‫‪GMAT‬‬

‫בגרויות‬

‫‪+‬‬

‫)‪5‬‬

‫פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב‪MY.GEVA.CO.IL-‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪MY.GEVA.CO.IL‬‬

‫‪2018-2017‬‬

‫הקדמה‬ ‫מורים ותלמידים יקרים‪,‬‬ ‫א‪‬ו שמחים להגיש לכם חוברת הכ‪‬ה ל קראת ה בגרות במתמטיקה‬ ‫לשאלון ‪ 5 ) 806‬יחידות לימוד(‪.‬‬ ‫ב ח וברת תמצאו את ‪ 27‬מבח‪‬י הבגרות ש‪‬ערכו עד היום בשאלון ‪806‬‬ ‫)מועדי חורף וקיץ(‪ ,‬עד ו כולל מועד ב ' ‪ ,‬קיץ ‪. 2017‬‬

‫מה מיוחד בחוברת זו?‬ ‫לכל השאלות בחובר ת קיימים סרטו‪‬י וידאו הכוללים פתרו‪‬ות מלאים‬ ‫באתר ‪my.geva.co.il‬‬

‫כיצד צופים בסרטון פתרון?‬ ‫‪‬כ‪‬סים לאתר ‪my.geva.co.il‬‬ ‫בוחרים את מספר יחידות הלימוד ו‪‬כ‪‬סים לפתרו‪‬ות וידאו למבח‪‬י‬ ‫בגרות ‪. 806‬‬ ‫כעת ‪‬יתן לראות את פתרו‪‬ות הווידאו ל כל השאלות ממבח‪‬י הבגרות‪.‬‬ ‫ה פתרו‪‬ות לש‪‬י המבח‪‬ים הראשו‪‬ים הם בחי‪‬ם!‬

‫כיצד א‪‬ו ממליצים להיעזר בסרטו‪‬י הפתרון שבאתר ‪? my.geva‬‬ ‫בכל שאלה שבה אתם מתקשים ‪ ,‬או שהתשובה הסופית שקיבלתם‬ ‫אי‪‬ה תואמת את התשובות המופיעות בסוף המבחן ‪ ,‬מומלץ לצפות‬ ‫בסרטון ה פתרון המתאים ‪ .‬כמ ו כן‪ ,‬אם קיים ‪‬ושא שבו אתם מרגישים‬ ‫צורך בחיזוק ‪‬וסף‪ ,‬מומלץ לצפות בכל סרטו‪‬י ה פתרו ן באותו ‪‬ושא‪.‬‬ ‫) מיון שאלות המבח‪‬ים לפי ‪‬ושאים מופיע בהמשך החוברת ‪( .‬‬ ‫ב‪‬וסף‪ ,‬יתן לרכוש באתר ‪ my.geva.co.il‬מ‪‬וי לסרטו‪‬י פתרון‬ ‫לשאלות מתוך ספרי הלימוד לשאלון ‪ , 806‬בהוצאת יואל גבע‪.‬‬

‫לתשומת ליבכם!‬ ‫החל ממועד קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬שאלון ‪ 806‬כולל ‪ 8‬שאלות ולא ‪ 9‬שאלות‬ ‫כפי שהיה בעבר ‪.‬‬ ‫)הפרק הש‪‬י בשאלון כולל ‪ 2‬שאלות במקום ‪( . 3‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬ה ‪‬ושאים אי‪‬דוקציה מתמטית‪ ,‬בעיות תערובת וסדרות מעורבות‬ ‫אי‪ ‬ם ‪‬כלל ים עוד בתכ‪‬ית הלימודים‪ .‬כדי להתאים את מבח‪ ‬י הבגרות‬ ‫למב‪‬ה הבחי‪‬ה העדכ‪‬י ולתכ‪‬ית הלימודים החלפ‪‬ו את השאלות ב‪‬ושא ים‬ ‫ה‪"‬ל בשאלות אחרות ה‪‬כללות בתכ‪‬ית הלימודים‪.‬‬ ‫זכו ת היוצרים על שאלות הלקוחות ממ בח‪‬י בגרות שמורות למדי‪‬ת ישראל‪.‬‬ ‫כל הזכויות על השאלות האחרות שמורות להוצאת הספרים יואל גבע‪.‬‬ ‫א‪‬ו מאחלים ל כם הצלחה רבה בבחי‪‬ת הבגרות‪.‬‬ ‫יואל גבע – הוצאת הספרים‪ ,‬צוות האתר ‪my.geva.co.il‬‬

‫המב‪‬ה של שאלון ‪806‬‬ ‫תלמידי ‪ 5‬יחידות לימוד ‪‬בח‪‬ים בש‪‬י שאלו‪‬ים‪.‬‬ ‫השאלון הראשון הוא ‪ 035806‬והשאלון הש‪‬י הוא ‪. 035807‬‬ ‫בשאלון ‪ 806‬שלושה פרקים‪.‬‬ ‫משך הבחי‪‬ה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬ ‫בסך הכול צריך לע‪‬ות על ‪ 5‬שאלות מתוך ‪ 8‬שאלות‪.‬‬ ‫המב‪‬ה של שאלון ‪: 035806‬‬ ‫פרק ראשון – בעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ‪ ,‬הסתבר ות‬ ‫) ‪ 40‬קודות(‪.‬‬ ‫הפרק כולל ‪ 3‬שאלות‪ ,‬מתוכן יש לע‪‬ות על ‪ 2‬שאלות‬ ‫)לכל שאלה – ‪ 20‬קודות(‪.‬‬ ‫פרק ש‪‬י – גיאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור ) ‪ 20‬קודות( ‪.‬‬ ‫הפרק כולל ‪ 2‬שאלות‪ ,‬מתוכן יש לע‪‬ות על שאלה אחת‬ ‫)לכל שאלה – ‪ 20‬קודות(‪.‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות עם שורשים ריבועיים ‪,‬‬ ‫ושל פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות ) ‪ 40‬קודות( ‪.‬‬ ‫הפרק כולל ‪ 3‬שאלות‪ ,‬מתוכן יש לע‪‬ות על ‪ 2‬שאלות‪.‬‬ ‫)לכל שאלה – ‪ 20‬קודות(‪.‬‬

‫בעמוד הבא מצור ף דף ההוראות ל‪‬בחן כפי שמופיע בטופס הבגרות‬ ‫של שאלון ‪. 806‬‬

‫מיון שאלות המבח‪‬ים לפי ‪‬ושאים‬ ‫בעיות מילוליות‬ ‫בעיות ת‪‬ועה‬ ‫עמוד ‪ 1‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 5‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 13‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 18‬שאלה ‪, 1‬‬ ‫עמוד ‪ 22‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 30‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 35‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 43‬שאלה ‪, 1‬‬ ‫עמוד ‪ 47‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 61‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 66‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 70‬שאלה ‪, 1‬‬ ‫עמוד ‪ 84‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 89‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 94‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 99‬שאלה ‪. 1‬‬

‫בעיות הספק‬ ‫עמוד ‪ 9‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 26‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 39‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 52‬שאלה ‪, 1‬‬ ‫עמוד ‪ 57‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 75‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 80‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 104‬שאלה ‪. 1‬‬

‫סדרות‬ ‫סד רה חשבו‪‬ית‬ ‫עמוד ‪ 1‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪ ,‬עמוד ‪ 13‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 18‬שאלה ‪, 2‬‬ ‫עמוד ‪ 35‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 39‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 47‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 52‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 66‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 70‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 75‬שאלה ‪, 2‬‬ ‫עמוד ‪ 104‬שאלה ‪. 2‬‬

‫סדרה ה‪‬דסית‬ ‫עמוד ‪ 5‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 9‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 94‬שאלה ‪. 2‬‬

‫סדרה ה‪‬דסית אי‪‬סופית‬ ‫עמוד ‪ 1‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 26‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 30‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 57‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 61‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 84‬שאלה ‪. 2‬‬

‫סדר ות כלליות וכלל ‪‬סיגה‬ ‫עמוד ‪ 22‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 30‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪ ,‬עמוד ‪ 35‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 43‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 47‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 80‬שאלה ‪, 2‬‬ ‫עמוד ‪ 89‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 99‬שאלה ‪. 2‬‬

‫הסתברות‬ ‫טבלה דו ממדית‬ ‫עמוד ‪ 36‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 58‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 100‬שאלה ‪ 3‬סעיף א‪.‬‬

‫כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‬ ‫עמוד ‪ 2‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 5‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪ 3‬סעיף א‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 48‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 53‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 85‬שאלה ‪. 3‬‬

‫‪‬וסחת בר‪‬ולי – התפלגות בי‪‬ומית‬ ‫עמוד ‪ 22‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪ 3‬סעיף ב ‪ ,‬עמוד ‪ 81‬שאלה ‪. 3‬‬

‫בעיות המשלבות טבלה דו ממדית או דיאגרמת עץ‬ ‫עם ‪‬וסחת בר‪‬ולי‬ ‫עמוד ‪ 10‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 14‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 19‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 26‬שאלה ‪, 3‬‬ ‫עמוד ‪ 31‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 43‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 62‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 66‬שאלה ‪, 3‬‬ ‫עמוד ‪ 71‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 76‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 90‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 95‬שאלה ‪, 3‬‬ ‫עמוד ‪ 100‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 105‬שאלה ‪. 3‬‬

‫גאומטריה‬ ‫בעיות עם משולשים ומרובעים )עם או בלי פרופורציה ודמיון(‬ ‫עמוד ‪ 6‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 14‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 19‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 27‬שאלה ‪, 4‬‬ ‫עמוד ‪ 36‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 48‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 95‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 100‬שאלה ‪. 4‬‬

‫בעיות עם מעגל )ללא פרופורציה ודמיון(‬ ‫עמוד ‪ 2‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 53‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 58‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 62‬שאלה ‪. 4‬‬

‫בעיות עם מעגל )כולל פרופורציה ודמיון(‬ ‫עמוד ‪ 10‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 23‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 31‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪, 4‬‬ ‫עמוד ‪ 44‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 67‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 71‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 76‬שאלה ‪, 4‬‬ ‫עמוד ‪ 81‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 85‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 90‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 105‬שאלה ‪. 4‬‬

‫טריגו‪‬ומטריה‬ ‫הערה‪ :‬ברוב הבעיות ‪‬דרש ידע בזהויות ומשוואות טריגו‪‬ומטריות‪.‬‬

‫בעיות עם משולשים ומרובעים‬ ‫עמוד ‪ 2‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 6‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 15‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 20‬שאלה ‪, 5‬‬ ‫עמוד ‪ 44‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 49‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 76‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 81‬שאלה ‪, 5‬‬ ‫עמוד ‪ 86‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 100‬שאלה ‪. 5‬‬

‫בעיות עם מעגל‬ ‫עמוד ‪ 10‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 23‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 27‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 31‬שאלה ‪, 5‬‬ ‫עמוד ‪ 36‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 54‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 58‬שאלה ‪, 5‬‬ ‫עמוד ‪ 63‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 67‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 72‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 91‬שאלה ‪, 5‬‬ ‫עמוד ‪ 96‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 106‬שאלה ‪. 5‬‬

