual a zero, então o fato de que mdc(a, p) 1 pode ser usado para mostrar que o outro também pode ser zero, contrariando a hipótese. Daí, 0 xo d k 1 p e 0 yo d k 1 p .Ŷ Agora deduziremos um teorema devido a Fermat que diz que todo primo da forma 4k 1 pode ser expresso como a soma dos quadrados de dois inteiros. (Em termos precedentes, Albert Girard reconheceu este fato vários anos antes e o resultado é referido somente como o teorema de Girard). Fermat citou seu teorema numa carta para Mersenne, datada de 25 de dezembro de 1640, declarando que ele possuía uma demonstração irrefutável. Contudo, a primeira demonstração publicada foi dada por Euler em 1754, que nos acréscimos sucessivos mostrou que a representação é única. Teorema (Fermat) - Um primo ímpar p é expresso como uma soma de dois quadrados se, e só se, p { 1 mod 4 . Demonstração:

Suponha que p possa ser escrito como a soma de dois quadrados, digamos p a 2 b2 . Como p é um primo, temos que p não divide a e p não divide b (Se p divide a , então p divide b2 , e assim, p divide b , levando à contradição de que p2 divide p ). Assim, pela teoria de congruências lineares, existe um inteiro c tal que bc { 1 mod p . Módulo p , a relação 2

ac bc

2

pc2

torna-se

ac

2

1 mod p ,

e daí, fazendo 1 um resíduo quadrático de p . Para a recíproca, seja p { 1 mod 4 . Como 1 é um resíduo quadrático de p , podemos encontrar um inteiro a satisfazendo a2 { 1 mod p ; de fato, a ª¬ p 1 / 2º¼ ! é um tal inteiro. Agora mdc(a, p) 1 , assim, a congruência ac

2

1 mod p admite uma solução

xo , yo devido ao lema de Thue. Segue que, x02

2

a 2 x02 { ax0 { y02 mod p

ou x02 y02

kp

para algum inteiro k t 1 . Visto que 0 xo p e 0 yo p , obtemos 0 x02 y02 2 p , o que implica que k 1 . Consequentemente, x02 y02

p , e terminamos. Ŷ

2

Calculando a2 e a como uma soma, temos o corolário seguinte.

Corolário – Todo primo p da forma 4k 1 pode ser representado de forma única (exceto da ordem das parcelas) como uma soma de dois quadrados. Demonstração: Para estabelecer a afirmação única, suponhamos que p

a 2 b2

c d2

onde a, b, c, d são todos inteiros positivos. Então p d 2 b2 { 0 mod p

a 2 d 2 b2 c2

donde ad { bc mod p ou ad { bc mod p . Como a, b, c, d são todos menores que

p,

estas relações implicam que

0 ou ad bc

ad bc

p.

Se a segunda igualdade é assegurada, então temos que ac

p2 e então ad bc

a

2

b2 c2 d 2

2

ad bc ac bd

2

p2 ac bd

2

0 . Segue que bc ou ac

ad Suponha, por exemplo, que ad seja c

bd ; pois

ka . A condição ad

bd .

bc . Então a | bc , com mdc a, b 1 , o que força que a | c ;

bc b ka então reduz a d

c

p2

2

d2

bk . Mas

k 2 a 2 b2

implica que k 1 . Neste caso, adquirimos a c e b d . Por um argumento similar, a condição ac bd leva a a d e b c . O que é importante é que, num outro evento, suas duas representações do primo p tornam-se idênticas. Ŷ Exemplo 2.1 - Para o passo seguinte utilizaremos o primo p 13 . Uma escolha para o inteiro a é 6! 720 . Uma solução para a congruência 720x { y mod13 , ou, melhor dizendo, 5x { y mod13 é obtido considerando o conjunto

^5x y | 0 d x, y 4`

S

Os elementos de S são justamente os inteiros

que, módulo 13, tornam-se

0

5

10

15

1

4

9

14

2 3

3 2

8 7

13 12

0

5

10

2

12

4

9

1

11 10

3 2

8 7

0 12

.

Entre as várias possibilidades, temos

5 1 3 { 2 { 5 3 0 mod13 ou,

5 1 3 { 3 mod13 . Assim, nós podemos tomar x0

2 e y0 13

3 para obter x02 y02

22 32 .

Observe que alguns autores alegam que um primo p { 1 mod 4 pode ser escrito como uma soma de dois quadrados de oito maneiras. Para p 13 , temos

13 22 32

22 3

2

32 22

32 2

2

2

2

2

2 32 2 3 2 2 2 3 22 3 2 .

Como todas as oito representações podem ser obtidas de algumas delas pela troca dos sinais de 2 e 3 ou pela troca das parcelas, existe “essencialmente” somente uma maneira de fazer isto. Assim, do nosso ponto de vista, 13 é representado de forma única como a soma de dois quadrados. Mostramos que todo primo p tal que p { 1 mod 4 é expresso como a soma de dois quadrados. Mas outros inteiros também possuem esta propriedade, por exemplo,

10 12 32 O próximo passo é caracterizar explicitamente quais inteiros positivos que podem ser representados como a soma de dois quadrados.

Teorema 2.2 – Seja o número positivo n que pode ser escrito como n N 2 m , onde m é livre de quadrados. Então n pode ser representado como a soma de dois quadrados se, e só se, m não contém nenhum fator primo da forma 4k 3 .

Demonstração: Inicialmente suponhamos que m não tem nenhum fator primo da forma 4k 3 . Se m 1 , então n N 2 02 e completamos. No caso em que m ! 1 , seja m p1 p2 pr a fatoração de m como um produto de primos distintos. Cada um destes primos pi , sendo iguais a 2 ou à forma 4k 1, podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Agora, a identidade

a

2

b2 c2 d 2

2

ac bd ad bc

2

mostra que o produto de dois inteiros que são representados como uma soma de dois quadrados, é também representável como soma de quadrados. Assim, existem inteiros x e y tal que m

x 2 y 2 . Concluímos que

N 2m

n

N 2 x2 y 2

2

Nx Ny

2

uma soma de dois quadrados. Agora, para a volta. Assumimos que n pode ser representado como uma soma de dois quadrados

n a2 b2

N 2m

e seja p um primo ímpar divisor de m (sem perda de generalidade, podemos assumir que

m >1). Se d

mdc(a, b) , então a rd , b sd , onde mdc r, s 1 . Adquirimos que d 2 r 2 s2

N 2m

e deste modo, m sendo livre de quadrados, d 2 | N 2 . Mas então

§ N2 · 2 2 r s ¨ d 2 ¸ m tp © ¹ para algum inteiro t , que leva que

r

2

s 2 { 0 mod p , pois p é divisor de m .

Agora a condição mdc r, s 1 , implica que um dos r ou s , digamos primo a p . Digamos que,

r

satisfaça a congruência

r

é relativamente

rr ' { 1 mod p . Quando a equação r 2 s 2 { 0 mod p é multiplicada por r ' , obtemos 2

sr '

2

1 { 0 mod p

ou, para colocar diferentemente, 1/ p 1 . Como 1 é um resíduo quadrático de p , temos que p { 1 mod 4 . Assim, pelo nosso desenvolvimento temos que não existe nenhum primo p da forma 4k 3 que divide m .Ŷ

Corolário – Um inteiro positivo n é representado como uma soma de dois quadrados se, e só se, cada um de seus fatores primos da forma 4k 3 apresentam-se com uma potência par.

Exemplo 2.2 – O inteiro 459 não pode ser escrito como a soma de dois quadrados, pois 459 3 3 17 , com o primo 3 tendo expoente ímpar. De outro modo, 153 32 17 admite representação 153 32 42 12 122 32 .

Um pouco mais complicado é o exemplo n 5 72 13 17 . Neste caso, temos que n 5 72 13 17 72 22 12 32 22 42 12 .

Duas aplicações da identidade aparecidas no teorema 2.2 dão que

3

2

22 42 12

2

12 2 3 8

2

142 52

e

2

2

12 142 52

2

28 5 10 14

2

Quando isto é combinado, concluímos que n 72 332 42

2312 282 .

332 42 .

3. Diferença de Quadrados Existem certos inteiros positivos (obviamente, não primos da forma 4k 1) que podem ser representados de mais de uma maneira com a soma de dois quadrados. O menor deles é

25 42 32

52 02 .

Se a { b mod 2 , então a relação 2

§ a b· § ab· ab ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

permite-nos encontrar uma variedade de tais exemplos. Tome n=153 como uma ilustração; daí 2

§ 17 9 · § 17 9 · 153 17 9 ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

132 42

e 2

§ 51 3 · § 51 3 · 153 51 3 ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

272 242

e, assim

132 42

272 242 .

Isto produz duas distintas representações

272 42

242 132

745 .

Uma questão a ser feita é saber quais inteiros positivos admitem uma representação como uma diferença de dois quadrados. A resposta está disposta a seguir. Teorema 3.1 – Um inteiro positivo n pode ser representado como a diferença de dois quadrados se, e só se, n não é da forma 4k 2 . Demonstração: Como a { 0 ou 1 mod 4 para todo inteiro a , segue que

a2 b2 { 0, 1 ou 3 mod 4 .

Assim, se n { 2 mod 4 , nós não temos que n

a 2 b2 para todo a e b .

Voltando, suponha que o inteiro n não é da forma 4k 2 ; ou seja, n { 0, 1 ou 3 mod 4 . Se

n {1 ou 3 mod 4 , então n 1 e n 1 são ambos inteiros pares; daí, n pode ser escrito como 2

§ n 1· § n 1· n ¨ ¸ ¸ ¨ © 2 ¹ © 2 ¹

2

uma diferença de quadrados. Se n { 0 mod 4 , então temos que 2

2

§n · §n · n ¨ 1¸ ¨ 1¸ .Ŷ ©4 ¹ ©4 ¹

Corolário – Um primo ímpar é uma diferença de dois quadrados sucessivos. Exemplos deste último corolário são dados por 11 62 52

17

92 82

29 152 142 .

Um outro ponto a ser mencionado é que a representação de um dado primo p como a diferença de dois quadrados é única. Para ver isto, suponha que

p

a 2 b2

a b a b

onde a ! b ! 0 . Como 1 e p são os únicos fatores de p , necessariamente temos que

a b 1

e

ab

e

b

p

De onde podemos concluir que a

p 1 2

p 1 . 2

Assim, todo primo p pode ser escrito como a diferença de dois quadrados de dois inteiros em precisamente um modo, a saber 2

2

§ p 1· § p 1· p ¨ ¸ . ¸ ¨ © 2 ¹ © 2 ¹

Uma situação diferente ocorre quando passamos de primos a inteiros arbitrários. Suponha que n é um inteiro positivo que nem é primo e nem é da forma 4k 2 .

n (assumimos que d t d ' ). Agora se d d d d ' d d ' são inteiros. e d ' são ambos pares, ou ambos ímpares, então e 2 2

Começando com um divisor d de n , tomando d '

Além disso, podemos escrever 2

n

§ d d '· § d d '· dd ' ¨ ¸ ¸ ¨ © 2 ¹ © 2 ¹

2

Para uma ilustração, considere o inteiro 24. Daí, 2

§ 12 2 · § 12 2 · 24 12 2 ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

72 52

e 2

§64· §64· 24 6 4 ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

52 12

dando-nos duas representações para 24 como uma diferença de quadrados.

4. Referências bibliográficas [1] BURTON, D. M. Elementary Number Theory. 5ª ed. Mc-Graw-Hill Higher Education, 2002.

Complexidade Alg´ ebrica em Demonstra¸c˜ oes de Geometria Euclidiana Plana: o Teorema de Napole˜ ao e Propriedades Gabriela Aparecida dos Reis∗ Luciana Yoshie Tsuchiya† Edson Agustini‡ Faculdade de Matem´atica - Famat Universidade Federal de Uberlˆ andia - Ufu - MG Setembro de 2007

1

Introdu¸c˜ ao

Este trabalho de inicia¸c˜ao cient´ıﬁca est´a baseado na disserta¸ca˜o de mestrado “Complexidade em Geometria Plana Euclidiana”, de S. M. R. Lopes, ref. [3] . ´ muito comum no estudo da Geometria Euclidiana Plana encontrarmos v´arias deE monstra¸c˜oes de uma mesma proposi¸c˜ao. Ferramentas matem´aticas simples como a Trigonometria, a Geometria Anal´ıtica e os N´ umeros Complexos s˜ao freq¨ uentemente utilizadas em demonstra¸c˜oes alternativas de resultados tradicionalmente provados por argumentos de Geometria Sint´etica. Ferramentas matem´aticas mais soﬁsticadas envolvendo Transforma¸c˜oes Lineares e Grupos de Isometrias tamb´em podem ser utilizadas em v´arias demonstra¸c˜oes. Em algumas das demonstra¸c˜oes supracitadas ´e poss´ıvel utilizar determinados polinˆomios cujas ra´ızes representam casos particulares na qual a proposi¸ca˜o que se deseja provar se torna verdadeira e, a partir desses casos particulares, ´e poss´ıvel demonstrar o caso geral. Considerando p como sendo o polinˆomio de menor grau que podemos deduzir em uma determinada demonstra¸ca˜o de uma proposi¸ca˜o, podemos deﬁnir a complexidade alg´ebrica da proposi¸ca˜o como sendo o grau de p. Nosso objetivo ´e estabelecer o conceito acima e exempliﬁc´a-lo por meio de uma demonstra¸c˜ao do famoso: Teorema de Napole˜ ao: “Dado um triˆangulo ABC qualquer, sejam os triˆangulos equil´ateros apoiados externamente (ou internamente) sobre cada um de seus lados. Ent˜ao, os baricentros X, Y e Z destes triˆangulos equil´ateros formam um triˆangulo XYZ tamb´em equil´atero, chamado Triˆ angulo de Napole˜ ao Externo (ou Interno).” e de trˆes propriedades dos Triˆ angulos de Napole˜ ao: ∗

[email protected] - Pet - Programa de Educa¸c˜ao Tutorial - Famat - Ufu. [email protected] - Pet - Programa de Educa¸c˜ao Tutorial - Famat - Ufu. ‡ [email protected] Professor orientador. †

Propriedade 1: “Seja ABC um triˆangulo qualquer. Os Triˆangulos de Napole˜ao Externo e Interno de ABC tˆem o mesmo baricentro e este coincide com o baricentro do triˆangulo ABC.” que, assim como o pr´oprio Teorema de Napole˜ao, possui complexidade alg´ebrica 1. Propriedade 2: “A diferen¸ca entre as ´areas dos Triˆangulos de Napole˜ao Externo e Interno de ABC ´e igual a ´area do triˆangulo ABC.” que possui complexidade alg´ebrica 2. Propriedade 3: “Sejam ABC um triˆangulo e ABP, BCQ e CAR os triˆangulos equil´ateros apoiados externamente nos lados de ABC. Ent˜ao, os segmentos PC, QA e RB possuem o ´nico ponto. Al´em disso, as retas que contˆem mesmo comprimento e se encontram em um u esses segmentos formam ˆangulos congruentes entre si cujas medidas s˜ao de 60◦ .” que possui complexidade alg´ebrica 3.

2

O Teorema de Napole˜ ao

Dado um triˆangulo ABC qualquer, sejam os triˆangulos eq¨ uil´ateros apoiados externamente (ou internamente) sobre cada um de seus lados. Unindo-se os baricentros X, Y e Z dos triˆangulos eq¨ uil´ateros obtemos o chamado Triˆ angulo Externo (ou Interno) de Napole˜ao. Teorema de Napole˜ ao. O Triˆangulo Externo (ou Interno) de Napole˜ao XYZ de qualquer triˆangulo ABC ´e eq¨ uil´atero. Q

P' R Z

Y

C

C X'

B

A

Z' X

A

Y' R'

B

Q' P

Nas pr´oximas subse¸c˜oes apresentamos cinco demonstra¸c˜oes cl´assicas do Teorema de Napole˜ao, sendo que a u ´ltima ilustra o conceito de complexidade alg´ebrica 1 desse teorema.

2.1

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema de Napole˜ ao Usando Trigonometria

Considere a ﬁgura abaixo sendo t, u e v os comprimentos dos segmentos AX, AZ e CY, respectivamente e a, b, c como sendo os comprimentos dos segmentos BC, AC e AB, respectivamente. Q R Z

u

C

Y

v

x

u z

y

A

B

t X

P

" = ZCA " = 30o. Temos XAB De fato, no triˆangulo AXB temos que AX ≡ XB, pois X ´e o baricentro do triˆangulo APB. Logo, o triˆangulo AXB ´e is´osceles e, conseq¨ uentemente, os ˆangulos de sua base " e como PAB " = 60o (triˆangulo s˜ao congruentes. Al´em disso, AX ´e a bissetriz de PAB " = 30o. O mesmo se faz para CAZ " = 30o. equil´atero), segue que XAB Da´ı, podemos aplicar a lei dos Cossenos no triˆangulo AXZ: " + 60o). y2 = u2 + t2 − 2ut cos(A

(1)

" + 60o) x2 = u2 + v2 − 2uv cos(C e " + 60o) z2 = v2 + t2 − 2vt cos(B

(2)

De forma an´aloga, temos:

(3)

2 A distˆancia do baricentro a um dos v´ertices de um triˆangulo vale do comprimento 3 da respectiva mediana e, como em um triˆangulo equil´atero o baricentro coincide com o ortocentro, segue que: √ c 2 3 c= √ , t= 3 2 3 √ b 2 3 b= √ u= 3 2 3 e √ a 2 3 a= √ . v= 3 2 3

Substituindo os valores de t, u e v em (1) , (2) e (3), temos: 2 2 c b c b 2 " + 60o) √ + √ −2 √ cos(A y = √ 3 3 3 3 b2 c2 2bc " + 60o) + − cos(A y2 = 3 3 3 " + 60o) 3y2 = b2 + c2 − 2bc cos(A " + 60o) 3x2 = a2 + b2 − 2ab cos(C " + 60o) 3z2 = a2 + c2 − 2ac cos(B

(4) (5) (6)

Aplicando a Lei dos Cossenos aos triˆangulos ABR e BCR, podemos expressar o quadrado do comprimento do lado BR de duas maneiras diferentes: 2 " + 60o) BR = b2 + c2 − 2bc cos(A =⇒ 2 " + 60o) BR = a2 + b2 − 2ab cos(C " + 60o) = a2 + b2 − 2ab cos(C " + 60o). b2 + c2 − 2bc cos(A Por (4) e (5) , temos que o lado esquerdo e direto da express˜ao ﬁca da seguinte forma: 3y2 = 3x2 =⇒ y2 = x2. Como estamos nos referindo a` medidas de segmentos, segue que y = x, ou seja, XZ = YZ. Analogamente, considerando os triˆangulos ACQ e ABQ, concluimos que XY = ZY. Como XY = YZ = XZ, conclu´ımos que o triˆangulo XYZ ´e equil´atero.

2.2

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema de Napole˜ ao Usando Geometria Sint´ etica

Considere a ﬁgura abaixo onde temos os triˆangulos ABP, BQC e ACR inscritos cada um em um c´ırculo e seja o ponto O o ponto de intesec¸c˜ao dos c´ırculos ABP e BCQ. Q

C

R

Y

Z O

B

A

X

P

O quadril´atero AOPB est´a inscrito no c´ırculo ABP. Logo, a soma dos graus de seus aˆngulos opostos ´e 180◦ . Ent˜ao, temos: " +P " = 180◦ ⇒ AOB " = 180◦ − P. " AOB Da mesma forma no quadril´ateroCOBQ temos: " = 180◦ − Q. " " +Q " = 180◦ ⇒ BOC BOC Temos tamb´em: " = 360◦ − BOC " − AOB. " " + BOC " + AOC " = 360◦ ⇒ AOC AOB Logo:

◦ ◦ ◦ " " " + Q. " " AOC = 360 − 180 − P − 180 − Q = P

"+Q " +R " = 180◦ , ou seja, P "+Q " = 180◦ − R. " Mas P Assim, obtemos: " = 180◦ − R " ⇒ AOC " +R " = 180◦ . AOC " eR " s˜ao suplemetares. Donde conclui-se queAOC Assim o quadril´atero AOCR est´a inscrito em um c´ırculo que ´e concorrente com os c´ırculos ABP e BCQ no ponto O. Al´em disso, de resultados da Geometria Euclidiana Plana sabemos que a reta que passa pelos centros de dois c´ırculos que se intersectam ´e perpendicular `a corda comum dos dois c´ırculos. Logo, XZ ´e perpendicular a OA no ponto que chamaremos de M e XY ´e perpendicular a OB no ponto que chamaremos de N. Ent˜ao, temos o quadril´atero XMON, onde: " + XMN # + AOB " + ONX " = 360◦ ⇒ X " + 90◦ + AOB " + 90◦ = 360◦ ⇒ X " +X " = 180◦ . AOB " +P " = 180◦ . Logo: Mas j´a haviamos visto que AOB " = P. " X " = Y" e R " = Z " e, como P " = Q " = R " = 60◦ , ent˜ao o Analogamente, mostramos que Q triˆangulo XYZ ´e equil´atero.

2.3

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema de Napole˜ ao usando Arcos Capazes

Na ﬁgura abaixo, sejam AB, BC e CA os arcos relativos aos c´ırculos de centros X, Y e Z, que circunscrevem, respectivamente, os triˆangulos equil´ateros ABP, BCQ e CAR.

R C Z

Q Y

A

B X

P

Seja D ∈ AB e E ∈ AC de tal forma que o segmento DE passe pelo ponto A. Ent˜ao, DB

e EC fazem 60o com DE, em D e em E, respectivamente, pois os arcos AB e AC s˜ao arcos capazes dos segmentos DB e EC de um ˆangulo de 60o. Pelo Axioma das Paralelas de Euclides, as retas que contˆem os segmentos DB e EC se encontram num ponto F, formando um ˆangulo de 60o, e al´em do mais, F deve pertencer

obrigatoriamente ao arco BC, pois este ´e o arco capaz do segmento BC sobre um ˆangulo de 60o. E C Z

Y T N B

A X

F

M

D

Logo, existe um triˆangulo DEF que circunscreve o triˆangulo inicial ABC, e que cont´em um v´ertice em cada arco. Construindo as perpendiculares a DF pelos centros X e Y, obtemos os ponto M e N que s˜ao, respectivamente, o ponto m´edio das cordas DB e BF, pois toda reta que passa pelo centro e corta perpendicularmente uma corda, o faz em seu ponto m´edio. Chamando de T o quarto v´ertice do retˆangulo XMNT, observamos que DF = 2MN = 2XT. Observemos que XT ´e um cateto do triˆangulo retˆangulo XYT. Logo, n˜ao ´e maior que a hipotenusa XY. Como XT ´e paralelo a DF, observamos que se D est´a muito pr´oximo de A, o triˆangulo retˆangulo XYT ´e externo ao Triˆangulo de Napole˜ao XYZ, mas se D est´a muito pr´oximo de B, o triˆangulo retˆangulo XYT ´e interno ao triˆangulo de Napole˜ao XYZ. Da´ı, conclu´ımos que existe D ∈ AB tal que o lado XT do triˆangulo XYT coincide com a hipotenusa XY, atigindo seu comprimento m´aximo: XT = XY. E ainda, como DF = 2XT, o comprimento m´aximo que DF pode assumir ´e 2XY. Analogamente, o comprimento m´aximo que FE e ED podem assumir ´e 2YZ e 2XZ, respectivamente.

Como, o triˆangulo DEF ´e sempre equil´atero, seus lados assumem seu comprimento m´aximo ao mesmo tempo, ou seja, 2XT = 2YZ = 2XZ o que implica que XT = YZ = XZ. Portanto, o triˆangulo XYZ ´e equil´atero.

2.4

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema de Napole˜ ao por Transforma¸ c˜ oes no Plano

Podemos construir externamente triˆangulos equil´ateros sobre os lados do triˆangulo ABC por meio de rota¸c˜oes. Obtemos os v´ertices P, Q e R rotacionando os v´ertices A, B e C de um ˆangulo de 60o no sentido anti-hor´ario em torno dos v´ertices B, C e A respectivamente. Q 60°

R

C

Z

Y

60°

A

B

X 60°

P

Considerando essa conﬁgura¸c˜ao construida por rota¸c˜oes, onde X, Y e Z s˜ao os baricentros dos triˆangulos equil´ateros obtidos, indicaremos por RP (M) a rota¸c˜ao de 120◦ no sentido hor´ario de um ponto M em torno de P, ou seja: R2 RP : R2 −→ M −→ RP (M) = P + R (M − P) onde R : R2 → R2 ´e uma rota¸c˜ao de 120◦ no sentido hor´ario em torno da origem. Geometricamente temos a ﬁgura abaixo. y

P=OP

P

M-P

M

M=OM M-P=OM-OP=PM

O

O+(M-P) 120°

R(M-P)

P+R(M-P)=RP(M)

x

Note que RP n˜ao ´e um operador linear, pois n˜ao ﬁxa a origem. Sendo R um operador linear, a aplica¸c˜ao acima permite-nos trabalhar com as propriedades de transforma¸c˜oes lineares. Considerando I a representa¸c˜ao da aplica¸c˜ao identidade em R2, temos: RX (P) = X + R (P − X) = I (X) + R (P + (−I) X) = I (X) + R (P) + R ((−I) X) = I (X) + R (P) − R (X) = I (X) − R (X) + R (P) = (I − R) (X) + R (P) Analogamente, obtemos: RY (P) = (I − R) (Y) + R (P) e Rz (P) = (I − R) (Z) + R (P) . Observe que a primeira rota¸c˜ao leva A em B, a segunda leva B em C e a terceira leva C em A, ou seja: RX (A) = B RY (B) = C RZ (C) = A

C=R y(B) Y

Z

120° 120°

B=R X(A)

A=R Z(C) 120°

X

Conseq¨ uentemente, o ponto A ´e um ponto ﬁxo na composta dessas trˆes rota¸c˜oes: RZ (RY (RX (A))) = A.

Temos, tamb´em: RZ (Ry (RX (P))) = (I − R) (Z) + R (RY (RX (P))) = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y) + R (RX (P))) = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y) + R ((I − R) (X) + R (P))) = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y)) + R (R ((I − R) (X) + R (P))) = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y)) + R (R (I − R) (X) + R (R (P))) = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y)) + R (R (I − R) (X)) + R (R (R (P))) = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y)) + R2 (I − R) (X) + R3 (P) Onde denotamos por R3 (P) a composta de trˆes rota¸c˜oes de 120◦ no sentido hor´ario do ponto P em torno da origem. Mas, como trˆes rota¸c˜oes de 120◦ corresponde a uma rota¸c˜ao de 360◦ , temos que R3 (P) ´e a transla¸c˜ao pelo vetor nulo e, portanto, ´e a transforma¸c˜ao identidade. Assim, seja: M = (I − R) (Z) + R ((I − R) (Y)) + R2 (I − R) (X) . Temos: RZ (RY (RX (P))) = M + P. Observemos que M n˜ao depende de P. Logo, RX ◦ RY ◦ RZ (P) ´e uma transla¸c˜ao pelo vetor −−→ OM. Fazendo M = A, j´a vimos que a composta das trˆes rota¸c˜oes deixa o ponto A ﬁxo, logo, −−→ − → RX ◦ RY ◦ RZ (A) = Id e, consequentemente, OM = 0 ´e o vetor nulo. A composi¸c˜ao de RX com RY ´e uma rota¸c˜ao de 240◦ no sentido hor´ario. Chamaremos de O o centro da rota¸c˜ao RX ◦ RY = TO . Assim, TO : R2 → R2 ´e a rota¸c˜ao de um ˆangulo de 240◦ e centro O . Logo: TO (P) = I − R2 (O ) + R2 (P) , sendo R2 : R2 → R2 rota¸c˜ao de 240o no sentido hor´ario em torno da origem. Ent˜ao: RY (RX (P)) = TO (P) . Logo: (I − R) (Y) + R (RX (P)) = I − R2 (O ) + R2 (P) (I − R) (Y) + R ((I − R) (X) + R (P)) = I − R2 (O ) + R2 (P) (I − R) (Y) + R ((I − R) (X)) + R2 (P) = I − R2 (O ) + R2 (P) (I − R) (Y) + R ((I − R) (X)) = I − R2 (O ) (I − R) (Y) + R ((I − R) (X)) = (I − R) ((I + R) (O )) I (Y) − R (Y) + R (I (X) − R (X)) = (I − R) ((I + R) (O )) I (Y) − R (Y) + R (X) − R2 (X) = (I − R) ((I + R) (O )) I (Y) + R (X) − R (Y − R (X)) = (I − R) ((I + R) (O )) I (Y + R (X)) − R (Y − R (X)) = (I − R) ((I + R) (O )) (I − R) (Y + R (X)) = (I − R) ((I + R) (O ))

Como (I − R) ´e um operador linear, ´e tamb´em uma aplica¸c˜ao bijetora e, portanto, injetora. Logo, de: (I − R) (Y + R (X)) = (I − R) ((I + R) (O )) , conclu´ımos que: Y + R (X) = (I + R) (O ) . Multiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao pela inversa de (I + R) temos: (I + R)−1 (Y + R (X)) = (I + R)−1 (I + R) (O ) O = (I + R)−1 (Y + R (X)) . Assim obtemos o ponto O . Mas aﬁrmamos que O tamb´em ´e a imagem da rota¸c˜ao de 60◦ no sentido hor´ario de X em torno de Y. De fato: Denotamos S : R2 → R2 a rota¸c˜ao de 60◦ no sentido hor´ario em torno da origem. Da´ı, temos R : R2 → R2 ´e a mesma que S2 : R2 → R2. Ent˜ao: −1 O = (I + R)−1 (Y + R (X)) = I + S2 Y + S2 (X) . Mas a aplica¸c˜ao que gira X em torno de Y no sentido hor´ario de um ˆangulo de 60◦ ´e: SY (X) = Y + S (X − Y) . Logo, devemos mostrar que O = SY (X) , ou seja:

−1 Y + S2 (X) = Y + S (X − Y) . I + S2

Multiplicando ambos os lados por I + S2 , temos:

−1 I + S2 I + S2 Y + S2 (X) = I + S2 (Y + S (X − Y)) Y + S2 (X) = I + S2 (Y + S (X − Y)) Y + S2 (X) = I + S2 (Y + S (X) − S (Y)) Y + S2 (X) = Y + S (X) − S (Y) + S2 (Y) + S3 (X) − S3 (Y) S2 (X) − S2 (Y) = S (X) − S (Y) + S3 (X) − S3 (Y)

S2 (X − Y) = S (X − Y) + S3 (X − Y) S3 − S2 + S (X − Y) = 0

A aplica¸c˜ao S3 − S2 + S ´e a aplica¸c˜ao nula. De fato: seja P ∈ R2 um ponto qualquer. Temos S3 (P) , S2 (P) e S (P) vetores de mesma amplitude formando ˆangulos de 120◦ entre si.

y

S(P) S 2(P) P O

x

3

S (P) 2

-S (P) 3

2

S (P) -S (P)

Assim,

e, ent˜ao, a equa¸c˜ao

S3 − S2 + S (P) = S3 (P) − S2 (P) + S (P) = 0

S3 − S2 + S (X − Y) = 0

´e verdadeira. Logo:

O = SY (X) .

