ANÁLISE DOS ERROS COMETIDOS PELOS ALUNOS DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL NAS QUESTÕES SOBRE ÁLGEBRA APRESENTADAS NOS RELATÓRIOS PEDAGÓGICOS DOS SARESP DOS ANOS DE 2008, 2009, 2010 e 2011 G6 - Ensino e Aprendizagem de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e na EJA

Alessandro Gonçalves – PUCSP – MA - [email protected] Barbara Lutaif Bianchini – PUCSP - [email protected] Resumo A nossa pesquisa tem como objetivo principal analisar os erros que os alunos cometem ao resolver questões de álgebra do SARESP. Uma análise dessa natureza pode contribuir no sentido de apontar melhores caminhos para o ensino de álgebra, uma vez que tanto os alunos como os professores dizem que álgebra é um tópico matemático difícil de aprender para aqueles e difícil de ensinar para esses. Muitas pesquisas têm mostrado que o erro pode ser utilizado como metodologia de ensino, e para que isso se torne possível o professor deve ter um olhar diferenciado sobre as produções dos alunos, sendo o processo avaliativo um importante aliado nesse sentido. Os erros devem ser vistos como ponte para a aprendizagem efetiva e não como mera falta de conhecimento do aluno. Classificar o erro como falta de conhecimento em nada vai auxiliar o aluno no avanço dos seus estudos. Se ao contrário disso, se analisam os erros buscando encontrar as causas da sua ocorrência, o aluno será o maior beneficiado com esta metodologia. A metodologia de pesquisa que utilizaremos será a Engenharia Didática, proposta por Michèle Artigue, que prevê a confrontação da análise a priori com a análise a posteriori. Selecionaremos questões de álgebra que estão nos relatórios do SARESP, faremos a análise a priori e em seguida aplicaremos aos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede estadual paulista. Palavras-chave: Educação Algébrica, erros, SARESP, álgebra, avaliação.

Justificativa: Muitos estudos têm mostrado que o erro não tem sido aproveitado como poderia no processo de ensino e de aprendizagem. Em uma metodologia do acerto, onde a avaliação tem um caráter classificatório, o erro não é valorizado pelo professor (PINTO, 2000, p. 11). No entanto, o erro quando pensado como metodologia de ensino em um ambiente de sala de aula formador, “[...] o erro deixa de ser apenas uma resposta a ser analisada: ele passa a ser uma questão desafiadora que o aluno coloca ao professor [...]” (PINTO, 2000, p. 12). 1 Anais do Encontro de Produção Discente PUCSP/Cruzeiro do Sul. São Paulo. p. 1-6. 2012.

Para que o erro possa ser valorizado é importante olhá-lo sob o ponto de vista construtivista, pois somente desta forma ele ganha importância no cenário educativo. De fato, Pinto (2000, p. 11) afirma que Uma decorrência do princípio construtivista é o fato de o erro apresentar-se como uma oportunidade didática para o professor organizar melhor seu ensino a fim de criar situações apropriadas para o aluno superar seus erros e apropriar-se dos conhecimentos necessários à sua cidadania.

Nesse sentido é importante investigar quais os erros cometidos pelos alunos na resolução de questões de álgebra e as suas concepções sobre o objeto matemático em questão. Desta forma, uma análise dos erros cometidos em questões de Álgebra pode revelar o modo como os alunos têm compreendido esse campo da matemática e apontar encaminhamentos para um ensino mais efetivo. Objetivos:  Analisar os erros cometidos pelos alunos em questões de álgebra que estão nos relatórios do SARESP dos anos de 2008, 2009, 2010 e 2011;  Classificar esses erros procurando apontar a frequência com que ocorrem;  Apontar em quais conteúdos os alunos apresentam maiores dificuldades. Quadro teórico Pesquisas cujo objetivo têm sido a análise de erros de alunos mostram que os erros podem ter diferentes origens, inclusive nas concepções de matemática do professor. Cury (1994) realizou um estudo sobre as concepções de professores universitários acerca da matemática e as formas desses professores considerarem os erros dos alunos. A pesquisadora mostra que a visão absolutista da matemática prevalece nos currículos de formação de professores, uma vez que essa é a visão dos professores desses cursos. Dessa forma propõe uma mudança nos currículos dos cursos de Licenciatura com vistas a modificar a concepção da matemática de absolutista para uma visão falibilista, dado que a matemática é passível de erros. Booth (1995, p. 23) aponta que ao analisar os erros dos alunos é possível explicar o motivo pelo qual á álgebra é um conteúdo difícil de aprender. A pesquisadora relata que os erros podem ter origem nas ideias dos alunos sobre: 2 Anais do Encontro de Produção Discente PUCSP/Cruzeiro do Sul. São Paulo. p. 1-6. 2012.