‫חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי‬ ‫חקירת פו‪‬קציות‬ ‫פולי‪‬ומים‬ ‫עמוד ‪ 87‬שאלה ‪. 8‬‬

‫פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‬ ‫עמוד ‪ 7‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 20‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 24‬שאלה ‪, 6‬‬ ‫עמוד ‪ 73‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 87‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 102‬שאלה ‪. 8‬‬

‫פו‪‬קציות עם שורשים‬ ‫עמוד ‪ 28‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 37‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 55‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 72‬שאלה ‪, 6‬‬ ‫עמוד ‪ 77‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 82‬שאלה ‪. 7‬‬

‫פו‪‬קציות ללא תב‪‬ית אלגברית מפורשת‬ ‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ 6‬סעיפים א‪ ,‬ב‪ ,‬ג ‪ ,‬עמוד ‪ 41‬שאלה ‪, 6‬‬ ‫עמוד ‪ 45‬שאלה ‪ 8‬סעי פים א‪ ,‬ב ‪ ,‬עמוד ‪ 64‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 69‬שאלה ‪ 8‬סעיף א‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 92‬שאלה ‪. 8‬‬

‫פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות‬ ‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ 7‬סעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ 7‬סעיפים א‪ ,‬ב ו‪ -‬ג‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 25‬שאלה ‪ 8‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 28‬שאלה ‪ 7‬סעיפים א ו‪ -‬ב‪,‬‬ ‫עמוד ‪ 32‬שאלה ‪ 6‬סעיפים א‪ ,‬ב‪ ,‬ג‪ ,‬ה‪ ,‬עמוד ‪ 44‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 50‬שאלה ‪, 7‬‬ ‫עמוד ‪ 91‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 101‬שאלה ‪. 6‬‬

‫בעיות קיצון‬ ‫בעיות קיצון גאומטריות‬ ‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 37‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 50‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 107‬שאלה ‪. 8‬‬

‫בעיות קיצון בפו‪‬קציות וגרפים‬ ‫עמוד ‪ 7‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 97‬שאלה ‪. 8‬‬

‫בעיות קיצון עם בעיות ת‪‬ועה‬ ‫עמוד ‪ 29‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 60‬שאלה ‪. 8‬‬

‫בעיות קיצון עם פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות‬ ‫עמוד ‪ 54‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 64‬תרגיל ‪ , 7‬עמוד ‪ 73‬תרגיל ‪ , 8‬עמוד ‪ 77‬תרגיל ‪, 6‬‬ ‫עמוד ‪ 82‬תרגיל ‪ , 6‬עמוד ‪ 101‬שאלה ‪ 6‬סעיף א‪.‬‬

‫אי‪‬טגרלים‬ ‫הערה‪ :‬חלק מהסעיפים בנושא זה נרשמו גם תחת הכותרת חקירת פונקציות‪.‬‬

‫פולי‪‬ומים‬ ‫עמוד ‪ 55‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 59‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 78‬שאלה ‪. 8‬‬

‫פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‬ ‫עמוד ‪ 49‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 63‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 69‬שאלה ‪. 8‬‬

‫פו‪‬קציות עם שורשים‬ ‫עמוד ‪ 16‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 33‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 45‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 68‬שאלה ‪. 7‬‬

‫חילוק פולי‪‬ומים‬ ‫עמוד ‪ 15‬שאלה ‪. 6‬‬

‫פו‪‬קציות ללא תב‪‬ית אלגברית מפורשת‬ ‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 45‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 107‬שא לה ‪. 7‬‬

‫פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות‬ ‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ 7‬סעיף ד‪ ,‬עמוד ‪ 16‬שאלה ‪, 7‬‬ ‫עמוד ‪ 25‬שאלה ‪ 8‬סעיף ב‪ ,‬עמוד ‪ 28‬שאלה ‪ 7‬סעיף ג‪ ,‬עמוד ‪ 41‬שאלה ‪, 7‬‬ ‫עמוד ‪ 59‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 68‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 96‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 106‬שאלה ‪. 6‬‬

‫אי‪‬טגרל הכולל את זיהוי ה‪‬גזרת הפ‪‬ימית של פו‪‬קציה מורכבת‬ ‫הערה‪ :‬חלק זה כולל פולינומים‪ ,‬פונקציות רציונליות‪ ,‬פונקציות עם שורשים‬ ‫ופונקציות טריגונומטריות ‪ ,‬שבה ן לצורך מציאת האינטגרל יש לזהות‬ ‫את הנגזרת הפנימית של פונקציה מורכבת‪.‬‬ ‫עמוד ‪ 7‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 21‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 37‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 83‬שאלה ‪, 8‬‬ ‫עמוד ‪ 86‬שאלה ‪ , 6‬עמו ד ‪ 92‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 97‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 101‬שאלה ‪. 7‬‬

‫‪‬פח גוף סיבוב‬ ‫עמוד ‪ 24‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 32‬שאלה ‪ 6‬סעיף ד‪.‬‬

‫בעיות קיצון עם אי‪‬טגרלים‬ ‫עמוד ‪ 20‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 33‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 41‬שאלה ‪. 8‬‬

‫פו‪‬קציות עם ערך מוחלט‬ ‫הערה‪ :‬השאלות הבאות נרשמו גם תחת כותרות אחרות‪.‬‬ ‫עמוד ‪ 15‬שאלה ‪ 6‬סעיף ג‪ ,‬עמוד ‪ 83‬שאלה ‪ 8‬סעיף ב‪.‬‬

‫תוכן ע‪‬יי‪‬ים‬ ‫מבח‪‬י בגרות – שאלון ‪806‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 1‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד א ‪1 . ........ . ...................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 2‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד ב ‪5 . . .. . .............. .. ........‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 3‬חורף תש"ע‪9 .......... . .. . ........ . ................. . 2010 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 4‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד א ‪13 .......... . .....................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 5‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד ב ‪18 ........... .. ....................‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪ – 6‬חורף תשע"א‪22 ....... . ....... ......................... 2011 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 7‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד א ‪26 .... . . . .......................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 8‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד ב ‪30 ..... . . . ......................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 9‬חורף תשע"ב‪35 .... .. .................................. 2012 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 10‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד א ‪39 ... . .... . ....................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 11‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד ב ‪43 .............................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 12‬חורף תשע"ג‪47 . . . ......... ........................... 2013 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 13‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מ ועד א ‪52 . ........ .... . ...............‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 14‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מועד ב ‪57 ... .... ......................‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 15‬חורף תשע"ד‪61 .. ...... ...... .. ..... . ................ 2014 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 16‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד א‪66 ... . ..... .......... . ....... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 17‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ב‪70 ... ...... ........... . ....... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 18‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ג‪75 ... ...... ........... . ....... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 19‬חורף תשע" ה ‪80 .. ...... ........... . .................. 2015 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 20‬קי ץ תשע" ה ‪ , 2015 ,‬מועד א‪84 ... ...... ........... . ...... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 21‬קיץ תשע" ה ‪ , 2015 ,‬מועד ב‪89 ... ...... ........... . ....... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 22‬חורף תשע" ו ‪94 .. ...... ......... . .. . .................. 2016 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 23‬קיץ תשע" ו ‪ , 2016 ,‬מועד א‪99 ... ...... ....... . .... . ...... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 24‬קיץ תשע" ו ‪ , 2016 ,‬מועד ב‪104 ... ...... .......... . ....... .‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪ – 25‬חורף תשע" ז ‪109 .. ...... ......... . .. . .................. 2017 ,‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 26‬קיץ תשע" ז ‪ , 2017 ,‬מועד א‪115 ... ...... ....... . .... . ...... .‬‬ ‫מבחן בגרות מספר ‪ – 27‬קיץ תשע" ז ‪ , 2017 ,‬מועד ב‪120 ... ...... .......... . ....... .‬‬

‫דף ‪‬וסחאות – ‪ 5‬יחידות לימוד‬

‫מבחן בגרות מספר ‪1‬‬ ‫קיץ תשס"ט‪ ,2009 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 08 : 00‬מעיר ‪ , A‬ורוכב אופניים שני יצא‬ ‫בשעה ‪ 09 : 00‬מעיר ‪ . A‬כל אחד מהרוכבים רכב במהירות קבועה לעיר ‪. B‬‬ ‫המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬הוא ‪ 45‬ק"מ‪ .‬כאשר הרוכב הראשון הגיע לעיר ‪, B‬‬ ‫הרוכב השני עדיין לא הגיע לעיר ‪ B‬והיה במרחק של ‪ 25‬ק"מ ממנה‪.‬‬ ‫מהירות הרוכב הראשון גדולה ב‪ m -‬קמ"ש ממהירות הרוכב השני‪,‬‬ ‫וידוע כי ‪. 0  m  5‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נסמן את שני הפתרונות שהבעת בסעיף א' ב‪ x1 -‬וב‪. x 2 -‬‬ ‫מצא עבור אילו ערכי ‪ m‬מתקיים ‪. x1  x 2  11‬‬

‫‪.2‬‬

‫א ‪ .‬נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות‪:‬‬ ‫‪ a1 , a 2 , a 3 , ...‬ו‪. b1 , b 2 , b3 , ... -‬‬ ‫מנת הסדרה האחת היא ‪ q1‬ומנת הסדרה השנייה היא ‪. q 2‬‬ ‫נסמן‪. M  a1b1  a 2 b 2  a 3b3  ... , K  b1  b 2  b3  ... , S  a1  a 2  a 3  ... :‬‬ ‫נתון‪ . S  K  M :‬הוכח‪. q1  q 2  2q1q 2 :‬‬ ‫ב ‪ .‬בסדרה חשבונית האיבר התשיעי גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון‪.‬‬ ‫אם מחלקים את האיבר השישי באיבר השני מקבלים ‪ 2‬ושארית ‪. 1‬‬ ‫מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה‪.‬‬ ‫הערה ‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.3‬‬

‫ידוע כי בכפר מסוים ‪ 20%‬מהתושבים חולים במחלת מעיים‪.‬‬ ‫רופא הכפר בדק את כל התושבים‪.‬‬ ‫‪ 90%‬מהחולים בכפר אובחנו על ידו כחולים‪ ,‬ו‪ 10% -‬מהבריאים בכפר‬ ‫אובחנו על ידו כחולים‪.‬‬ ‫א‪ .‬מ הו אחוז התושבים בכפר שלגביהם הרופא ביצע אבחנה שגויה?‬ ‫הרופא נתן תרופה לכל מי שאובחן על ידו כחולה‪.‬‬ ‫התרופה גרמה לפריחה אצל ‪ 60%‬מהחולים שאובחנו כחולים‪,‬‬ ‫ואצל ‪ 25%‬מהבריאים שאובחנו כחולים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שתושב ב כפר הוא חולה‪ ,‬אם ידוע שיש לו פריחה?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות החסום במעגל‪.‬‬

‫‪N‬‬

‫‪ N‬ו‪ P -‬הן נקודות על המעגל‪.‬‬

‫‪S‬‬

‫‪ BN‬ו‪ AP -‬נפגשים בנקודה ‪) S‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪ . PC  BN :‬הוכח כי‪:‬‬

‫‪C‬‬

‫א‪ .‬המשולש ‪ BSP‬הוא שווה‪ -‬צלעות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המרובע ‪ SPCN‬הוא מקבילית ‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪P‬‬