Donde conclu´ımos que o triˆangulo XYO ´e equil´atero. Agora, basta mostrar que O = Z. Temos: RZ (RY (RX (P))) = RZ (TO (P)) = (I − R) (Z) + R (TO (P)) = (I − R) (Z) + R I − R2 (O ) + R2 (P) = (I − R) (Z) + R I − R2 (O ) + R3 (P) = (I − R) (Z) + R O − R2 (O ) + I (P) = (I − R) (Z) + R (O ) − R3 (O ) + P = (I − R) (Z) + R (O ) − I (O ) + P = (I − R) (Z) − (I − R) (O ) + P = (I − R) (Z − O ) + P Como a composta RX ◦ RY ◦ RZ ´e a identidade, segue que: P = (I − R) (Z − O ) + P. Da´ı:

(I − R) (Z − O ) = 0.

Mas j´a vimos que (I − R) ´e uma aplica¸c˜ao linear injetora, logo: Z − O = 0 ⇒ Z = O .

Portanto, o triˆangulo XYZ ´e equil´atero.

2.5

Demonstra¸ c˜ ao do Teorema de Napole˜ ao utilizando o Conceito de Complexidade Alg´ ebrica

Demonstra¸c˜ ao do Teorema para o triˆ angulo externo: Como homotetias e isometrias n˜ao alteram a natureza dos Triˆangulos de Napole˜ao, consideremos o triˆangulo ABC no plano complexo de forma que o v´ertice A esteja na origem e o v´ertice B em 1 e o v´ertice C estar´a associado a um n´ umero complexo z,como na ﬁgura abaixo. y

C=z

B=1

A=0

x

Para se fazer no plano complexo uma rota¸c˜ao de um n´ umero em torno da origem basta multiplicar esse n´ umero por uma constante complexa de m´odulo 1. Dessa forma, pode-se obter P a partir da rota¸c˜ao de π3 no sentido anti-hor´ario do v´ertice A em torno de B. Da´ı: π π π P = (A − B)ei 3 + B = (0 − 1)ei 3 + 1 = 1 − ei 3 . Veriﬁcando geometricamente: Q R A=0 B=0B

Z

Y

C

(A-B)

B

A

X

(A-B)e

i

+B P=(A-B)ei

E da mesma forma podemos obter Q pela rota¸c˜ao de B em torno de C e R pela rota¸c˜ao de C em torno de A. Ent˜ao, temos: π

π

Q = (B − C)ei 3 + C = (1 − z)ei 3 + z; π

π

π

R = (C − A)ei 3 + A = (z − 0)ei 3 + 0 = zei 3 . As coordenadas dos baricentros X, Y e Z dos triˆangulos APB, BQC e CRA, respectivamente, podem ser obtidas atrav´es das m´edias aritm´eticas das coordenadas dos v´ertices desses triˆangulos e, como os v´ertices dos mesmos podem ser associados a express˜oes aﬁns em z, temos: π 2 − ei 3 A+P+B = ; X= 3 3 iπ π 2 − e 3 z + 1 + ei 3 B+Q+C = ; Y= 3 3 π 1 + ei 3 z C+R+A Z= = . 3 3 Para mostrar que o triˆangulo XYZ ´e eq¨ uil´atero, devemos veriﬁcar que Y pode ser obtido π atrav´es da rota¸c˜ao no sentido anti-hor´ario de do v´ertice X em torno de Z, ou seja, 3 π iπ 3 Y = (X − Z)e + Z ⇒ Y − (X − Z)ei 3 − Z = 0. Substituindo X, Y e Z por suas express˜oes correspondentes, obtemos: π π π π π z + zei 3 z + zei 3 2z − zei 3 + 1 + ei 3 2 − ei 3 iπ − − e3 − =0⇒ 3 3 3 3 π

2π

π

2π

p (z) = (1 − ei 3 + ei 3 )z + (1 − ei 3 + ei 3 ) = 0 Notemos que p ´e um polinˆomio de grau 1 na vari´avel z, ou seja, p (z) = 0 ´e uma equa¸c˜ao polinomial de grau 1 na vari´avel z. Logo, encontrando duas ra´ızes para ela, chegamos `a conclus˜ao de que p (z) = 0 ´e, na verdade, uma identidade. π Por exemplo, para z = ei 3 , temos: 2π

π

π

π

2π

π

2π

π

2π

(1 − ei 3 + ei 3 )ei 3 + (1 − ei 3 + ei 3 ) = ei 3 − ei 3 + eiπ + 1 − ei 3 + ei 3 = 1 + eiπ = 0. Para z = ei iπ 3

(1 − e

−π 3

i 2π 3

+e

, temos: )ei

−π 3

π

2π

+ (1 − ei 3 + ei 3 ) = ei

−π 3

π

π

2π

− ei0 + ei 3 + 1 − ei 3 + ei 3 = ei

−π 3

2π

+ ei 3 = 0.

As ﬁguras abaixo representam as conﬁgura¸c˜oes geom´etricas correspondentes a essas solu¸c˜oes:

Logo, p (z) = 0 ´e, de fato, uma identidade. Portanto, qualquer valor atribu´ıdo a z satisfaz a equa¸c˜ao, ou seja, o v´ertice C = z pode estar em qualquer lugar do plano complexo, o que signiﬁca que o teorema ´e v´alido para qualquer triˆangulo ABC. A constru¸c˜ao do triˆangulo ABC com v´ertices A = 0 e B = 1 no plano complexo s´o est´a deﬁnida para valores de C = z fora do eixo real. No entanto, a demonstra¸c˜ao acima permite que consideremos triˆangulos degenerados, ou seja, que C esteja no eixo real. A demonstra¸c˜ao para o Triˆangulo Interno de Napole˜ao associado ao triˆangulo ABC segue de maneira an´aloga `a demonstra¸c˜ao acima.

3

Propriedades dos Triˆ angulos de Napole˜ ao

3.1

Complexidade Alg´ ebrica 1: A Coincidˆ encia dos Baricentros

Propriedade 1: “Seja ABC um triˆangulo qualquer. Os Triˆangulos de Napole˜ao Externo e Interno de ABC tˆem o mesmo baricentro e este coincide com o baricentro do triˆangulo ABC.” Demonstra¸ca˜o Considere a conﬁgura¸c˜ao, na qual o triˆangulo inicial est´a plano complexo de tal forma que o v´ertice A est´a na origem, o v´ertice B no 1 e o v´ertice C associamos a um n´ umero complexo z qualquer. π J´a vimos que P, Q e R pode ser obtido a partir da rota¸c˜ao de no sentido anti-hor´ario do 3 v´ertice A, B e C em torno do v´ertice B, C e A respectivamente. Logo, podemos escrever: π

π

P = (A − B)e 3 i + B = 1 − e 3 i. π

π

Q = (B − C)e 3 i + C = (1 − z)e 3 i + z π

π

R = (C − A)e 3 i + A = ze 3 i.

Temos que as coordenadas dos pontos X, Y e Z s˜ao dadas por: π

A+B+P 2 − e3i X= = 3 3 π π B+C+Q (2 − e 3 i)z + 1 + e 3 i Y= = 3 3 π (1 + e 3 i)z C+Z+R = . Z= 3 3 −−→ Geometricamente, considere os v´ertices A, B e P como sendo os respectivos vetores OA, −→ −→ OB e OP.

Q R Y

C

Z

B

A

X

T

P

−→ Somando-se os trˆes vetores, obtemos o ponto T, ou seja, o vetor OT . Dividindo-o em trˆes partes congruentes, veriﬁca-se que o ponto X est´a a um ter¸co de T. Analogamente, tem-se o mesmo para Y e Z. Portanto, o baricentro de um triˆangulo ´e a m´edia geom´etrica da soma das coordenadas de seus v´ertices. Notemos que.as coordenadas X, Y e Z s˜ao express˜oes aﬁns em z. Temos que P , Q e R tamb´em s˜ao express˜oes aﬁns em z: π

π

P = (B − A)e 3 i + A = e 3 i π

π

Q = (C − B)e 3 i + B = (z − 1)e 3 i + 1 π

π

R = (A − C)e 3 i + C = (1 − e 3 i)z. E, da mesma forma, os pontos X , Y e Z : π

1 + e3i A + B + P = . X = 3 3 π π B + C + Q = 2 + (1 + e 3 i)z − e 3 i. Y = 3 π C + A + R (2 − e 3 i)z Z = = . 3 3

X+Y+Z X + Y + Z o baricentro do triˆangulo externo e G2 = o Chamando de G1 = 3 3 baricentro do triˆangulo interno, segue que ambos coincidem quando: G1 − G2 = 0 ⇒ π 2−e 3 i

3

+

π π (2−e 3 i )z+1+e 3 i

3

+

π (1+e 3 i )z

3

3 π

p (z) =

2−e 3 i 3

+

π

π

(2−e 3 i )z+1+e 3 i 3

3

+

−

π

(1+e 3 i )z 3

π 1+e 3 i

3

3

+

π

(2−e 3 i )z 3

3 π

−

+

π π 2+(1+e 3 i )z−e 3 i

1+e 3 i 3

+

π

π

2+(1+e 3 i )z−e 3 i 3

3

+

=0⇒

π

(2−e 3 i )z 3

= 0.

Sendo p polinˆomio de grau 1, temos que a Propriedade 1 possui complexidade alg´ebrica 1. No entanto, n˜ao procederemos como na demonstra¸c˜ao do Teorema de Napole˜ao atribuindo dois valores particulares para z e concluindo que p ´e uma identidade. Neste caso, ´e bastante simples simpliﬁcar p. Observemos que: G1 =

X+Y+Z 3 π

= = =

2−e 3 i 3

2−e

+ π i 3

z+1 . 3

π

π

(2−e 3 i )z+1+e 3 i 3

+

π

(1+e 3 i )z 3

3 π π π + 2z − e 3 iz + 1 + e 3 i + z + e 3 iz 9

e: G2 =

X + Y + Z 3 π

= = =

1+e 3 i 3

1+e

+ π i 3

z+1 . 3

π

π

2+(1+e 3 i )z−e 3 i 3

+

π

(2−e 3 i )z 3

3 π π π + 2 + z + e 3 iz − e 3 i + 2z − e 3 iz 9

e conclui-se que G1 = G2. A demonstra¸c˜ao de que G (baricentro do triˆangulo incial) coincide com G1 e G2 ´e imediata, pois: 0+1+z 1+z A+B+C G= = = . 3 3 3

3.2

´ Complexidade Alg´ ebrica 2: A Diferen¸ca das Areas

Propriedade 2: “A diferen¸ca entre as ´areas dos Triˆangulos de Napole˜ao Externo e Interno de ABC ´e igual a ´area do triˆangulo ABC.” Demonstra¸c˜ ao Consideremos novamente a conﬁgura¸c˜ao da triˆangulo ABC no plano complexo, onde A = 0, B = 1 e C = z. J´a provamos que os Triˆangulos Externo e Interno de Napole˜ao s˜ao equil´ateros e que seus v´ertices s˜ao express˜oes aﬁns em z. Portanto, podemos escrever seus lados como sendo l e l , respectivamentea e: l = ||αz + β|| e onde α, β, δ, γ ∈ C.

l = ||δz + γ||,

A ´area do triˆangulo incial ABC ´e dada da seguinte forma: 1×h base × altura ´ = . Area(ABC) = 2 2

(i)

Mas, observemos que: y

c=z=x+hi

h

h B=1

A=0

x

Se z = x + hi ent˜ao z = x − hi. Da´ı: z − z = (x + hi) − (x − hi) = 2hi =⇒ h =

z−z . 2i

Logo, podemos reescrever (i) da seguinte forma: 1z−z ´ Area(ABC) = , 2 2i e

√ 3 2 3 l = ||αz + β||2, 4 4 √ √ 3 3 2 ´ (l ) = Area(X YZ)= ||δz + γ||2. 4 4 √

´ Area(XYZ) =

Queremos mostrar que: ´ ´ ´ Area(ABC) = Area(XYZ) − Area(X Y Z ),

isto ´e, que:

√ √ 1z−z 3 3 2 = ||αz + β|| − ||δz + γ||2. 2 2i 4 4

Observemos que: √ 3 3 2 ||αz + β|| = (αz + β)(αz + β) 4 √4 3 (αz + β)(αz + β) = √4 3 (αz + β)(αz + β) = √4 3 (ααzz + αzβ + αzβ + ββ) = 4

√

(ii)

e

√ 3 3 ||αz + β||2 = − (δz + γ)(δz + γ) − 4 √4 3 (δδzz + δzγ + δzγ + γγ). =− 4 √

Desenvolvendo a express˜ao (ii) temos: √ √ 3 3 1z−z = (ααzz + αzβ + αzβ + ββ) − (zz + αzγ + δzγ + γγ) ⇒ 2 2i 4 4 √ √ √ √ 1 0= 3αα − 3δδ zz + 3αβ − 3δγ − z i √ √ √ √ 1 3αβ − 3δγ + z + 3ββ − 3γγ ⇒ + i √ 1 1 z + γγ − ββ ⇒ z + δγ − αβ − √ 0 = − 3 (δδ − αα)zz + δγ − αβ + √ 3i 3i $ $ √ % √ % 3i 3i z + γγ − ββ. 0 = (δδ − αα)zz + δγ − αβ − z + δγ − αβ + 3 3 de forma que a Propriedade 2 ´e verdadeira se, e somente se, a express˜ao $ $ √ % √ % 3i 3i P(z) = (δδ − αα)zz + δγ − αβ − z + γγ − ββ z + δγ − αβ + 3 3 ´e igual a zero para todo z ∈ C. Temos que P ´e um polinˆomio de grau 2 nas vari´aveis x = Re(z) e y = Im(z). Logo: √ % 3i 3i + δγ − αβ + x+ P(x, y) = (δδ − αα)x2 + (δδ − αα)y2 + δγ − αβ − 3 3 $ √ √ % 3 3 + δγi − αβi − − δγi + αβi + y + γγ − ββ 3 3 $

√

ou seja:

(δδ−αα)x2+(δδ−αα)y2+ δγ − αβ + δγ − αβ x+ δγi − αβi − δγi + αβi y+γγ−ββ = 0, que ´e da forma

(x − a)2 + (y − b)2 = r2,

sendo: δγ − αβ + δγ − αβ 2(δδ − αα) δγi − αβi − δγi + αβi b= 2(δδ − αα) 2 2 δγ − αβ + δγ − αβ δγi − αβi − δγi + αβi 2 r = + − γγ − ββ 2(δδ − αα) 2(δδ − αα) a=

Portanto, P ´e a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia. Sabemos que trˆes pontos n˜ao colineares determinam uma u ´nica circuferˆencia, portanto, se encontrarmos quatro ra´ızes de P que n˜ao est˜ao em uma mesma circuferˆencia teremos que P(z) = 0 para todo z ∈ C. Tomemos: (i) z1 = 0. R=P’

Z=X’ R=R’ A=C Z=Z’

B

X=Z’

P=R’ ´ ´ ´ Y Z ) e Area(ABC) = 0. Area(XYZ) = Area(X

(ii) z2 = 1. R=P’

Z=X’ Q=Q’ B=C Y=Y’

A

X=Z’

P=R’ ´ ´ ´ Y Z ) e Area(XYZ) = 0. Area(ABC) = Area(X π

(iii) z3 = e 3 i.

C=P’

R

Q

X’=Y’=Z’

A=Q’

B=R’

X

P

´ ´ ´ Y Z ) = 0. Area(ABC) = Area(XYZ) e Area(X

π

(iv) z4 = e− 3 i.

P’

X’ B=R

A=Q X=Y=Z

R’

C=P

Q’

´ ´ ´ Y Z ) e Area(XYZ) = 0. Area(ABC) = Area(X

´ ´ ´ Y Z ), isto ´e, z1, z2, z3 e Em todos os casos acima, Area(ABC) = Area(XYZ) − Area(X z4 s˜ao quatro ra´ızes de P que n˜ao est˜ao numa mesma circuferˆencia. Observemos a ﬁgura abaixo.

y e

i /3

60º

60º

60º 0

60º

60º

1

x

60º /3 e-i

Portanto, a Propriedade 2 ´e verdadeira para qualquer valor de z, e vale para qualquer triˆangulo ABC.

3.3

Complexidade Alg´ ebrica 3: Trˆ es Retas Concorrentes em um ´ Unico Ponto

Propriedade 3: “Sejam ABC um triˆangulo e ABP, BCQ e CAR os triˆangulos equil´ateros apoiados externamente nos lados de ABC. Ent˜ao, os segmentos PC, QA e RB possuem o mesmo comprimento e se encontram em um u ´nico ponto. Al´em disso, as retas que contˆem esses segmentos formam ˆangulos congruentes entre si cujas medidas s˜ao de 60◦ .” Q R C I B

A

P

Demonstra¸c˜ ao. Vamos demonstrar primeiro que os segmentos AQ, BR e CP tˆem o mesmo comprimento e que fazem entre si um ˆangulo de 60◦ . Consideremos novamente a conﬁgura¸c˜ao do triˆangulo ABC no plano complexo onde A = 0, B = 1 e C = z (primeira ﬁgura da Propriedade 1).

π Temos que Q pode ser obtido a partir da rota¸c˜ao de no sentido anti-hor´ario do v´ertice 3 B em torno de C, ou seja: π

Q = (B − C)e 3 i + C.

Substituindo os valores de B e C na express˜ao de Q temos: π

Q = (1 − z) e 3 i + z. π Da mesma forma, o ponto R pode ser obtido a partir da rota¸c˜ao de no sentido anti3 hor´ario do v´ertice C em torno de A,ou seja: π

R = (C − A)e 3 i + A. Substituindo pelos valores de C e A temos: π

R = ze 3 i. 2π no sentido anti-hor´ario Mas R tamb´em pode ser obtido rotacionando o ponto Q de 3 −→ em torno do v´ertice A e transladado pelo vetor AB obtendo a express˜ao: 2π

R = (Q − A) e 3 i + B, ou ainda: 2π

R − B = (Q − A) e 3 i, → − −→ −→ −−→ sendo A = 0 , R = AR, B = AB e Q = AQ. Da´ı: −→ −→ −−→ − → 2π AR − AB = AQ − 0 e 3 i ⇒ − → −−→ 2π BR = AQe 3 i,

ou seja, BR ´e o segmento AQ rotacionado de Geometricamente:

2π . 3

/3 (Q-A)ei2

/3 /3 R=(C-A)ei +A=(Q-A)ei2 +B

C

Q

A

B

P

Substituindo na express˜ao de R os valores de Q, A e B temos: ! 2π π R = (1 − z) e 3 i + z e 3 i + 1. Igualando as duas express˜oes de R obtemos a equa¸c˜ao: ! 2π π π (1 − z) e 3 i + z e 3 i + 1 = ze 3 i. Notemos que essa ´e uma express˜ao aﬁm em z, ent˜ao, se encontrarmos duas ra´ızes para o qual a express˜ao ´e verdadeira temos uma identidade, isto signiﬁca que ela vale para qualquer valor de z no plano complexo. π Vamos tomar, por exemplo, C = z1 = e 3 i. Da´ı: −eπi + e

4π i 3

2π

+e 3 i=0

π π π ! 2π π π 1 − e 3 i e 3 i + e 3 i e 3 i + 1 = e 3 ie 3 i π 2π 2π π 2π i i i 3 3 3 e 3 i+1 = e 3 i e −e +e eπi − e

4π i 3

−eπi + e Observa¸ca˜o: eπi = cos (π) + i sen (π) = −1. Geometricamente:

2π

+ eπi + 1 = e 3 4π i 3

2π

+ e 3 i = 0.

i

i2

e3

-e

i4 i2 i3 3

+ e + e =0

-e

i

1

i4

-e

e3

i4 i3

+e

−π

Outra raiz que satisfaz a equa¸c˜ao ´e C = z1 = e 3 i, pois: π 2π −π −π π −π 1 − e 3 i e 3 i + e 3 i e 3 i + 1 = e 3 ie 3 i π 2π −π i 0 i 3 3 e −e +e e 3 i + 1 = e0 eπi − e

2π i 3

π

+ e3i + 1 = 1 2π

π

eπi − e 3 i + e 3 i = 0. De fato, encontramos duas ra´ızes para a express˜ao aﬁm em z, portanto, para qualquer triˆangulo ABC, os segmentos AQ e BR s˜ao congruentes e fazem entre si um ˆangulo de 60◦ . A demonstra¸c˜ao de que CP tamb´em tˆem o mesmo comprimento e faz um ˆangulo de 60◦ .com AQ e BR segue de maneira an´aloga. Essa primeira parte da demonstra¸c˜ao tem grau de complexidade alg´ebrica um, j´a a segunda parte ´e mais complexa e tem grau trˆes. Vejamos. Queremos mostrar agora que os segmentos AQ, BR e CP se encontram em um u ´nico ponto I. Primeiramente vamos encontrar as coordenadas dos pontos Q e R no plano complexo em fun¸c˜ao de x e y, lembrando que z = x + yi.e eθi = cos (θ) + i sen (θ) . Da´ı: $ √ % 1 3i + + (x + yi) Q = [1 − (x + yi)] 2 2 √ √ 3i 3i 1 1 − (x + yi) + (x + yi) = − (x + yi) + 2 2 √2 √2 √ 1 1 1 3i 3i 3 = − x − yi + − x+ y + x + yi 2 2 2 2 2 %2 $ √ $ √ √ % 3 3 3 1 1 1 x+ y+ + − x+ y+ i. = 2 2 2 2 2 2

Podemos indicar um n´ umero complexo x + yi como um par ordenado (x, y) , ent˜ao: $ Q=

√ √ √ % 1 1 1 3 3 3 x+ y + ,− x+ y+ . 2 2 2 2 2 2

Analogamente, para R temos: $

√ % √ √ 1 3i 3i 3 1 1 R = (x + yi) + = x+ x + yi − y 2 2 2 2 2 2 % $ √ % $√ 3 3 1 1 x− y + x + y i, = 2 2 2 2 ou seja:

$ R=

% √ √ 1 3 3 1 x− y, x+ y . 2 2 2 2 π

Temos tamb´em que P ´e a rota¸c˜ao do ponto A em torno de B, ent˜ao P = (A − B)e 3 i + B. Logo, $ √ % √ 3i 3i 1 1 + +1=− − , P = (0 − 1) 2 2 2 2 ou seja:

$ P=

√ % 1 3 − ,− . 2 2

←→ ← → ← → Sejam r, s, t as retas AQ, BR, CP, respectivamente, e α, β, γ ∈ R, tais que αAQ = AI, βBR = BI e γCP = CI. Parametrizando as retas temos: $ √ √ √ % 1 1 1 3 3 3 x+ y + ,− x+ y+ r −→ A + α(Q − A) = (0, 0) + α 2 2 2 2 2 2 $ % √ √ 1 1 3 3 s −→ B + β (R − B) = (1, 0) + β x− y − 1, x+ y 2 2 2 2 $ $ √ % √ % 1 3 3 1 t −→ P + γ (C − P) = − , − + γ x + ,y + 2 2 2 2 As retas r, s e t se intersectam em um mesmo ponto, se e somente se, existem valores de α, β e γ tais que: $ $ % √ √ √ % √ √ 1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 (0, 0) + α x+ y + ,− x+ y+ x− y − 1, x+ y = (1, 0) + β 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 % $ % $ % $ √ √ √ √ √ 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 x+ y + ,− x+ y+ = − ,− + γ x + ,y + (0, 0) + α 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Da´ı:

e:

% $ √ √ √ %' 1 1 3 3 3 1 x+ y+ x+ y+ ,0 + α − 0+α 2 2 2 2 2 2 % $√ %' & $ √ 1 3 3 1 x− y − 1 ,0 + β x+ y = 1+β 2 2 2 2

&

$

&

$ 0+α &

= −

1 2

% $ √ √ √ %' 1 1 1 3 3 3 x+ y+ x+ y+ ,0 + α − 2 2 2 2 2 2 $ %' √ √ 1 3 3 +γ x+ +γ y+ ,− 2 2 2

Donde tiramos que: $

% $ % √ √ 1 3 3 1 1 1+α − x− y− +β x− y − 1 + 0γ = 0 2 2 2 2 2 $√

$√ % √ % 1 1 3 3 3 x− y− +β x + y + 0γ = 0 2 2 2 2 2

0+α 1 +α 2

$

% √ 1 3 1 1 x+ y+ + 0β + γ −x − =0 2 2 2 2

$ √ $ √ % √ % 1 3 3 3 3 +α − x+ y+ + 0β + γ −y − =0 2 2 2 2 2

√

Colocando o sistema na forma matricial temos: √ √ ⎡ 1 1 3 3 1 y− x− y−1 − x− ⎢ 1 2 2 2 2 2 ⎢ ⎢ √ √ √ ⎢ ⎢ 1 1 3 3 3 ⎢ 0 x − y − x + y ⎢ 2 2 2 2 2 ⎢ ⎢ √ ⎢ ⎢ 1 1 1 3 ⎢ x+ y+ 0 ⎢ 2 2 2 2 ⎢ ⎢√ √ √ ⎣ 3 1 3 3 − x+ y+ 0 2 2 2 2

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢α⎥ ⎢0⎥ ⎥⎣ ⎦ = ⎣ ⎦. 0 ⎥ β 1 ⎥ γ 0 −x − ⎥ 2 ⎥ ⎥ √ ⎥ 3⎦ −y − 2

Assim, temos que encontrar α, β, γ que satisfazem a equa¸c˜ao matricial. Sabemos que o sistema pode possuir uma u ´nica solu¸c˜ao e, nesse caso, seu determinante ´e diferente de zero, ou possuir inﬁnitas solu¸c˜oes e seu determinante ser igual a zero. Esse sistema homˆogeneo n˜ao possui a solu¸c˜ao trivial (nula), pois uma solu¸c˜ao poss´ıvel tem que ser da forma (1, α, β, γ) . Portanto, o determinante de M ´e igual a zero.

Observemos que M ´e da forma: ⎡

1

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ M=⎢ 1 ⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎢√ ⎣ 3 2

afim

afim

afim

afim

afim

0

afim

0

0

⎤

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ afim⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ afim

Calculando o determinante pelo M´etodo de Laplace utizando a primeira coluna temos: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ afim afim 0 afim afim 0 0 afim⎦ + 0 (−1)3 det ⎣afim 0 afim⎦ M = 1 (−1)2 det ⎣afim afim 0 afim afim 0 afim ⎡ ⎤ √ ⎡ ⎤ afim afim 0 afim afim 0 3 1 0 ⎦+ 0 ⎦ + (−1)4 det ⎣afim afim (−1)5 det ⎣afim afim 2 2 afim 0 afim afim 0 afim = (afim) (afim) (afim) − (afim) (afim) (afim) 1 + [(afim) (afim) (afim) − (afim) (afim) (afim)] 2 √ 3 [(afim) (afim) (afim) − (afim) (afim) (afim)] . − 2 Assim, obtemos um polinˆomio nas vari´aveis x e y do tipo: p (x, y) = α (x) y3 + β(x)y2 + γ (x) y + δ (x) , sendo α, β, γ, δ polinˆomios na vari´avel x, de forma que a Propriedade 3 ´e verdadeira se mostrarmos que para todo (x, y) ∈ R2 temos p(x, y) = 0. Observemos que p(x, y) tem grau trˆes, ent˜ao se encontrarmos quatro pares (x, y) que satisfazem a equa¸c˜ao polinomial teremos uma identidade.e a propriedade vale para qualquer z = x + yi no plano complexo. Uma conﬁgura¸c˜ao geom´etrica para o qual a Propriedade 3 ´e v´alida ´e aquela onde o triˆangulo ABC ´e is´osceles. C

Q

R

A

I

P

B

Fixando x = x0 ∈ R, temos: p (x0, y) = α (x0) y3 + β (x0) y2 + γ (x0) y + δ (x0) p (x0, y) = q (y) = Ay3 + By2 + Cy + D,

1 Fixemos agora x = x0 no intervalo aberto 0, , como mostra a ﬁgura abaixo. Se 2 escolhermos C como sendo o ponto (x0, y1) ou (x0,y4) , obtidos a partir da intersec¸c˜ao da reta x = x0 com o c´ırculos de centro (0, 0) e raio 1, o triˆangulo ABC ser´a is´osceles, pois dois de seus lados ser˜ao raio desse c´ırculo. O mesmo acontece se escolhermos C como sendo o ponto (x0, y2) ou (x0, y4) , obtidos a partir da intersec¸c˜ao da reta x = x0 com os c´ırculos de centro (1, 0) e raio 1. Ent˜ao, encontramos quatro ra´ızes, y1, y2, y3 e y4 que satisfazem q (y) = 0. Logo, q (y) = 0 ´e uma identidade e vale para qualquer valor de y ∈ R. sendo A, B, C, D constantes.

y y1

y2

0

x0

½

1

x

y3 y4

Mas q (y) = p (x0, y) , ent˜ao p (x0, y) = 0 para todo y ∈ R. Isto siginiﬁca que α (x0) = β (x0) = γ (x0) = δ (x0) = 0 e como x0 ´e arbitr´ario segue que: α (x) = β (x) = γ (x) = δ (x) = 0, para todo x ∈ R. Consequentemente, p (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R2. Logo, C = z = x + yi pode estar em qualquer lugar do plano complexo. Conclus˜ao: a Propriedade 3 ´e v´alida para qualquer triˆangulo ABC.

4

Referˆ encias Bibliogr´ aﬁcas

[1] Avila, G. Vari´ aveis Complexas e Aplica¸c˜ oes. Rio de Janeiro: LTC - Livros T´ecnicos e Cient´ıﬁcos Editora. 1990. ´ [2] Callioli, C. A., Domingues, H. H. & Costa, R. C. F. Algebra Linear e Aplica¸c˜oes. S˜ao Paulo: Atual Editora. 1983. [3] Lopes, S. M. R. Complexidade em Geometria Plana Euclidiana. (Disserta¸c˜ao de Mestrado). Rio de Janeiro: PUC - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica. 2002.

Introdu¸ c˜ ao ` a Teoria das Curvas Alg´ ebricas Aﬁns Patr´ıcia Borges dos Santos 1

C´ıcero Fernandes de Carvalho2

Faculdade de Matem´ atica - FAMAT Universidade Federal de Uberlˆ andia - UFU - MG Setembro de 2007 Resumo Neste trabalho apresentamos algumas propriedades b´ asicas das curvas alg´ebricas aﬁns como por exemplo, a irredutibilidade, a decomposi¸c˜ao em componentes irredut´ıveis, o grau da curva, entre outras. Tamb´em mostramos que ´e poss´ıvel estimar o n´ umero de pontos de interse¸c˜ao de duas curvas alg´ebricas sem componentes em comum. Em essˆencia o trabalho mostra aplica¸c˜oes da teoria de dom´ınios euclidianos e dom´ınios de fatora¸c˜ao u ´nica.