a) o foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”; b) o uso da notação e da convenção em álgebra; c) o significado das letras e das variáveis; d) os tipos de relações e métodos usados em aritmética. Esses aspectos estão relacionados às diferenças e semelhanças entre aritmética e álgebra e a forma com elas se relacionam. No que diz respeito às diferenças, a pesquisadora mostra aspectos relacionados ao foco de cada uma das atividades. Na aritmética, o objetivo é encontrar respostas numéricas enquanto que na álgebra o importante é estabelecer relações, levando à dificuldade que os alunos têm aceitar o não fechamento. Citamos o exemplo apresentado por Booth (1995, p. 27): 2a + 5b = 7ab. Essa dificuldade também está relacionada à interpretação dos símbolos pelos alunos. Os sinais de + e = também têm interpretações diferentes em cada uma das áreas. Em aritmética + e = tem a função de operar e escrever a resposta, enquanto, em álgebra o símbolo + significa uma ação e = um indicador de equivalência. O símbolo de adição leva a outro problema, que é o da justaposição. Como escrevemos 43, (4 dezenas + 3 unidades), os alunos podem escrever a + b como sendo ab. Booth (1995, p. 29) ainda discute aspectos relacionados às necessidades, em álgebra, de uma notação precisa. Se em aritmética tanto faz o aluno escrever 12 : 3 ou 3 : 12, desde que faça corretamente os cálculos, em álgebra escrever p : q é diferente de escrever q : p. Outro aspecto relacionado às diferenças entre aritmética e álgebra diz respeito ao uso de letras. Em aritmética escrever 3 m significa que temos três metros e não 3 vezes uma quantidade de metros como seria em álgebra. Assim, a letra tem papéis diferentes em ambas as áreas. Com relação às semelhanças entre aritmética e álgebra, apontadas por Booth (1995), está o fato de que a álgebra é em muitos casos uma aritmética generalizada. Os erros que decorrem dessa aproximação das duas áreas estão relacionados a um aprendizado não efetivo em aritmética. Ou seja, dificuldades em aritmética levam a 3 Anais do Encontro de Produção Discente PUCSP/Cruzeiro do Sul. São Paulo. p. 1-6. 2012.

erros em álgebra. Booth (1995, p. 33) mostra que o não uso de parênteses podem gerar dificuldades e que o modo informal como os alunos calculam devem ser questionados, já que é fonte de dificuldade. Kieran (1995, p. 107) encontrou erros quando os alunos resolvem equações. Esses erros foram classificados como “supergeneralização do procedimento de transposição do segundo para o primeiro membro ao lidarem com equações com duas incógnitas no primeiro membro”. Botta (2010, p. 165) trata, em um dos capítulos de sua dissertação de mestrado, sobre concepções errôneas, para isso cita o trabalho de Graeber e Johnson (1990), em que os autores classificam as concepções em quatro tipos: supergeneralização, superespecialização, tradução incorreta e concepções limitadas. Vejamos cada uma delas, conforme Botta (2010, p. 165): Supergeneralização Na análise das ações dos alunos, há dois tipos de supergeneralização: Quando um conceito de uma classe é estendido para outra classe. Quando um procedimento é tomado como um conceito Superespecialização Quando uma propriedade de uma subclasse é elevada a toda a classe. Tradução incorreta Quando o estudante traduz incorretamente: palavras, símbolos ou fórmulas, tabelas e gráficos. Concepções limitadas Quando o estudante não domina determinado conceito, princípio ou procedimento ou tem limitações com relação a esses.

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Procedimentos metodológicos Utilizaremos na nossa pesquisa a metodologia da Engenharia Didática, proposta por Michèle Artigue. Segundo Machado (2012, p. 236) A engenharia didática caracteriza-se também pelo registro de estudos feitos sobre o caso em questão e pela validação. Essa validação da pesquisa é feita sobretudo internamente, pois ela se baseia na confrontação entre a análise a priori, que, por sua vez, se apóia no quadro teórico, e a análise a posteriori.

São quatro, as fases que compõe essa metodologia:  Primeira fase: análises preliminares  Segunda fase: concepção e análise a priori das situações didáticas  Terceira fase: experimentação  Quarta fase: análise a posteriori e validação Dessa forma será possível analisar os possíveis erros dos alunos dentro do quadro teórico que comporá a nossa pesquisa. Os sujeitos de pesquisa serão alunos do 9º ano de uma escola da rede de ensino estadual paulista. Será proposta a resolução de questões de álgebra selecionada a partir dos relatórios dos SARESP dos anos de 2008, 2009, 2010 e 2011. Selecionaremos questões que envolvam um maior número de conceitos de álgebra e maneiras de resolução, possibilitando uma análise mais ampla acerca das respostas dos alunos, buscando analisar os possíveis erros.

Referências BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: As ideias da álgebra, COXFORD, Arthur F., SHULTE, Albert P. São Paulo: Ed. Atual, 1995. BOTTA, Eliana Saliba. O ensino do conceito de função e conceitos relacionados a partir da Resolução de Problemas. Dissertação (Mestrado) – Pós-Graduação em Educação Matemática – UNESP, Rio Claro, 2010. CURY, Helena Noronha. As concepções de matemática dos professores e suas formas de considerar os erros dos alunos. Tese (Doutorado) – Programa de PósGraduação em Educação. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 1994. 5 Anais do Encontro de Produção Discente PUCSP/Cruzeiro do Sul. São Paulo. p. 1-6. 2012.

KIERAN, Carolyn. Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra. In: As ideias da álgebra, COXFORD, Arthur F., SHULTE, Albert P. São Paulo: Ed. Atual, 1995. MACHADO, Silvia D. A. Engenharia Didática. In: Educação Matemática: uma (nova) introdução. MACHADO, Silvia D. A. (org). São Paulo, Educ, 2012. PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática. Campinas: Papirus, 2000.

6 Anais do Encontro de Produção Discente PUCSP/Cruzeiro do Sul. São Paulo. p. 1-6. 2012.