‫ג‪. AN  PC .‬‬

‫‪.5‬‬

‫בטרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬ ‫אורך הבסיס הגדול ‪ CD‬הוא ‪, a‬‬ ‫אורך הבסיס הקטן ‪ AB‬הוא ‪b‬‬ ‫ואורך השוק הוא ‪. d‬‬ ‫הזווית ליד הבסיס הגדול ‪DC‬‬ ‫היא ‪) ‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי אורך אלכסון הטרפז הוא ‪ab  d 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪b‬‬

‫‪A‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬

‫ב‪ .‬הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגד ול של הטרפז היא ‪. ‬‬

‫הוכח כי אם ‪ ,     90‬אז ‪sin   a 2  ab‬‬ ‫)‪sin(  ‬‬ ‫‪2b 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪y‬‬

‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות‬ ‫של שני גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬ ‫אחד הגרפים הוא הגרף של פונקציית‬

‫‪I‬‬

‫הנגזרת )‪ , f '(x‬והגרף האחר הוא הגרף‬

‫‪II‬‬

‫של פונקציית הנגזרת השנייה )‪. f "(x‬‬ ‫א‪ .‬איזה גרף הוא של )‪, f '(x‬‬ ‫ואיזה גרף הוא של )‪ ? f "(x‬נמק‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪1‬‬

‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון‬ ‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הוכח שהשטח המוגבל על ידי גרף ‪ II‬וציר ה‪) x -‬השטח המקווקו בציור(‬ ‫שווה לשטח המוגבל על ידי גרף ‪ II‬והצירים )השטח המנוקד בציור(‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫)‪sin(2x‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי ‪. f '(x)  2sin 2 x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬האם לפונקציה )‪ f (x‬יש נקודות קיצון?‬

‫‪y‬‬

‫‪. f (x)  x ‬‬

‫נמק‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪ ( 2‬האם לפונקציה )‪ f (x‬יש נקודות פיתול? נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה‬ ‫‪ g(x)  x  sin 2 x‬בתחום ‪.   x  ‬‬ ‫בתחום הנתון מצא את כל השטח המוגבל‬ ‫על ידי הגרף של )‪ g(x‬ועל ידי היש ר ‪. y  x‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתון משולש שאחת מצלעותיו היא ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬וגובה המשולש לצלע זו‬ ‫הוא ‪ 5‬ס"מ ‪) .‬המשולש אינו קהה‪ -‬זווית ‪(.‬‬ ‫א‪ .‬מבין כל המשולשים שהם כאלה‪ ,‬מצא את צלעות המשולש‬ ‫שהיקפו מינימלי‪.‬‬ ‫ב ‪ .‬מה הן תכונות המשולש שאת צלעותיו מצאת בסעיף א'?‬

‫‪3‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 1‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד א ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪25  m  m 2  130m  625 , x  25  m  m 2  130m  625 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪. 4  m  5 .‬‬ ‫‪ . 2‬ב‪. d  3 , a1  8 .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 10% .‬ב‪. 27 .‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ .‬גרף ‪ , f '(x) – I‬גרף ‪. f "(x) – II‬‬ ‫ב‪ x  0 .‬מינימום‪ x  1 ,‬מקסימום‪.‬‬ ‫ג‪. x  0.6 , x  0.4 , x  1 .‬‬ ‫‪ . 7‬ב‪ ( 1 ) .‬לא ‪ ( 2 ) .‬כן‪ .‬ג‪.  .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ 5 2 ,‬ס"מ‪ 5 2 ,‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המשולש הוא ישר זווית ושווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪. x2 ‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪2‬‬ ‫קיץ תשס"ט‪ ,2009 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫הולך רגל יוצא כל בוקר להליכה לאורך‬ ‫מסלול שאורכו הכולל הוא ‪ 24‬ק"מ‪.‬‬

‫הדרך חזרה‬

‫הוא יוצא מביתו לכיוון מזרח והולך ‪ m‬ק"מ‪.‬‬ ‫אחר כך הוא פונה צפונה והולך ‪ 1.5‬שעות‪.‬‬ ‫לאחר מכן הוא חוזר לביתו בדרך הקצרה‬

‫צפו‪‬ה‬

‫ביותר )ראה ציור(‪ .‬בדרכו חזרה הוא הולך‬ ‫‪ 60‬דקות פחות מהזמן שבו הוא הולך‬

‫יציאה‬

‫מזרחה‬

‫בשני הכיוונים יחד‪ ,‬מזרחה וצפונה‪.‬‬ ‫בכל קטעי הד רך הוא הולך באותה מהירות קבועה‪ .‬חשב את ‪. m‬‬ ‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה הנדסית שכל ‪ n‬האיברים שלה הם חיוביים‪ .‬סכום ‪n  3‬‬ ‫האיברים האחרונים גדול פי ‪ 8‬מסכום ‪ n  3‬האיברים הראשונים‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את מנת הסדרה‪.‬‬

‫ב‪ .‬נתון כי ‪ n‬הוא מספר זוגי‪ .‬נסמן‪Sn  a1  a 2  a 3  ...  a n :‬‬ ‫‪Tn  a1  a 2  a 3  ...  a n‬‬

‫‪S‬‬ ‫) ‪ a1 , a 2 , a 3 , ... , a n‬הם איברי הסדרה הנתונה(‪ .‬חשב את היחס ‪. n‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪.3‬‬

‫בשכבה י"א יש שתי כיתות‪ :‬י"א ‪ 1‬ו‪ -‬י"א ‪. 2‬‬ ‫בכיתה י"א ‪ 1‬יש ‪ 40‬תלמידים‪ ,‬ולמחציתם יש מחשב נישא‪.‬‬ ‫בכיתה י"א ‪ 2‬יש ‪ 35‬תלמידים‪ ,‬ול‪ 40% -‬מהם יש מחשב נישא‪.‬‬ ‫א‪ .‬בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א‪ ,‬ונמצא שיש לו מחשב נישא‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא לומ ד בכיתה י"א ‪? 2‬‬ ‫ב‪ .‬בחרו באקראי בזה אחר זה )בלי החזרה( ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א‪, 1 -‬‬ ‫ובאותו אופן בחרו ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א ‪. 2‬‬ ‫מהי ההסתברות של‪ 2 -‬התלמידים מכיתה י"א ‪ 1‬וגם ל‪ 2 -‬התלמידים‬ ‫מכיתה י"א ‪ 2‬אין מחשב נישא?‬

‫‪5‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AC  AB) ABC‬‬ ‫חסום מלבן ‪ GFED‬כך שהקדקודים ‪ D‬ו‪E -‬‬ ‫מונחים על הצלע ‪ , AB‬והקדקודים ‪ F‬ו‪G -‬‬ ‫מונחים על הצלעות ‪ BC‬ו‪ CA -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫נקודה ‪ , L‬הנמצאת על צלע המלבן ‪, GF‬‬ ‫היא מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬ ‫דרך הנקודה ‪ L‬העבירו אנך לצלע ‪, BC‬‬ ‫החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪) K‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. KAB  KLF  EFB :‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪L‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪K‬‬

‫אם נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪ 15 , BC ‬ס"מ ‪, AB ‬‬ ‫חשב‪:‬‬ ‫ב‪ .‬את אורך הקטע ‪ . KF‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬את אורך הקטע ‪ . FE‬נמק‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫בטרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪ ABCD‬הזווית שליד הבסיס הגדול היא ‪. ‬‬ ‫‪ E‬היא נקודה על השוק ‪ AD‬כך ש‪) ECD   -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון כי אורך השוק של הטרפז שווה לאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬ ‫בין שטח המשולש ‪ DEC‬לשטח‬

‫‪ SDEC ‬‬ ‫המשולש ‪ BDC‬‬ ‫‪ SBDC ‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ , AEC  90 :‬אורך האלכסון הטרפז‬ ‫גדול פי ‪ 1.5‬מאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬ ‫‪S‬‬ ‫חשב את היחס ‪. DEC‬‬ ‫‪SBDC‬‬

‫‪B‬‬

‫‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪cos x‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪1  sin x‬‬ ‫בחלק מהתחום ‪)  3  x  ‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x) ‬‬

‫‪y‬‬

‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה‬ ‫בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף‬

‫‪x‬‬

‫הפונקציה‪ ,‬על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪x  a‬‬ ‫‪xb‬‬

‫‪. a  b ; a , b  0 ; f (x) ‬‬

‫המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך עם הצירים מקבילים זה לזה‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. a  2b‬‬ ‫הצב ‪ , a  2b‬וענה על הסעיפים ב‪ -‬ז )הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מצא תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬ ‫ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ז‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪. b  0‬‬ ‫נמק את שיקוליך בשרטוט הגרף עבור תחומי עלייה וירידה‬ ‫ועבור תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪x 2  24‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫העביר ו ישר המשיק לגרף הפונקציה‬

‫‪y‬‬

‫בנקודה ‪ A‬שבה ‪ . x  t‬מנקודה ‪A‬‬ ‫העבירו ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬ ‫וחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪. B‬‬ ‫בנקודה ‪ B‬העבירו עוד משיק לגרף‬ ‫הפונקציה‪ .‬המשיקים נפגשים בנקודה ‪C‬‬ ‫שעל ציר ה‪) y -‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה זוגית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ה שטח המינימלי של המשולש ‪. ABC‬‬

‫‪7‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

: ‫ מועד ב‬, 2009 ,‫ – קיץ תשס"ט‬2 ‫תשובות ל מבחן בג רות מספר‬ . m  8 .1 . 3 .‫ ב‬. 2 .‫ א‬. 2 . 19  0.086 .‫ ב‬. 7  0.4118 .‫ א‬. 3 221 17 .‫ ס"מ‬4.8 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬3 .‫ ב‬. 4 . 0.1562 .‫ב‬

.

sin1 12  sin  (1  2cos )sin   .‫ א‬. 5 sin(  ) sin  2 sin(  )

. 3  2 2  0.1716 . 6 . (2b;0) , (0;2) .‫ ד‬.‫ אין‬:‫ ; ירידה‬x  b ‫ או‬x  b :‫ עלייה‬.‫ ג‬. y  1 , x  b .‫ ב‬. 7 . x  b :  ; x  b :  .‫ה‬ y

y

.‫ז‬

.‫ו‬

x

x

.