1

Introdu¸ c˜ ao

Seja f (x, y) ∈ R[x, y] e considere o seguinte subconjunto de R2 : V (f ) = {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = 0}, agora observe nos seguintes exemplos o que V (f ) representa. Exemplo 1.1

1. f (x, y) = y − ax2 − bx − c, com a = 0 =⇒ V (f ) ´e uma par´ abola.

2. f (x, y) = ax + by + c, com a, b ∈ R, (a, b) = (0, 0) =⇒ V (f ) ´e uma reta. 3. f (x, y) = x2 + y 2 − 1 =⇒ V (f ) ´e um c´ırculo. 4. f (x, y) = x2 + y 2 =⇒ V (f ) ´e um ponto. 5. f (x, y) = x2 + y 2 + 1 =⇒ V (f ) ´e um conjunto vazio. Note que somente nos exemplos 1 , 2 e 3 ´e que faz sentido falar em curva, os outros dois casos deixam de parecer t˜ao estranhos quando passamos do plano real R2 para o plano complexo C2 , que aqui chamaremos de plano aﬁm. Nesse caso ´e natural permitir que os coeﬁcientes de f (x, y) sejam n´ umeros complexos arbitr´arios. Assim, considere agora f (x, y) ∈ C[x, y] e o seguinte subconjunto de C2 : V (f ) = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}. Observe que, se em 4 permitirmos que f ∈ C[x, y], ent˜ao teremos a seguinte fatora¸c˜ao f (x, y) = x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy). 1 2

patricia [email protected] Programa de Educa¸c˜ao Tutorial (PETMAT) [email protected] Professor orientador de janeiro de 2007 a dezembro de 2007.

Assim, V (f ) = V (x + iy) ∪ V (x − iy), ou seja, o conjunto de zeros consiste, no plano aﬁm, de duas retas que intersectam na origem. Da mesma forma, no exemplo 5 , a mudan¸ca de vari´aveis x = ix1 , y = iy1 torna o conjunto vazio no R2 em um c´ırculo, agora em C2 , com equa¸c˜ao: x21 + y12 − 1 = 0, visto que: x2 +y 2 +1 = 0 =⇒ (ix1 )2 +(iy1 )2 +1 = 0 =⇒ −x21 −y12 +1 = 0 =⇒ x21 +y12 −1 = 0. Ao passar de R2 para C2 perdemos um pouco da intui¸c˜ao, j´a que as curvas alg´ebricas agora se parecem mais com superf´ıcies no espa¸co quadri-dimensional C2 ∼ = R4 . Por outro lado, veremos que esta perda ser´a compensada por muitas vantagens t´ecnicas.

2

Curvas Alg´ ebricas Aﬁns e suas Equa¸ c˜ oes

Deﬁni¸ c˜ ao 2.1 Um subconjunto C ⊂ C2 ´e chamado uma curva alg´ebrica aﬁm se existir um polinˆomio f ∈ C[x, y] tal que grau f ≥ 1 e C = V (f ) = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}. Veja que V (f ) = V (λf ) = V (f k ) para λ ∈ C∗ e k ∈ N − {0}, ou seja, uma curva alg´ebrica aﬁm n˜ao ´e unicamente determinada por f . Quando f (x, y) ´e irredut´ıvel, esta ser´a a u ´nica ambiguidade, isto ´e, os polinˆomios da forma g(x, y) = λf (x, y)k , para λ ∈ C∗ e k ∈ N − {0}, s˜ao os u ´nicos para os quais V (f ) = V (g). Isto ser´a uma consequˆencia do Lema de Study abaixo. Antes de apresentarmos o Lema de Study devemos ter em mente alguns resultados que ser˜ao importantes na demonstra¸c˜ao deste: Teorema 2.2 Seja (D, ϕ) um dom´ınio euclidiano. Ent˜ ao: 1. D ´e um dom´ınio fatorial. 2. Sejam a, b ∈ D\ {0} e seja d = mdc (a, b), ent˜ao: • Existem e, f ∈ D tais que d = ea+f b.(Em particular, se a e b s˜ ao relativamente primos, i.e. se d = 1, ent˜ ao existem e, f ∈ D tais que 1 = ea + f b). ao ´e efetiva. • Tais e e f podem ser efetivamente calculados quando a divis˜ 3. D ´e um dom´ınio principal. Lema 2.3 (Lema de Gauss) Seja A um dom´ınio de fatora¸c˜ao u ´nica e seja K ⊇ A seu corpo de fra¸c˜oes. Seja f ∈ A[x] um polinˆomio primitivo n˜ ao constante. 1. Se f ´e redut´ıvel em K[x], ent˜ ao tamb´em o ´e em A[x]. 2. Se g ∈ A[x] e f | g em K[x], ent˜ ao f | g em A[x]. As demonstra¸c˜oes de 2.2 e 2.3 podem ser encontradas em [3] e [4] respectivamente. Observa¸c˜ ao 2.4 Veja que (C (x) [y] , ϕ), sendo ϕ a fun¸ca˜o grau, ´e um dom´ınio euclidiano. E que todo polinˆomio irredut´ıvel ´e primitivo.

Agora estamos prontos para enunciar e demonstrar o Lema 2.5 (Lema de Study) Sejam f (x, y), g(x, y) ∈ C[x, y] polinˆ omios n˜ ao constantes e suponha que f (x, y) ´e irredut´ıvel. Ent˜ ao V (f ) ⊂ V (g) se e somente se f divide g em C[x, y]. Demonstra¸ c˜ ao. Se f ´e um divisor de g, isto ´e, g = f.h, ent˜ao V (f ) ⊂ V (g). Reciprocamente, suponha por absurdo que V (f ) ⊂ V (g) mas f n˜ao divide g em C[x, y]. Sem perda de generalidade, podemos supor que f (x, y) n˜ao ´e um polinˆomio apenas na vari´avel x. Assim podemos considerar f (x, y) como um polinˆomio n˜ao constante de C[x][y] (i.e. um polinˆomio n˜ao constante na vari´avel y e com coeﬁcientes no anel de polinˆomios C[x]): f (x, y) = f0 (x) + f1 (x)y + . . . + fn (x)y n , com n > 0 e fn (x) = 0. Seja C(x) o corpo quociente de C[x] e considere f (x, y) como um polinˆomio n˜ao constante de C(x)[y]. Pelo Lema de Gauss, f (x, y) ´e irredut´ıvel em C(x)[y] e f n˜ao divide g em C(x)[y]. Portanto mdc (f, g) = 1. Por 2.2 sabemos que C(x)[y] ´e um dom´ınio principal, e tamb´em que existem elementos α(x, y), β(x, y) ∈ C(x)[y] tais que α(x, y)f (x, y) + β(x, y)g(x, y) = 1. Lembramos que α(x, y) e β(x, y) s˜ao polinˆomios na vari´avel y e com coeﬁcientes no corpo de fra¸c˜oes C(x). Seja p(x) o mmc dos denominadores dos coeﬁcientes de α(x, y) e β(x, y). Observe que p(x) ´e n˜ao nulo. Existem polinˆomios a(x, y), b(x, y) ∈ C[x, y] tais e β(x, y) = b(x,y) . Portanto: que α(x, y) = a(x,y) p(x) p(x) a(x, y)f (x, y) + b(x, y)g(x, y) = p(x). Como p(x) e fn (x) s˜ao n˜ao nulos, existe x0 ∈ C tal que p(x0 ) = 0 e fn (x0 ) = 0. Observe que o polinˆomio f (x0 , y) ∈ C[y] ´e n˜ao constante. Como C ´e algebricamente fechado, existe y0 ∈ C tal que f (x0 , y0 ) = 0. Como V (f ) ⊂ V (g), temos tamb´em que g(x0 , y0 ) = 0. Pela f´ormula acima segue que p(x0 ) = 0, contradizendo a escolha de x0 . Observa¸c˜ ao 2.6 Um enunciado an´ alogo nos n´ umeros reais ´e obviamente falso, por exemao divide g. plo para f = x2 + y 2 e g = x, temos V (f ) ⊂ V (g), mas f n˜ Este lema t´ecnico ´e um precursor do Teorema dos Zeros de Hilbert (Hilbert Nullstellensetz ), que em casos especiais de curvas, diz: Corol´ ario 2.7 Se f ∈ C[x, y] n˜ ao ´e constante, ent˜ao V (f ) = ∅. Demonstra¸ c˜ ao. Suponha V (f ) = ∅. Se h ´e um fator irredut´ıvel de f , ent˜ao V (h) ⊂ V (f ), ou seja, V (h) = ∅. Pelo Lema de Study, h divide qualquer g, pois V (h) = ∅ ⊂ V (g), qualquer que seja g. Mas isto ´e imposs´ıvel. Observa¸c˜ ao 2.8 Note que se V (f ) = ∅, ent˜ ao V (f ) cont´em inﬁnitos pontos. De fato, seja (x0 , y0 ) ∈ V (f ) ent˜ao para todo λ ∈ R, tˆem-se f (λx0 , λy0 ) = 0, isto ´e, (λx0 , λy0 ) ∈ V (f ).

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Componentes irredut´ıveis

Das numerosas consequˆencias do Lema de Study, a primeira que n´os discutiremos ´e a decomposi¸c˜ao de uma curva alg´ebrica em suas componentes. J´a que an´eis de polinˆomios sobre corpos s˜ao dom´ınios de fatora¸c˜ao u ´nica, cada f ∈ C[x, y] admite fatora¸c˜ao f = f1k1 . · · · .frkr , onde os f s˜ao irredut´ıveis e n˜ao s˜ao dois a dois associados. Esta fatora¸c˜ao ´e u ´nica a menos de multiplica¸c˜ao por constante e da ordem em que os fi ocorrem. Portanto V (f ) = V (f1 ) ∪ · · · ∪ V (fr ), em outras palavras, a curva deﬁnida por f pode ser decomposta nas componentes V (f ) . As pr´oximas deﬁni¸c˜oes e resultados dar˜ao signiﬁcado mais preciso a`s componentes. Deﬁni¸ c˜ ao 3.1 Uma curva alg´ebrica C ⊂ C2 ´e chamada redut´ıvel se existem curvas alg´ebricas planas C1 , C2 tais que C1 = C2 e C = C1 ∪ C2 . Nesse caso dizemos que C1 e C2 s˜ao componentes pr´ oprias de C. Se C n˜ ao admitir componentes pr´ oprias, dizemos que C ´e irredut´ıvel, isto ´e, para toda decomposi¸c˜ ao C = C1 ∪ C2 segue que C1 = C2 . Lema 3.2 Uma curva alg´ebrica C = V (f ) ⊂ C2 ´e irredut´ıvel se e somente se existir k ∈ N − {0} e um polinˆomio irredut´ıvel g ∈ C[x, y] tais que f = g k . Demonstra¸ c˜ ao. Seja C irredut´ıvel e seja f = f1 .f2 , onde f1 e f2 s˜ao relativamente primos e n˜ao constantes. Se h ´e um fator irredut´ıvel de f1 , ent˜ao temos que V (h) ⊂ V (f1 ), mas como C ´e irredut´ıvel temos V (f1 ) = V (f2 ) e pelo Lema de Study segue que h | f2 . Mas isto n˜ao ´e poss´ıvel pois f1 e f2 s˜ao relativamente primos. Reciprocamente, suponha que C seja redut´ıvel, isto ´e, V (f ) = V (f1 ) ∪ V (f2 ) e V (f1 ) = V (f2 ). Ent˜ao existem fatores irredut´ıveis hi de fi que n˜ao sejam associados entre si. A inclus˜ao V (hi ) ⊂ V (f ) e o Lema de Study implicam que f tem pelo menos dois fatores primos distintos, o que contraria a hip´otese de f ser irredut´ıvel. Teorema 3.3 Toda curva alg´ebrica C ⊂ C2 admite representa¸c˜ ao C = C1 ∪ . . . ∪ Cr , ao curvas alg´ebricas irredut´ıveis. A representa¸c˜ao ´e u ´nica a menos da onde C1 , . . . , Cr s˜ ordem em que os Ci ocorrem. Demonstra¸ c˜ ao. Seja C = V (f ) e seja f = f1k1 . · · · .frkr a fatora¸c˜ao de f em primos. J´a vimos que C = V (f ) = V (f1 ) ∪ . . . ∪ V (fr ) e pelo lema anterior segue que cada V (fi ) ´e irredut´ıvel. Para mostrar a unicidade basta mostrar que toda curva irredut´ıvel C ⊂ C ´e alguma das Ci . Mas se C = V (f ), com f irredut´ıvel, ent˜ao C ´e irredut´ıvel. Pelo Lema de Study f ´e um fator primo de f , mas pela unicidade da fatora¸c˜ao de polinˆomios segue que f tem que ser algum dos fi . Deﬁni¸ c˜ ao 3.4 Os Ci , como em 3.3, s˜ao chamados componentes irredut´ıveis da curva C. Como vimos as componentes irredut´ıveis de uma curva alg´ebrica s˜ao unicamente determinadas. Pelo Lema de Study, podemos tamb´em determinar os poss´ıveis fatores irredut´ıveis de um polinˆomio dado.

Corol´ ario 3.5 Seja C = V (f ) ⊂ C2 uma curva alg´ebrica e seja f = f1k1 . · · · .frkr a fatora¸c˜ao de f em fatores irredut´ıveis. Se C = V (g) para algum outro polinˆ omio g, ent˜ao: g = λf1l1 . · · · .frlr onde λ ∈ C∗ e l ∈ N − {0}. Demonstra¸ c˜ ao. Temos que C = V (f ) = V (f1 ) ∪ · · · ∪ V (fr ) e por hip´otese que C = V (g). Para cada i ∈ {1, . . . , r} temos que V (fi ) ⊂ V (f ) = V (g), onde cada fi ´e fator irredut´ıvel de f . Desse modo como V (fi ) ⊂ V (g), temos pelo Lema de Study que n n ( ( fi | g, para todo i ∈ {1, . . . , r}. Assim fili | g e portanto g = λfili como quer´ıamos. i=1

i=1

Isto nos d´a uma completa vis˜ao das poss´ıveis equa¸c˜oes para C. Deﬁni¸ c˜ ao 3.6 Por analogia com polinˆ omios de uma vari´ avel, n´ os deﬁnimos f˜ = f1 . · · · .fr como sendo o polinˆ omio minimal da curva. Este ´e u ´nico, a menos da unidade Observa¸c˜ ao 3.7 Temos a seguinte propriedade alg´ebrica: * ) I (C) = h ∈ C[x, y] | h|C = 0 ´e um ideal no anel de polinˆ omios. I (C) ´e chamado ideal de C, ´e um ideal principal e ´e gerado pelo polinˆ omio minimal (segue do corol´ario acima). Agora vamos usar o polinˆomio minimal para deﬁnir o grau de uma curva alg´ebrica: Deﬁni¸ c˜ ao 3.8 Se C = V (f ) ⊂ C2 ´e uma curva alg´ebrica e f o polinˆomio minimal, ent˜ao grau (C) = grau (f ) ´e o grau da curva C. Se f n˜ao ´e necessariamente o polinˆomio minimal, dizemos que ´e o grau do divisor. Em sequˆencia daremos o signiﬁcado geom´etrico do grau, considerando interse¸c˜oes de curvas com retas.

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Interse¸ c˜ ao de uma Reta com uma Curva Alg´ ebrica Aﬁm

Seja a reta L ⊂ C2 , dada pela parametriza¸c˜ao: ϕ : C −→ L ⊂ C2 , t −→ (ϕ1 (t) , ϕ2 (t)) onde ϕi ∈ C [T ] s˜ao polinˆomios lineares. Dada uma curva alg´ebrica plana C = V (f ) ⊂ C2 , o nosso objetivo ´e encontrar uma cota superior para o n´ umero de pontos de L ∩ C, isto ´e, uma cota para # (L ∩ C) . Para isso vamos supor que f (x, y) ∈ C[x, y] ´e um polinˆomio de grau n e, L ⊂ C. Para encontrar os pontos de L∩C, basta obter as ra´ızes do polinˆomio em uma vari´avel complexa: g(t) := f (ϕ1 (t) , ϕ2 (t)) ,

isto ´e, os zeros de g correspondem aos pontos de interse¸c˜ao de C com L. Como supomos que L ⊂ C, ent˜ao g(t) n˜ao ´e identicamente nulo, e portanto # (L ∩ C) ´e um conjunto ﬁnito. Observe tamb´em que grau g ≤ grau f , uma vez que alguns termos de f podem ser cancelados quando substitu´ımos ϕ(t). Assim, podemos estimar quantos s˜ao os pontos de L ∩ C. Como # (L ∩ C) ´e determinado pelo n´ umero de ra´ızes de g(t), e j´a que este possui no m´aximo n ra´ızes tem-se: # (L ∩ C) ≤ n. Portanto, se C ⊂ C2 ´e uma curva alg´ebrica de grau n e L ⊂ C2 ´e uma reta tal que L ⊂ C, ent˜ao # (L ∩ C) ≤ n. Observa¸c˜ ao 4.1 Um resultado an´ alogo a este nos n´ umeros reais nos d´ a uma maneira 2 2 ao podem ser curvas alg´ebricas, como de mostrar que certos subconjuntos de R ou C n˜ mostra o exemplo abaixo. Exemplo 4.2 A sen´ oide, a cicl´oide e a hipocicl´oide com raz˜ ao de raios irracional, s˜ ao exemplos de curvas que n˜ ao s˜ ao alg´ebricas. Em cada caso existem retas que n˜ ao est˜ao completamente contidas nas curvas, mas que intersectam-nas em inﬁnitos pontos. O limitante dado para # (L ∩ C) raramente ´e alcan¸cado nos n´ umeros reais, mas nos n´ umeros complexos ele ´e “quase sempre” obtido. Existem dois motivos poss´ıveis para L ∩ C possuir menos de n pontos: 1. O grau de g(t) pode ser menor do que n. 2. O grau de g(t) pode ser n, mas g(t) pode ter ra´ızes m´ ultiplas. O segundo problema pode ser resolvido contando os pontos de interse¸c˜ao com as suas respectivas multiplicidades (que ser˜ao deﬁnidas abaixo), e o primeiro considerando-se os pontos de interse¸c˜ao no inﬁnito. Um exemplo simples disso ´e quando C ´e uma reta paralela `a L, neste caso haver´a apenas o ponto de interse¸c˜ao no inﬁnito. ao linear ϕ(t) = (ϕ1 (t) , ϕ2 (t)), Deﬁni¸ c˜ ao 4.3 Seja L ⊂ C2 uma reta com parametriza¸c˜ onde ϕi ∈ C [t] s˜ao polinˆomios lineares. Seja f (x, y) ∈ C[x, y] e suponha que L ⊂ C = V (f ). Seja g(t) := f (ϕ(t)). Dado um ponto P = (x(t0 ), y(t0 )) ∈ L ∩ V (f ) (ou seja, t0 ´e uma raiz de g(t)), deﬁnimos a multiplicidade de interse¸c˜ao de L e C = V (f ) em P como sendo a multiplicidade de t0 como raiz de g(t). Exemplo 4.4 Seja L ⊂ C2 uma reta passando pela origem cuja parametriza¸ca˜o ´e dada por ϕ : C −→ L ⊂ C2 t −→ (αt, βt), com α, β ∈ C, e (α, β) = (0, 0). Seja f ∈ C[x, y] dado por f (x, y) = y − x2 . Veja que g(t) = f (ϕ(t)) = βt − α2 t2 e ent˜ao, para α = 0, temos g(t) = 0 ⇐⇒ βt − α2 t2 = 0 ⇐⇒ t(β − α2 t) = 0 ⇐⇒ t = 0 ou t =

β . α2

Assim o n´ umero de pontos de interse¸ca˜o de L e V (f ) para α = 0 ´e 2. No entanto para α = 0, temos g(t) = βt, e ent˜ao g(t) = 0 ⇐⇒ βt = 0 ⇐⇒ t = 0, ou seja, existe apenas 1 ponto de interse¸ca˜o entre L e V (f ). Note que nesse caso grau g(t) < 2. ´ natural questionar se tamb´em ´e poss´ıvel obter uma estimativa para o n´ E umero de pontos de interse¸c˜ao de duas curvas alg´ebricas quaisquer. A resposta a essa pergunta ser´a dada pelo Teorema de B´ezout, que ser´a apresentado na pr´oxima se¸c˜ao como uma aplica¸c˜ao da teoria de resultante de polinˆomios.

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A Resultante e o Teorema de B´ ezout

O Teorema de B´ezout fornece uma cota superior para o n´ umero de pontos de interse¸c˜ao de duas curvas alg´ebricas, que ´e o produto dos graus destas curvas. A vers˜ao mais geral nos diz que duas curvas V (f ) e V (g) sem componentes irredut´ıveis em comum e com graus m e n, respectivamente, se intersectam em exatamente mn pontos, levados em conta os “pontos no inﬁnito” e as “multiplicidades de interse¸c˜ao”. Apresentaremos aqui um caso particular desse teorema e para sua demonstra¸c˜ao ser´a necess´ario desenvolver a teoria de resultante de dois polinˆomios. Deﬁni¸ c˜ ao 5.1 Seja D um dom´ınio. Sejam f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ,

a0 = 0

g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm ,

b0 = 0

dois polinˆomios em D[x] de grau ≥ 1. A resultante de f (x) e g(x), denotada por Rf,g , ´e o elemento do dom´ınio D dado pelo seguinte determinante: a0 a1 . . . an−1 an a . . . a a 0 n−1 n .. .. .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . a0 Rf,g = .. b0 b1 . . . . . . . b b m−1 m .. . ... . . . bm−1 bm . .. . .. . . . . . . b0 ... ... . . . . . . . . . bm sendo que existem m linhas de ai s e n linhas de bi s e as linhas s˜ao completadas com ao ´e zeros. A resultante entre um polinˆ omio f (x) e sua derivada f (x) (quando f (x) n˜ constante), ´e chamada discriminante de f (x).

Veremos no pr´oximo teorema que dados dois polinˆomios sempre ´e poss´ıvel calcular a resultante deles e consequentemente, quando D for fatorial, ´e poss´ıvel determinar se eles tˆem ou n˜ao um fator comum de grau ≥ 1. Teorema 5.2 Seja D um dom´ınio. Sejam f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ,

a0 = 0

g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm ,

b0 = 0

dois polinˆ omios em D[x] de grau ≥ 1. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: 1. Rf,g = 0. 2. Existem polinˆomios 0 = f1 (x) ∈ D[x] de grau ≤ n − 1 0 = g1 (x) ∈ D[x] de grau ≤ m − 1 tais que f1 (x)g(x) = g1 (x)f (x). 3. Se D ´e um dom´ınio fatorial, f (x) e g(x) possuem um fator comum em D[x] de grau ≥ 1. Demonstra¸ c˜ ao. (1 ⇐⇒ 2) Encontrar 0 = f1 (x) = α1 xn−1 + α2 xn−2 + . . . + αn e 0 = g1 (x) = β1 xm−1 + β2 xm−2 + . . . + βm em D[x] tais que f1 (x)g(x) = g1 (x)f (x) ´e equivalente a encontrar uma solu¸c˜ao n˜ao trivial em D do seguinte sistema de (n + m) equa¸c˜oes nas inc´ognitas β1 , β2 , . . . , βm , α1 , α2 , . . . , αn : ⎧ (termo em xn+m−1 ) ⎪ a0 β1 − b0 α1 = 0 ⎪ ⎪ n+m−2 ⎪ ) ⎨ a1 β1 + a0 β2 − b1 α1 − b0 α2 = 0 (termo em x ... ... ⎪ ⎪ ... ... ⎪ ⎪ ⎩ (termo constante ) an βm − bm αn = 0 Agora, ´e f´acil ver que existe uma solu¸c˜ao n˜ao-trivial deste sistema em D se e somente se existe uma tal solu¸c˜ao n˜ao-trivial no corpo de fra¸c˜oes K de D, ou seja, pela regra de Cramer, se e somente se o determinante da matriz dos coeﬁcientes do sistema ´e nulo. Isto conclui a prova pois a resultante ´e o determinante de uma matrz que ´e a transposta da matriz do sistema a menos de multiplica¸c˜ao por −1 das linahs envolvendo bj s. (3 ⇒ 2) Como f (x) e g(x) possuem um fator em comum p(x) em D[x] de grau ≥ 1, ent˜ao temos: f (x) = p(x)f1 (x) com f1 (x) ∈ D[X], grau f1 (x) < n g(x) = p(x)g1 (x) com g1 (x) ∈ D[X], grau g1 (x) < m e, claramente, f1 (x)g(x) = g1 (x)f (x) (Note que neste sentido n˜ao se utilizou que D ´e fatorial). (2 ⇒ 3) Sejam f1 (x), g1 (x) ∈ D[x] tais que f1 (x)g(x) = g1 (x)f (x). Sendo D[x] fatorial, todos os fatores irredut´ıveis de de grau geq1 aparecem no produto f1 (x)g(x); nem todos eles podem aparecer em f1 (x), pois, por hip´otese temos grau f1 (x) < grau f (x); assim pelo menos um dos fatores irredut´ıveis de grau ≥ 1 de f (x) aparecem em g(x).

Corol´ ario 5.3 Sejam D e D dois dom´ınios, D fatorial. Sejam f (x), g(x) ∈ D[x] de grau ≥ 1. Ent˜ao, f (x) e g(x) Tˆem um fator em comum de grau ≥ 1 em D[x] se e somente se eles tˆem um fator comum de grau ≥ 1 em D [x]. Demonstra¸ c˜ ao. Se f (x) e g(x) tˆem um fator comum de grau ≥ 1 em D [x], ent˜ao a resultante Rf,g = 0 (segue da implica¸c˜ao (3 ⇒ 1) de 5.2, para a qual n˜ao se precisa supor D fatorial, como observamos acima); logo f (x) e g(x) tˆem um fator comum de grau ≥ 1 em D[x] (implica¸c˜ao (1 ⇒ 3) de 5.2). A rec´ıproca ´e clara. Proposi¸ c˜ ao 5.4 Nas hip´ oteses de 5.2 tˆem-se que a resultante Rf,g ´e uma soma de termos do tipo ±ai1 . . . aim bj1 . . . bjn com i1 + . . . + im + j1 + jn = nm. A demonstra¸c˜ao de 5.4 pode ser encontrada em [3], assim como outros resultados sobre resultante. Vamos agora aplicar os resultados acima a polinˆomios em C[x, y] = C[y][x], lembrando que C[y] ´e dom´ınio euclidiano, e logo dom´ınio fatorial. Teorema 5.5 (Teorema de B´ ezout) Sejam f (x, y), g(x, y) ∈ C[x, y] e sejam V (f ) e V (g) as curvas alg´ebricas associadas de graus n, m ≥ 1. Se f (x, y) e g(x, y) n˜ao possuem fator irredut´ıvel em comum, ent˜ ao #(V (f ) ∩ V (g)) ≤ nm. Demonstra¸ c˜ ao. Para a prova deste teorema vamos precisar da resultante (denotada por Rf,g (y)) de f (x, y) e g(x, y) considerados como polinˆomios em C[y][x], i.e. Rf,g (y) ´e o determinante da matriz dada em 5.1, onde ai = ai (y) e bi = bi (y). Como f (x, y) e g(x, y) n˜ao tˆem fator comum em C[y][x], segue de 5.3 que f (x, y) e g(x, y) n˜ao tˆem fator comum em C(y)[x] (em 5.3 tome D = C[y] e D = C(y), onde C(y) denota o corpo das fra¸c˜oes de C[y]). Portanto, pelo teorema 2.2, existem a, b ∈ C(y)[x] tais que 1 = af + bg. Multiplicando por um denominador comum d(y) ∈ C[y] para a e b, obtemos d(y) = a1 (x, y)f (x, y) + b1 (x, y)g(x, y) com a1 (x, y), b1 (x, y) ∈ C[x, y]. Se (x, y) ∈ C2 ´e tal que f (x, y) = g(x, y) = 0, ent˜ao d(y) = 0. Assim existe somente um n´ umero ﬁnito de ordenadas poss´ıveis para um ponto em C2 da interse¸c˜ao das curvas determinadas por f e por g, a saber as ra´ızes em C do polinˆomio d(y). Agora, para uma ordenada ﬁxa y0 ∈ C, existem no m´aximo n pontos em C2 da curva determinada por f (x, y) com esta ordenada y, a saber os pontos (x, y) ∈ C2 tais que x0 seja uma raiz de f (x, y0 ). Fica assim provado que #(V (f ) ∩ V (g)) < ∞. Como C ´e alg´ebricamente fechado, ent˜ao C ´e inﬁnito. Como o n´ umero de pontos de interse¸c˜ao ´e ﬁnito o n´ umero de retas passando por dois destes pontos tamb´em ´e ﬁnito. Tomando como reta y = 0 uma que n˜ao seja paralela a nenhuma destas retas, obtemos um sistema de coordenadas no qual pontos distintos da interse¸c˜ao tˆem ordenadas distintas.

Logo: #(V (f )∩V (g)) = #{y ∈ C | f (x, y) e g(x, y) tˆem uma raiz em comum em C} ≤ #{y ∈ C | f (x, y) e g(x, y) tˆem um fator em comum em C[x]}. Observe que por 5.2, se f (x, y) e g(x, y) tˆem um fator em comum em C[x], ent˜ao Rf,g (y) = 0. Assim, #{y ∈ C | f (x, y) e g(x, y) tˆem um fator em comum em C[x]} = #{y ∈ C | Rf,g (y) = 0}. Agora como Rf,g (y) ´e um polinˆomio de C[y], segue que #{y ∈ C | Rf,g (y) = 0} = grau(Rf,g (y)), e ﬁnalmente, por 5.4, tem-se que grau(Rf,g (y)) ≤ nm, pois grau ai (y) ≤ i e grau bj (y) ≤ j. Portanto #(V (f ) ∩ V (g)) ≤ nm. Observa¸c˜ ao 5.6 Na forma mais geral do Teorema de B´ezout, temos a hip´ otese de que as curvas V (f ) e V (g) n˜ ao podem ter componentes irredut´ıveis em comum. J´a nessa vers˜ao mais fraca, a hip´ otese era que f (x, y) e g(x, y) n˜ ao possuem fator irredut´ıvel em comum. Essas condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes, e ´e o que mostraremos a seguir. Proposi¸ c˜ ao 5.7 A condi¸c˜ao de que f (x, y) e g(x, y) n˜ ao tˆem fatores irredut´ıveis em comum ´e equivalente a condi¸c˜ao de que V (f ) e V (g) n˜ ao tˆem componentes irredut´ıveis em comum. Demonstra¸ c˜ ao. De fato, suponha que V (f ) e V (g) tenha a componente V (h) em comum. Assim, h ´e irredut´ıvel, pois caso contr´ario, h = k.l e ent˜ao V (h) = V (k) ∪ V (l), i.e. V (h) seria redut´ıvel. Agora como V (h) ⊂ V (f ) e V (h) ⊂ V (g), temos pelo Lema de Study que h | f e h | g, ou seja, h ´e fator irredut´ıvel comum. A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga quando V (f ) e V (g) possuem mais de uma componente em comum. Reciprocamente, suponha que f e g possuam fator irredut´ıvel em comum, a saber h. Assim, f = k.h e g = l.h, consequentemente, V (f ) = V (k) ∪ V (h) e V (g) = V (l) ∪ V (h), ou seja, V (f ) e V (g) possui componente irredut´ıvel em comum. An´alogo para quando f e g possuem mais de um fator irredut´ıvel em comum. A vers˜ao mais geral deste resultado ´e dada considerando-se ao inv´es do plano aﬁm C o plano projetivo P2 (C). Nesse “novo plano” d´a-se sentido aos pontos no inﬁnito, e ´e poss´ıvel atribuir multiplicidades de interse¸c˜ao de maneira que o n´ umero total de pontos comuns a`s duas curvas, contados com multiplicidade, seja igual ao produto dos graus dessas curvas, o que em essˆencia ´e o enunciado do Teorema de B´ezout. 2

Referˆ encias [1] Ara´ ujo, C., Introdu¸c˜ao a`s curvas alg´ebricas planas, Notas da Jornada de Inicia¸c˜ao Cient´ıﬁca, IMPA (2006) [2] Fischer, G., Plane algebraic curves, AMS (2001). ´ [3] Garcia, A. & Lequain, Y., Algebra um curso de introdu¸c˜ao, IMPA (1988) [4] Vainsencher, I., Introdu¸c˜ao a`s curvas alg´ebricas planas, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, IMPA (2005).

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Problemas e Soluções Número 09 - Outrubro de 2007 www.famat.ufu.br

Comitê Editorial da Seção Problemas e Soluções do Número 09 da FAMAT EM REVISTA: Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção) Márcio José Horta Dantas Marcos Antônio da Câmara

Problemas Propostos

33. Demonstre que a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.

34. Em um tetraedro regular tomam-se seções paralelas a duas de suas arestas que não se intersectam. Determine a seção de área máxima.

35. A função f ( x)

cos x , definida para x t 0 , é periódica? Justifique sua resposta.

36. De quantas maneiras 2n, sendo n um natural, pode ser expresso como a soma de quatro quadrados de números naturais? Justifique sua resposta.

Resoluções dos problemas da revista número 8 29. Em um momento inicial, duas velas tinham a mesma altura h, encontrando-se, uma da outra, a uma distância a. A distância entre cada uma das velas e a parede mais próxima é também igual a a. Com que velocidades movem-se as sombras das velas nas paredes, se uma vela queima durante o tempo t1 e a outra durante o tempo t2? Resolução:

Se t1 = t2, obviamente as duas sombras movem-se à mesma velocidade (que é a velocidade h h com que as velas diminuem, ou seja, ). Sem perda de generalidade, admitamos que t1 t1 t 2 < t2. Na figura acima, x e y representam os comprimentos das velas 1 e 2, respectivamente, em um tempo t, enquanto r e s são os comprimentos das suas respectivas sombras, no mesmo dx h dy h . instante. Assim, e dt t1 dt t2 xr yx Da figura acima, temos que , o que acarreta r 2 x y . Portanto, a a dr h h 2 é a velocidade com que se move a sombra da vela 1. dt t1 t 2 xr sx Ainda da figura acima, temos que , o que acarreta s 3 x 2r . Portanto, a 2a § h 2h ds h h h· é a velocidade com que se move a sombra 2. 3 2¨¨ 2 ¸¸ = dt t1 t1 t 2 ¹ t1 t 2 ©

30. Dado um pentágono convexo, mostre que é possível escolher três de suas diagonais de modo que com elas se possa construir um triângulo. Resolução: Se ABCDE é um pentágono convexo, como na figura abaixo, seja BE a sua diagonal de comprimento máximo.

Pela desigualdade triangular, temos que EP + PB > EB e PD + PC > CD. Daí, somando membro a membro as duas desigualdades acima, temos que (BP + PD) + (EP + PC) > BE + CD o que acarreta BD + CE > BE + CD > BE. Daí, temos que é possível construir-se um triângulo com os segmentos BE, BD e CE , diagonais do pentágono convexo ABCDE.

31. Seja W um conjunto de pontos do plano. Supondo que todo ponto de W é ponto médio de um segmento que tem suas extremidades em W, demonstre que W é infinito. Resolução: Suponha que W seja finito. Assim, existem dois pontos A e B em W de modo que a distância AB = m seja máxima dentre todas as distâncias entre pares de pontos de W. Por hipótese, B é ponto médio de algum segmento CD , sendo C e D pontos de W.

Na figura acima, A’ representa o simétrico de A com relação ao ponto B. Como os triângulos CBA e DBA’ são congruentes (caso LAL), temos que AC = A’D. Agora, pela desigualdade triangular (no triângulo AA’D), temos que AC + AD = A’D + AD > AA’ = m + m. Daí, pelo menos uma das parcelas AC ou AD tem que superar m. Isto contradiz a maximalidade de m.

32. Seja q um número natural maior do que 1. Se m e n são números inteiros positivos, demonstre que qm-1 é divisor de qn-1 se, e somente se, m é divisor de n. Resolução: Inicialmente, suponha que m seja divisor de n. Assim, existe um inteiro positivo k tal que n = km. Portanto,

q n 1 q k m 1 q m 1 q m 1 q m q m . q m 1 , ou seja, qm-1 é divisor de qn-1. Reciprocamente, admita agora que qm-1 seja divisor de qn-1. Pelo algoritmo da divisão, existem e são únicos dois inteiros k e r de modo que n km r , onde 0 d r m . Além disso, pela hipótese, 1 d k . Suponha, por absurdo, que 0 r . Como q n 1 q n 2 . q 1 q m 1 q m 2 . q 1 q n m q n 2 m . q n km q r 1 . q 1 k

segue que

qn 1 qm 1

q 1 q n1 q n2 . q 1 q 1 q m1 q m2 . q 1

q nm q n2 m . q nk m por conseguinte, 0 < hipótese.

k 1

k 2

q n 1 q n 2 . q 1 q m 1 q m 2 . q 1

q r 1 . q 1 não é um inteiro, uma vez que r < m e, q m 1 q m 2 . q 1

q r 1 . q 1 < 1. Temos, então, uma contradição com a q m 1 q m 2 . q 1

A seguir, apresentamos uma segunda resolução para o problema de número 32. Essa resolução é uma adaptação da que nos foi enviada pelo leitor Rafael Alves Figueiredo, discente do 6o período do Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia. Os editores da Revista agradecem ao Rafael por sua contribuição. 32. Seja q um número natural maior do que 1. Se m e n são números inteiros positivos, demonstre que q m 1 é divisor de q n 1 se, e somente se, m é divisor de n. Resolução: Pelo Algoritmo da Divisão, existem e são únicos dois inteiros q e r de modo que n=qm + r, sendo 0 d r m . Agora, por hipótese, q m 1 é divisor de q n 1 e, daí,

q n { 1 mod q m 1 . Como, obviamente, q mq { 1 mod q m 1 . Assim, temos

q m { 1 mod q m 1 ,

segue

que

q n mq { q n mq q mq { q n { 1 mod q m 1 . Conseqüentemente, q m 1 é divisor de q r 1. Porém, isso só pode ocorrer se r =0, isto é, se m for divisor de n. qr

Por hipótese, m é um divisor de n. Assim, existe um inteiro positivo k tal que n = km. Portanto, qn 1 qk m 1 divisor de qn-1.

q

m k

1

? qm 1| qn 1 m | n .

q

m

1 qm

k 1

qm

k 2

q m 1 , ou seja, qm-1 é

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! Eventos

Número 09 - Outubro de 2007 www.famat.ufu.br

Comitê Editorial da Seção Eventos do Número 09 da FAMAT EM REVISTA: Maria Luiza Maes (coordenadora da seção) Marcos Antônio da Câmara Márcio José Horta Dantas

EVENTOS

VII Semana da Matemática da Universidade Federal de Uberlândia - VII SEMAT/UFU Período: 27 a 30 de novembro de 2007 Local de realização: Universidade Federal de Uberlândia - UFU Campus Santa Mônica, Anfiteatro do Bloco 3Q - Uberlândia - MG Organização: Faculdade de Matemática da UFU - FAMAT Diretório Acadêmico da FAMAT/UFU - DAMAT Programa de Educação Tutorial da FAMAT/UFU - PETMAT

Programação Primeiro Dia 27/11/07 - terça-feira 07h30min - 08h30min Entrega de Material aos participantes 08h30min - 09h00min Abertura da VII SEMAT 09h00min - 09h30min Coffee-Break 09h30min - 10h30min Palestra: “Euler, sua obra e seu tempo” - Prof. Dr. Geraldo Severo de Souza Ávila – Membro da Academia Brasileira de Ciências 10h40min - 12h00min Mini-curso: “Aplicações da decomposição singular de matrizes no melhoramento genético de plantas” - Prof. Dr. João Batista Duarte - EA/UFG - Goiânia - GO 12h00min - 14h00min Almoço 14h00min - 15h00min Mesa Redonda: “FAMAT em ações extra-curriculares” - Coordenação: Profa. Dra. Sezimária de Fátima Pereira Saramago - FAMAT/UFU - Uberlândia - MG 15h00min - 16h20min Mini-curso: “Introdução à teoria dos jogos” - Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara e grupo PETMAT - FAMAT/UFU - Uberlândia - MG 16h20min – 16h50min Coffee-Break 16h50min - 18h10min Mini-curso: “Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma breve introdução” - Prof. Dr. Hemar Teixeira Godinho - IE/UnB - Brasília - DF

Segundo Dia 28/11/07 - quarta-feira 08h00min - 09h20min Mini-curso: “Episódios recentes da geometria euclidiana” - Prof. Ms. Sérgio Alves - IME/USP - São Paulo - SP 09h20min - 09h50min Coffee-Break 09h50min - 10h40min Sessão de Comunicações 10h40min - 12h00min Mini-curso: “Aplicações da decomposição singular de matrizes no melhoramento genético de plantas” - Prof. Dr. João Batista Duarte - EA/UFG - Goiânia - GO 12h00min - 14h00min Almoço 14h00min - 15h20min Mini-curso: “Triangulações regulares: aspectos teóricos e computacionais” - Prof. Dr. Luis Gustavo Nonato - ICMC/USP - São Carlos - SP 15h20min - 16h20min Palestra: “Introdução à modelagem de risco em finanças” - Prof. Dr. Francisco Louzada Neto - CCET/UFScar - São Carlos - SP 16h20min - 16h50min Coffee-Break 16h50min - 18h10min Mini-curso: “Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma breve introdução” - Prof. Dr. Hemar Teixeira Godinho - IE/UnB - Brasília - DF

Terceiro Dia 29/11/07 - quinta-feira 08h00min - 09h20min Mini-curso: “Episódios recentes da geometria euclidiana” - Prof. Ms. Sérgio Alves - IME/USP - São Paulo - SP 09h20min - 09h50min Coffee-Break 09h50min - 10h40min Sessão de Comunicações 10h40min - 12h00min Mini-curso: “Aplicações da decomposição singular de matrizes no melhoramento genético de plantas” - Prof. Dr. João Batista Duarte - EA/UFG - Goiânia - GO 12h00min - 14h00min Almoço 14h00min - 15h20min Mini-curso: “Triangulações regulares: aspectos teóricos e computacionais” - Prof. Dr. Luis Gustavo Nonato - ICMC/USP - São Carlos - SP 15h20min - 16h20min Palestra: “A gloriosa história da geometria” - Prof. Dr. Cláudio Gorodski - IME/USP - São Paulo - SP 16h20min - 16h50min Coffee-Break 16h50min - 18h10min Mini-curso: “Polinômios sobre corpos p-ádicos: uma breve introdução” - Prof. Dr. Hemar Teixeira Godinho - IE/UnB - Brasília – DF

Quarto Dia 30/11/07 - sexta-feira 08h00min - 09h20min Mini-curso: “Episódios recentes da geometria euclidiana” - Prof. Ms. Sérgio Alves - IME/USP - São Paulo - SP 09h20min - 09h50min Coffee-Break 09h50min - 11h20min Sessão de Comunicações 11h20min - 12h00min Mini-curso: “Introdução à teoria dos jogos” - Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara e grupo PETMAT - FAMAT/UFU - Uberlândia - MG 12h00min - 14h00min Almoço 14h00min - 15h20min Mini-curso: “Triangulações regulares: aspectos teóricos e computacionais” - Prof. Dr. Luis Gustavo Nonato - ICMC/USP - São Carlos - SP 15h20min - 16h20min Palestra: “Possibilidades do software CABRI 3D” - Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni - CCE/PUC - São Paulo - SP 16h20min - 16h50min Coffee-Break 16h50min - 18h00min Encerramento e Momento Musical

Comissão Organizadora Profa. Dra. Dulce Mary de Almeida - FAMAT - UFU (coordenadora) Prof. Dr. Cícero Fernandes de Carvalho - FAMAT - UFU Prof. Dr. Luís Antˆonio Benedetti - FAMAT - UFU Prof. Dr. Marcos Antônio da Câmara - FAMAT - UFU Profa. Dra. Maria Teresa Menezes Freitas - FAMAT - UFU Prof. Dr. Rogério de Melo Costa Pinto - FAMAT - UFU Prof. Dr. Walter dos Santos Motta Junior - FAMAT - UFU Mariana Fernandes dos Santos Villela - discente do Grupo PET/SESu da FAMAT - UFU Virgíınia Helena Ribeiro Miranda - discente do Diretório Acadêmico da FAMAT - UFU

Informações: http://www.famat.ufu.br/semat (site da VII SEMAT em construção)

V Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática – ESFEM Período: 5 e 6 de outubro de 2007 Informações: http://www.uss.br/web/page/Venc_matematica.asp

IV Congresso Internacional de Ensino da Matemática Período: 25, 26 e 27 de outubro de 2007 Informações: http://www.ulbra.br/ciem07/

Semana da Matemática e Física 2007 Período: 22 a 26 de outubro de 2007 Informações: http://www.unitau.br/eventos/semana-da-matematica-e-fisica-2007

VI Semana de Matemática da UESC Período: 1 a 5 de outubro de 2007 Informações: http://www.uesc.br/eventos/visemana/

Congresso da Sociedade Latino Americana de Biologia Matemática Congreso de la Sociedad Latinoamericana de Biología Matemática XIV CLAB - IX ELAEM Período: 13 a 16 de novembro de 2007 Informações: http://www.ime.unicamp.br/~biomat/clab2007.htm

4ª Semana Acadêmica – UFU na Contemporaneidade Informações: http://www.semanaacademica.ufu.br/

15º Simpósio Internacional de Iniciação Científica da Universidade de São Paulo Período: Humanas 21, 22 e 23/novembro - USP Leste Biológicas 22 e 23/novembro - Ribeirão Preto Engenharias e Exatas 26, 27 e 28/novembro - São Carlos Agropecuárias 28 e 29/novembro – Pirassununga Informações: http://www.usp.br/siicusp/

XI ENCONTRO NACIONAL DE EDITORES CIENTÍFICOS – XI ENEC Período: 02 a 06 de outubro de 2007 Informações: http://www.lncc.br/abec/XIEnec.php

V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática Período: 08, 09 e 10 de novembro de 2007 Informações: http://www.iceb.ufop.br/niepem/eventos/indexcnmem.html

CBEm3 – Terceiro Congresso Brasileiro de Etnomatemática Período: 26 a 29 de março de 2008 Informações: http://www.uff.br/cbem3/

XIV Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino Período: 27 a 30 de abril de 2008 Informações: http://www.pucrs.br/eventos/endipe/

Symposium on the Occasion of the 100th Anniversary of ICMI Período: 05 a 08 de março de 2008 Informações: http://www.unige.ch/math/EnsMath/Rome2008/

10º Simpósio de Educación Matemática Período: 12 a 15 de maio de 2008 Informações: http://www.edumat.org.ar/

ICMI Study and IASE Round Table Conference Período: 30 de junho a 04 de julho de 2008 Informações: http://www.ugr.es/~icmi/iase_study/

ICME 11 International Congress on Mathematical Education Período: 06 a 13 de julho de 2008 Informações: http://icme11.org/

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Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Reflexões Sobre o Curso de Matemática Número 09 - Outubro de 2007 www.famat.ufu.br

Comitê Editorial da Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática do Número 09 da FAMAT EM REVISTA: Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara Valdair Bonfim

A BELEZA DA MATEMÁTICA I Luís Antonio Benedetti

O presente texto não é propriamente uma reflexão sobre o curso de matemática, mas um ensaio sobre a matemática e seu conteúdo, pequena contribuição que será enriquecida no próximo número da revista da FAMAT. A matemática pode ser definida como uma ciência que tem por finalidade o estudo das propriedades dos seres abstratos, isto é, dos números, das figuras geométricas e das funções. Uma breve análise histórica sobre a origem e evolução da matemática mostra, de forma cabal, que desde a antiguidade o homem utiliza os seus princípios para facilitar a vida dos indivíduos e para organizar a sociedade. Assim, egípcios utilizaram a matemática para a construção das pirâmides, diques de irrigação e para o estudo da astronomia. Os gregos também utilizaram a matemática para fundamentar o pensamento filosófico e para criar novas realidades matemáticas. Pitágoras, um grande filósofo de sua época e que tem seu nome ligado a um dos mais significativos teoremas pode ser citado como exemplo. Qualquer que seja o período histórico analisado é possível constatar que, de uma maneira ou de outra, a matemática é parte integrante e essencial da cultura. Por óbvio, não foi construída de um momento para o outro, a sua edificação se deu lentamente, através da criatividade, da imaginação e da busca contínua pelo rigor. O seu método axiomático – conjunto de axiomas, definições, teoremas, proposições, organizados de forma perfeitamente racional e lógica, pode ser considerado a maior conquista do conhecimento e é base para todo desenvolvimento científico da humanidade, ele se constitui de uma infinidade de estruturas esteticamente belas, apreciadas apenas pelas mentes que são treinadas a percebê-las. Na esteira de sua evolução, a matemática tornou-se uma ciência estruturada e organizada, presente em áreas como a física, medicina, música, engenharia, arquitetura, pintura, etc. Para qualquer lado que se olhe do conhecimento científico e mesmo artístico é possível vislumbrar beleza matemática. Mas, a despeito de sua relevância, ela não está pronta ou acabada, uma vez que a todo momento surgem novas fronteiras para a consolidação desta ciência, sempre em contínua evolução. Eis que conceber uma sociedade sem a utilização da matemática e o mesmo que conceber uma sociedade sem a música e as artes em geral, por exemplo.

A possibilidade do surgimento de novas realidades matemáticas confere a esta ciência um caráter peculiar e nem sempre visível a todos, sobretudo para os não matemáticos: a beleza da matemática. Em verdade, a sua beleza encontra-se oculta e implícita, visível apenas para aqueles que conseguem chegar ao âmago de suas teorias e métodos. Existem vários exemplos que confirmam o quanto essa ciência vem revestida de beleza. Este é o caso, por exemplo, da Análise, Álgebra e Geometria, ramos da matemática que se complementam e se combinam de forma complexa e harmoniosa. Os exemplos não se esgotam ai. Um teorema possui uma beleza de tal maneira perceptível para um matemático que, em muitos casos, podem colocar em segundo plano a sua aplicação prática. Para o não matemático, a beleza de um teorema se encontra oculta, embora a sua importância e aplicabilidade sejam levadas em consideração. Há, na atualidade, um amplo arcabouço teórico sobre a matemática e as suas aplicações. Entretanto, estudos e pesquisas que avaliam e comprovam a beleza da matemática ainda são escassos. Considerando o fato que a matemática foi protagonista na história da cultura, torna-se necessário aprofundar mais neste assunto. Para tanto, recorrer aos escritos de Eudoxo, Descartes, Gauss, Hilbert, Poincaré, dentre outros pensadores que fizeram história em relação à matemática, pode ser o ponto de partida para mostrar como essa ciência é bela, sobretudo no seu modo de criação. Aspecto interessante em relação à discussão sobre a beleza da matemática é que alguns filósofos gregos da antiguidade já tinham essa percepção. Nesta linha de raciocínio, Platão abriu caminho para que a beleza da matemática pudesse ser reconhecida no pensamento filosófico, ao unir a verdade, o bem e a beleza. A partir deste momento a matemática passou a ser analisada sob um enfoque diferente, ou seja, a ciência e a arte (estética) passaram a trilhar um caminho semelhante. Evidentemente, no período em análise nem todos tinham essa visão da matemática. Aristipo, por diversas vezes, negou a relação existente entre a matemática e o belo e Aristóteles, ferrenho defensor do belo tratou de refutar as observações deste filósofo com frases sobre a beleza que se eternizaram no tempo. Mas o que vem a ser precisamente a beleza na matemática? Para responder tal questionamento é preciso mencionar que a matemática sempre foi compreendida como algo preciso, rigoroso, exato, coerente e útil. Essa concepção não está errada, caso contrário ela não seria o alicerce de muitas ciências. Mas se a matemática deve ser rigorosa, também deve se primar pela elegância, dado que nada impede que uma demonstração seja, ao mesmo

tempo, exata e bela. Em suma, a matemática vai além da exatidão, pois ela também combina leveza, elegância, naturalidade e a inspiração de novos valores. Até o advento da ciência contemporânea, a beleza da matemática vinha associada à racionalidade. Hoje, a sobriedade, a simplicidade na resolução de uma equação, ainda que essa seja complexa, são elementos que caracterizam a beleza desta ciência. Há quem defenda o ponto de vista que a beleza da matemática reside na simplicidade e não em sua complexidade propriamente dita. Por todos esses fatores, os matemáticos devem procurar passar para as gerações futuras não apenas os conceitos e princípios desta ciência, que teve um papel fundamental no desenvolvimento da tecnologia e em diversos setores do saber científico e artístico. Também devem chamar a atenção para a beleza da matemática, seus adornos e todos os demais elementos, que conferem a ela uma particularidade única em termos de beleza. Somente assim a beleza da matemática tornar-se-á explicita até mesmos para os não matemáticos.

FAMAT em Revista Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

& ' Em Sala de Aula Número 09 - Outubro de 2007 www.famat.ufu.br

Comitê Editorial da Seção Em Sala de Aula do Número 09 da FAMAT EM REVISTA: Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara

Índice de Trabalhos

Ornamentos: uma aplicação da modelagem matemática para o ensino Edinei Leandro dos Reis, Érika Cristina de Freitas e Rosana S. da M. Jafelice

295

Modelagem no Ensino Médio: Cubagem de Madeira Lóren Grace Kellen Maia Amorim, Mariana Martins Pereira e Rosana S. da M. Jafelice

311

Diagnóstico Médico Fuzzy de Doenças Infantis 329 Mariana Fernandes dos Santos Villela, Patrícia Borges dos Santos e Rosana S. da M. Jafelice Fluxo Sanguíneo: Uma Aplicação da Integral de Riemann 347 Mariana Fernandes dos Santos Villela, Patrícia Borges dos Santos e Rosana S. da M. Jafelice O Uso de Modelagem Matemática no Cálculo do Volume de uma Maçã 365 Alessandra Ribeiro da Silva, Carlos Henrique Tognon, Milena Almeida Leite Brandão e Rosana S. da M. Jafelice O uso de técnicas de otimização para determinar uma dieta alimentar saudável e econômica 385 Alessandra Ribeiro da Silva, Carlos Henrique Tognon, Milena Almeida Leite Brandão e Rosana S. da M. Jafelice Implicações da atividade de ensino na formação inicial de professores Lóren Grace Kellen Maia Amorim, Mariana Martins Pereira, Fabiana Fiorezi de Marco Matos

401

Matemática E Xadrez: possibilidades no ensino fundamental Rafael de Souza Duarte e Maria Teresa Menezes Freitas

415

Tecnologia de informação e comunicação no ensino de cálculo Patrícia Oliveira Costa e Arlindo José de Souza Júnior

431

Aplicação simultânea de dois métodos de classificação étnico-racial 441 Aurélia Aparecida de Araújo Rodrigues, Corina Ilda Silva Ferreira, Willian Araújo Moura e Gabriela Vieira Lopes O Estudo Matemático do Comportamento das Abelhas 447 Eduardo Henrique Siqueira Molinero, Lucas Dias Marques e Rosana S. da M. Jafelice

Ornamentos: uma aplicação da modelagem matemática para o ensino Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Edinei Leandro dos Reis Érika Cristina de Freitas [email protected] [email protected]

Rosana S. da M. Jafelice [email protected]

Introdução Desde a antiguidade vários povos com culturas das mais diversas, utilizavam figuras geométricas como elementos decorativos, nas construções arquitetônicas, nas manifestações artísticas e até mesmo nos seus utensílios domésticos [1]. Com o desenvolvimento das culturas verifica-se que a disposição destas figuras geométricas torna-se mais trabalhada e complexa. Podemos observar mais tarde que algumas civilizações desenvolveram um tipo diferente de ornamentos1, utilizando para isso repetições em um plano de uma mesma figura geométrica, de forma que estas repetições preenchessem todo o plano. Se tentarmos cobrir totalmente um plano com figuras que não se sobrepõem, o resultado é um mosaico. Existem somente três formas de se obter mosaico com polígonos regulares de um mesmo tipo (triângulos eqüiláteros, quadriláteros e hexágonos regulares), mas se admitirmos outras condições (a combinação de polígonos, por exemplo), surge novas possibilidades. Ao longo dos tempos, diferentes culturas têm estudado os mosaicos por motivos do tipo intelectual (na Grécia), decorativos (em Roma) e religioso-filosóficos (no Islão) [2]. Mosaico artístico (Figura 1) é um embutido de pequenas pedras ou de outras peças (pequenos pedaços de vidro, mármore ou cerâmica) formando determinado desenho [3]. Neste trabalho vamos dar ênfase no estudo dos mosaicos com padrões geométricos.

Figura 1 – Calçadão de Copacabana [4].

Figura 2 – Pão de Açúcar (Rio Mosaico 2006, 2 ed.) [5].

Uma referência mundial de utilização dos mosaicos é o palácio de Alhambra. A Alhambra (Castelo Vermelho) (em Árabe, ΍ϝΡϡέ΍˯ é um antigo palácio e complexo de 1

O ornamento é um elemento acessório, não fundamental, em uma composição artística, em especial na composição arquitetônica e no design.

fortificações dos monarcas islâmicos de Granada, no sul de Espanha, ocupando o alto de uma colina arborizada, a sudeste da cidade. O nome Alhambra deriva provavelmente da cor dos tijolos do muro, secos ao sol e feitos de argila e gravilha de que são feitas as muralhas exteriores. Segundo outros autores, o adjetivo relembra o clarão avermelhado das tochas que iluminaram os trabalhos de construção que se prolongavam ininterruptamente, noite adentro, durante anos; outros associam o nome ao fundador, Mahomed Ibn-al-Ahmar; outros, ainda derivam-no da palavra árabe Dar al Amra, Casa do Senhor. O palácio foi construído principalmente entre 1248 e 1354, nos reinados de Ibn-al-Ahmar e seus sucessores; os nomes dos principais artistas e arquitetos são desconhecidos ou de conhecimento duvidoso [6].

Figura 3 – Vista externa do Palácio de Alhambra [7].

Metodologia Para realizar esta pesquisa sobre “Ornamentos” buscamos informações sobre mosaicos, rosetas e faixas em diversos sites, artigos e em vídeos educacionais. Utilizamos também um vídeo educacional do MEC para elaborar uma atividade pedagógica para utilização em sala de aula.

Objetivos Mostrar os grupos de simetria no plano (faixa, roseta e mosaico) e algumas aplicações, analisar estruturas geométricas dos grupos de simetria e desenvolver uma atividade pedagógica para utilização na sala de aula.

Referencial Teórico Para analisarmos os ornamentos, necessitamos de algumas definições de movimentos que podem ser realizados no plano: x Translações: movimento de certa distância, em uma direção e sentido determinados. A direção é determinada por um vetor [8]. Ver Figura 4.

Figura 4 – Translação de um objeto [8].

x

Rotações: giros em volta de um determinado ponto e de certa amplitude angular. A rotação de 180º é conhecido também como simetria central [8]. Ver Figura 5.

Figura 5 – Rotação de um objeto [8].

x

Reflexões: caracteriza-se por ter um eixo que atua como se fosse um espelho, onde a parte considerada é refletida, mantendo-se a mesma distância em relação ao eixo [8]. Ver Figura 6.

Figura 6 – Reflexão de um objeto [8].

x

Translações refletidas ou glissoreflexões: resulta da composição de uma reflexão e uma translação na direção da reflexão [8]. Ver Figura 7.

Figura 7 – Translação refletida de um objeto [8].

Quando o mosaico é gerado por rotações e translações refletidas, podemos dizer que ele foi gerado por uma isometria inversa. Para obtermos um motivo ou ornamento, aplicamos uma ou mais propriedades de isometria em uma figura ou elemento gerador (menor parte de uma forma). Na Matemática consideramos três tipos de ornamentos: faixa, roseta e mosaico [9]. A faixa é um ornamento ilimitado, composto entre duas retas paralelas. A simetria fundamental para sua composição é a translação. A combinação com as demais simetrias permite criar sete tipos de faixas [9]. Segue a listagem dos tipos de faixas: G1: translações; G2: rotações de 180°; G3: reflexões horizontais; G4: reflexões verticais; G5: rotações de 180° e reflexões horizontais; G6: rotações de 180° e translações refletidas horizontais; e G7: translações refletidas horizontais.

Figura 8 – Os sete tipos de faixas [10].

No Anexo I apresentamos o “Fluxograma de Washburn e Crowe para a classificação das faixas monocromáticos” [10]. A roseta é um ornamento limitado, composto em um círculo. A simetria fundamental para sua composição é a rotação. Entretanto, é possível fazer um outro tipo de roseta combinando a rotação e a reflexão [9]. A seguir temos um exemplo de roseta:

Figura 9 – Exemplo de roseta [11].

Em relação aos grupos de simetria para gerar mosaico, temos 17 possibilidades. Estes 17 grupos de simetria no plano podem ser classificados a partir do número de rotações que são realizadas para gerar o mosaico (Ordem 1, 2, 3, 4 ou 6). A seguir separamos os grupos de simetria em relação à sua ordem e mostramos como são gerados os 17 tipos de mosaicos no plano.

x x x x x

Ordem 1: não são gerados por rotações (p1, cm, pm, pg) Ordem 2: rotações de 180º (p2, cmm, pmm, pgg, pmg). Ordem 3: rotações de 120º (p3m1, p31m, p3). Ordem 4: rotações de 90º (p4, p4m, p4g) Ordem 6: rotações de 60º (p6, p6m) [12].