8

216  62.35 .‫ ב‬. 8 12

‫מבחן בגרות מספר ‪3‬‬ ‫חורף תש"ע‪2010 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫שני צינורות‪ ,‬צינור ‪ I‬וצינור ‪ , II‬ממלאים יחד במים את כל הנפח‬ ‫של בריכה במשך ‪ 6‬שע ות )קצב הזרמת המים של כל אחד מהצינורות‬ ‫אינו משתנה(‪.‬‬ ‫יום אחד‪ ,‬צינור ‪ I‬מילא לבדו רבע מנפח הבריכה‪ ,‬וצינור ‪ II‬מילא לבדו‬ ‫עוד רבע מנפח הבריכה‪ ,‬וכך התמלא חצי מנפח הבריכה במשך ‪ m‬שעות‪.‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ m‬את הזמן הדרוש לצינור ‪ I‬למלא את כל נפח‬ ‫הבריכה לבדו‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא עבור איזה ערך של ‪ m‬יש פתרון אחד לבעיה‪.‬‬

‫ב‪ .‬נתון כי כאשר כמות המים בבריכה היא ‪ 70%‬מנפח הבריכה‪ ,‬צינור ‪I‬‬ ‫ממלא לבדו את נפח הבריכה הנותר במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫מצא את ‪ m‬במקרה זה‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונות שתי סדרות הנדסיות‪a1 , a 2 , ... , a n :‬‬ ‫‪b1 , b 2 , ... , b n‬‬ ‫הסדרות מקיימות‪. b 4  a11 , b1  a 2 :‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. b n  a 3n 1 :‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי מנת הסדרה ‪ a1 , a 2 , a 3 , ...‬היא ‪. 2‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬מתקיים‪. a1  a 2  a 3  ...  a 3n  k :‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ k‬את הסכום ‪. b1  b 2  b3  ...  b n‬‬

‫‪9‬‬

‫‪.3‬‬

‫בוחרים באקראי ‪ 3‬אנשים מעיר גדולה‪.‬‬ ‫ההסתברות ששלושתם הם בעלי השכלה גבוהה היא ‪. 0.064‬‬ ‫ההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין בעלי השכלה‬ ‫גבוהה בעיר קטנה פי ‪ 2‬מההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב‬ ‫משקפיים מבין אלו שאינם בעלי השכלה גבוהה‪.‬‬ ‫א‪ .‬ידוע שאדם מהעיר מרכיב משקפיים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא בעל השכלה גבו הה?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬אנשים מבין תושבי העיר שאינם בעלי השכלה‬ ‫גבוהה‪ .‬ההסתברות שארבעתם אינם מרכיבים משקפיים היא ‪. 81‬‬ ‫‪256‬‬ ‫מהי ההסתברות שאדם בעיר מרכיב משקפיים והוא גם בעל השכלה‬ ‫גבוהה?‬

‫פרק ש‪ ‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫במעגל שמרכזו ‪ O‬חסום מרובע ‪. ABCD‬‬

‫‪ DC‬הוא קוטר‪ .‬המשכי הצלעות ‪DA‬‬ ‫ו‪ CB -‬נפגשים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. BOC   , OB  DE :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. ABO‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ OBC‬שווה לשטח‬ ‫המשולש ‪. BEA‬‬ ‫הוכח כי ‪. OBC  BEA‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל שמרכזו ‪. M‬‬ ‫‪ AC‬ו‪ BM -‬נחתכים בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪, CBM  2ACB :‬‬ ‫שטח המשולש ‪ CBD‬גדול פי ‪1.5‬‬ ‫משטח המשולש ‪. CDM‬‬ ‫חשב את ‪. CBM‬‬

‫‪10‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪(x  b) 2‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x2  4‬‬ ‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך(‪:‬‬ ‫‪. b  2 , f (x) ‬‬

‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות שלה‬ ‫המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬על פי הסקיצה של גרף הפונקציה‪ ,‬מצא את התחום שבו פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ f '(x‬שלילית וגם פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f ''(x‬שלילית ‪,‬‬ ‫אם ידוע כי ל‪ f (x) -‬יש נקודת פיתו ל אחת בלבד‪ .‬נמק‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪ ‬‬ ‫‪2cos 2  x2 ‬‬

‫‪2cos 2 x2  1‬‬

‫‪ f (x) ‬בתחום ‪. 3  x  3‬‬

‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לפונקציה יש שלוש נקודות מקסימום בתחום הנתו ן‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות אלה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬העבירו ישר דרך נקודות המקסימום של הפונקציה‪.‬‬ ‫מצא בתחום ‪   x  ‬את השטח המוגבל על ידי הישר‪ ,‬על ידי גרף‬ ‫הפונקציה‪ ,‬על ידי שתי האסימפטוטות של הפונקציה ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪. a  0 , f (x)  ax‬‬

‫‪y‬‬

‫מנקודה )‪ ( b  0 ) B(b;0‬העבירו אנך לציר ה‪. x -‬‬ ‫‪ C‬היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫מנקודה ‪ C‬העבירו ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬ ‫וחותך את האנך בנקודה ‪. D‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪) BD‬ראה ציור( ‪.‬‬ ‫נתון כי עבור )‪ C(2;4‬שטח המשולש ‪CBE‬‬ ‫הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪. b‬‬

‫‪11‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 3‬חורף תש"ע‪: 2010 ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ . 1‬א‪ . 2m  2 m  6m ( 1 ) .‬הפתרון קיים בתנאי ש‪. m  6 ( 2 ) . m  6 -‬‬ ‫ב‪. m  6.25 .‬‬ ‫‪ . 2‬ב‪. 72 k .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪. 0.25 .‬‬

‫ב‪. 0.05 .‬‬

‫‪ . 4‬א‪. 90   .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. CBM  41.41 . 5‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬תחום הגדרה‪. x  2 , x  2 :‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫אסימפטוטות‪. y  1 , x  2 , x  2 :‬‬

‫) ‪b 2  , (b;0) ( 2‬‬ ‫‪4 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪.  0; ‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ 4 4b ‬‬ ‫) ‪ (b;0) ( 3‬מינימום‪,‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ג‪.  x  2 .‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬

‫; ‪ ‬מקסימום‪.‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ . 7‬ב‪. x  3 , x   , x   , x  3 .‬‬

‫ג‪.‬‬

‫‪. b  6 , a  8 .8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ ,  0; 12  ,  2; 12 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. 2; 12‬‬

‫ד‪. 2 .‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪4‬‬ ‫קיץ תש"ע‪ ,2010 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫רוכב אופניים אחד יצא ממקום ‪ A‬אל מקום ‪ , B‬ובאותה שעה בדיוק‬ ‫יצא רוכב אופניים אחר ממקום ‪ B‬אל מקום ‪. A‬‬ ‫כעבור ‪ 4‬שעות נפגשו רוכבי האופניים‪ .‬הזמן‪ ,‬שנדרש לרוכב האופניים‬ ‫שיצא מ‪ A -‬לעבור את הדרך שבין ‪ A‬ל‪ , B -‬גדול ב‪ 108 -‬דקות מהזמן‬ ‫שנדרש לרוכב האופניים שיצא מ‪ B -‬לעבור דרך זו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ‪ B -‬לבין‬ ‫המהירות של רוכב האופניים שיצא מ‪. A -‬‬ ‫ב‪ .‬מצא בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים את הדרך‬ ‫שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים )‪. (n  1‬‬ ‫האיבר הראשון בסדרה ה וא ‪) a1‬שונה מאפס(‪ ,‬והפרש הסדרה הוא ‪. d‬‬ ‫בונים סדרה חדשה שגם בה ‪ n‬איברים‪.‬‬ ‫האיבר הראשון בסדרה החדשה גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון בסדרה‬ ‫הנתונה‪ ,‬והפרש הסדרה החדשה גם הוא ‪. d‬‬ ‫סכום הסדרה החדשה גדול פי ‪ 2‬מסכום הסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫א‪ .‬בטא את ‪ a1‬באמצעות ‪ d‬ו‪. n -‬‬ ‫ב‪ .‬אם מגדילים את הפרש הסדרה הנתונה ב‪) 3 -‬בלי לשנות את ‪ a1‬ואת ‪,( n‬‬ ‫מקבלים סדרה חשבונית שסכומה גדול פי ‪ 2‬מסכום הסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫הראה כי הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. 2‬‬

‫‪13‬‬

‫‪.3‬‬

‫באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים‬ ‫שני גלגלים‪ A ,‬ו‪ . B -‬כל גלגל מחולק ל‪ 20 -‬גזרות שוות )לכל אחת‬ ‫מהגזרות יש אותה הסתברות שהגלגל ייעצר עליה‪ ,‬והגלגל אינ ו נעצר‬ ‫בגבול שבין הגזרות(‪.‬‬ ‫בגלגל ‪ A‬יש ‪ 2‬גזרות אדומות והשאר שחורות‪.‬‬ ‫בגלגל ‪ B‬יש ‪ 4‬גזרות אדומות והשאר שחורות‪.‬‬ ‫תור אחד במשחק מורכב משני שלבים‪:‬‬ ‫בשלב הראשון‪ :‬משתתף במשחק מסובב את הגלגל ‪. A‬‬ ‫בשלב השני‪ :‬אם הגלגל ‪ A‬נעצר על גזרה אדומה בשלב הראשון‪,‬‬ ‫המשתתף מסובב את הגלגל ‪ . B‬אם הגלגל ‪ A‬נעצר על גזרה שחורה‬ ‫בשלב הראשון‪ ,‬המשתתף מסובב שוב את הגלגל ‪. A‬‬ ‫א‪ .‬ידוע שבתור אחד בשלב הראשון נעצר הגלגל ‪ A‬על גזרה אדומה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה בשלב השני גזרה שחורה?‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מהי ההסתברות שבתור אחד תתקבל לפחות גזרה אדומה אחת?‬ ‫) ‪ ( 2‬אם ידוע כי בתור אחד הייתה לפחות אחד מהגזרות אדומה‪,‬‬ ‫מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה רק גזרה אדומה אחת?‬ ‫ג‪ .‬משתתף משחק ‪ n‬תורות‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ n‬את ההסתברות שלא תתקבל כלל גזרה אדומה‪.‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתון משולש ‪ ABC‬חד‪ -‬זוויות‪.‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪ , AC‬ו‪ AD -‬הוא גובה לצלע ‪. BC‬‬ ‫הגבהים נפגשים בנקודה ‪. N‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ FM‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪, AC‬‬

‫‪F‬‬

‫ו‪ GM -‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪M‬‬

‫א‪ .‬הוכח‪. BAC  GFC ( 1 ) :‬‬

‫‪N‬‬

‫) ‪. ABN  MFG ( 2‬‬ ‫‪C‬‬

‫) ‪. ANB  GMF ( 3‬‬

‫ב‪ .‬מצא את היחס ‪BN‬‬ ‫‪FM‬‬

‫‪ .‬נמק‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫‪G‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪.5‬‬

‫בטרפז ‪ (AD  BC) ABCD‬נתון‪, AC  BD :‬‬

‫‪b‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪. (d  b) , AD  d , AB  a , BC  b , CD  c‬‬ ‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. a 2  c 2  b 2  d 2 :‬‬

‫‪a‬‬

‫‪c‬‬

‫ב‪ .‬דרך קדקוד ‪ B‬מעבירים ישר‬ ‫המקביל לשוק ‪ . CD‬הישר חותך‬

‫‪D‬‬

‫את הבסיס ‪ AD‬בנקודה ‪. M‬‬ ‫‪bd‬‬ ‫‪. cos  ‬‬ ‫נתון‪ . ABM   :‬הוכח‪:‬‬ ‫‪ac‬‬ ‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ b , d‬ו‪ ( 1 ) :  -‬את שטח המשולש ‪. ABM‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את שטח הטרפז ‪. ABCD‬‬

‫‪d‬‬

‫‪A‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪2x 4  4x 3  2x 2  8‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪. x  2 , f (x) ‬‬