A Notação Cristalográfica para os grupos de simetria utilizam símbolos para fazer a distinção entre grupos de mosaicos. As letras p ou c significam a célula primitiva ou central. O número depois de p é a maior ordem de rotação, por exemplo, se for 6, então é uma rotação que representa 1/6 de uma volta. A letra m é a reflexão perpendicular (espelho) do eixo x. A letra g é uma glissoreflexão. O eixo x é na verdade a borda vertical esquerda de uma célula. O número 1 não representa simetria perpendicular em relação ao eixo x, mas em relação a determinado ângulo [13]. No Anexo II apresentamos o “Fluxograma para classificação dos padrões planos monocromáticos” [14]. P1: é o grupo mais simples. Ele é gerado apenas a partir de translações, não tendo isometrias inversas. A base geradora desse mosaico é um paralelogramo. Ver Figuras 10 e 11.

Figura 10 – Base geradora do mosaico tipo p1 [8].

Figura 11 – Exemplo de mosaico do tipo p1 [15].

Cm: é gerado a partir de isometrias inversas. É um dos dois grupos com base geradora sendo um losango. Ver Figuras 12 e 13.

Figura 12 - Base geradora do mosaico tipo cm [8].

Figura 13 – Exemplo de mosaico do tipo cm [15].

Pm: é gerado por translações e reflexões. Sua base geradora é o retângulo. Ver Figuras 14 e 15.

Figura 14 – Base geradora do mosaico tipo pm [8].

Figura 15 – Exemplo de mosaico do tipo pm [15].

Pg: é gerado a partir de translações e translações refletidas. Não possui reflexão e sua base geradora é um retângulo. Ver Figuras 16 e 17.

Figura 16 – Base geradora do mosaico tipo pg [8].

Figura 17 – Exemplo de mosaico do tipo pg [15].

P2: é gerado a partir de translações e rotações de 180º. A base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 18 e 19.

Figura 18 – Base geradora do mosaico tipo p2 [8].

Figura 19 – Exemplo de mosaico do tipo p2 [15].

Cmm: é gerado a partir de isometrias inversas e rotações de 180º. É o outro grupo com base geradora sendo um losango. Ver Figuras 20 e 21.

Figura 20 – Base geradora do mosaico tipo cmm [8].

Figura 21 – Exemplo de mosaico do tipo cmm [15].

Pmm: é gerado a partir de reflexões e rotações de 180º. Sua base geradora é um retângulo Ver Figuras 22 e 23.

Figura 22 – Base geradora do mosaico tipo pmm [8].

Figura 23 – Exemplo de mosaico do tipo pmm [15].

Pmg: é gerado a partir de isometrias inversas e rotações de 180º. Sua base geradora é um retângulo. Ver Figuras 24 e 25.

Figura 24 – Base geradora do mosaico tipo pmg [8].

Figura 25 – Exemplo de mosaico do tipo pmg [15].

Pgg: é gerado a partir de translações refletidas e rotações de 180º. Sua base é um retângulo. Ver Figuras 26 e 27.

Figura 26 – Base geradora do mosaico tipo pgg [8].

Figura 27 – Exemplo de mosaico do tipo pgg [15].

P3: é o grupo gerado com rotações de 120º. A base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 28 e 29.

Figura 28 – Base geradora do mosaico tipo p3 [8].

Figura 29 – Exemplo de mosaico do tipo p3 [15].

P3m1: é gerado por isometrias inversas e rotações de 120º. Possui simetrias em relação aos eixos que formam 60º passando pelos centros de rotação. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 30 e 31.

Figura 30 – Base geradora do mosaico tipo p3m1 [8].

Figura 31 – Exemplo de mosaico do tipo p3m1 [15].

P31m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 120º. Possui simetrias em relação aos eixos que formam 60º, uns passam pelos centros de rotação e outros não. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 32 e 33.

Figura 32 – Base geradora do mosaico tipo p31m [8].

Figura 33 – Exemplo de mosaico do tipo p31m [15].

P4: é gerado por translações e rotações de 90º. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras 34 e 35.

Figura 34 – Base geradora do mosaico tipo p4 [8].

Figura 35 – Exemplo de mosaico do tipo p4 [15].

P4m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 90º. Os eixos de simetria formam ângulos de 45º entre si e cortam o centro da rotação de 90º. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras 36 e 37.

Figura 36 – Base geradora do mosaico tipo p4m [8].

Figura 37 – Exemplo de mosaico do tipo p4m [15].

P4g: é gerado por isometrias inversas rotações de 90º. Seus eixos de simetria são perpendiculares e não passam pelos centros de rotação. A base geradora é um quadrado. Ver Figuras 38 e 39.

Figura 38 – Base geradora do mosaico tipo p4g [8].

Figura 39 – Exemplo de mosaico do tipo p4g [15].

P6: é gerado por translações e rotações de 60º. Sua base geradora é um paralelogramo. Ver Figuras 40 e 41.

Figura 40 – Base geradora do mosaico tipo p6 [8].

Figura 41 – Exemplo de mosaico do tipo p6 [15].

P6m: é gerado por isometrias inversas e rotações de 60º. Os centros das rotações de 60º são cortados por 6 eixos de simetria, formando ângulos de 30º. Ver Figuras 42 e 43.

Figura 42 – Base geradora do mosaico tipo p6m [8].

Figura 43 – Exemplo de mosaico do tipo p6m [15].

Curiosidades Escher, arquiteto de outros mundos Mauritus Cornelis Escher, nasceu em Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceu em 1970 e dedicou toda a sua vida às artes gráficas. Na sua juventude não foi um aluno brilhante, nem sequer manifestava grande interesse pelos estudos, mas os seus pais conseguiram convencê-lo a ingressar na Escola de Belas Artes de Haarlem para estudar arquitetura. Foi lá que conheceu o seu mestre, um professor de Artes Gráficas judeu de origem portuguesa, chamado Jesserum de Mesquita. Com o professor Mesquita, Escher aprendeu muito, conheceu as técnicas de desenho e deixou-se fascinar pela arte da gravura. Este fascínio foi tão forte que levou Mauritus a abandonar a Arquitetura e a seguir as Artes Gráficas. Quando terminou os seus estudos, Escher decide viajar, conhecer o mundo! Passou por Espanha, Itália e fixou-se em Roma, onde se dedicou ao trabalho Gráfico. Mais tarde, por razões políticas muda-se para a Suíça, posteriormente para a Bélgica e em 1941 regressa ao seu país natal. Estas passagens por diferentes países, por diferentes culturas, inspiraram a mente de Escher, nomeadamente a passagem por Alhambra, em Granada, onde conheceu os azulejos mouros. Este contato com a arte árabe está na base do interesse e da paixão de Escher pela divisão regular do plano em figuras geométricas que se transfiguram, se repetem e refletem, pelas pavimentações. Porém, no preenchimento de superfícies, Escher substituía as figuras abstrato-geométricas, usadas pelos árabes, por figuras concretas, perceptíveis e existentes na

natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc. Podemos observar isso nas Figuras 44 e 45.

Figura 44 – Ornamentos de Escher [16].

Figura 45 – Ornamentos de Escher [16].

Escher, sem conhecimento matemático prévio, mas através do estudo sistemático e da experimentação, descobre todos os diferentes grupos de combinações isométricas que deixam um determinado ornamento invariante. A reflexão é brilhantemente utilizada na xilografia "Day and Night", uma das gravuras mais emblemáticas da carreira de Escher (Figura 46).

Figura 46 - “Day and Night” - Xilogravura de 1938 [16].

Se nos fixarmos no losango branco central a baixo, automaticamente somos levados até ao céu, e o que de início era uma simples figura geométrica rapidamente se transforma num pássaro. Os pássaros brancos voam para a direita em direção à noite que recobre uma pequena aldeia holandesa à beira de um rio. Os pássaros negros, por sua vez, sobrevoam uma imagem iluminada pelo sol, que é exatamente a imagem refletida da paisagem noturna. Aos poucos, Escher, vai sendo cada vez mais ousado e além da “dança” com a geometria, vai também ao encontro do infinito. A divisão regular da superfície aparece misturada a formas tridimensionais, geralmente num ciclo sem fim, onde uma fase se dilui na outra. A litografia "Reptiles" é um bom exemplo disso (Figura 47).

Figura 47 - "Reptiles" - Litografia de 1943 [16].

Entre toda a espécie de objetos está o seu próprio caderno de esboços colocado sobre uma mesa, no qual se vê um desenho: um mosaico de figuras em forma de répteis num contraste de três cores. Subitamente um dos répteis ali desenhados, sai do papel e dá vida a um ciclo tridimensional retornando depois à bidimensionalidade do caderno de esboços. Fascinado pelos paradoxos visuais, Escher chegou à criação de mundos impossíveis. Nesses trabalhos, o artista joga com as leis da perspectiva para produzir surpreendentes efeitos de ilusão de óptica. Nos seus desenhos somos levados a novos universos, a lugares verdadeiramente misteriosos! Para Escher a realidade pouco interessa, antes pelo contrário, prefere criar mundos impossíveis que apenas pareçam reais. Pó isso se tornou uma espécie de mágico das artes gráficas. Escher suscitou a atenção por parte de muitos matemáticos, cientistas e cristalógrafos. O mais curioso é que Escher não tinha uma formação específica nestas áreas, mas elas aparecem nas suas criações! Cada vez mais assediado pelos matemáticos, Escher acabou muitas vezes por se inspirar em suas novas descobertas. Por exemplo, "Waterfall" foi baseada na figura do tribar, uma construção geometricamente impossível, criada pelo matemático Penrose.

O rapaz que está sentado no banco tem em suas mãos um objeto com a forma de cubo que, visto de cima, representa uma realidade diferente da de quando visto por baixo. Ele observa pensativamente o objeto impossível e não parece aperceber-se de que o belvedere (Figura 48), atrás das suas costas, é construído desta forma. No piso inferior, no interior da casa, está encostada uma escada pela qual sobem duas pessoas. Mas chegadas a um piso acima, estão de novo ao ar livre e têm de voltar a entrar no edifício [16].

Figura 48 - "Belvedere" - Litografia de 1958 [16].

São todos estes “condimentos” matemáticos aliados à mente artística de Escher que resultam num trabalho tão original e extraordinário. Escher foi reconhecido pelo mundo, pelos seus desenhos de ilusões espaciais, de construções impossíveis, onde a geometria se transforma em arte ou a arte em geometria [16]. "Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas". M. C. Escher [16].

Aplicações em sala de aula Se observarmos os caminhos que nos levam aos mais variados lugares, perceberemos a presença de ornamentos em diversos objetos. Portões, muros, calçadas, casas entre outros. A partir dessa observação, podemos introduzir o tema “Ornamentos” nas aulas de Geometria para alunos de diferentes níveis de instrução. Comecemos pelo nível Fundamental de Ensino. Para alunos do Ensino Fundamental, podemos utilizar os mosaicos para ensinar vários conceitos sobre Geometria. Podemos começar mostrando os conceitos mais simples, que podem formar malhas. As figuras geométricas (triângulos, quadriláteros, hexágonos) e suas propriedades (arestas, vértices, pontos médios, diagonais, alturas, medianas, mediatrizes, ângulos, entre outras), as isometrias diretas e inversas (translação, reflexão, rotação e glissoreflexão) são conceitos geométricos importantes que podem ser trabalhados com alunos nesse nível de ensino. Para auxiliar o professor, sugerimos o vídeo educacional produzido pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC), chamado “Nas malhas da geometria” [17], da série “Mão na Forma”. Nesse vídeo, podemos ver um exemplo da utilização das malhas na sala de aula em uma turma do Ensino Fundamental. Além disso, o professor pode aprofundar mais seus conhecimentos buscando os outros vídeos da série no site http://www.dominiopublico.gov.br, obtendo vídeos, textos, sons e figuras que vão auxiliar em sua prática docente. O professor de Matemática pode propor também um trabalho multidisciplinar na sua escola, com os professores de Artes e História, fazendo um projeto mais aprofundado sobre o estudo de Ornamentos. Cada área pode utilizar os mosaicos como ponto de partida para exploração de importantes conceitos desenvolvidos ao longo da história. No Ensino Médio, sugerimos ao professor o estudo mais aprofundado dos conceitos geométricos dos ornamentos. Utilizando este trabalho e as referências aqui citadas, o professor pode elaborar uma aula onde seus alunos irão explorar as formações de faixas, rosetas e mosaicos. Uma tarefa interessante é buscar construir juntamente com os alunos os fluxogramas de notação dos padrões de faixas e mosaicos apresentados como anexos neste trabalho. Para alunos a nível de Ensino Superior, especificamente alunos do curso de Matemática, é interessante utilizar os Ornamentos com padrões para introduzir conceitos das estruturas algébricas das isometrias realizadas para gerar cada “motivo”. O professor pode mostrar a relação da simetria com a teoria dos grupos (simetrias do retângulo, do quadrado, do triângulo eqüilátero, entre outras).

Conclusão Através dos conceitos apresentados neste trabalho podemos perceber o quanto a Geometria está presente em nossas vidas. Precisamos resgatar o ensino de Geometria nas

escolas, melhorando o nível das disciplinas de Geometria dos cursos de Licenciatura em Matemática. Através da utilização de mosaicos podemos trabalhar diversos conceitos de Geometria em todos os níveis de ensino. Ressaltamos a importância do desenvolvimento de material pedagógico que auxilie o professor em suas aulas, como os vídeos e outros materiais que discorremos no texto deste trabalho. Além disso é necessário que existam cursos de aperfeiçoamento de professores para que estes se mantenham atualizados em relação ao que ocorre com a Educação e mais especificamente com a Matemática e a Geometria. Esperamos que este trabalho sirva como base para que professores possam planejar atividades interessantes para suas aulas de Geometria, além de servir como material pedagógico para aprofundamento no tema “Ornamentos”.

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Anexo I Fluxograma de Washburn e Crowe para a classificação das faixas monocromáticos

Anexo II Fluxograma para classificação dos padrões planos monocromáticos (Washburn e Crowe)

MODELAGEM NO ENSINO MÉDIO: CUBAGEM DE MADEIRA

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática

Lóren Grace Kellen Maia Amorim Mariana Martins Pereira [email protected]

[email protected]

Rosana Sueli da Motta Jafelice [email protected]

INTRODUÇÃO Este trabalho mostra a utilização da modelagem no ensino médio (Modelação no ensino), procurando mostrar uma aplicação da matemática no cotidiano. O texto descreve algumas etapas da modelagem e um método desenvolvido para mostrar a validade do método de cubagem utilizado pelo madeireiro e apresenta também uma atividade que tem por objetivo auxiliar o professor no processo de ensino aprendizagem de como ajudar o aluno na construção do conhecimento em relação ao volume do cone. A intenção, quando procuramos compreender o método de cubagem da madeira utilizado pelo madeireiro exibido em (BIEMBENGUT, 2003) é proporcionar ao aluno um ambiente diferente para que o mesmo desenvolva sua aprendizagem de forma compreensiva e significativa. O desenvolvimento deste projeto que fora intitulado “Modelagem no ensino médio: Cubagem de Madeira” propiciou um espaço de aprendizagem em Geometria Espacial. Nesse trabalho trataremos do relato da experiência e dificuldades de elaboração do referido projeto, bem como, da reflexão sobre os saberes movimentados e os desdobramentos decorrente destes. Para a realização do projeto o desafio era o de elaborar uma proposta de uma atividade para alunos do ensino médio, envolvendo o ensino de Matemática através da modelagem. Muito tempo foi necessário para se chegar à decisão de que havia no grupo o desejo e a necessidade de desenvolver algo que pudesse ser trabalhado com o aluno, deste nível de ensino, de maneira fácil, prática e prazerosa. A utilização da informática se despontou como propício para explorar os conceitos de “Geometria Plana e Espacial”

e, além disso, despertar o interesse dos alunos. Acreditava-se que este conteúdo abriria um leque enorme de possibilidades para a realização de um trabalho interessante e estimulador. Mas que material seria esse? Após a dedicação de várias horas discutindo e realizando leituras e pesquisas, em diferentes textos e sites, optou-se pela construção de uma atividade de ensino no ambiente computacional na tentativa de tornar real à proposta imaginada. Pensávamos que compreender a modelagem do método de cubagem utilizado pelo madeireiro e a construção da atividade de ensino no ambiente computacional seria fácil, porém quando começamos a desenvolver o trabalho, tivemos algumas surpresas, pois não foi tão trivial perceber a matemática utilizada na abordagem de (BIEMBENGUT, 2003) e nem na construção da atividade. Durante a elaboração da mesma descobrimos o quanto é importante o professor desenvolver uma atividade antes de propô-la a seus alunos, pois assim poderá identificar e entender que conteúdo Matemático é possível ser explorado, e quando os alunos indagá-lo o professor não será pego de surpresa. Outro ponto relevante na produção da apresentação se relaciona a descoberta, durante a preparação, sobre os vários conteúdos de Matemática possíveis de serem explorados além daqueles pensados inicialmente. A idéia inicial proposta evidenciava apenas o volume do cone, do cilindro e do prisma. Entretanto, a experiência nos levou a descobrir que outros conteúdos estavam relacionados e poderiam ser também explorados, tais como: perímetro, área, semelhança de triângulo.

Modelos Matemáticos e Situações Problemas Envolvendo Modelagem Matemática

Para (BASSANEZI, 2004), a Modelagem Matemática de uma situação problema real deve seguir uma seqüência de etapas visualizadas na Figura 1.

Figura 1 (BASSANEZI, 2000, p.27)

Na Figura 1 as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo dinâmico, indicado pelas setas pontilhadas.

1. Experimentação: É uma atividade essencialmente laboratorial onde se processa a obtenção de dados;

2. Abstração: É o procedimento que deve levar à formulação dos Modelos Matemáticos;

3. Resolução: O modelo matemático é obtido quando se substitui a linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente – é como num dicionário, a linguagem matemática admite “sinônimos” que traduzem os diferentes graus de sofisticação da linguagem natural;

4. Validação: É o processo de aceitação ou não do modelo proposto. Nesta etapa, os modelos, juntamente com as hipóteses que lhes são atribuídas, devem ser testados em confronto com os dados empíricos, comparando suas soluções e previsões com os valores obtidos no sistema real. O grau de aproximação desejado destas previsões será o fator preponderante para validação;

5. Modificação: Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a rejeição ou aceitação dos modelos. Quando os modelos são obtidos considerando simplificações e idealizações da realidade, suas soluções geralmente não conduzem às previsões corretas e definitivas, pois o aprofundamento da teoria implica na reformulação dos modelos. Nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, poderse-ia dizer que um bom modelo é aquele que propicia a formulação de novos modelos, sendo esta reformulação dos modelos uma das partes fundamentais do processo de modelagem.

Genericamente, (BIEMBENGUT; HEIN, 2005), apresentam o modelo de Modelagem Matemática, Figura 2, no qual matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é o meio de fazê-los interagir.

Figura 2 (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 13)

Essa interação, que permite representar um fenômeno através da linguagem matemática (modelo matemático), envolve uma série de procedimentos, que podem ser agrupados em três etapas, subdivididas em seis subetapas, a saber:

a) Interação x

Reconhecimento da situação-problema;

x

Familiarização com o assunto a ser modelado

referencial teórico.

b) Matematização x

Formulação do problema

x

Resolução do problema em termos do modelo;

hipóteses;

c) Modelo matemático x

Interpretação da solução;

x

Validação do modelo

avaliação.

Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser retomado na segunda etapa – Matematização – mudando-se ou ajustando hipóteses, variáveis, etc. Veja a Figura 3:

Figura 3 (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 15)

É importante ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registre todas as fases do desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma adequada (BIEMBENGUT,1999).

COMPREENDENDO O PROCESSO DE CUBAGEM DE MADEIRA

O nosso intuito ao realizar este trabalho foi o de utilizar a modelagem como meio de auxiliar no processo de ensino-aprendizagem. Também consideramos a oportunidade de discutir por meio deste projeto a possibilidade real do professor deixar um pouco de lado o quadro negro e as fórmulas, atuando como mediador para que o aluno construa o seu conhecimento a partir das aplicações e manuseio do material. Abaixo descrevemos a modelagem do método de cubagem da madeira de forma a explanar toda matemática utilizada, os objetivos do objeto de aprendizagem proposto e os procedimentos em cada etapa do trabalho. Segue abaixo o método de cubagem utilizado pelo madeireiro segundo (BIEMBENGUT, 2003). Segundo o madeireiro, o procedimento para calcular a metragem cúbica de madeira ou tábua que obterá do tronco de uma árvore após o corte é o seguinte: a) primeiro, estima o ponto central do tronco da árvore;

b) com um cordel (barbante), a partir desse ponto, encontra o perímetro do tronco (circunferência);

c) a seguir, dobra o cordel (relativo ao perímetro encontrado) em quatro partes iguais 2ʌ r = 4l. 2ʌ r = 4l l = ʌ r/2

d) num ato contínuo, eleva ao quadrado a medida desse quarto da circunferência;

e) e, finalmente, multiplica o valor desse quarto cordel ao quadrado, pela medida da altura da árvore obtendo, então, o volume ou o número de m³ da madeira.

Qual a validade do método do madeireiro? Nesse processo, o madeireiro "aproxima" primeiro o tronco (de cone) a um cilindro. Essa aproximação se dará como perímetro, a média entre os perímetros das bases menor e maior do tronco.

Posteriormente, efetua o cálculo do volume de um prisma de base quadrada. Com isso, a diferença entre os volumes é significativa. Vejamos por quê: ¾ ao dividir o cordel em quatro partes e elevá-lo ao quadrado, o madeireiro calcula a área de um quadrado, ou seja, “transforma” o círculo em um quadrado. Embora os perímetros sejam iguais, as áreas são diferentes.

¾ ¾ ao multiplicar a área (Aq) pela altura (h), determina o volume de um prisma e não de um cilindro. A razão é de

4 . S

Nesse caso, o volume obtido pelo método do madeireiro é menor do que o volume do tronco. Isto porque o volume do cilindro é igual a ʌ/4 do volume do prisma. Outro fato interessante é que o corte para a obtenção de tábuas, nessa madeireira, era feita de forma hexagonal. Isto é, cortava-se uma tábua e, em seguida, girava-se o tronco em um ângulo (aproximadamente) de 60° , seguindo o processo até não ser mais possível retirar tábuas.

Por esse processo, o volume de um prisma hexagonal é

§3 3· ¨¨ ¸¸ u L ² u h 2 © ¹ Se compararmos os volumes, veremos que:

Volume do cilindro > volume do prisma hexagonal > volume do prisma quadrangular.

Numa análise superficial, observamos que o madeireiro "paga" pelo tronco, como se fosse um prisma de base quadrangular, corta-o como um prisma de base hexagonal e "ganha" efetuando seus cálculos a partir do cilindro, pois o tronco é transformado em madeira e lenha.

Nesse momento poderá ser abordado os seguintes volumes:

Volume do prisma: O volume de um prisma é dado por V(prisma) = A(base).h

Volume do cilindro: Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = A(base). h Se a base é um círculo de raio r, então: V = S r² h

Volume do cone: O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então: V = (1/3) Sr³

Volume do tronco de um cone: O volume de um tronco de cone reto é igual à diferença entre os volumes do cone (maior) e do cone (menor), isto é:

Vt

S R ² u H r ² u h 3

VC Vc Vt

Matematizando com dados numéricos Vamos tomar a medida de uma árvore de eucalipto e passar ao cálculo do volume, supondo que o tronco de eucalipto seja "aproximadamente" um tronco de um cone reto. Fazendo: raio maior ( R ) = 0,30 m; raio menor ( r ) = 0,25 m; altura ( h ) = 4,8 m

1)

O volume de um tronco de cone reto é igual à diferença entre os volumes

do cone (maior) de altura (4,8 m + x) e do cone (menor) de altura x, isto é:

Vt

VC Vc Vt

S R ² u H r ² u h 3

Substituindo os valores dos raios, temos:

Vt

S 0,30 ²>4,8 x @ S 0,25 ² x 3

S 0,0275 x 0,432 3

Uma vez que os triângulos ABC e ADE são semelhantes podemos obter o valor de x, por:

R r

h x 0,3 o x 0,25

4,8 x o x 24 x

Portanto, o volume do tronco (V): V# 0,364S # 1,143m³

2) Tomando a tora como cilindro, o volume (V2)

V Sr ² h V2 S 0,275 ²4,8 V2 # S 0,363 m ³ # 1,140m ³ 3) Obtendo o volume de um prisma hexagonal, por ser este o processo de corte do tronco. Um hexágono regular de (lado L ) é composto por seis triângulos eqüiláteros.

Calculando a área de um triângulo eqüilátero.

Como a altura do triângulo eqüilátero é h =

L 3 , 2

Seja At a área do triângulo eqüilátero e AH área do hexágono

L 3 L² 3 2 2 4 L² 3 3 3 6u L² 4 2

L At AH

Assim, o volume do prisma hexagonal (V3) será:

V3 V3

3 3 L²h 2 3 3 0,275 ²4,8 # 0,94m³ 2

Pelo método do madeireiro, temos: 2

§ circunferência · ¨ ¸ uh 4 © ¹

V4

Considerando que o raio na metade do tronco seja a média entre os raios inferior e superior, temos que:

circunferência 2S

R r 2

§ 0,30 0,25 · 2S ¨ ¸ 0,55Sm 2 © ¹

2

V4

ª 0,55S º «¬ 4 »¼ u 4,8

0,09075S ² m³ # 0,896m³

Comparando os volumes, observamos: V1 1,143

>

V2

>

V3

>

V4

> 1,140 > 0,94 > 0,896 m³

Numa análise superficial, poderíamos dizer que: a) o madeireiro compra o tronco de árvore por 0,896m³;

b) tem um aproveitamento em madeira de 0,943m³ e, c) ao aproveitar a casca, obtém também mais Vcasca = Vc - VH = 1,140 – 0,943 = 0,197m³ Comparando (b) e (a)

0,943 0,896 0,896

0,047 0,896

0,0525 5,25%

0,244 0,896

0,2723 27,23%

Comparando (c) e (a)

1,140 0,896 0,896

Ou seja, aparentemente há uma diferença não "contabilizada" de 5,25% de madeira ou de 21,9% ao se considerar, também, a casca. Esse cálculo leva-nos a pensar, num primeiro momento, que o método do madeireiro não vale.

Analisemos como é feito o corte das tábuas.

A cada tábua cortada, a lâmina da serra transforma cerca de 1 cm de espessura da madeira em pó. Supondo que a espessura de cada tábua seja 2,5 cm. Em volume de pó, corresponde aproximadamente a 48 prismas de 1 cm de espessura; 4,8 m de comprimento e largura variando, mais ou menos, entre 24,6 cm e 4,3 cm. Observe a Figura 4:

Figura 4

Temos que L = 27,5 cm (média dos raios) A tábua tem 2,5 cm de espessura, encontrando a altura do triângulo eqüilátero teremos:

h

§ 27,5 · (27,5) ¨ ¸ © 2 ¹

2

2

2

23,81

Como a espessura é 2,5cm teremos:

27,5 2 23,81

x x 12,3 21,31

Assim, 2x = 24,6 cm

Logo a primeira tábua a ser cortada terá a largura de 24,6cm.

Observe o triângulo vermelho, Figura 5:

Figura 5 Encontrando k (espessura de cada tábua), temos que:

k2

2,5

2

(1,45) 2 o k

2,89

Agora vamos calcular a quantidade de tábuas (n) que poderão ser retiradas na base menor, cujo raio é de 25 cm.

Temos um triângulo eqüilátero de lados 25 cm, logo a sua altura será de: L = 21,65 cm. Assim teremos que n = 21,65/2,5 # 8 Logo, podemos retirar 8 tábuas de cada prisma. Encontrando a menor largura do prisma

27,5 x

23,81 o x # 4,4 3,81

Portanto a largura das tábuas irá variar entre 24,6cm e 4,4cm. Ou seja, a largura depende do número de tábuas. L= 27,5 – 2,89n onde n é o número de tábuas tiradas.

O volume de pó entre duas tábuas em cm³: Ou seja, a largura depende do número de tábuas. L= 27,5 – 2,89n onde n é o número de tábuas tiradas.

O volume de pó entre duas tábuas em cm³: 8

¦Vi ¦ 480cm² u 27,5 2,89n i 1

55660cm³

Considerando que o corte da madeira é feito girando o tronco, o volume de pó de serra será aproximadamente: V(pó) = 6 X (55660) = 333964,8 cm³ = 0,33 m³

Comparando:

1,140 m³ (madeira mais casca) - 0,33 m³ (pó) = 0,81 m³ (volume de madeira)

Em percentagem, representa aproximadamente

0,33 u 100 1,140

28,9%

Segundo o madeireiro, a perda é em torno de 20%. Tomando o valor determinado pelo cálculo de volume feito pelo método do madeireiro e subtraindo do valor "real":

1,140 m³ - 0,896 m³ = 0,244 m³ de perda O que representa, em percentual:

0,244 u 100 1,140

21,4%

Ou seja, uma perda em torno de 21%.

Concluímos que é válido o método de cubagem de madeira do madeireiro, e a experiência mostra que é um modelo matemático, pois "aproxima" o tronco de cone (no caso da árvore) a um prisma de base quadrada para saber o volume ou o número de metros cúbicos de tábuas que conseguirá obter de uma árvore.

ATIVIDADE Diante da grande dificuldade dos alunos em compreender a Matemática e, além disso, a concepção de muitos alunos de diferentes níveis como sendo esta área um

‘bicho-de-sete-cabeças’, consideramos interessante que o aluno tenha a oportunidade de aprender interagindo e refletindo, evitando assim, um aprender mecânico, repetitivo e aquele fazer sem saber o que faz e por que faz. Nesse sentido, optamos por desenvolver um trabalho sobre o uso da modelagem e da informática, por acreditarmos que com essa ferramenta as aulas de Matemática poderão ser mais interativas, despertando a curiosidade, a criatividade e estimulando os alunos a fazerem perguntas.

Atividade 1: Nessa atividade o aluno irá escolher um cone, no qual um está cheio de areia e o outro cheio de água, em seguida irá movimentar o cone até o cilindro, esse processo será feito três vezes, se o aluno colocar menos de três o cilindro ficará vazio se passar de três o conteúdo escolhido transbordará. O objetivo dessa atividade é que o aluno compreenda como encontrar o volume de um cone sabendo o volume do cilindro.

Atividade 2: Nessa atividade o aluno irá escolher uma altura, na tela aparecerá uma serra elétrica que irá cortar o cone em uma certa altura. Depois do corte teremos um cone menor e um tronco de cone. Em seguida o cone e o tronco de cone irão encher então os alunos terão que colocar o conteúdo no cone maior. O objetivo dessa atividade é que o aluno compreenda como encontrar o volume do tronco de cone.

Atividade 3: Nessa atividade teremos a simulação do corte de uma árvore quando o aluno passar o mouse sobre a tora no chão aparecerá o ponto médio entre a base maior e a base menor. Em seguida teremos um barbante que contorna a tora exatamente nesse ponto. O aluno nesse momento terá que arrastar o barbante e escolher em quantos pedaços esse se divide. ¾ Se a escolha for três ele perceberá com animação que o volume ocupado pelo prisma de base triangular é bem menor que o volume do tronco. ¾ Se a escolha for quatro ele perceberá com animação que o volume ocupado pelo prisma quadrangular é menor que o volume do tronco, porém maior que o volume do prisma de base triangular. ¾ Se a escolha for seis ele perceberá com animação que o volume do prisma de base hexagonal será maior que o volume do tronco.

CONSIDERAÇÕES FINAIS A experiência relatada neste texto nos mostrou evidências da possibilidade real de oferecer aos alunos do ensino médio uma aula mais dinâmica, em que os mesmos participam ativamente de todo o processo de construção do conhecimento. Além disso, se sobressaíram nessa caminhada de aprendizagem e desenvolvimento profissional, a possibilidade e a vantagem da utilização da modelagem para proporcionar aulas de Matemáticas mais interativas, que despertam curiosidades e estimulam os alunos a fazerem perguntas, descobrirem semelhanças / diferenças, criarem hipóteses e chegarem às próprias soluções. Pensamos que o projeto em si tem suas potencialidades, mas se não houver a mediação do professor a modelagem e a atividade de ensino no ambiente computacional, por si só, não contribuirá para o processo de ensino-aprendizagem. Para finalizar, acreditamos que o professor, com a mediação adequada, poderá explorar diversos conceitos de matemática no método de cubagem a madeira.

BIBLIOGRAFIA BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática no ensino / Maria Sallet Biembengut, Nelson Hein. – 3ª ed. – São Paulo: Contexto, 2003. FREITAS, M.T.M .A escrita no processo de formação contínua do professor de Matemática. 2006. 299f. Tese (Doutorado em Educação: Educação Matemática) – FE, Unicamp, Campinas (SP).

Diagnóstico Médico Fuzzy de Doenças Infantis Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Mariana Fernandes dos Santos Villela [email protected]

Patrícia Borges dos Santos [email protected]

Rosana Sueli da Motta Jafelice [email protected]

Introdução A Modelagem Matemática tem como objetivo interpretar e compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano e poder descrevê-los, analisá-los e interpretá-los com o propósito de gerar discussões reflexivas sobre tais acontecimentos que cercam nosso cotidiano. Neste trabalho, a modelagem é realizada através da Teoria dos conjuntos Fuzzy, o qual tem por objetivo o diagnóstico médico fuzzy de doenças infantis tais como, catapora, caxumba, coqueluche e meningite. Para isto, foi necessário a colaboração de especialistas, neste caso pediatras, e a partir de sinais e sintomas apresentado pelos pacientes, simulamos a atuação do médico no diagnóstico de seus doentes, com o intuito de ajudar este em suas tomadas de decisões e optar por exames laboratoriais. Além disso, realizamos o estudo de dois modelos de propagação de doenças transmissíveis (epidemias) os quais são, SIR (Suscetível Infectado Recuperado) e SIRS (Suscetível Infectado Recuperado Suscetível) que servem para exemplificar o a propagação de doenças estudadas no Diagnóstico Médico Fuzzy.

Conjuntos fuzzy Histórico Em 1965, com uma publicação de Lotfi A. Zadeh ("Fuzzy Sets", Information and Control, Vol. 8, pp. 338-353) surgiu uma nova teoria de conjuntos. Professor da Universidade da Califórnia, Berkeley, considerado um grande colaborador do controle moderno, Zadeh criou uma teoria de conjuntos em que não há descontinuidades, ou seja, não há uma distinção abrupta entre elementos pertencentes e não pertencentes a um conjunto, os são os Conjuntos Nebulosos. Começava aí a se desenvolver a Teoria Fuzzy (Nebulosa), para tratar de variáveis "imprecisas", ou definidas de forma "vaga". Zadeh percebeu que a modelagem de muitas atividades relacionadas a problemas industriais, biológicos ou químicos seria complexa demais se implementada da forma convencional. Os sistemas fuzzy foram utilizados, com sucesso, em algumas aplicações que se tornaram exemplos clássicos. Destaca-se a primeira aplicação que se tornou pública: • Em 1974 o professor Mamdani, do Queen Mary College, da Universidade de Londres, implementou um controle de uma máquina a vapor, baseado em lógica fuzzy. Até então, não se tinha conseguido automatizar essas máquinas com outras técnicas de controle, nem mesmo com algoritmo PID.

Com o tempo, outras aplicações foram surgindo. No oriente, onde a cultura fez com que os conceitos da lógica nebulosa fossem aceitos com maior facilidade do que no mundo oriental, investiu-se muito em soluções baseadas em modelagem e controle fuzzy, e, além disso, inúmeras aplicações surgiram principalmente no Japão. Apesar de os estudos teóricos terem se desenvolvido na Europa e nos Estados Unidos, as aplicações nunca tiveram lá a mesma ênfase que tiveram no oriente, principalmente no Japão, que investiu muito no desenvolvimento de tecnologias baseadas na Teoria Fuzzy. Hoje, empresas como Boeing, General Motors, Allen-Bradley, Chrysler, Eaton e Whirlpool têm procurado soluções diversas na Teoria Fuzzy. Controle de refrigeradores de baixa potência, transmissão automotiva, e motores elétricos de alta eficácia fazem parte de suas linhas de pesquisa. Nos Estados Unidos, a Agência de Proteção Ambiental estuda o uso de controle Fuzzy em motores. A NASA tem estudado a aplicação da Teoria Fuzzy na ancoragem automática de suas naves no espaço. Simulações mostram que um Sistema Fuzzy pode reduzir significativamente o consumo em motores a combustão [2].

Definição Um subconjunto fuzzy A de U é definido em termos de uma função pertinência u que a cada elemento x de U associa um número u ( x ) , entre zero e um, que é chamado o grau de pertinência de x em A. Assim o conjunto A é definido da seguinte maneira: u A : U → [ 0,1] .

Os valores u A ( x ) = 1 e u A ( x ) = 0 significam a pertinência e a não pertinência do

elemento x a A.

Operações entre conjuntos fuzzy Sejam A e B subconjuntos clássicos de U representados pelas funções características u A e uB , respectivamente. Os conjuntos A ∪ B = {x ∈ U ; x ∈ A ou x ∈ B} , A ∩ B = {x ∈ U ; x ∈ A e x ∈ B} , A ' = {x ∈ U ; x ∉ A} . Definição1: Sejam A e B conjuntos fuzzy. As funções de pertinência que representam os conjuntos fuzzy união (Figura 1), intersecção (Figura 2) e complementar (Figura 3) de conjuntos fuzzy são dados por, ∀x ∈ U , u A∪ B = max{u A ( x ) , uB ( x )} , u A∩ B = min{u A ( x ) , uB ( x )} , u A ' ( x ) = 1 − u A ( x )}.

Figura 1: Representa a união dos conjuntos fuzzy.

Figura 2: Representa a intersecção dos conjuntos fuzzy.

Figura 3: Representa o complementar dos conjuntos fuzzy. Exemplo: Seja U um conjunto universo composto por pacientes de uma clínica, identificados pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. Sejam A e B os conjuntos fuzzy que representam os pacientes com febre e dor, respectivamente. A Tabela 1, abaixo, representa a união, intersecção e complemento.

Paciente 1 2 3 4 5

Febre ( u A )

Dor ( uB )

u A∪ B

u A∩ B

u A'

u A∩ A '

0.7 0.6 0.7 0.6 0.3 0.3 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.4 0.2 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.2 1.0 0.2 0.0 0.0 Tabela 1: União, intersecção e complementar dos conjuntos A e B.

Normas Triangulares Generalizando os operadores de união e intersecções têm as normas triangulares, que podem ser definidas da seguinte maneira [1]: Definição2: Uma co-norma triangular s : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] satisfazendo:

(s-norma)

• Comutatividade: xsy = ysx • Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz • Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xsw ≤ ysz • Condições de Fronteira: xs0 = x, xs1=1. Temos como exemplo de uma s-norma o operador max.

é

uma

operação

binária

1-União padrão (Figura 4) s : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com xsy = max(x; y). União padrão

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

Figura 4: s-norma ‘União Padrão’.

2- Soma Algébrica (Figura 5) s : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com xsy = x+y-xy. Soma algébrica

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

Figura 5: s-norma ‘Soma Algébrica’.

0.8

3- Soma Limitada (Figura 6) s : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com xsy = min(1; x + y). Soma limitada

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

Figura 6: s-norma ‘Soma Limitada’.

4- União Drástica (Figura 7) s : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com ⎧ x se y = 0 ⎪ xsy ⎨ y se x = 0 ⎪1 caso contrario ⎩

.

União drástica

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0.2

0.4

0.6

0

Figura 4: s-norma ‘União Drástica’.

0.8

Definição3: Uma norma triangular (t-norma) é uma operação binária t : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] satisfazendo: • Comutatividade: xsy = ysx • Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz • Monotonicidade: Se x ≤ y e w ≤ z então xsw ≤ ysz • Condições de Fronteira: xs0 = 0, xs1=x. Temos como exemplo de uma s-norma o operador min. 1- Intersecção Padrão (Figura 8) t : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com xty = min(x; y). Intersecção padrão

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0.2

0.4

0.8

0.6

0

Figura 8: t-norma ‘Intersecção Padrão’. 2- Produto Algébrico (Figura 9) t : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com xty = xy. Produto algébrica

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

Figura 9: t-norma ‘Produto Algébrico’.

3- Diferença Limitada (Figura 10) t : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com xty = max(0; x + y ; 1). Diferença limitada

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 10: s-norma ‘Diferença Limitada’.

4- Intersecção Drástica (Figura 11) t : [ 0,1] X [ 0,1] → [ 0,1] com ⎧ x se y = 1 ⎪ xsy ⎨ y se x = 1 . ⎪0 caso contrario ⎩ rara Intersecção drástica

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 1 0.5 0

0.2

0.4

0.6

0

Figura 11: s-norma ‘Intersecção Drástica’.

0.8

Relações Fuzzy Estudos de associações, relações ou interações, entre os elementos de diversas classes é de grande interesse na análise e compreensão de muitos fenômenos do mundo real. Matematicamente, o conceito de relação é formalizado a partir da teoria de conjuntos. Desta forma, intuitivamente pode-se dizer que a relação será fuzzy quando optamos pela teoria dos conjuntos fuzzy e será clássica quando optamos pela teoria clássica de conjuntos para conceituar a relação em estudo. Qual dos modelos adotar, entre estes dois, depende muito do fenômeno estudado. Porém, a opção pela teoria de conjuntos fuzzy sempre tem maior robustez no sentido de que esta inclui a teoria clássica de conjuntos. Uma relação clássica segue a função característica da lógica clássica. Sendo assim, uma relação de amizade entre duas pessoas, por exemplo (ver [2]), designadas como “amigos” considera que nas relações humanas ou alguém é seu amigo ou não o é, o que é uma simplificação da realidade. Uma relação de amizade fuzzy entre duas pessoas considera o grau de amizade entre elas, sendo assim dois ou mais indivíduos podem se relacionar com diferentes graus de amizade, desde 1,0 ( são certamente amigos) até 0,0 ( não são amigos). Formalmente, uma relação fuzzy R entre duas variáveis, x ∈ X e y ∈ Y , é definida por uma função que mapeia o par ordenado ( x, y ) no espaço X × Y para o seu grau na relação, ou seja, R : X × Y → [ 0,1] . Esta definição é facilmente generalizada para relações de dimensões superiores. Um exemplo importante de relações fuzzy em sistema de diagnósticos é aquela que relaciona sintomas a doenças, o qual é o foco do nosso trabalho. Definição 4: Uma relação fuzzy R, sobre U1 × U ×2 ... × U n , é qualquer subconjunto fuzzy do produto cartesiano U1 × U 2 × ... × U n . Se o produto cartesiano for formado por apenas dois conjuntos, U1 × U 2 , a relação é chamada de fuzzy binária sobre U1 × U 2 . Assim, uma relação

fuzzy é definida por uma função de pertinência ϕ R : U1 × U 2 × ... × U n → [ 0,1] . A principal vantagem na opção pela relação fuzzy é que a relação clássica indica apenas se há ou não relação entre dois objetos, enquanto uma relação fuzzy além de indicar se existe ou não relação, indica também o grau desta relação. Uma noção que será muito importante para o nosso trabalho, é o produto cartesiano entre conjuntos fuzzy. Definição 5: O produto cartesiano fuzzy A1 × A2 × ... × An dos subconjuntos fuzzy A1 , A2 ,..., An de U1 ,U 2 ,...,U n , é a relação fuzzy R cuja função de pertinência é uR ( x1 , x2 ,..., xn ) = u A1 ( x1 ) ^ u A2 ( x2 ) ^ ... ^ u An ( xn ) onde ^ é a t-norma min.

Composição Relações de Fuzzy Considere R e S duas relações fuzzy binárias em U1 × U 2 × ... × U n , respectivamente. Definição 6: A composição RoS é uma relação fuzzy binária em U1 × U 3 , com função de pertinência dada por

u RoS ( x1 , x3 ) = max ⎡⎣ min ( u R ( x1 , x2 ) , uS ( x2 , x3 ) ) ⎤⎦ . x2 ∈U 2

Agora , definiremos um caso especial da composição max-min, que utilizamos no trabalho para elaborar o diagnóstico médico fuzzy. Definição 7: Sejam U1 e U 2 dois conjuntos , F( U1 ) e F( U 2 ) as classes dos conjuntos fuzzy de U1 e U 2 , respectivamente, e R uma relação binária sobre U1 × U 2 . Então a relação R define

um funcional de F( U1 ) em F( U 2 ) que a cada elemento A1 ∈ F( U1 ), faz corresponder o elemento A2 ∈ F( U 2 ) a função de pertinência é dada por:

(

)

u A2 ( x2 ) = uR( A1 ) ( x2 ) = max ⎡⎣ min u A1 ( x1 ) , uR ( x1 , x2 ) ⎤⎦ . x1∈U1

Diagnóstico Médico O objetivo desta aplicação, e deste trabalho, é propor um sistema fuzzy que imite a atuação de um médico no diagnóstico de seus pacientes, a partir dos sintomas que estes apresentam. Com o intuito de ajudar o médico a tomar decisões e optar por exames laboratoriais mais detalhados. Para isto, foi preciso a interferência de um especialista na área, que neste caso consultamos dois pediatras Dr. Georges Ishac Abdallah e Dr. Márcia F. Lopes. O trabalho trata-se de estabelecer um diagnóstico de doenças infantis. A idéia básica é relacionar os sintomas ou sinais de pacientes com as possíveis doenças, as quais são cataporas, caxumbas, coqueluches e meningites. Esta aplicação pode ser resumida da seguinte maneira:

Εντ

Entrada (sintomas)

• • • •

Base de conhecimento

Saída (Diagnóstico)

Considere os seguintes conjuntos universais: U = conjuntos dos pacientes do médico 1; S = conjuntos dos pacientes do médico 2; V = conjunto dos sintomas; W = conjunto das doenças.

Foram analisadas as informações de dois diferentes médicos, os quais obtivemos conhecimento de sete pacientes P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 e P7 , com sintomas s1, s2, s3 ,s4 ,s5, s6 ,s7 ,s8 ,s9 ,s10 ,s11 ,s12 ,s13 ,s14 ,s15 ,s16 ,s17 e s18 que apresentaram os diagnósticos d1 , d 2 , d3 e d 4 , onde: s1 = pintas vermelhas no corpo

s2 = coceira s3 = febre s4 = cansaço s5 = cefaléia s6 = perda de apetite s7 = rigidez na nuca s8 = calafrios s9 = confusão mental d1 = catapora d2 = caxumba

s10 = infecção das glândulas salivares s11 = tosse seca s12 = coriza s13 = dor muscular s14 = fraqueza s15 = dor ao mastigar ou engolir s16 = mal estar s17 = vômito s18 = dor de garganta d3 = coqueluche d4 = meningite

A média das relações fuzzy sintomas X doenças de ambos os médicos é dada pela seguinte tabela 2: s d d1

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

s9

s10

s11

s12

s13

s14

s15

s16

s17

s18

1

1

0.45

0.4

0.5

0.4

0

0.1

0

0

0.2

0.3

0.05

0.2

0

0.1

0

0

d2

0

0

0.3

0.15

0.7

0.5

0

0.25

0

0.8

0.1

0

0.4

0.4

0.9

0.3

0.05

0.75

d3

0

0

0.9

0.45

0.25

0.25

0

0.15

0

0

1

.55

0.1

0.1

0

0.6

0.05

0

d4

0.2

0

0.95

0.5

0.8

0.8

1

0.75

0.4

0

0

0

0.3

0.1

0

0.85

0.8

0

Tabela 2: Relação fuzzy sintomas x doenças.

Médico 1 ( Dr. Georges Ishac Abdallah) s P P1

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

s9

s10

s11

s12

s13

s14

s15

s16

s17

s18

0

0

0.7

0.5

0.1

0.2

0

0.5

0

0

1

0.5

0.1

0.5

0

0

0

0

P2

0

0

0.5

0.7

0.9

0.5

0.9

0.3

0.9

0

0.5

0.1

0.6

0.5

0

0.8

0.7

0

P3

0

0

0.5

0.3

0.8

0.7

0

0.2

0

1

0.5

0.2

0.3

0.5

0.9

0.7

0.3

0.8

P4

1

0.8

0.9

0.3

0

0.7

0

0.3

0

0

0

0

0.2

0.3

0

0.1

0

0

P5

1

0.5

0.9

0.2

0

0.1

0

0.5

0

0

0

0.5

0.1

0.2

0

0

0

0

P6

0

0

0.3

0.2

0.1

0.1

0

0.1

0

0

1

0.3

0.1

0.1

0

0.1

0

0

P7

0

0

0.5

0.1

0.1

0.1

0

0.1

0

0

1

0.5

0.1

0.1

0

0.1

0.3

0

Tabela 3: Relação fuzzy pacientes x sintomas. Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente obtido através da definição 6. Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados, o paciente P1 pode ter uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 com os respectivos graus de possibilidades (pela Tabela 3):

( ( ( (

)

uR( P1 ) ( d1 ) = max ⎡ min uR ( d1 , si ) , uP1 ( si ) ⎤ = 0.45 ⎦ 1≤i ≤18 ⎣ uR( P1 ) ( d 2 ) = max ⎡min uR ( d 2 , si ) , uP1 ( si ) ⎤ = 0.3 ⎦ 1≤i ≤18 ⎣ uR( P1 ) ( d3 ) = max ⎡ min uR ( d3 , si ) , uP1 ( si ) ⎤ = 1.0 ⎦ 1≤i ≤18 ⎣ uR( P1 ) ( d 4 ) = max ⎡ min uR ( d 4 , si ) , uP1 ( si ) ⎤ = 0.7 ⎦ 1≤i ≤18 ⎣

) ) )

Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P2 pode ter também uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 , com os respectivos graus de possibilidades:

uR( P2 ) ( d1 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P2 ) ( d 2 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P2 ) ( d3 ) = max ⎡min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P2 ) ( d 4 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣

(u (u (u (u

R

R

R

R

( d1 , si ) , uP ( si ) ) ⎤⎦ = 0.5 2

( d2 , si ) , uP ( si ) )⎤⎦ = 0.7 2

( d3 , si ) , uP ( si ) )⎤⎦ = 0.6 2

( d4 , si ) , uP ( si ) )⎤⎦ = 0.9 2

Desta forma, obtêm-se os diagnósticos para todos os pacientes:

uR( P1 ) = ( 0.45;0.3;1.0;0.7 ) uR( P2 ) = ( 0.5;0.7;0.6;0.9 )

uR( P3 ) = ( 0.6;0.9;0.6;0.8)

uR( P4 ) = (1.0;0.5;0.9;0.95)

uR( P5 ) = (1.0;0.3;0.9;0.9)

uR( P6 ) = ( 0.3;0.3;1.0;0.3)

uR( P7 ) = ( 0.45;0.3;1.0;0.5)

Portanto, nota-se que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de estar com coqueluche, o paciente P2 pode estar com meningite, P3 pode estar com caxumba, P4 e P5 podem estar com catapora e , P6 e P7 podem estar com coqueluche. Segundo o especialista os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças.

Médico 2 (Dr. Márcia F. Lopes) s P

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

s9

s10

s11

s12

s13

s14

s15

s16

s17

s18

P1

1.0

0.5

0.9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

P2

0

0

1.0

0

1.0

0

1.0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.0

0

P3

1.0

0.7

1.0

0.9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.9

0

0

0

0

P4

0

0

1.0

0

0

1.0

0

0

0

0

1.0

0

0

0

0

0

1.0

0

P5

0

0.7

0

0

1.0

1.0

1.0

0

1.0

0

0.9

0

0

0

0

0

1.0

0

P6

1.0

0.5

1.0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.5

0

0

1.0

1.0

P7

1.0

0.9

0.9

0

0.5

0

0.5

0.5

0.3

0

0.4

0.5

0

0.4

0

0.5

0.7

0

Tabela 4: Relação fuzzy pacientes x sintomas.

Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente obtido através da definição 6. Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados, o

paciente P1 pode ter uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 com os respectivos graus de possibilidades (Tabela 4):

uR( P1 ) ( d1 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P1 ) ( d 2 ) = max ⎡min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P1 ) ( d3 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P1 ) ( d 4 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣

(u (u (u (u

R

R

R

R

( d1 , si ) , uP ( si ) ) ⎤⎦ = 1.0 1

( d2 , si ) , uP ( si ) ) ⎤⎦ = 0.3 1

( d3 , si ) , uP ( si ) ) ⎤⎦ = 0.9 1

( d4 , si ) , uP ( si ) ) ⎤⎦ = 0.9 1

Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P2 pode ter também uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 , com os respectivos graus de possibilidades:

uR( P2 ) ( d1 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P2 ) ( d 2 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P2 ) ( d3 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣ uR( P2 ) ( d 4 ) = max ⎡ min 1≤i ≤18 ⎣

(u (u (u (u

R

R

R

R

( d1 , si ) , uP ( si ) )⎤⎦ = 0.5 2

( d2 , si ) , uP ( si ) )⎤⎦ = 0.7 2

( d3 , si ) , uP ( si ) ) ⎤⎦ = 0.9 2

( d4 , si ) , uP ( si ) )⎤⎦ = 1.0 2

Desta forma, obtêm-se os diagnósticos para todos os pacientes:

uR( P1 ) = (1.0;0.3;0.9;0.9 ) uR( P2 ) = ( 0.5;0.7;0.9;1.0 )

uR( P3 ) = (1.0;0.4;0.9;0.9 )

uR( P4 ) = ( 0.45;0.5;1.0;0.95)

uR( P5 ) = ( 0.7;0.7;0.9;1.0)

uR( P6 ) = (1.0;0.75;0.9;0.95)

uR( P7 ) = (1.0;0.5;0.9;0.9)

Portanto, nota-se que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de estar com catapora, os pacientes P2 e P5 podem estar com meningite, P3 pode estar com catapora, P4 pode estar com coqueluche e, P6 e P7 podem estar com catapora. Segundo a especialista os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças. Note que a resposta da composição é também um conjunto fuzzy, ou seja, a composição nem sempre responde qual doença o paciente possui, porém fornece a distribuição de possibilidades do paciente no conjunto de doenças dado que ele apresenta certa distribuição de possibilidades no conjunto de sintomas. Outra propriedade importante da relação fuzzy é que após ter diagnósticos de novos pacientes, estes podem ser incluídos na base de conhecimentos e assim aumentar a capacidade de se obter mais diagnósticos por meio da relação fuzzy R, tal como faz o médico.

Apresentamos, na próxima seção, alguns sistemas de equações diferenciais relacionados com as epidemias de doenças.

Modelo SIR (Suscetível Infectado recuperado) de Epidemiologia O estudo da propagação de doenças transmissíveis (epidemias) teve um desenvolvimento bastante lento até o século XIX, sendo finalmente assumido como pesquisa científica a partir dos trabalhos desenvolvidos pó Pasteur e Kock. A partir de 1927, os modelos matemáticos, formulados por Kermack-McKendric, ( ver [4]), consideram que uma epidemias com microparasitas (vírus e bactérias) ocorre em uma comunidade fechada através do contato entre pessoas infecciosas e pessoas sadias. A população hospedeira é subdividida em classes distintas (compartimentos) de acordo com a sanidade ou infecciosidade de seus elementos: S = S(t): pessoas sadias, mas suscetíveis à doença, podendo ser infectadas quando em contato com pessoas doentes; I = I(t): pessoas portadoras da doença (infecciosas); R = R(t): indivíduos imunes que já contraíram a doença e se recuperam, ou estão isoladas ou morreram. Supor que a comunidade seja fechada implica que a população total se mantém constante, isto é, N = S (t ) + I (t ) + R (t ) não varia com t. Este fato é característico das doenças cujo período de inclusão do parasita é relativamente pequeno. Para cada tipo de doenças podemos modelar sua velocidade de propagação através das interações entre as variáveis S, I e R. O processo epidemiológico pode ser esquematizado pelo sistema compartimental que resume as taxas de transições entre as três classes:

S

β

I

α

R

onde β I é a taxa de transmissão da doença (β>0), com β como o coeficiente de infecciosidade; α é a taxa de remoção (α>0) . Se considerarmos que: a- Cada compartimento é composto de indivíduos homogêneos; b- Cada indivíduo infeccioso tem a mesma probabilidade de se encontrar com um suscetível; c- Não ocorre nascimento na comunidade e a morte somente é causada pela doença. Então o modelo matemático que descreve a epidemias, também chamado SIR ou modelo sem dinâmica vital, é dado por: ⎧ dS ⎪ dt = − β SI (I) ⎪ ⎪ dI ⎨ = β SI − α I (II) ⎪ dt ⎪ dR ⎪ dt = α I (III) ⎩

(1)

os suscetíveis decrescem a uma taxa proporcional ao número de encontros com os infecciosos. os infectados aumentam do mesmo modo como os sadios diminuem e perdem os que são curados ou mortos. a variação dos retirados é proporcional à quantidade dos infectados.

(I) (II) (III)

Das doenças estudadas no Diagnóstico médico fuzzy, as que apresentam comportamento parecido com o modelo SIR são a catapora, caxumba e coqueluche. Em qualquer situação é fundamental conhecer os valores iniciais So=S(0)=100, Io=I(0)=10 e Ro=R(0)=10, e para resolução desse sistema, obtivemos os parâmetros do programa Populus. Temos então: α = 0.8

β = 0.5 Utilizando o Matlab, temos como solução do sistema de equação diferencial ordinária (1) o seguinte gráfico (Figura 12): 120 Suscetível Infectado Recuperado

100

população

80

60

40

20

0

-20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura12: Resolução do sistema de equações diferenciais (1). O modelo SIR tem como característica o fato em que se um indivíduo foi infectado e está recuperado, e este não se torna novamente suscetível a esta doença. Para os parâmetros considerados a Figura 12 mostra que o número de indivíduos suscetíveis torna-se cada vez menor até não existir mais pessoas suscetíveis, enquanto que a quantidade de indivíduos recuperados aumenta isso acontece, pois o sistema é fechado. Além disso, como o número de indivíduos recuperados aumenta, temos que a quantidade de pessoas infectadas diminuirá à medida que esse número de recuperados cresce. A Figura 12 mostra esse processo em um curto período de tempo.

Modelo SIRS (Suscetível Infectado Recuperado Suscetível) de epidemiologia Um outro modelo de propagação de epidemia foi desenvolvido por Chimara (2003) através de um autômato celular probabilista que corresponde a um modelo SIRS, representando a situação em que recuperados são substituídos por suscetíveis, ou porque morreram (e um suscetível recém-nascido ocupa seu lugar) ou porque perderam a imunidade àquela doença. Nesse modelo foi considerada uma população de tamanho fixo e, estudando-se a influência dos parâmetros que representam as probabilidades de infecção, de cura e de morte causada pela doença. Das doenças estudadas no Diagnóstico Médico fuzzy, um exemplo que tem comportamento parecido com o modelo SIRS é a meningite.

γ S

β

I

α

R

O sistema que descreve o modelo SIRS é dado por: ⎧ dS ⎪ dt = − β IS + γ R ⎪ ⎪ dI ⎨ = β IS − α I ⎪ dt ⎪ dR ⎪ dt = α I − γ R ⎩

(2)

Em qualquer situação é fundamental conhecer os valores iniciais So=S(0)=50, Io=I(0)=100 e Ro=R(0)=100, e para resolução desse sistema, obtivemos os parâmetros do programa Populus. Temos então: α = 0.7 β = 0.1 γ = 0.6 onde, β como o coeficiente de infecciosidade ( β > 0 ); α é a taxa de remoção α > 0 e γ a taxa de diminuição de imunidade. Utilizando o Matlab, temos como solução do sistema de equação diferencial (2), Figura 13:

140

120

população

100

80 Suscetível Infectado Recuperado

60

40

20

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 tempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 13: Resolução do sistema de equações diferenciais (2).

O modelo SIRS tem como característica o fato de que se um indivíduo foi infectado e se recupera, e este tornar-se suscetível novamente à doença considerada. Para os parâmetros considerados a Figura 13 mostra que o número de indivíduos suscetíveis torna-se, até certo tempo, cada vez menor e depois a quantidade de indivíduos estabiliza. A quantidade de indivíduos recuperados aumenta isso acontece, pois o sistema é fechado. Além disso, a medida que o número de indivíduos recuperados aumenta, temos que a quantidade de pessoas infectadas diminuirá. A Figura 13 mostra esse processo em um curto período de tempo.

Conclusão O Diagnóstico Médico fuzzy apresentado feito neste trabalho teve por finalidade imitar a atuação do médico em seus diagnósticos de doenças infantis. Inclusive, tivemos uma boa aproximação do diagnóstico fuzzy de cada paciente, com o diagnóstico dado pelo médico. Além disso, apresentamos os modelos SIR e SIRS que se relacionam com as epidemias das doenças consideradas e com isso obtivemos exemplos de casos de SIR, os quais as doenças que se encaixam neste modelo são catapora, caxumba e coqueluche. No segundo modelo SIRS, temos como exemplo a meningite. Em ambos os casos a solução do sistema de equação diferencial é dado por gráficos, os quais mostram o comportamento de cada epidemia, sendo a comunidade fechada, nos dois modelos.

Bibliografia [1] Jafelice, R.M., L.C.Barros, R.C.Bassanezi, Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações, Notas em matemática aplicada – SBMAC, editora Plêiade, São Carlos, SP, 2005. [2] Barros, L.C., R.C.Bassanezi, Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Campinas, SP, 2006. [3] http://www.lps.usp.br/neo/fuzzy/fuzzy_historico.htm [4] Massad, E., R. X. Menezes, P. S. P., Silveira, N. R. S. Ortega, Métodos quantitativos em Medicina, Barueri, SP, 2004.

Fluxo Sanguíneo: Uma Aplicação da Integral de Riemann Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Mariana Fernandes dos Santos Villela [email protected]

Patrícia Borges dos Santos [email protected]

Rosana Sueli da Motta Jafelice [email protected]

Introdução Neste trabalho o fluxo sanguíneo será apresentado como uma aplicação da integral de Riemann. Iniciamos com uma breve biografia de Riemann, e, em seguida com as noções necessárias para a definição de integral através das somas de Riemann. A seguir, é dada uma explicação do funcionamento do sistema circulatório, e a partir daí, apresentaremos a Lei de Poiseuille. Esta lei foi descoberta por Jean Louis Poiseuille (1799-1869), fisiologista e físico francês, e nos dá uma expressão da velocidade do sangue como função do afastamento em relação ao eixo central da artéria. Com isso, utilizando a integral de Riemann encontraremos a expressão do fluxo sanguíneo, o qual é o objetivo deste trabalho [2].