‫‪y‬‬

‫א‪ .‬בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫עבור ‪ . x  0‬מעבירים ישר המשיק לגרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬ ‫מצא את השטח המו גבל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬ ‫על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪ y -‬עבור ‪. x  0‬‬ ‫ב‪ ( 1 ).‬מצא תחומי עלייה וירידה‬

‫‪x‬‬

‫של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬ ‫עבור כל תחום ההג דרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום‬ ‫ההגדרה שלה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה )‪ . g(x)  f (x‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬

‫‪15‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2  cos x  sin 2 x‬בתחום ‪.   x  ‬‬ ‫עבור התחום הנתון ענה על סעיפים א'‪ -‬ד'‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪ ( 1 ) .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫) ‪ ( 2‬שרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪) f '(x‬הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫גזירה גם בקצות התחום הנתון(‪.‬‬

‫) ‪ ( 3‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגז רת )‪f '(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ‪3‬‬ ‫ד‪ .‬נתון כי גרף הפונקציה ‪ g(x)  a  cos x  sin 2 x‬משיק לציר ‪ x‬בתחום‬ ‫הנתון בנקודה אחת בלבד‪ .‬מהו הער ך של ‪ ? a‬נמק‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫)‪ f '(x‬היא פונקציית הנגזרת של )‪ . f (x‬בציור מוצג הגרף של )‪. f '(x‬‬ ‫)‪ f (x‬היא פונקציה רציפה המוגדרת בתחום ‪. x  4‬‬

‫נתון‪6x 2  16x :‬‬ ‫‪x 3  4x 2‬‬

‫‪. f '(x) ‬‬

‫‪y‬‬

‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של )‪. f '(x‬‬

‫)‪f '(x‬‬

‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של )‪. f '(x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום‬ ‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה‬ ‫‪x‬‬

‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ה‪ .‬נתון‪. 2  a  0 , f (a)  4 3 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של )‪, f '(x‬‬

‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪ , x  a‬הוא ‪28 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫מצא את ערך הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת המקסימום שלה‪.‬‬ ‫אין צורך למצוא את )‪ , f (x‬ואין צורך למצוא את ‪. a‬‬ ‫בתשובתך תוכל להשאיר ‪ 3‬או לדייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה‬ ‫‪.‬‬

‫העשרונית‪.‬‬

‫‪16‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 4‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד א ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪. 1.25 .‬‬

‫ב‪ .‬הרוכב שיצא מ‪ 9 : A -‬שעות‪ .‬הרוכב שיצא מ‪ 7.2 : B -‬שעות‪.‬‬

‫)‪d(n  1‬‬ ‫‪ . 2‬א‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪. a1 ‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . 0.8 .‬ב‪. 17 ( 2 ) . 0.19 ( 1 ) .‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪ . 4‬ב‪. 2 .‬‬

‫ג‪. 0.81n .‬‬

‫‪bd(d  b) tan ‬‬ ‫‪ . 5‬ג‪bd tan  ( 1 ) .‬‬ ‫‪(2) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2(d  b‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ . 6‬א‪. 1 1 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬עלייה‪ x  2 :‬או ‪ ; x  2‬ירידה‪ :‬אף ‪. x‬‬ ‫ג‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ . 7‬א‪ . (0;1) .‬ב‪ (;3) .‬מקסימום מוחלט‪ (;3) ,‬מקסימום מוחלט‪.‬‬ ‫) ‪ (  ; 3‬מינימום מוחלט‪ (  ; 3 ) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫ג‪( 1 ) .‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪. 1 (3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ד‪. a  1 .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪. x  0 , x  4 .‬‬

‫ב‪. x  4 .‬‬

‫ג‪. x  2 2 .‬‬ ‫‪3‬‬

‫ד‪ .‬עלי יה‪ 4  x  2 2 :‬או ‪ ; x  0‬ירידה‪. 2 2  x  0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ה‪64 3  12.317 .‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪.‬‬

‫‪17‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪5‬‬ ‫קיץ תש"ע‪ ,2010 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫‪E‬‬

‫רוכב אופניים רכב מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬ ‫במסלול שבין שתי הערים יש תחילה‬

‫‪A‬‬

‫עלייה ואחר כך ירידה )ראה ציור( ‪.‬‬ ‫מהירות הרוכב בירידה היא קבועה‪,‬‬ ‫וגדולה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירותו בעלייה‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫הרוכב עבר את הדרך מ‪ A -‬ל‪ B -‬ב‪ 4.5 -‬שעות‪.‬‬ ‫בדרך חזור עבר הרוכב את הדרך מ‪ B -‬ל‪ A -‬ב‪ 6 -‬שעות‪.‬‬ ‫מהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ‪ A -‬ל‪ B -‬שווה למהירות הרוכב בעלייה‬ ‫שבדרך מ‪ B -‬ל‪ , A -‬וגם מהי רות הרוכב בירידה בכל אחת מהדרכים היא‬ ‫אותה מהירות‪ .‬אורך המסלול בין שתי הערים הוא ‪ 70‬ק"מ‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את מהירות הרוכב בעלייה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את אורך המסלול מ‪ E -‬ל‪. B -‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪ a n‬ו‪ a k -‬הם שני איברים בסדרה חשבונית במקום ה‪ n -‬ובמקום ה‪k -‬‬

‫בהתאמה‪ .‬הפרש הסדרה הוא ‪ , d‬והאיבר הראשון בסדרה הוא ‪, a1  md‬‬ ‫‪ – m‬מספר טבעי‪. d  0 ,‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬הראה כי מתקיים )‪. a n  a k  a1  d(n  k  m  2‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ k , n‬ו‪ m -‬את המקום בסדרה של איבר השווה‬ ‫לסכום של שני האיברים ‪ a n‬ו‪. a k -‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ d , a1‬ו‪ m -‬את הסכום‬

‫‪. a 34  a 65‬‬

‫) ‪ ( 2‬נתון‪ , a 34  a 65  a109 :‬סכום ‪ 79‬האיברים הראשונים בסדרה‬ ‫הוא ‪ . 7900‬מצא את ‪ d‬ואת ‪. a1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪.3‬‬

‫ברשותנו שתי קוביות משחק הנראות זהות‪ .‬קובייה אחת מאוזנת‬ ‫והאחרת לא מאוזנת‪ .‬בהטל ת הקובייה המאוזנת ההסתברות לקבל אחד‬ ‫מהמספרים הרשומים על פאות הקובייה היא אותה הסתברות עבור כל‬ ‫אחד מהמספרים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בהטלת הקובייה הלא‪ -‬מאוזנת ההסתברות לקבל את המספר שש היא ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬זורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה המאו זנת‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר שש?‬ ‫) ‪ ( 2‬זורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה הלא‪ -‬מאוזנת‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר שש?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אחת משתי הקובי ות‪ ,‬וזורקים ‪ 3‬פעמים‬ ‫את הקובייה שבוחרים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר שש?‬ ‫) ‪ ( 2‬ידוע כי המספר שש התקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שנבחרה הקו בייה הלא‪ -‬מאוזנת?‬

‫ג‪ .‬זורקים ‪ n‬פעמים את הקובייה הלא‪ -‬מאוזנת‪ .‬הבע באמצעות ‪n‬‬ ‫את ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את המספר שש‪.‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נ תון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (BC  AD) ABCD‬‬

‫דרך הקדקוד ‪ D‬העבירו אנך ל‪AD -‬‬ ‫וישר המקביל לשוק ‪. AB‬‬ ‫האנך חותך את המשך האלכסון ‪AC‬‬ ‫בנקודה ‪, M‬‬

‫‪F‬‬

‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫והישר המקביל חותך את המשך‬ ‫האלכסון בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נסמן‪. CAD   , BAC   :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי‪. ABC  FDA :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי‪. CDM  MDF :‬‬

‫ג‪ .‬הוכח כי‪AC  MC :‬‬ ‫‪AF MF‬‬

‫‪.‬‬

‫‪19‬‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪.5‬‬

‫בציור שלפניך טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AD  BC) ABCD‬‬ ‫נתון‪. BDC   , CAD   :‬‬

‫‪D‬‬

‫א‪ .‬הוכח‪ :‬היחס בין שטח המשולש ‪AED‬‬ ‫לשטח המשולש ‪BEC‬‬ ‫‪S‬‬ ‫)‪sin 2 (2  ‬‬ ‫הוא‬ ‫‪. AED ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪SBEC‬‬ ‫‪sin 2 ‬‬ ‫‪SAED 1‬‬ ‫ב ‪ .‬נתון גם‪ ,   30 :‬‬ ‫‪SBEC 4‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪x 2  6x  12‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x 2  6x  9‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א ‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החית וך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 4‬ס רטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב ‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנג זרת )‪ f '(x‬המקבילות‬ ‫לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬ס רטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪ . f '(x‬נמק‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  sin x‬בתחום ‪) 0  x  ‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫מעבי רים שני ישרים שמשוואותיהם‪:‬‬ ‫‪.( 0  a   ) , x  a   , x  a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי שני‬ ‫הישרים‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪) x -‬השטח המקווקו בציור(‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪a  2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ S2‬הוא סכום של שני שטחים‪ ,‬שכל אחד מהם מוגבל על ידי גרף‬ ‫הפונקציה )‪ , f (x‬על ידי אחד הישרים ועל ידי ציר ה‪) x -‬סכום השטחים‬

‫‪S1‬‬ ‫המנוקדים בציור(‪ .‬מצא עבור איזה ע רך של ‪ a‬היחס‬ ‫‪S2‬‬

‫‪20‬‬

‫הוא מקסימלי‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪x‬‬ ‫‪x 2  15‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬על סמך סעיפים א' ו‪ -‬ב' שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪,‬‬ ‫אם נתון כי הפונקציה יורדת בכל התחום שבו היא מוגדרת‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נתון כי הישר ‪ , k  0 , y   kx  8k‬אינו חותך את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫הישר מחלק את השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישרים ‪ x  4‬ו‪ , x  8 -‬לשני שטחים שווים‪.‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. k‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 5‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ 10 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 50 .‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . n  k  m  1 ( 2 ) .‬ב‪. a1  (97  m)d ( 1 ) .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 2 ( 2 ) . 5 ( 1 ) .‬ב‪. 7 ( 1 ) .‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪9‬‬

‫) ‪. a1  22 , d  2 ( 2‬‬

‫) ‪ . 16 ( 2‬ג‪.‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪. 1 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ . 5‬ב ‪.   106.1 .‬‬ ‫‪ .6‬א‪. y  1 , x  3 (1) .‬‬

‫‪y‬‬

‫) ‪. (0;1 1 ) ( 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪(4‬‬

‫) ‪ ( 3‬עלייה‪; 3.5  x  3 :‬‬ ‫‪x‬‬

‫ירידה‪ x  3 :‬או ‪. x  3.5‬‬ ‫ב‪. y  0 , x  3 (1) .‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪S1‬‬ ‫‪ . a  ‬הערה‪ :‬שים לב שכאשר ‪ S1‬הוא מקסימלי‪ ,‬היחס‬ ‫‪4 .7‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ x  15 .‬או ‪. x   15‬‬