A História de Riemann Georg Friedrich Bernhard Riemann, filho de um pastor luterano, foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente frágil. Com boa instrução em Berlim e depois em Göttingen, obteve seu doutoramento com uma tese sobre teoria das funções de variáveis complexas, onde aparecem as equações denominadas de CauchyRiemann, embora lá fossem conhecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece o conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel fundamental em Análise. Riemann foi nomeado professor na Universidade de Göttingen em 1854, apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia marginalizada. Ao contrário de Euclides e em sentido mais amplo do que Lobachevsky, observou que seria necessário tratar-se de pontos, ou de retas, ou do espaço não no sentido comum, mas

como uma coleção de n-uplas que são combinadas segundo certas regras, uma das quais, a de achar distância entre dois pontos infinitamente próximos. Para Riemann, o plano é uma superfície de uma esfera e reta, o círculo máximo sobre a esfera. Com os estudos de espaços métricos em geral com curvatura, tornou-se possível a teoria da relatividade, contribuindo assim para o desenvolvimento da Física. Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, onde encontramos também a equação de Cauchy-Riernann que é uma concepção intuitiva e geométrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass. Por volta de 1854, realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso de inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza. Nos cursos de Análise Matemática apresenta-se uma versão mais refinada, a Integral de Darboux-Riemann, usando os conceitos de soma inferior, soma superior, integral inferior e integral superior, que correspondem ao método de exaustão usando, respectivamente, polígonos inscritos e polígonos circunscritos. Mas, para que ninguém alimente idéias equivocadas, observamos que as diversas definições da Integral de Riemann mencionadas são equivalentes e a diferença entre elas se situa na adequação das definições para a obtenção das propriedades da referida Integral. Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Göttingen já ocupada por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em conseqüência de uma tuberculose.

Integral de Riemann Seja f: [a,b] → R limitada não negativa, isto é, f(x) > 0 ou f(x) = 0 para todo x em [a,b] e tomemos uma partição: x0 = a < x1 < ... < xn = b, do intervalo [a,b] que tenha todos os n subintervalos com o mesmo comprimento dx =

(b − a ) . n

Tomaremos apenas os primeiros pontos da partição e faremos uma análise geométrica da curva no subintervalo [xo,x1] (veja Figura 1). Para os outros subintervalos ocorre uma

situação similar. A área sob a curva no intervalo [xo,x1] pode ser obtida através da área S1 do retângulo cuja base mede dx = x1-xo e a altura é a linha tracejada cuja medida é dada por f(c1) onde c1 é um ponto em [xo,x1].

Figura 1: Representação da soma das áreas dos retângulos sob a curva.

Existe uma compensação da área "branca" que fica acima da curva e dentro do retângulo que fica abaixo da curva e fora do retângulo. Em cada subintervalo Ij=[xj,xj+1] desta partição tomamos um ponto genérico qualquer cj e formamos n retângulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por: f(c1), f(c2), ..., f(cn). Se a partição tem n subintervalos, denotamos por Sn a soma das áreas dos n retângulos: n

Sn = f (c1 )dx + f (c2 )dx + ... + f (cn )dx = ∑ f ( c j ) dx j =1

sendo a soma realizada sobre todos os j=1,...,n. Se essas somas forem calculadas para todos os valores de n, formaremos uma seqüência: {S1, S2, ..., Sn, ...}. Se esta seqüência numérica {Sn} é convergente para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no intervalo [a,b], e o valor do limite desta seqüência é denotado por:

∫

b

a

n

f ( x ) dx = lim ∑ f ( c j )dx (1) x →∞ j =1

A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da direita é o limite da seqüência de somas parciais Sn. A integral definida por (1) é denominada Integral de Riemann e as somas n

Sn = ∑ f ( c j )dx j =1

são chamadas de somas de Riemann.

Temos nesta definição uma partição muito particular do intervalo [a,b], subdividindo-o em partes iguais, podemos refazer o processo com intervalos de comprimentos diferentes, sendo cada intervalo da forma [xj,xj+1] e comprimentos dxj=xj+1-xj. Assim, as somas de Riemann Sn tomam a forma n

Sn = f (c1 )dx1 + f (c2 )dx2 + ... + f (cn )dxn = ∑ f ( c j ) dx j j =1

Ao proceder desta forma temos que tomar uma precaução adicional, ou seja, não basta tomar o limite de Sn quando n → ∞ , mas temos que acrescentar a condição que o maior dos comprimentos dx1, ..., dxn deve convergir para zero. Com isto, temos a notação: n

∫ f ( x ) dx = lim ∑ f ( c )dx b

a

p →0

j

j

j =1

onde |P|=max{dx1,...,dxn}, isto é, é a norma da partição P, [4].

O sistema circulatório Os animais têm de realizar, interruptamente, trocas de substâncias com o ambiente, pois todas as suas células precisam receber nutrientes e oxigênio, e eliminar gás carbônico e outros resíduos tóxicos produzidos no metabolismo, e isso, no homem se dá pelo o sistema circulatório fechado. O sistema circulatório possui diversas funções, as quais são: o transporte de nutrientes, o transporte de oxigênio, a remoção do gás carbônico, a remoção das excreções, o transporte de hormônios e o transporte de células e de anticorpos do sistema imunológico. Os componentes desse sistema são: sangue, vasos sangüíneos e o coração.

Sangue O sangue humano é constituído por um líquido amarelado, o plasma, e por três tipos de elementos celulares, as hemácias, os leucócitos e as plaquetas (veja Figura 2). No plasma 92% de seu peso é água, sendo o restante devido à presença de proteínas, sais e substâncias diversas, tais como nutrientes, gases, excreções e hormônios. As hemácias, também conhecida como glóbulo vermelho, são células especializadas no transporte de oxigênio, e já os leucócitos ou glóbulos brancos são células responsáveis pela defesa do organismo. E, por fim, as plaquetas são pequenas células ovais, as quais participam ativamente do processo de coagulação do sangue.

Figura 2: Composição do sangue.

Artérias, veias e capilares sangüíneos As artérias são vasos que levam sangue do coração para os órgãos e tecidos do corpo, sua parede é espessa e contém três camadas de tecidos, o endotélio, tecido muscular liso e o tecido conjuntivo. Os capilares sangüíneos são vasos muito finos que ligam as arteríolas (artérias finíssimas, que se encontra nos órgãos e tecidos) às vênulas (vasos muito finos que se conectam, no lado oposto às arteríolas, aos capilares sanguíneos, que se unem para formar veias progressivamente maiores). As veias são vasos que levam o sangue dos órgãos e tecidos de volta ao coração. A parede das veias é formada por três camadas, equivalentes às da artéria. Entretanto, as camadas medianas e externas das veias são menos espessas. Nas veias encontram-se válvulas que impedem o refluxo do sangue, o que garante a circulação em um único sentido (Figura 3).

Figura 3: Esquema ilustrando diferenças entre artérias, veias e capilares.

Coração O coração é um órgão musculoso, do tamanho aproximado de um punho fechado e com peso aproximadamente de 400g. Ele apresenta quatro cavidades internas, denominadas câmaras cardíacas, duas superiores que são os átrios e duas inferiores, os ventrículos (veja Figura 4). O átrio direito se comunica com o ventrículo direito por meio da válvula tricúspide e o átrio esquerdo comunica com o ventrículo esquerdo pela válvula bicúspide, os quais têm como funções garantir a circulação do sangue no coração em um único sentido, dos átrios para os ventrículos. As câmaras do coração contraem-se e dilatam-se alternadamente, em média, 70 vezes por minuto. A contração de uma câmara cardíaca é denominada sístole e seu relaxamento diástole. A freqüência cardíaca varia de acordo com o grau de atividades e situação emocional em que se encontra uma pessoa, e este controle da freqüência é feito pelo nódulo sino-atrial.

Figura 4: Representação do coração.

Fisiologia da circulação sangüínea A circulação sanguínea pode ser descrita de uma forma simples do seguinte modo: o sangue, após ser oxigenado nos pulmões dirige-se para a aurícula esquerda do coração passando pelas veias pulmonares. Em seguida, é transferido para o ventrículo esquerdo através da válvula mitral e deste é bombeado para todo o corpo. À saída do ventrículo esquerdo, passa pela válvula aórtica, que dá passagem para a artéria aorta e é conduzido através de uma rede complexa de artérias cada vez menores, indo alimentar todas as células. Após as trocas gasosas, de nutrientes e de detritos existentes ao nível celular, o sangue

regressa ao coração através de veias cada vez de maior dimensão, até entrarem no coração através da veia cava em direção à aurícula direita. A passagem da aurícula direita para o ventrículo direito é feita através da válvula tricúspide e, a partir do ventrículo direito, o sangue passa ainda na válvula pulmonar que dá acesso à artéria pulmonar que o conduz no sentido dos pulmões onde será oxigenado [1].

A biofísica da circulação sanguínea A hidrodinâmica é a área da mecânica dos fluidos que estuda o seu movimento. Existem essencialmente dois tipos de fluidos, um que é considerado ideal, ou seja, que não tem viscosidade e os fluidos viscosos, aqueles que apresentam viscosidade. A viscosidade é a grandeza que mede a fricção existente entre camadas adjacentes de um fluido ou, de um ponto de vista prático, é a dificuldade ou facilidade com que um fluido escorre. A maioria dos fluidos apresenta viscosidade, em particular, a grande parte dos fluidos biológicos, cujo exemplo que nos interessa é o sangue. Estes são caracterizados por uma viscosidade não desprezível. A conseqüência mais visível de se considerar a viscosidade de um fluido num escoamento é o seu perfil de velocidade. Também relacionado com a viscosidade do fluido está o tipo de escoamento que este apresenta. Na verdade, em fluidos reais, com viscosidade não nula, verifica-se que para valores de velocidade do fluido abaixo de certo valor, o escoamento é considerado laminar, isto é, todas as partículas do líquido se movem paralelamente ao tubo e a velocidade aumenta uniformemente a partir de zero na parede, em direção ao centro. No entanto, quando esse valor é ultrapassado, o escoamento passa a ser turbulento. No corpo humano a pressão do sangue se deve a contribuição da pressão estática, da pressão dinâmica e da pressão mecânica. Em virtude do próprio peso do sangue as artérias e veias estão sob a pressão estática, que dependerá da altura da coluna de sangue em relação ao pé. A contribuição da pressão dinâmica é em virtude das diversas velocidades do sangue no corpo. O efeito da pressão mecânica é em virtude do coração, que ao bombear o sangue para o corpo está lhe exercendo certa pressão. No percurso do sangue haverá variações de pressão sangüínea pelo corpo, muito em virtude dos efeitos da viscosidade. Um outro fato interessante é que a pressão do sangue arterial (sangue rico em oxigênio) é maior que a do sangue venoso

(sangue rico em gás carbônico). Isto se deve ao fato do sangue arterial ter o auxílio do coração para ser bombeado para o resto do corpo, o que não ocorre com o sangue venoso. Para aplicar à circulação sanguínea alguns dos resultados da hidrodinâmica, é necessário analisar as propriedades do sangue e assumir algumas aproximações. Antes de tudo, deve ter-se presente que o sangue, embora seja considerado como um fluido homogêneo, na verdade, é constituído por diversas partículas em suspensão, o que, do ponto de vista de análise do seu escoamento, torna a sua descrição particularmente difícil, nomeadamente, quando os vasos que o conduzem são muito estreitos. Um segundo ponto, prende-se com a elasticidade dos vasos que conduzem o sangue. Apesar de se aceitar, que o sangue circula através de tubos rígidos, esta aproximação não é verdadeira, uma vez que, como se sabe, as paredes dos vasos são extremamente elásticas, sendo, inclusivamente, um fator importante de regulação do fluxo sanguíneo [6]. O cientista francês Jean Louis Poiseuille (1799-1869) se interessou bastante por questões relacionadas com a circulação sanguínea e determinou experimentalmente como variava a velocidade do sangue, o que posteriormente pôde ser deduzido teoricamente. Consideremos o fluxo de sangue em um vaso sanguíneo. Um segmento de uma artéria ou de uma veia pode ser encarado como um tubo cilíndrico de diâmetro constante. Admitamos que a seção transversal seja um círculo de raio R. O sangue possui viscosidade que é representado por η (letra grega eta). A viscosidade é medida em poise∗, a qual é cm-1 g s-1 no sistema CGS (cm = centímetro, g = grama, s = segundo). Também há atrito nas paredes do tubo. A velocidade do sangue em contato com a parede do vaso é zero e a velocidade é máxima ao longo do eixo do centro do tubo. O fluxo sanguíneo pode ser laminar, quando os vasos sanguíneos estão em condições normais, ou turbulento, por exemplo, em um vaso que é parcialmente obstruído. Agora admitamos um fluxo laminar. Seja r a distância a qualquer ponto do líquido a partir do eixo do tubo (veja Figura 5). Então a velocidade v é uma função de r. Podemos escrever v = v(r). O domínio da função é o intervalo 0 ≤ r ≤ R. Então a velocidade v (cm s-1) é

v=

ΔP (R 2 - r 2 ) 4ηL

onde L representa o comprimento do tubo (cm), ΔP a diferença de pressão entre os dois extremos do tubo (cm-1 g s-2), R e η foram definidos anteriormente. ∗

A palavra poise para a unidade de viscosidade é uma abreviação de Poiseuille, vide bibliografia [5].

Figura 5: Representação da distância r a partir do eixo do tubo.

Claramente, v = 0 para r = R. Para r =0 a velocidade alcança o seu máximo. Então a imagem da função é 0 ≤ v ≤

ΔP 2 R . 4ηL

Para conceituar a lei de Poiseuille, é importante definir primeiramente fluxo, o qual é a quantidade de fluido que passa por um determinado ponto da circulação em um dado período de tempo. Da mesma forma esta definição serve para o fluxo sangüíneo que é, geralmente, expresso em mililitros, ou litros por minuto e no total da circulação de uma pessoa adulta em repouso é de cerca de 5.000 mL por minuto. A isto denomina-se débito cardíaco, porque constitui a quantidade de sangue bombeada por cada ventrículo do coração num período unitário de tempo. Portanto, é claro que essa mesma quantidade de sangue deve passar através de ambas as circulações sistêmica e pulmonar. O fluxo sanguíneo varia bastante nos diferentes tecidos e em determinados tecidos necessitam de um fluxo bem maior do que outros. Tecidos como músculos esqueléticos apresentam grandes variações no fluxo sanguíneo através dos mesmos em diferentes situações: Durante o repouso o fluxo é relativamente pequeno, mas aumenta significativamente durante o trabalho, quando o consumo de oxigênio e demais nutrientes aumenta e a produção de gás carbônico e outros elementos também aumenta. Com isso, a seguinte lei definida por Poiseuille é que o fluxo ϕ de um tubo cilíndrico transportando um líquido viscoso com o raio R, comprimento L, pressão ΔP e coeficiente de viscosidade η:

ϕ=

π R4 8ηL

ΔP.

Esta lei tem extrema importância para o estudo do fluxo sanguíneo [3], e será deduzida na próxima secção.

Fluxo Sanguíneo: Uma Aplicação da Integral de Riemann Vamos agora calcular o volume de sangue que flui através de uma seção da artéria, ou seja, o fluxo sanguíneo. Para tanto, dividamos o intervalo 0 < r < R em n subintervalos iguais, de comprimento Δr, tal que rj seja o início do j-ésimo subintervalo. Estes subintervalos determinam n anéis concêntricos, conforme Figura 6:

Figura 6: Representação de uma artéria subdividida em anéis concêntricos.

Quando Δr é pequeno, a área do j-ésimo anel é aproximadamente igual à área de um retângulo cujo comprimento é a circunferência do menor perímetro do anel e cuja largura é Δr, isto é, Área do j-ésimo anel ≅ 2π rj Δr . A multiplicação da área do j-ésimo anel (cm2) pela velocidade do fluxo sanguíneo através dele fornece a razão (cm3 s-1) com que o sangue escoa. Como a velocidade do sangue através do j-ésimo anel é aproximadamente igual a v(rj) cm s-1, segue-se que: ⎛ Fluxo sanguíneo ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ através do j-ésimo anel ⎠

⎛ área do ⎞⎛ velocidade do sangue ⎞ ≅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ j-ésimo anel ⎠⎝ através do j-ésimo anel ⎠ ≅ ( 2π rj Δr ) v ( rj )

⎡ ΔP ⎤ ≅ ( 2π rj Δr ) ⎢ R 2 - rj2 ) ⎥ ( ⎣ 4ηL ⎦

≅ 2π

ΔP R 2 rj - rj3 ) Δr ( 4ηL

O fluxo através da seção inteira é a soma das razões associadas a cada um dos n anéis concêntricos, ou seja, n

Fluxo ≅ ∑ 2π j =1

ΔP R 2 rj - rj3 ) Δr ( 4ηL

Por conseguinte, quando n cresce ao infinito, o somatório tende para o valor verdadeiro do fluxo, n

Fluxo = ϕ = lim ∑ 2π n →∞

=

∫

R

0

2π

j =1

ΔP R 2 rj - rj3 ) Δr ( 4ηL

ΔP R 2 r - r 3 ) dr ( 4ηL

ΔP ⎛ R 2 2 r 4 ⎞ = 2π r - ⎟ ⎜ 4ηL ⎝ 2 4⎠ =

π R4 8ηL

R

0

ΔP cm3 / s

Esta é a expressão matemática da Lei de Poiseuille. A dependência com o inverso da viscosidade e do comprimento do tubo é natural: quanto mais comprido for o tubo, para uma mesma diferença de pressão, menor deverá ser o fluxo. O mesmo se aplica à dependência com a viscosidade: quanto mais viscoso for o fluido, menor deverá ser o fluxo. Curiosa é a dependência do fluxo sanguíneo com o raio da seção reta ser com a quarta potência de R, [2] e [3]!

Exemplo Para termos uma visão mais ampla da Lei de Poiseuille, e da expressão da velocidade, estudaremos um exemplo numérico, o qual foi escolhido por ser o mais realista possível. Consideremos o sangue arterial com sua maior concentração de O2 ligado à hemoglobina. Para o sangue humano sua viscosidade é um pouco inferior, à do sangue venoso, em média η = 0,027 poise. O sangue flui através de uma arteríola (capilar arterial largo) de comprimento L = 2 cm e raio R = 8 × 10-3 cm. Em uma extremidade, a pressão é maior do que a outra e essa diferença é ΔP = 4 × 103 cm-1 g s-2. Então a velocidade é dada por:

ΔP 4 × 103 2 2 v= (R - r ) = (64 × 10-6 - r 2 ) 4ηL 4 × 0,027 × 2

( cm s ) ⇒ v = 1,185 - (1,85× 10 ) r ( cm s ) -1

4

2

-1

e a seguir ilustraremos a dependência da velocidade com a distância a qualquer ponto do líquido a partir do eixo do tubo, ou seja, r, com o gráfico da Figura 7: 1.4

1.2

Velocidade (cm/s)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4 5 Distancia (cm)

6

7

8 -3

x 10

Figura 7: Gráfico da velocidade x distância em relação ao eixo central da artéria.

E o fluxo é dado por:

ϕ=

π R4 8ηL

ΔP =

π × (8 × 10-3 ) 4 8 × 0,027 × 2

(4 × 103 ) =

π × 4096 × 10-12 0,432

(4 × 103 ) ⇒ ϕ = 1,1914 × 10-4 ( cm3 s −1 )

Veja no gráfico da Figura 8 como o fluxo varia de acordo com a variação do raio da arteríola.

-4

1.2

x 10

1

Fluxo (cm3/s)

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4 Raio (cm)

5

6

7

8 -3

x 10

Figura 8: Gráfico do fluxo x raio da artéria.

Artéria aorta e o fluxo sanguíneo Vamos analisar o que se passa ao nível da artéria aorta, lembrando que artéria aorta é a mais importante artéria do sistema circulatório do corpo humano. Dela se derivam todas as outras artérias do organismo. A aorta se inicia no coração, na base do ventrículo esquerdo, e termina à altura da quarta vértebra lombar, onde se divide nas artérias ilíacas comuns. O poise (P), como havíamos dito, é a unidade de viscosidade dinâmica no sistema CGS de unidades. A unidade análoga no Sistema Internacional de Unidades é o Pascal segundo (Pa·s):1 Pa·s = 1 kg·m−1·s−1 = 10 P (poise) [5]. Assim, tendo em vista que o diâmetro da artéria aorta é cerca de 2 cm, admitindo que o seu comprimento é aproximadamente 40 cm, e que a diferença de pressão é 32.6 Pa, sabendo que a viscosidade do sangue é de aproximadamente de η = 4 × 10-3 Pa s, facilmente se calcula a velocidade do sangue que nela circula no eixo central e o fluxo sanguíneo: v=

ΔP 32.6 2 (R 2 - r 2 ) = ( 0.01) ⇒ v = 0,51 ( m s-1 ) e -3 4ηL 4 × 4 × 10 × 0.4

ϕ=

π R4 8ηL

ΔP ⇒ ϕ =

π × (10-2 )4 8 × 4 × 10-3 × 0,4

(32,6) ⇒ ϕ = 8 × 10-5 ( m3 s −1 )

Infarto O miocárdio (músculo do coração) recebe alimentos e oxigênio através das artérias coronárias, os primeiros ramos da aorta, ou seja, o coração é o primeiro a usufruir de seu próprio trabalho. Uma das formas de ocorrer um infarto é pelo acúmulo de colesterol (lipoproteína de alta densidade) que pode se acumular nas paredes da aorta, dificultando a nutrição do miocárdio, e, isto ocasiona uma redução na área transversal da aorta e produz uma pressão dinâmica maior, ocasionando uma redução na pressão mecânica (veja Figura 9). Com uma redução da pressão mecânica, ocorre um refluxo na coronária e conseqüentemente uma isquemia (suspensão localizada de irrigação sanguínea devida à má perfusão circulatória arterial). Sem receber nutriente e oxigênio o músculo cardíaco morre, isto é, ocorre o infarto agudo do miocárdio. Existem outras formas de ocorrer infarto, como por exemplo, pela aterosclerose (entupimento) das coronárias em virtude do acúmulo de LP(a) e LDL, dois tipos de colesteróis, chamados de maus colesteróis.

Figura 9: Representação do coração após ocorrer infarto, e em destaque a artéria obstruída.

Com esta definição, vamos verificar o que acontece com o fluxo sanguíneo caso haja um entupimento parcial de uma artéria. Suponha que ocorra uma obstrução nessa artéria de 25%, assim vamos modelar duas situações de obstrução cujas aproximações serão descritas nas Figuras 10 e 11.

Assim, como feito anteriormente, vamos agora calcular o volume de sangue que flui através de uma seção da artéria obstruída, ilustrada na Figura 10. Dividindo o intervalo 0 < r < R em n subintervalos iguais, de comprimento Δr, tal que rj seja o início do j-ésimo subintervalo. Assim, a área do j-ésimo anel é aproximadamente igual à área de um retângulo cujo comprimento é a circunferência do menor perímetro do anel e cuja largura é Δr. A circunferência do menor perímetro do anel que estamos considerando agora é dado por: 2π rj −

π 2

rj ≅

3π 3π rj , e então a área do j-ésimo anel é rj Δr . 2 2

Figura 10: Representação uma artéria com 25% de obstrução na área da seção transversal.

Logo, podemos obter o fluxo sanguíneo: ⎛ Fluxo sanguíneo ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ através do j-ésimo anel ⎠

⎛ área do ⎞⎛ velocidade do sangue ⎞ ≅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ j-ésimo anel ⎠⎝ através do j-ésimo anel ⎠ ⎛ 3π ⎞ ≅⎜ rj Δr ⎟ v ( rj ) ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ rj Δr ⎟ ⎣⎡ k ( R 2 - rj 2 ) ⎦⎤ ≅⎜ ⎝ 2 ⎠ ≅

onde, k =

3π k ( R 2 rj - rj3 ) Δr 2

ΔP . 4ηL

Assim como feito anteriormente, integrando essa expressão obteremos: 3π kR 4 cm3 / s . Fluxo = ϕ = 8

Da mesma maneira, vamos agora calcular o volume de sangue que flui através de uma seção da artéria obstruída, ilustrada na Figura 11.

Figura 11: Representação uma artéria com 25% de obstrução na área da seção transversal.

Como a área da seção transversal da artéria será reduzida de 25% teremos:

π R 2 − 100% 3 ⇒t = R. 2 4 π t − 75% Desse modo, a velocidade será dada por: ⎛3 ⎞ v = k1 (t 2 - r 2 ) ⇒ v = k1 ⎜ R 2 - r 2 ⎟ , ⎝4 ⎠

onde, k1 =

ΔP . 4ηL

Então o fluxo será dado por: n ⎛3 ⎞ Fluxo = ϕ = lim ∑ 2π k1 ⎜ R 2 rj - rj3 ⎟ Δr n →∞ ⎝4 ⎠ j =1

=

∫

3R 4

0

⎛3 ⎞ 2π k1 ⎜ R 2 r - r 3 ⎟ dr ⎝4 ⎠

⎛3 r2 r4 ⎞ = 2π k1 ⎜ R 2 ⎟ 2 4⎠ ⎝4

135π k1R 4 = . 512

3R 4

0

Anemia A anemia é uma anomalia caracterizada pela diminuição da concentração da hemoglobina dentro das hemácias e pela redução na quantidade de hemácias no sangue. Isso resulta em uma redução da capacidade do sangue em transportar o oxigênio aos tecidos, pois a hemoglobina, uma proteína presente nas hemácias, é responsável pelo transporte de oxigênio dos pulmões para os demais órgãos e tecidos e de dióxido de carbono destes para ser eliminado pelo pulmão. Os sintomas da anemia são variáveis, sendo os mais comuns fadiga, fraqueza, palidez (principalmente ao nível das conjuntivas), déficit de concentração ou vertigens. Nos quadros mais severos podem aparecer taquicardia, palpitações. Afeta também a gengiva (causando, em casos mais graves, o seu sangramento). Um dos sintomas acima, a taquicardia, se deve ao fato do sangue de uma pessoa anêmica apresentar menor viscosidade e, consequentemente, um maior fluxo através de seus vasos. Desse modo, para verificar esse fato, usamos a equação de fluxo, assim: Fluxo =

π R4 8ηL

ΔP cm3 / s

com R o raio da artéria, L o comprimento da artéria, η a viscosidade do sangue e ΔP a variação da pressão. Como uma pessoa anêmica tem uma menor viscosidade, pela equação percebemos que: ↑ Fluxo =

π R4 ↓ 8ηL

ΔP cm3 / s

diminui o valor do denominador, e então haverá um aumento do fluxo. Isto justifica o aumento dos batimentos cardíacos.

Conclusão Neste trabalho estudamos uma aplicação da Integral de Riemann em um fenômeno biológico, demonstrando a Lei de Poiseuille e a fórmula do Fluxo Sanguíneo. A partir destes conhecimentos modelamos duas situações de obstrução de uma artéria e calculamos a “nova” fórmula do fluxo sanguíneo desta artéria obstruída.

Referências Bibliográficas [1] Amabis & Martho, Biologia do organismo 2. Editora Moderna, volume único. [2] Batschelet, E., Introdução à matemática para biocientistas. São Paulo: EDUSP,1978. Hoffman, L. D.; Bradley, G. L., Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC,2002.

[3]

[4] http://wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann [5] http://pt.wikipedia.org/wiki/Poise [6]http://w3.ualg.pt/~cmsilva/documentos/AulaTP_1_F%C3%ADsica_M%C3%A9dica .pdf

O Uso de Modelagem Matemática no Cálculo do Volume de uma Maçã Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática

Alessandra Ribeiro da Silva

Carlos Henrique Tognon

Milena Almeida Leite Brandão

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Rosana Sueli da Mota Jafelice [email protected]

Introdução Presume-se que o cultivo da macieira (Figura 1), tenha-se iniciado há 25 milhões de anos, tendo como centro de origem a região entre o Cáucaso e o leste da China. No império Romano, a cultura da macieira já estava bastante difundida. No entanto, é muito provável que o desenvolvimento das espécies atuais tenha-se iniciado após o final da última era glacial, portanto, há 20.000 anos. As migrações dos povos euroasiáticos colaboraram para a disseminação das formas primitivas das macieiras atuais.

Figura 1 e 2 - Macieira florida e plantação de maçãs, respectivamente [4].

O início das plantações de maçã no Brasil (Figura 2) ocorreu, provavelmente no município de Valinhos, estado de São Paulo, pelo fruticultor Batista Bigneti que, em 1926, tinha plantas da Cultivar Ohio Beauty. Com a criação em 1928 da Estação Experimental de São Roque, em São Paulo, pelo Instituto Agronômico de Campinas, foi dado o passo inicial na pesquisa sobre macieira no Brasil.

Objetivos Este trabalho teve com objetivo calcular o volume de uma maçã utilizando vários métodos e modelar o processo de resfriamento da maçã através da formulação de uma equação que expresse seu comportamento.

Considerações Desde o plantio até a armazenagem da maçã, há vários fatores que podem ser analizados, por exemplo a escolha de terreno, o solo, a aração, herbicídas, colheita e armazenagem. Mas consideraremos apenas este último. O objetivo do armazenamento é manter a qualidade interna e externa da fruta, assegurarando o perfeito funcionamento das câmaras de conservação, por meio da observação periódica dos equipamentos de refrigeração e controle de gases. O armazenamento das frutas é feito nas câmaras frigoríficas. Antes de entrar na câmara fria, a maçã recebe um banho, atravessando um tanque de água gelada (-3°C), sobre uma esteira circulante, durante 25 minutos, saindo numa temperatura média de 6.5°C. A temperatura média da câmara é de 1.5° C e tem capacidade para armazenar 600 bins (caixas). As maçãs podem permanecer na câmara de 5 a 8 meses até a sua comercialização. Se as maçãs forem comercializadas imediatamente após a colheita, então dispensa-se o trabalho do banho e do armazenamento em câmaras. Inicia-se então a secagem e classificação. As frutas são retiradas da câmara fria e levadas para o classificador onde são separadas as estragadas. Recebem um jato de água passando dali para a desumidificação e polimento. Em seguida, vão para o secador com temperatura de 45°C e, finalmente, é feita a classificação. A classificação é feita pelo peso e também pelo tamanho das maçãs que são acondicionadas em caixas com capacidade de 20kg. Cada caixa comporta de 88 a 250 unidades.

Curiosidades 1) Há mais de 7.500 espécies e variedades de maçãs, veja Figura 3. As diferentes espécies encontram-se em climas temperados e subtropicais.

Figura 3 - Variedades de maçãs [4].

2) As macieiras não florescem em áreas tropicais, por exemplo, as variedades da família Gala necessitam de um inverno com cerca de 700 horas de frio com temperaturas de 7,2°C; 3) A maçã fermentada é utilizada para elaborar bebidas alcoólicas (Figura 4), como a sidra asturiana, o Calvados francês e a sagardua basca;

Figura 4 - Elaborado de Normandia.

4) A maçã possui as seguintes vitaminas: B1, B2 e Niacina, e também contém sais minerais como Fósforo e Ferro.

Nota Histórica e Definições Para uma melhor compreensão do conteúdo deste trabalho, faz-se necessário neste momento uma introdução histórica no que diz respeito ao assunto Cálculo Diferencial e Integral, alguns resultados sobre centróides, o Teorema de Pappus e um dos princípios fundamentais da hidrostática. É o que se segue imediatamente. A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis. O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada “Era da Ciência Moderna”, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543). Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas. A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O inconveniente do método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de um tipo particular de aproximação. O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos (Figura 5).

Figura 5 - Calculando área por aproximação de retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo. A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauby (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos, mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções. Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante acessível aos alunos de um curso inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um curso desta natureza. Agora veremos como a integração pode ser utilizada no cálculo de centróides. Considere a distribuição contínua de massa numa região R (chapa fina de material homogêneo) do plano xy com densidade superficial G massa por unidade de área) constante, conforme a Figura 6.

Figura 6 - Uso de integração para o cálculo de centróides [3].

O momento dessa região em relação ao eixo y e em relação ao eixo x é dada pelas expressões: b

My

³ xGf ( x)dx a

d

Mx

³ yGg ( y)dy c

respectivamente, onde f(x)dx é a área do retângulo vertical e sua massa é Gf(x)dx, g(y)dy é a área do retângulo horizontal e sua massa é Gg(y)dy. A massa total da chapa pode evidentemente ser expressa de duas maneiras, b

m

d

³ G f ( x)dx ³ G g ( y)dy. a

c

O centro de massa x, y da chapa é agora definido por b

x

d

³ xG f ( x)dx a b

My m

³ G f ( x)dx

y

e

³ yG g ( y)dy c d

³ G g ( y)dy

a

Mx . m

c

Como a densidade é constante podemos eliminá-la por cancelamento e as fórmulas tornam-se:

x

b

d

³ xf ( x)dx

³ yg ( y)dy

a b

e

³ f ( x)dx a

y

c d

.

³ g ( y)dy c

Exemplos 1) Cálculo do centróide de um retângulo. Considere o retângulo de altura h e base b e portanto de área hb, conforme Figura 7.

Figura 7 - Centróide de um retângulo [3]. b

Temos: x y

³ x hdx 0

hb

b

1 ª1 2 º hx » hb «¬ 2 ¼0

1 ª1 2º hb » hb «¬ 2 ¼

1 b e de modo análogo, encontramos 2

1 §1 1 · h , logo o centróide é o ponto ¨ b, h ¸ que é obviamente o centro do retângulo. 2 ©2 2 ¹

2) Determinar o centróide da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela curva y = 4 - x2, conforme Figura 8.

Figura 8 - Centróide da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela curva y = 4 - x2 [3]. 2

2

Usando o retângulo vertical, vemos que a área da região é A

Logo, x

³ xdA A

2

2

3 3 ª 2 1 4º x(4 x 2 )dx 2x x » ³ 16 0 16 «¬ 4 ¼0

Analogamente, usando um retângulo horizontal, temos y

1 3º ª 2 ³0 (4 x )dx «¬4x 3 x »¼0

16 . 3

3 . 4

³ xdA A

4

3 y 4 ydy. 16 ³0

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = 4 - y. Assim, y = 4 - u e dy = -du e os novos limites de integração serão 4 e 0: 4

4

4

4

3 3 12 3 3 ª8 3 2 2 5 2 º (4u1 2 u 3 2 )du y y 4 ydy u (4 u)(du) u u » ³ ³ ³ 16 0 16 0 16 0 16 «¬ 3 3 ¼0

3 § 64 64 · 8 ¨ ¸ . 16 © 3 5 ¹ 5

§ 3 8· Portanto, o centróide é o ponto ¨ , ¸ . © 4 5¹

Dois belos teoremas geométricos relacionando centróides com sólidos e superfícies de revolução foram descobertos no século quatro antes de Cristo, por Pappus de Alexandria, o último dos grandes matemáticos gregos. Neste trabalho utilizaremos apenas um deles que passamos a descrever. Primeiro Teorema de Pappus: Considere uma região plana que está inteiramente de um lado de uma reta do plano. Se essa região é girada ao redor da reta que desempenha a função de eixo, então o volume do sólido gerado dessa maneira é igual ao produto da área da região pela distância percorrida pelo centróide ao redor do eixo[3].

Voltemos nossa atenção agora para outro matemático grego, Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.), este, além de matemático era inventor. Nasceu na cidade-estado grega de Siracusa, na ilha da Sicília e foi o mais importante matemático da Antiguidade. Em Física, no seu Tratado dos Corpos Flutuantes, estabeleceu as leis fundamentais da

estática e da hidrostática. Um dos princípios fundamentais da hidrostática é assim enunciado: "todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre uma impulsão vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado, e aplicado no centro de impulsão." O centro de impulsão é o centro de gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo. Isto quer dizer que, para o objeto flutuar, o peso da água deslocada pelo objeto tem de ser maior que o próprio peso do objeto. Conta-se que certa vez, Hierão, rei de Siracusa, no século III a.C. havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade que supostamente o protegera em suas conquistas, mas foi levantada a acusação de que o ourives o enganara, misturando o ouro maciço com prata em sua confecção. Para descobrir, sem danificar o objeto, se o seu interior continha uma parte feita de prata, Hierão pediu a ajuda de Arquimedes. Este pôs-se a procurar a solução para o problema, a qual lhe ocorreu durante um banho. A lenda afirma que Arquimedes (Figura 9) teria notado que uma quantidade de água correspondente ao seu próprio volume transbordava da banheira quando ele entrava nela e que, utilizando um método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pesos de prata e ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade de líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta, Arquimedes teria saído à rua nu, gritando Eureka! Eureka! (Encontrei! Encontrei!).

Figura 9 - Arquimedes.

Outro matemático importante foi Pappus de Alexandria (Figura 10) e foi conhecido por seu trabalho Synagoga ou Coleção. Ele foi um egípcio helenizado nascido em Alexandria, Egito. Entretanto, muito pouco se conhece sobre sua vida e os escritos gravados sugerem que ele era professor.

Figura 10 - Pappus de Alexandria.

Vejamos agora algumas definições que serão necessárias para o cálculo do volume de um sólido de revolução.

1) '

{x 0 ,..., x n } é uma partição do intervalo fechado [a, b], com pontilhame nto [

se a

x 0 x 1 ... x n -1

b e x i -1 d [ i d x i , 1 d i d n.

2) A norma de uma partição ' '

{x 0 , x 1 ,..., x n }, de [a, b], é dada por :

max{'x i },1 d i d n onde 'x i

3) Seja f : [a, b] o R contínua O sólido

{[ 1 ,..., [ n },

de revolução

x i x i -1

e tal que f(x) t 0, x [a, b].

obtido pela rotação em torno do eixo, da região

aex b, possui volume pela curva y f(x), o eixo e as retas x n dado por V lim ¦ S ( f ( [ i )) 2 ' x i S ³ab [ f(x)] 2 dx. Veja Figura 11. ' o0 i 1 limitada

Figura 11 - Sólido obtido por rotação de uma curva.

Exemplos 1) y

3 2

2

§ 32 · S ³ ¨¨ x ¸¸ dx 0© ¹ 4

x oV

4

x4 S 4

3

S ³ x dx 0

4

64S 0

8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 12 - Gráfico da função y = x1.5. a 2

2) x y

2

2

a o y

2

a x

2

oV

2

2

2 ³ S a x dx 0

§ x3 2S ¨¨ a 2 x 3 ©

a

· ¸¸ ¹0

4S a 3 3

Figura 13 - Uso da integração para o cálculo do volume de uma esfera [3].

Metodologia A aproximação do volume de uma maçã será feita utilizando-se conceitos de cálculo diferencial e integral, conhecimentos de geometria espacial e um teorema, conhecido como teorema de Pappus. É importante também ressaltar que a maioria dos problemas levantados neste processo de modelagem diz respeito à geometria do objeto em estudo, no caso a maçã. Este destaque para a parte visual é importante, visto que assim se consegue uma melhor compreensão do que está acontecendo além de aguçar a imaginação geométrica. Para modelar o processo de resfriamento da maçã serão utilizadas equações de diferenças [1]. Os modelos matemáticos utilizados para o cálculo do volume de uma maçã estão colocados em uma seqüência que obedece a um nível gradativo de dificuldade e complexidade conceitual. No entanto, isto não significa necessariamente que o resultado obtido para a

aproximação do volume da maçã seja tão mais preciso quanto maior for a complexidade do modelo.

Desenvolvimento Existem vários métodos matemáticos para calcular o volume de uma maçã. Logo, escolhemos os seguintes métodos para este cálculo: teorema de Pappus, fórmula do volume da esfera, fatiando uma maçã e usando integração. Este estudo foi realizado baseado em um modelo apresentado em [1].

1. Problema: Como calcular o volume de uma maçã?

Teorema de Pappus!

Fatiando a maçã! Integração!

Volume da esfera!

Figura 14 - Etapas de uma modelagem [1].

1º Método: Utilizando a fórmula do volume da esfera Envolvendo a maçã com um barbante (Figura 15) obtemos uma circunferência cujo comprimento é de 26.2cm. Sabendo que o comprimento de uma circunfência é dado pela fórmula 2S R temos que R = 4.1698cm. 4 o Volume da esfera: V S r3 . 3

Figura 15 - Medindo a circunferência da maçã com um barbante [1].

Aplicando a fórmula do volume de uma esfera obtemos um valor "aproximado" superior ao volume da maçã: Vmax 4 u 3.1416 u (4.1698)3 3 303.6934 cm3 . Cortando-se a maçã ao meio (no sentido longitudinal), mede-se o raio r do círculo inscrito na face plana da maçã: r = 2.95cm, e obtém-se um valor mínimo para o volume da maçã: Vmin 4 u 3.1416 u (2.95) 3 / 3 107.5364cm 3 Calculando a média, entre o volume máximo e este mínimo, segue que: Vmaça | (303.6934 107.5364) 2

205.6149 cm3

.

2º Método: Utilizando o teorema de Pappus Pelo teorema de Pappus temos que o volume do sólido de revolução é igual ao produto da área da região : pela distância d percorrida pelo centróide ao redor do eixo. Como d = 2 S h e sendo A a área da região : temos que V = 2 S hA. A Figura 16 mostra uma meia fatia de maçã e h é determinado experimentalmente medindo a distância entre o eixo da maçã (a partir do centróide) até a borda e considerando a metade deste comprimento. Determinamos geometricamente a área A através de um papel milimetrado: A

22.875 cm 2 e h

2.1 cm V

2S hA

301.8292 cm3 .

Figura 16 - Volume da maçã pelo Teorema de Pappus [1].

3º Método: Fatiando a maçã (i) Retângulos internos (Figura 17). 21

¦ S'(r )

V

2

235.5cm 3

i

i 1

Usamos '

0.2cm e

4.2 0.2

21 fatias cilíndricas.

Figura 17 - Fatiando a maçã [1].

(ii) Retângulos externos (Figura 18). 21

V

¦ S'(r ) i

2

247.06cm 3

i 1

3 Volume total | (235.5 + 247.06)/2 = 241.28 cm .

Figura 18 - Fatiando a maçã [1].

4º Método: Usando integração (i) Aproximando a configuração do corte central da maçã por uma circunferência (Figura 19).

O volume de cada fatia é dado por

Vi = S y 2 'x .

Volume total: 4.1

4.1

V

2

³Sy

2

§ x3 · 2S ¨ 16.81x ¸ V © 3 ¹0

dx

0

288.6963 cm3

Figura 19 - Usando integração para calcular o volume da maçã [1].

(ii) Aproximando por uma parábola y = ax2 + bx + c (Figura 20). Os pontos dados da curva são: P1

4.1, 0 ,

P2

0,

2.7 e P3

1,3.2 .

Desta maneira, como P2 = (0, 2.7) temos que y = ax2 + bx + 2.7 e P1 e P3 nos fornecem o sistema: 2.7 16.81 a 4.1b ® 0.5 ¯a b Resolvendo o sistema temos que a = -0.3737 e b = 0.8737 e, portanto, y 0.3737 x 2 0.8737 x 2.7.

Figura 20 - Aproximando o formato da maçã por uma parábola [1].

Usando integral, pode-se determinar o volume do sólido de revolução da parábola (“aproximadamente” metade do volume da maçã). Assim, 4.1

Vmaça =2 S

³ (0.3737 x 0

2

0.8737 x 2.7) 2 dx

169.2408 cm3 .

Conclusão Parcial Cabe ressaltar que neste caso específico, de calcular volume de uma maçã, um processo mecânico seria o mais indicado para a avaliação, tanto em termos de simplicidade como de precisão. Este processo, devido a Arquimedes, é o seguinte: Mergulha-se a maçã num recipiente cheio de água e o volume do líquido deslocado é igual ao volume da maçã. Com a utilização deste experimento, o volume encontrado para a maçã foi de 310 cm3 .

2. Um Exemplo de Modelo Variacional Para se fazer a formalização de um modelo variacional o conteúdo matemático que é utilizado baseia-se nas equações diferenciais ordinárias e equações de diferenças.

Processo de resfriamento da Maçã Para que a maçã possa ser estocada ela deve primeiramente ser submetida a um processo de resfriamento, o qual é feito com a utilização de um tanque de resfriamento. A Figura 21 mostra os elementos que compõem o sistema de resfriamento com água.

Figura 21- Tanque de refrigeração [5].

O processo de resfriamento é uma das mais importantes etapas pós colheita que consiste na remoção rápida de calor do campo dos frutos antes do armazenamento ou comercialização. A maioria das câmaras de armazenagem não possui suficiente capacidade de refrigeração e nem o movimento de ar com velocidade suficiente para efetuar um resfriamento rápido dos produtos recém armazenados. Desta forma, este pré-resfriamento, geralmente, é uma operação separada e que necessita de equipamentos de maior capacidade de refrigeração. A Tabela 1 relaciona as condições para o armazenamento refrigerado de alguns tipos de maçãs.

Cultivares Gala e mutações Fuji Golden Delicious Belgolden Braeburn

Temperatura (°C) 0 -1 a 0 0 0 0

Umidade Relativa (%) 94-96 92-96 94-96 94-96 92-96

Período de armazenamento 4-5 meses 6-7 meses 5-6 meses 5-6 meses 6-7 meses

Tabela 1

O Brasil, apesar de ser um país tropical, dispõe de poucos resfriadores comerciais. Além disso, pela falta de conhecimento dos produtores, o armazenamento ainda é feito de forma bastante precária e o pré-resfriamento dos frutos geralmente não é efetuado. Este fato, juntamente com a entrada de novas cargas ainda não resfriadas na unidade de armazenamento, faz com que o processo de resfriamento na câmara seja muito demorado e irregular, principalmente em função da oscilação de temperatura. Antes da maçã entrar na câmara fria, que está à uma temperatura média de 1.5°C, o fruto recebe um banho num tanque à uma temperatura de -3°C. A passagem pelo tanque é feita sobre uma esteira circulante e dura cerca de 25 minutos. O objetivo deste banho é fazer com que a temperatura da maçã alcance cerca de 6°C. Na saída do tanque, a temperatura da maçã é avaliada (por amostragem) e, caso não tenha atingido o valor ideal para estocagem, o lote de maçã deve passar novamente pelo tanque. Este processo de retorno ao tanque, além de atrasar a estocagem, ocupa uma maior mão-deobra e por conseguinte acarreta prejuízos ao agricultor. Este transtorno ocorre porque a temperatura do meio ambiente é variável e a velocidade da esteira é constante (a máquina é construída para atender à termperatura ambiente de, no máximo, 26°C). Em um primeiro momento, temos o seguinte problema: “Se a maçã entra no tanque a uma temperatura T0 (temperatura inicial), quantos minutos deve permanecer neste banho para sair com uma temperatura de 7°C?” Para se tratar desta questão, usa-se a lei de resfriamento de Newton. Esta supõe que a variação da temperatura é proporcional à diferença de temperatura do objeto e do ambiente (em condições ideais). O Modelo Matemático que traduz a lei de resfriamento de Newton pode ser dado por uma equação de dierença, da seguinte maneira [1]: Tt 1 Tt K ( Tt T a ) (1) onde: x Tt : temperatura da maçã no instante t; x T0 : temperatura inicial (quando entra no tanque); x Ta : temperatura ambiente (do tanque) igual a -3°C; x K = coeficiente de resfriamento da maçã. Solução: A equação (1) pode ser reescrita por

Tt 1 ( K 1)Tt K Ta (2) que é uma fórmula de recorrência para qualquer valor Tt, uma vez que Ta = -3 e T0 é dado. A solução de (2) pode ser obtida usando-se o processo de recorrência:

T1 aT 0 b T2

( tomando a K 1 e b K Ta )

aT1 b a 2T0 ab b

T3 aT 2 b a 3T0 a 2 b ab b # Tn

(3)

a nT0 b ( a n 1 a n 2 " a 1)

O termo entre parêntesis de (3) é a soma de uma progressão geométrica de razão a ! 1, então, como a soma dos termos de uma P.G. de razao a ! 1 é dada por

a

n

1 (a 1), onde s1 é o primeiro termo da P.G., segue imediatamente que:

Sn

s1

Tn

a n T0 b(a n 10) (a 1) , ou

(4)

a T0 b (a 1 b (a 1) ) (5) Se considerarmos que a temperatura média inicial da maçã é 25°C e que, depois de passar pela esteira durante 25 minutos, sua temperatura é T25 = 6.5°C, podemos calcular o valor de K= a + 1. De (5), podemos escrever Tn

Tn

n

( K 1) n (T0 Ta ) Ta

(6)

Logo, 6.5

(k 1) 25 28 3 (k 1) 25 1

ln (k 1)

9.5 25 ln (k 1) 28

§ 9.5 · ln¨ ¸ © 28 ¹

1

§ 9.5 · 25 § 9.5 · 25 ln¨ ¸ k ¸ k 1 ¨ © 28 ¹ © 28 ¹

-0.0423

Considerando a solução (6), pode-se escrevê-la como: Tt (0.95768)t (T0 Ta ) Ta com T0 e Ta dados.

(7)

Figura 22 - Temperatura da Maçã no Tanque x Tempo. Observando o gráfico da Figura 22 que relaciona a temperatura da maçã no tanque com o tempo em que esta permanece imersa, verifica-se que quanto maior o tempo (em minutos) que a maçã fica no banho menor é a temperatura (em °C), como desejado. Para se encontrar o tempo que a maçã deve permanecer no tanque de resfriamento em função da temperatura final Ttf (depois de passar pelo tanque), usa-se a equação (7) e obtém-se: Tt f Ta § Tt Ta · (0.95768)t (8) t 23.1259 ln ¨ f ¨ T T ¸¸ T0 Ta a ¹ © 0 Se Ta = -3 e considerando-se fixa a temperatura Ttf = 6.5 no fim do banho, pode-se colocar t em função de T0 (temperatura inicial da maçã). A Tabela1, fornece os valores de t para Ttf = 6.5°C e Ttf = 7°C. O valor de t* é o tempo ideal, superestimado para a maçã permanecer no tanque. Da Tabela 1, observa-se que, se T0 d 26°C , então 25 minutos no tanque é tempo

suficiente para se ter Ttf d 7°C. Se 26°C < T0 < 32°C, o banho deveria durar até 30 minutos; e se o dia estiver bem quente onde 32°C d T0 d 38°C, então o tempo necessário para a maçã atingir a temperatura de 7°C chega a ser 33 minutos.

Tf = 6.5ºC T0 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

ln(9.5/(T0+3)) -0,83975 -0,8842 -0,92676 -0,99675 -1,006804 -1,44545 -1,08091 -1,09199 -1,149905 -1,1826954 -1,2144441 -1,2452157 -1,2750687 -1,3040562 -1,3322271 -1,3596261 -1,3862943 -1,412227 -1,437588 -1,4622803

Tf = 7ºC tc 19,42 20,45 21,43 22,37 23,28 24,15 25 25,8 26,59 27,35 28,08 28,8 29,49 30,16 30,81 31,44 32,06 32,62 33,25 33,8

t 19'25'' 20'27'' 21'26'' 22'32'' 23'17'' 24'15'' 25' 25'48'' 26'36'' 27'31'' 28'5'' 28'48'' 29'29'' 30'10'' 30'49'' 31'26'' 32'4'' 32'37'' 33'15'' 33'48''

ln(10/(T0+3)) -0,78845 -0,83291 -0,87547 -0,91629 -0,9555 -0,99325 -1,03 -1,0647 -1,09812 -1,1314 -1,1632 -1,19392 -1,22378 -1,25276 -1,28093 -1,30833 -1,335 -1,36098 -1,3863 -1,41098

tc 18,23 19,26 20,25 21,2 22,1 22,97 23,8 24,6 25,4 26,17 27 27,6 28,3 29 29,62 30,25 30,87 31,5 32 32,63

t 18'14'' 29'15'' 20'15'' 21'12'' 22'6'' 22'58'' 23'48'' 24'36 25'24'' 26'10'' 27' 27'3'' 28'18'' 29' 29'37'' 30'15'' 30'52'' 31'3'' 32' 32'37''

t* 19' 20' 21' 22' 23' 23' 24' 25' 26' 27' 28' 28' 29' 30' 31' 31' 32' 32' 33' 33'

Tempo necessário para atingir Ttf

Tabela 2 - Temperatura inicial x Tempo necessário para atingir Ttf.

Temperatura inicial Figura 22 - Temperatura inicial x Tempo necessário para atingir Ttf.

Analisando o gráfico da Figura 22 se verifica que quanto maior for a temperatura inicial da maçã maior é o tempo necessário para que ela alcance tanto a temperatura final 6.5°C quanto 7°C. E ainda quanto menor a temperatura final maior deve ser o tempo de duração no banho.

Conclusão Durante o processo de desenvolvimento do trabalho verificamos a importância de entender conceitos matemáticos para aplicá-los de uma maneira adequada e correta nas situações problemas que foram encontradas durante o percurso de modelagem de tais situações. Além disso, é conveniente mencionar que foi necessário fazer um embasamento histórico para as questões abordadas aqui, com o objetivo de proporcionar ao leitor uma melhor compreensão dos fatos e da metodologia utilizada. Finalmente, cabe ressaltar que todo processo de modelagem teve como suporte um conteúdo matemático, para que assim os modelos pudessem ser executados. Este processo também contou com o auxílio de conceitos específicos sobre o assunto tratado. Comparando os seguintes métodos: Teorema de Pappus, fatiando uma maçã, volume da esfera e integração com o princípio de Arquimedes observa-se que o 1º método teve uma aproximação melhor enquanto que a aproximação por uma parábola foi o menos preciso. Em termos operacionais o 2° método apresentou dificuldades de execução em relação aos demais. Durante o processo de estocagem da maçã é necessário o seu armazenamento a uma temperatura de 6.5°C. Para tanto, utilizamos equações de diferenças para expressar matematicamente a temperatura desta no tanque e com isto descobrir o tempo necessário no banho. Assim, com os resultados obtidos o agricultor poderá reduzir seus gastos tanto com mão de obra quanto em relação a atrasos na estocagem.

Bibliografia [1] R.C.Bassanezi. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. Editora Contexto, 2004. [2] Shenk, Al.. Cálculo e geometria analítica: volume 1. Editora Campus, 1991. [3] Simmons, George F..Cálculo com geometria analítica : volume 1. Editora McGraw-Hill, Ltda,1987. [4] site http://pt.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%A7%C3%A3 [5] site http://www.scielo.br/img/revistas/cta/v23n2/2a12f02.gif

O USO DE TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO PARA DETERMINAR UMA DIETA ALIMENTAR SAUDÁVEL E ECONÔMICA. Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Alessandra Ribeiro da Silva

Carlos Henrique Tognon

Milena A. Leite Brandão

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[email protected]

Rosana Sueli M. Jafelice [email protected]

Introdução Uma alimentação equilibrada ou balanceada é aquela que oferece numa mesma refeição pelo menos um alimento de cada grupo (Energéticos, Construtores e Reguladores), pois assim conseguimos todos os nutrientes que nosso corpo precisa para viver em harmonia. Isso significa que o consumo de uma variedade de alimentos (Figura 1) é essencial para a obtenção do equilíbrio de nutrientes indispensáveis para satisfazer as necessidades fisiológicas e psicológicas de um indivíduo. Assim, é necessário uma dieta composta de proteínas, carboidratos, gorduras, fibras, cálcio e outros minerais, como também rica em vitaminas. Para isto necessitamos de uma dieta variada, que tenha todos os tipos de alimentos, sem abusos e também sem exclusões. Esta dieta pode ser constituída por três grupos básicos de alimentos, os alimentos energéticos, construtores e reguladores. Figura 1: Diversidade de alimentos. Os Alimentos Energéticos fornecem energia. Alguns exemplos dos alimentos deste grupo são óleo, manteiga, margarina, bacon, açúcar, mel, pão, cereal matinal, biscoito, bolo, doces, sorvete, arroz, macarrão, milho, batata, mandioca, farinhas e outros. Os chamados Alimentos Construtores auxiliam no crescimento e restabelecimento dos tecidos. Os alimentos que fornecem os nutrientes necessários à construção destes tecidos estão neste grupo. Alguns exemplos clássicos são carnes (boi, frango, porco, peixe, outros), leite e derivados (iogurte, queijo, requeijão, outros), ovos, feijão, ervilha, soja e outros.

Também se tem os denominados Alimentos Reguladores. São aqueles que regulam o funcionamento do corpo. O organismo precisa de nutrientes para regular seu funcionamento, para prevenir certas doenças como gripes e resfriados e para ajudar na digestão dos alimentos. Os nutrientes reguladores são as vitaminas (por exemplo, A, B, C, D, E, K) e os minerais (ferro, cálcio, sódio, potássio, zinco e outros). Este grupo é composto por alimentos tais como as frutas (banana, limão, laranja, maçã e outras), legumes e verduras (cenoura, chuchu, abobrinha, alface, couve, agrião e outros).

Metodologia É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelo matemático, é construída levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos encontrar as quantidades necessárias para se ter uma boa alimentação gastando o mínimo possível por meio da análise de nutrientes nos alimentos presentes em diversos cardápios. Desta forma, escolhemos um cardápio de um site [1] e outro fornecido pelo recordatório de 24 horas realizado por um paciente da pós-graduanda em nutrição clínica Juliana Dias Borges e através de técnicas de otimização, usando o software Matlab, faremos a análise destes cardápios. A pesquisa de preços foi feita no supermercado Extra e no Sacolão Center.

Objetivos O objetivo deste trabalho é verificar se os cardápios escolhidos conciliam uma boa alimentação com um custo mínimo avaliando as quantidades necessárias de cada alimento e se satisfazem todos os nutrientes necessários. E também resolver alguns problemas matemáticos relacionados à alimentação.

Pirâmide Alimentar Flexível e cheia de opções, a Pirâmide Alimentar (Figura 2) pode ser o seu guia para uma dieta equilibrada e alimentação saudável [4]. Ela foi desenvolvida pelo departamento de agricultura americano e oferece orientação simples e fácil para você escolher seu cardápio respeitando as sete diretrizes: 1) Coma uma diversidade de alimentos. 2) Mantenha um peso saudável. 3) Escolha uma dieta com pouca gordura, colesterol e gordura saturada. 4) Escolha uma dieta rica em vegetais, frutas e grãos. 5) Use açúcar com moderação. 6) Use sal com moderação. 7) Se consome bebidas alcoólicas, beba com moderação.

Grupo dos óleos e gorduras!

Grupo dos açúcares!

Grupo do leite, queijo e iogurtes!

Grupo das carnes e ovos!

Grupo das verduras e legumes!

Grupo das leguminosas! Grupo das frutas!

Grupo dos cereais, raízes e tubérculos!

Figura 2: Pirâmide alimentar.

Na próxima seção, definimos a teoria de Programação Linear que será utilizada para a resolução do problema que vamos estudar.

Preliminares Sistemas lineares Um dos problemas que aparece com elevada freqüência nas aplicações da Matemática é a resolução de sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares é uma coleção finita de n variáveis e n equações lineares (todas nas mesmas variáveis), consideradas em conjunto e normalmente apresentadas na forma: ° °° ® ° ° °¯

a11 x1 a12 x 2 a13 x3 / a1n x n

b1

a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x3 / a 2 n x n a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x 3 / a 3n x n

b2 b3

/

/ /

/

/

/

a n1 x1 a n 2 x 2 a n3 x3 / a nn x n

bn

O sistema acima também pode ser representado na forma matricial:

§ a11 ¨ ¨ a21 ¨a ¨ 31 ¨ 0 ¨ © an1

a12 a22 a32 / an 2

a13 a23 a33 / an 3

/ / / / /

a1n · ¸ a2 n ¸ a3 n ¸ ¸ 0¸ ¸ ann ¹

§ x1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨x ¸ ¨ 3¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ © xn ¹

§ b1 · ¨ ¸ ¨ b2 ¸ ¨b ¸ ¨ 3¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ © bn ¹

Ou seja, o sistema linear pode ser escrito como: Ax

b

Sendo,

A = matriz dos coeficientes, A nun ;

x = vetor das variáveis (ou incógnitas), x n ;

n

b = vetor dos termos independentes b .

Uma solução de um sistema de equações lineares nas variáveis x1 , x2 ,/ , xn é uma seqüência ordenada D1 , D 2 ,/ , D n de números tais que as substituições xi D i , i 1,/ , n transformam todas as equações do sistema em identidades verdadeiras. Resolver um sistema de equações lineares é determinar todas as suas soluções ou provar que não existe nenhuma. Um sistema de equações lineares que tenha pelo menos uma solução diz-se possível (determinado se só tiver uma, indeterminado se tiver mais do que uma). Um sistema de equações lineares que não tenha nenhuma solução diz-se impossível. Definimos operação elementar sobre um sistema linear como sendo: i) a permuta de duas de suas equações; ii) a substituição de uma de suas equações por si mesma previamente multiplicada por uma constante não nula; iii) a substituição de uma de suas equações pela soma de si mesma com uma outra previamente multiplicada por uma constante. Dizemos que um sistema encontra-se na forma escalonada se o número de coeficientes iniciais nulos em cada equação, a partir da segunda, for maior do que na precedente. Se um sistema linear de m equações e n incógnitas foi escalonado e, retiradas as equações do tipo 0=0, restaram p equações e n incógnitas, então: i) se uma das equações restantes for da forma: 0x1+0x2 + ... + 0xn = E i , com E i z 0 , o sistema é impossível ; ii) se não houver nenhuma equação da forma acima, o sistema é possível, sendo x

determinado se p = n;

x

indeterminado se p

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