‫ג‪.‬‬

‫ב‪. y  1 , y  1 , x   15 , x  15 .‬‬ ‫ד‪. k  3 .‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪x‬‬

‫‪21‬‬

‫הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪6‬‬ ‫חורף תשע"א‪2011 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫נהג יצא מעיר ‪ A‬לכיוון עיר ‪ . B‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬ק"מ‪.‬‬ ‫בהתחלה נסע הנהג ב מהירות קבועה כפי שתכנן‪ ,‬אבל כעבור ‪ 3‬שעה‬ ‫‪4‬‬ ‫מתחילת נסיעתו הייתה תקלה ברכבו‪.‬‬ ‫הנהג חזר מיד לכיוון ‪ , A‬ונסע ‪ 10‬ק"מ במהירות של ‪ 50‬קמ"ש עד‬ ‫למוסך הנמצא בדרך ל‪. A -‬‬ ‫המוסך טיפל בתקלה במשך ‪ 33‬דקות‪ ,‬ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג‬ ‫לכיוון ‪ B‬במהירות הקטנה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירות נסיעתו עד התקלה‪.‬‬ ‫הוא הגיע ל‪ B -‬באיחו ר של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת‪.‬‬ ‫מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה?‬

‫‪.2‬‬

‫בסדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד נתון כי סכום של כל שני‬ ‫איברים עוקבים שווה למכפלתם‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא נוסחת נסיגה המביעה את ‪ a n 1‬באמצעות ‪. a n‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי עבור כל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. a n  2  a n :‬‬ ‫ג‪ .‬נתון כי ‪ n , a 31  3‬הוא מספר זוגי‪.‬‬

‫מצא נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬

‫‪.3‬‬

‫משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על ‪ 4‬גלגלים חדשים‪.‬‬ ‫בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד‪.‬‬ ‫ההסתברות שיהיה נקר )פנצ'ר( בגלגל חדש בזמן הטיול היא ‪. 0.05‬‬ ‫ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא ‪. 0.25‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים‬ ‫החדשים?‬

‫‪22‬‬

‫ב‪ .‬בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד‪ ,‬והמשפחה החליפה את הגלגל‬ ‫בגלגל הרזרבי‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרב י‬ ‫מבין ארבעת הגלגלים?‬ ‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין‬ ‫ארבעת הגלגלים?‬ ‫) ‪ ( 3‬ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת‬ ‫הגלגלים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברו ת שהנקר היה בגלגל הרזרבי?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫מנקודה ‪ A‬יוצאים למעגל חותך ‪AF‬‬ ‫וישר המשיק למעגל בנקודה ‪. N‬‬ ‫החותך נפגש עם המ עגל בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬ ‫מנקודה ‪ F‬יוצא ישר המשיק למעגל‬ ‫‪E‬‬ ‫בנקודה ‪ , M‬ונפגש עם המשך המשיק ‪AN‬‬ ‫בנקודה ‪) B‬ראה ציור(‪ .‬נ תון‪. AD  DE  EF :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. AN  MF :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. ADN  FEM :‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬במרובע ‪ MNDE‬יש שתי צלעות מקבילות זו לזו‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫משולש חד‪ -‬זוויות ‪ ABC‬חסום במעגל‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪B‬‬

‫שמרכזו ‪ CF . O‬הוא קוטר במעגל‪,‬‬

‫והמשך הרדיוס ‪ BO‬חותך את הצלע ‪AC‬‬ ‫בנקודה ‪ , D‬כמתואר בציור‪ .‬נתון‪. ABD   :‬‬

‫‪ BC‬ארוכה פי ‪ 2‬מהקשת ‪‬‬ ‫הקשת ‪‬‬ ‫‪. FB‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪O‬‬

‫‪F‬‬

‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. BAC‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח‬ ‫המשולש ‪ BAD‬לשטח המשולש ‪. BAC‬‬

‫ג‪ .‬נתון גם כי‪AD  2 :‬‬ ‫‪AB 3‬‬

‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬

‫‪23‬‬

‫‪B‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬

‫‪.6‬‬

‫‪x2  a‬‬ ‫נתו נה הפונקציה ‪ 1‬‬ ‫‪x 2  3a‬‬ ‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬

‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬

‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬א ת שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬הסבר את השינויים בגרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪a  0‬‬ ‫לעומת גרף הפונקציה עבור ‪: a  0‬‬ ‫) ‪ ( 1‬בתחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בנקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונות הפונקציות ‪ x  4‬‬ ‫‪) g(x)   x  4‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪, f (x) ‬‬

‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫כל אחת מהפונקציות הנתונות‪.‬‬ ‫לפונקציות יש משיק משותף‪ ,‬המשיק‬ ‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  x 0‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעו ת ‪ x 0‬את השיעורים של הנקודה שבה המשיק‬ ‫המשותף משיק לגרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת‪ -‬סעיף ב' ) ‪( 1‬‬ ‫)ערכים מספריים(‪.‬‬ ‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף‪ ,‬על ידי הגרף של‬ ‫הפונקציה )‪ g(x‬ועל ידי ציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2 tan 2 x‬בתחום ‪.  3  x  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬בתח ום הנתון‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את ערכי ה‪ x -‬שעבורם הפונקציה )‪ f (x‬אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצו ן של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה ‪. g(x)  tan x  x‬‬ ‫‪ 0  x  ‬מצא את השטח המוגבל על ידי הישר ‪, y  2‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫על ידי הישר ‪ , x  2‬על ידי הגרף של הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ . x -‬היעזר בפונקציית הנגזרת של )‪. g(x‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 6‬חורף תשע"א‪: 2011 ,‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ 80 . 1‬קמ"ש‪ . 2 .‬א‪.‬‬ ‫‪an 1‬‬

‫‪. a n 1 ‬‬

‫ג‪. 2.25n .‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . 6859 .‬ב‪. 19 ( 3 ) . 2527 ( 2 ) . 6859 ( 1 ) .‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪8000‬‬ ‫‪32000‬‬ ‫‪40000‬‬

‫‪sin  cos ‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 60 .‬ב‪.‬‬ ‫)‪sin(30  )sin(120  ‬‬

‫ג‪. 40.89 .‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬

‫ב‪.‬‬

‫) ‪ ( 2‬עלייה‪ ; x  0 :‬ירידה‪. x  0 :‬‬ ‫) ‪. (0; 1 1 ) ( 4 ) . x   a , x  a ( 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪. y  0 (5‬‬

‫ג‪3a ( 1 ) .‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ ( 2 ) . x   3a , x ‬אין נקודות פיתול‪.‬‬

‫‪ . 7‬א ‪. x  4 : g(x) . x  4 : f (x) .‬‬

‫ב‪ ( 1) .‬‬

‫‪‬‬

‫‪. x0 ;  x0  4‬‬

‫) ‪ . (8; 2) ( 2‬ג‪. 2 2  .‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. x   3 , x   ‬‬ ‫‪ . 8‬א‪2 , x  2 , x  2 ( 2 ) . x   2 , x   2 , x  2 , x  2 ( 1 ) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( ;0) ( 3‬מינימום‪ (0;0) ,‬מינימום‪ ( ;0) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(4‬‬

‫ב‪2    0.8056 ( 2 ) . g '(x)  tan 2 x ( 1 ) .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3 9‬‬

‫‪x‬‬

‫‪25‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪7‬‬ ‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים‪.‬‬ ‫פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים‪.‬‬ ‫לו פועל ותיק היה עובד ‪ 1‬מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ופועל חדש היה עובד ‪ 1‬מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אז יחד הם היו מבצעים ‪ 13‬מעבודה זו‪ .‬פועל ותיק מבצע לבד את העבודה‬ ‫‪18‬‬ ‫במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד‬ ‫את העבודה‪ ,‬ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי פועל ותיק מרכיב ‪ 9‬מחשבונים בשעה‪.‬‬ ‫בצוות עבודה יש פועל אחד חדש ושני פועלים ותיקים‪.‬‬ ‫מצא בכמה שעות הצוות מרכיב ‪ 168‬מחשבונים‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת‪.‬‬ ‫כל איבר בסדרה זו קטן פי ‪ 2‬מסכום כל האיברים שאחריו‪.‬‬ ‫סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא ‪. 4‬‬ ‫מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי בסדרה‪.‬‬

‫‪.3‬‬

‫בחברת תקשורת גדולה נבדקו הרגלי הצפייה של הלקוחות‪.‬‬ ‫נמצא כי מספר הלקוחות שצופים בערוצי אקטואליה גדול פי ‪ 4‬ממספר‬ ‫הלקוחות שאינם צופים בהם‪ 5 .‬מהלקוחות שצופים בערוצי סרטים‪,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫צופים בערוצי אקטואליה‪.‬‬ ‫‪ 75%‬מהלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים‪ ,‬צופים בערוצי אקטואליה‪.‬‬ ‫בוחרים באקראי לקוח מבין הלקוחות שהרגלי הצפייה שלהם נבדקו‪.‬‬ ‫ההסתברות שהוא צופה בערוצי סרטים היא ‪. P‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ P‬את ההסתברות שהלקוח שנבחר צופה בערוצי‬ ‫סרטים וגם בערוצי אקטואליה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪. P‬‬

‫‪26‬‬

‫ב‪ ( 1 ) .‬נמצא שהלקוח שנבחר אינו צופה בערוצי סרטים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא אינו צופה בערוצי אקטואליה?‬ ‫) ‪ ( 2‬בחרו באקראי ‪ 5‬לקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם צופה בערוצי אקטואליה?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתון משולש ‪ . ABC‬הנקודות ‪ , E , D‬ו‪F -‬‬ ‫‪A‬‬

‫נמצאות על הצלעות ‪ , AC , AB‬ו‪ BC -‬בהתאמה‬ ‫כך ש‪ DE  BC -‬ו‪) FE  BA -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ADE‬הוא ‪, S1‬‬

‫‪E‬‬

‫שטח המשולש ‪ EFC‬הוא ‪. S2‬‬

‫הבע באמצעות ‪ S1‬ו‪S2 -‬‬ ‫את היחס ‪BF‬‬ ‫‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫‪FC‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫ב‪ .‬הוכח כי שטח המשולש ‪ BEF‬שווה ל‪. S1  S2 -‬‬

‫‪.5‬‬

‫לשני מעגלים יש משיק משותף המשיק לשניהם בנקודה ‪. P‬‬ ‫נ קודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל אחד‬ ‫‪C‬‬

‫ונקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על המעגל‬

‫‪A‬‬

‫האחר כך שהקטעים ‪ AD‬ו‪CB -‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪) P‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪P‬‬

‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות‬

‫‪ D , C‬ו‪ P -‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪CD  3 ,‬‬ ‫‪AB 2‬‬ ‫‪. DCP   , BAP  ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪D‬‬

‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות ‪ B , A‬ו‪. P -‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪. BD‬‬

‫ג‪ .‬אם נתון גם כי ‪PD  3‬‬ ‫‪PB 2‬‬ ‫) ‪ ‬ו‪  -‬הן זוויות חדות‪(.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ,‬הראה כי ‪. BD  3sin   1  24sin ‬‬

‫‪27‬‬

‫‪B‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪ax‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x  a2‬‬

‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר שונה מאפס‪.‬‬

‫א‪ .‬עבור ‪ a  0‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ס רטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ‪. a  0‬‬ ‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. a  0 , g(x)  f (x)  a‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מה הן האסימפטוטות של הפונקציה )‪? g(x‬‬ ‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מה ה ם הערכים שהפונקציה )‪ g(x‬יכולה לקבל?‬ ‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  cos(x 2  2x‬בתחום ‪. 0.5  x  2.5‬‬ ‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונק ציה‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בתחום הנתון שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בתחום ‪ 0  x  2‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ f '(x‬ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬ ‫תוכל להיעזר בסקיצה של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫בתשובותיך דייק במידת הצורך עד שתי הספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬

‫‪28‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה מדשאה בצורת מלבן ‪. ABCD‬‬ ‫לאורך צלעות המלבן ‪ BA‬ו‪ CD -‬יש שבילי הליכה‪.‬‬ ‫אורך הצלע ‪ BA‬הוא ‪ 0.4‬ק"מ‪,‬‬

‫שביל‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬

‫ואורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ 0.3‬ק"מ‪.‬‬ ‫אדם עומד בקדקוד ‪ C‬של המדשאה‬ ‫ורוצה להגיע לקדקוד ‪ . A‬הוא הולך‬ ‫לאורך הקטע ‪ CE‬שעל השביל ‪, CD‬‬ ‫אחר כך הולך לאורך הקטע ‪ EF‬שעל המדשאה‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫שביל‬

‫‪D‬‬

‫וממשיך לאורך הקטע ‪ FA‬שעל השביל ‪) BA‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫האדם הולך במהירות של ‪ 6‬קמ"ש לאורך השבילים‪,‬‬ ‫ועל המדשאה הוא הולך במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬ ‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪ , EF‬כדי שהאדם יגיע ל‪ A -‬בזמן הקצר‬ ‫ביותר? בתשוב תך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 7‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד א ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬פי ‪ . 1.5‬ב‪ 7 .‬שעות‪.‬‬

‫‪. 4096 . 2‬‬ ‫‪59049‬‬

‫‪S1‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . P  0.6 ( 2 ) . 5 p ( 1 ) .‬ב‪ . 4 . 1023 ( 2 ) . 0.25 ( 1 ) .‬א‪.‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪S2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ 3 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. BD  36sin   81sin   108sin  sin  cos(  ) .‬‬

‫‪ . 6‬א‪ x  a ( 1 ) .‬או ‪. x   a‬‬

‫) ‪. y  a , y  a , x   a , x  a ( 2‬‬

‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ :‬אף ‪ ; x‬ירידה‪ x  a :‬או ‪ ( 4 ) . x   a‬אין חיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫ב‪ .‬עבור ‪: a  0‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. y  2a , y  0 , x  a , x  a ( 1 ) .‬‬

‫) ‪ g(x)  0 ( 2‬או ‪. g(x)  2a‬‬

‫‪ . 7‬א‪ ( 0.5;0.315) .‬מינימום‪ (0;1) ,‬מקסימום‪ (1;0.54) ,‬מינימום‪ (2;1) ,‬מקסימום‪,‬‬ ‫)‪ (2.5;0.315‬מינימום‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪.‬‬

‫ג‪. 0.92 .‬‬ ‫‪ 0.4025 . 8‬ק"מ‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪29‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪8‬‬ ‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫רוכב אופניים יצא ממושב ‪ A‬אל מושב ‪ , B‬ולאחר ‪ 1‬שעה יצא רוכב‬ ‫‪2‬‬ ‫אופניים שני ממושב ‪ B‬אל מושב ‪. A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהמרחק שבין ‪ B‬ל‪. A -‬‬ ‫הרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר‬ ‫‪4‬‬ ‫ביום אחר יצא רוכב האופניים הראשון ממושב ‪ A‬למושב ‪ 1 B‬שעה‬ ‫‪2‬‬ ‫אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב ‪ B‬אל מושב ‪ . A‬הרוכבים‬ ‫נפגשו באמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪ . B -‬מהירויות הרוכבים לא השתנו‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה‪,‬‬ ‫הם נפגשים במרחק ‪ b‬ק"מ מאמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ b‬את הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬

‫‪.2‬‬

‫א‪ .‬סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא ‪, 112‬‬ ‫וסכום האיברים במקומות הר אשון‪ ,‬הרביעי‪ ,‬השביעי וכו' של סדרה‬ ‫זו הוא ‪ . 64‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. q‬‬ ‫ב‪ .‬בסדרה נתון‪ . a n 1  a n  4n  6 :‬בסדרה ישנם ‪ K‬איברים ) ‪ K‬זוגי(‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ K‬את ההפרש בין סכום האיברים במקומות הזוגיים‬ ‫לבין סכום האיברים במקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬

‫‪30‬‬

‫‪.3‬‬

‫בקבוצה של ‪ 40‬אנשים יש ‪ 16‬גברים והשאר נשים‪ .‬ל‪ 12 -‬גברים בקבוצה‬ ‫יש רישיון נהיגה‪ ,‬ול‪ 16 -‬נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה‪.‬‬ ‫א‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬ל אחר שהאדם חוזר לקבוצה‪,‬‬ ‫שוב בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות פעם‬ ‫אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬ ‫ג‪ .‬האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה‬ ‫אדם שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה‬ ‫הנתונה של ‪ 40‬האנשים אין תלות בין מין האדם לכך שיש לו רישיון‬ ‫נהיגה? )מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו משתנה‪ ,‬ומספר הגברים‬ ‫בעלי רישיו ן אינו משתנה(‪.‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(CAB  90 ) CAB‬‬ ‫הניצב ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫היתר ‪ BC‬חותך את המעגל גם בנקודה ‪. P‬‬ ‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את הניצב‬ ‫‪ CA‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CE  EA‬‬ ‫‪CP‬‬ ‫‪ ,‬וכי שטח המשולש ‪CPE‬‬ ‫ב‪ .‬אם נתון כי ‪ 2‬‬ ‫‪EA 3‬‬ ‫הוא ‪ 2‬סמ"ר‪ ,‬מצא את שטח המשולש ‪ . PAB‬נמק‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬

‫‪C‬‬

‫‪P‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫החוסם מעגל שמרכזו ‪ AB . O‬ו‪ DC -‬משיקים‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫למעגל בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪ EF .‬הוא קוטר‬ ‫במעגל )ראה צי ור(‪ .‬האורך של שוק הטרפז הוא ‪. b‬‬

‫‪O‬‬

‫נתון כי )‪ . (sin C) 2  sin(90  C‬הבע באמצעות ‪: b‬‬ ‫א‪ .‬את רדיוס המעגל החסום בטרפז‪.‬‬ ‫ב‪ .‬את אורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬

‫‪C‬‬

‫בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫‪F‬‬

‫‪D‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪1‬‬ ‫‪cos x‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ .‬מצא אם הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית או אי‪ -‬זוגית או לא זוגית ולא‬ ‫אי‪ -‬זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בתחום ‪: 0  x  2‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות‬ ‫של הפונקציה המקבילות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים ש ל נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לשרטוט ששרטטת בתת‪ -‬סעיף ב) ‪ ( 3‬הוסף סקיצה של גרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪. 2  x  0‬‬ ‫ד‪ .‬השטח ברביע הראשון ה מוגבל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬ ‫על ידי הישר ‪y  2‬‬ ‫‪ , x  ‬על ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫‪ ,‬על ידי הישר ‪2‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ , y -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫ה‪ .‬בתחום שבין ‪ ‬ל‪ ,  -‬רשום בצורה כללית את השיעורים‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬של נקודות המינימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬של נקודות המקסימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫‪32‬‬

‫נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪6x 2  3x  3 : f (x‬‬ ‫‪(1  x 2 )5‬‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪. f ''(x) ‬‬

‫א‪ .‬מ בין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ ? f '(x‬נמק‪.‬‬

‫‪I‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪II‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪III‬‬

‫‪IV‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא תחומי קעירות כלפי מטה ‪ ‬ותחומי קעירות כלפי מעלה ‪‬‬ ‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬היעזר בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬ומצא בין אילו שני מספרים‬ ‫שלמים עוקבים נמצא שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון של )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ , f (x‬אם ידו ע כי הגרף חותך‬ ‫את ציר ה‪ x -‬רק בנקודה אחת שבה ‪. x  3‬‬ ‫‪y‬‬

‫לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת‬ ‫השלישית )‪. f '''(x‬‬

‫)‪f '''(x‬‬

‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף‬

‫של )‪ , f '''(x‬על ידי צ יר ה‪ x -‬וציר ה‪y -‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪ x  2‬בתחום ‪. x  0‬‬ ‫ד‪ .‬על פי הגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪,‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪1.5‬‬

‫הסבר מדוע הגרף של פונקציית הנגזרת‬ ‫השלישית )‪ f '''(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשלוש נקודות‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונות המשוואות של שתי פרבולות‪. g(x)  x 2  x , f (x)  a 2 x 2 :‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר שונה מ‪. 0 -‬‬ ‫הפר בולות נפגשות בנקודות ‪ O‬ו‪ – O ) A -‬ראשית הצירים(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪ A‬שעבורה השטח‪ ,‬המוגבל על ידי‬ ‫הגרף של )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי האנך לציר ה‪ x -‬העוב ר דרך‬ ‫הנקודה ‪ , A‬הוא מקסימלי‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫תשובות ל מב חן בגרות מספר ‪ – 8‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ . 5 .‬ב‪ 8b .‬ק"מ ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . q  0.5 , a1  56 .‬ב‪. K 2  3K .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 0.7 .‬ב‪ . 0.91 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬המאורעות תלויים‪ .‬ד‪. 18 .‬‬ ‫‪ . 4‬ב‪ 32 .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 0.393b .‬ב‪. 0.382b .‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ .‬הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬תחום הג דרה‪, x  2 , 0  x  2 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. x  3 , x  ‬‬ ‫אסימפטוטות מקבילות לצירים‪2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ (0;1) ( 2‬מינימום‪ ( ; 1) ,‬מקסי מום‪ (2;1) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪y‬‬

‫ג‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫ד‪. 2   3  12.02 .‬‬ ‫‪3‬‬

‫ה‪ (2k;1) ( 1 ) .‬מינימום‪ (   2k; 1) ( 2 ) .‬מקסימום‪ .‬הערה‪ k :‬מספר שלם‪.‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. IV .‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪ x  1 :  ( 1 ) .‬או ‪; x  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 1  x  1 : ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בין ‪ 1‬ל‪. 0 -‬‬

‫)‪(3‬‬ ‫‪x‬‬

‫ג‪. 4.638 .‬‬ ‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ f '''(x‬היא למעשה הנגזרת השנייה של )‪. f '(x‬‬ ‫בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬יש ‪ 3‬נקודות פיתול ולכן הנגזרת השנייה‬ ‫של )‪ f '(x‬מתאפסת ב‪ 3 -‬נקודות ומכאן שבגרף של )‪ f '''(x‬יש ‪ 3‬נקודות‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬

‫‪‬‬

‫‪a 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫;‬ ‫‪ . A ‬ב‪. A( 2 ;  2 ) .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ .‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪1  a 2 (1  a 2 ) 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪34‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪9‬‬ ‫חורף תשע"ב‪2012 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫משאית יצאה מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬ ‫בדיוק באותו רגע יצאה מכונית מעיר ‪ B‬לעיר ‪. A‬‬

‫כאשר הגיעה המכונית ל‪ A -‬היא חזרה מיד ל‪ , B -‬וכאשר הגיעה ל‪B -‬‬ ‫היא מיד שוב יצאה ל‪ . A -‬המכונית פגשה בדרכה את המשאית שלוש‬ ‫פעמים‪ ,‬לפני שהמשאית ה גיעה ל‪. B -‬‬ ‫הפגישה הראשונה הייתה כעבור ‪ 2‬שעות מרגע היציאה של המכונית‬ ‫והמשאית לדרך‪ .‬הפגישה השנייה הייתה כעבור ‪ 4 2‬שעות מרגע היציאה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הפגישה השלישית הייתה במרחק ‪ 40‬ק"מ מ‪. B -‬‬ ‫מצא את המהירות של המשאית )המהירויות של המשאית והמכונית‬ ‫אינן משתנות(‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫א‪ .‬בסדרה חשבונית ישנם ‪ 2n  1‬איברים‪ .‬סכום ‪ n‬איברים הראשונים‬ ‫הוא ‪ 760‬וסכום ‪ n‬האיברים האחרונים הוא ‪. 1960‬‬ ‫מצא את ‪ n‬אם האיבר הראשון בסדרה הוא ‪. 10‬‬

‫ב‪ .‬נתונה סדרה המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬

‫‪bn‬‬ ‫‪bn  1‬‬

‫‪b n 1 ‬‬

‫‪b19  b 20  4.5 , b19  2‬‬ ‫‪bn  2  bn‬‬ ‫מצא את ‪. b10‬‬ ‫הערה ‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬

‫‪35‬‬

‫‪.3‬‬

‫חברה מייצרת טלפונים ניידים חדשניים עם "מסך תלת ממד"‪.‬‬ ‫כדי לבדוק את הביקוש לטלפונים אלה‪ ,‬ערכה החברה סקר טלפוני‪.‬‬ ‫בסקר השתתפו צעירים ומבוגרים‪ .‬חלק מהמשתתפים בסקר הצהירו‬

‫שלא יקנו את הט לפון החדשני והשאר הצהירו שיקנו אותו‪ .‬נמצא כי ‪50%‬‬ ‫מהמבוגרים הצהירו כי יקנו את הטלפון החדשני‪ 2 .‬מבין אלה שהצהירו‬ ‫‪3‬‬ ‫כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪ ,‬היו צעירים‪ 1 .‬מהמשתתפים בסקר היו‬ ‫‪5‬‬ ‫צעירים ש גם טענו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬ ‫א‪ .‬בסקר השתתפו ‪ 2000‬איש‪ .‬כמה צעירים השתתפו בסקר?‬ ‫ב‪ .‬כמה צעירים‪ ,‬מבין הצעירים שהשתתפו בסקר‪ ,‬הצהירו שיקנו‬ ‫את הטלפון החדשני?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪E -‬‬ ‫‪A‬‬

‫נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה‬ ‫כך ש‪ CD . DE  BC -‬ו‪ BE -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬ ‫‪ AF‬חותך את ‪ DE‬בנקודה ‪ , M‬והמשכו חותך‬ ‫את ‪ BC‬בנקודה ‪) N‬ראה ציור( ‪.‬‬

‫‪M‬‬

‫‪E‬‬

‫הוכח‪ :‬א‪DM  EM .‬‬ ‫‪BN CN‬‬ ‫‪EM‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ DM .‬‬ ‫‪BN CN‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫ג‪ DM  EM .‬ו‪. BN  CN -‬‬

‫‪.5‬‬

‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪, (AFC  90 ) AFC‬‬ ‫‪F‬‬

‫הנקודה ‪ K‬נמצאת על הגובה ליתר‬ ‫כך ש‪ FAK   -‬ו‪. KAC   -‬‬

‫‪ B‬היא נקודה על היתר ‪AC‬‬ ‫כך ש‪) AKB  90 -‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪K‬‬

‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪AFC‬‬ ‫הוא ‪ , R‬ורדיוס המעגל החוסם‬ ‫את המשולש ‪ AKB‬הוא ‪. r‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪AF‬‬ ‫‪AK‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪R‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪ r -‬בלבד את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪. AKF‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪36‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪x‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪2x  2‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האס ימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גר ף הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה )‪ , g(x‬המוגדרת בתחום ההגדרה של )‪. f (x‬‬ ‫הנגזרת של )‪ g(x‬מקיימת‪. g '(x)  f (x)  f '(x) :‬‬ ‫מצא את תחום הירידה של הפונקציה )‪ . g(x‬נמק‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪a 16cos x‬‬ ‫‪ f (x) ‬בתחום ‪.    x  7 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16sin x  9‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ‪ . 0 -‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא עבו ר אילו ערכי ‪: x‬‬ ‫) ‪ . f (x)  0 ( 1‬נמק‪ . f (x)  0 ( 2 ) .‬נמק‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬

‫ב‪ .‬מצא את ערך האינטגרל ‪f (x) dx‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪.‬‬

‫ג‪ .‬נתון כי השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬ע ל ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫ועל ידי הישרים ‪ x   ‬ו‪ , x  7 -‬שווה ל‪ . 8 -‬מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪.8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ CD‬הוא קוטר במעגל שרדיו סו ‪. R‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל המאונך‬ ‫לקוטר ‪ CD‬וחותך אותו בנקודה ‪E‬‬ ‫כך ש‪) CE  R -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המק סימלי‬ ‫של המשולש ‪. ABC‬‬

‫‪37‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 9‬חורף תשע"ב ‪: 2012 ,‬‬ ‫‪ 40 . 1‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . n  16 .‬ב‪. b10  1 1 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ 1600 .‬צעירים ‪ .‬ב‪. 1200 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AF  cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . R  cos‬ב‪R r .‬‬ ‫‪(2) .‬‬ ‫‪ . 5‬א‪( 1 ) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪AK cos(  ‬‬ ‫)‪r cos (  ‬‬

‫‪ . 6‬א‪. (0;0) ( 3 ) . x  2 ( 2 ) . x  2 , x  0 ( 1 ) .‬‬

‫‪3 3 R 2 .8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(5‬‬

‫) ‪ (0;0) ( 4‬מקסימום‪ (8; 4) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫ב‪. 2  x  8 .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ .  ‬ב‪. 0 .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪6  x  2 ( 2 ) . 2  x  6 ( 1 ) .‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. a  1 .‬‬ ‫‪2‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪10‬‬ ‫קיץ תשע"ב ‪ ,2012‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫לברכה ‪ 10‬מ"ק מים בקצב קבוע‪.‬‬ ‫צינור הזרים ‪..‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לאחר הפסקה של‬ ‫שעה הוגבר קצב ההזרמה של הצינור ב‪ 3 -‬מ"ק לשעה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫בקצב המוגבר הזרים הצינור עוד ‪ 20‬מ"ק מים‪.‬‬ ‫הזמן שהצינור הזרים את המים‪ ,‬כולל ההפסקה‪ ,‬זהה לזמן שהיה נדרש‬ ‫לצינור‪ ,‬לו היה מזרים ‪ 30‬מ"ק מים בלי הפסקה בקצב שלפני ההגברה‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב כמה זמן הזרים הצינור את המים עד ההפסקה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ברכה ריקה ב‪ 18 -‬שעות‪,‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי הצינור ממלא ‪ 3‬מנפח ‪..‬‬ ‫כאשר הוא מזרים מים בקצב שלפני ההגברה‪.‬‬ ‫לברכה הריקה באותו קצב‪.‬‬ ‫שני צינורות מזרימים יחד מים ‪..‬‬

‫קצב זה קטן מהקצב המוגבר של הצינור הנתון וגדול מהקצב שלפני‬ ‫ההגברה‪.‬‬ ‫הברכה?‬ ‫באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו שני הצינורות ימלאו את‬ ‫‪..‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה הסדרה ‪. 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,...‬‬ ‫הסימנים של איברי הסדרה מתחלפים לסירוגין‪ ,‬והערכים המוחלטים‬ ‫של האיברים מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ n‬את הסכום של‪:‬‬ ‫) ‪ 2n ( 1‬האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬ ‫) ‪ 2n  1 ( 2‬האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בסדרה הנתונה יש מספר אי‪ -‬זוגי של איברים‪,‬‬ ‫וסכום כל איברי הסדרה הוא ‪. 65‬‬ ‫מצא את סכום האיברים העומד ים במקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬

‫‪39‬‬

‫‪.3‬‬

‫א‪ .‬מחלקים ‪ 2‬כדורים לבנים וכדור ‪ 1‬שחור בין שני כדים‪.‬‬ ‫בכל כד חייב להיות לפחות כדור אחד‪.‬‬ ‫בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד‪.‬‬ ‫מצא באיזה אופן צריך לחלק את הכדורים בין שני הכדים‪,‬‬ ‫כדי שהסיכוי להוציא כדור לבן יהיה הגדול ביותר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכד אחד יש ‪ 5‬כדורים‪ 2 :‬לבנים ו‪ 3 -‬שחורים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מוציאים באקראי ‪ 5‬פעמים כדו ר מהכד עם החזרה‬ ‫)בכל פעם מחזירים לכד את הכדור שהוצא(‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמיים כדור לבן?‬ ‫) ‪ ( 2‬מוציאים באקראי ‪ 6‬פעמים כדור מהכד עם החזרה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות להוציא בדיוק ‪ 3‬פעמים כדור לבן כך שהכדור‬ ‫הלבן השלישי ‪‬‬ ‫יוצא בפעם השישית?‬

‫הערה ‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫‪A‬‬

‫נתון כי במשולש ‪ AEF‬חוצה‪ -‬זווית ‪ EAF‬הוא ‪. AD‬‬ ‫‪ D‬היא נקודת ההשקה של הצלע ‪ EF‬למעגל ‪,‬‬ ‫החותך את הצלעות ‪ AE‬ו‪ AF -‬בנקודות ‪ B‬ו‪C -‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬המעגל עובר גם דרך קדקוד ‪A‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫הוכח‪ :‬א‪. BC  EF .‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫ב‪. ABD  DCF .‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫ג‪. AD  BD  DF  AB .‬‬

‫‪.5‬‬

‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(DC  AB) ABCD‬‬ ‫חסום במעגל שמרכזו ‪. M‬‬ ‫הבסיס ‪ AB‬הוא קוטר במעגל זה‪.‬‬ ‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. L‬‬ ‫המשך ‪ ML‬חותך את ‪ DC‬בנקודה ‪K‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬נתון כי ‪. BAD  ‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ ‬את היחס ‪KL‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪LM‬‬

‫‪40‬‬

‫‪C‬‬

‫‪K‬‬

‫‪D‬‬

‫‪L‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬לי ות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫א‪ .‬נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציה רציונלית המקיימת‪:‬‬ ‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬

‫לפונקציה יש שלוש אסימפטוטות‪. y  0 , x  1 , x  4 :‬‬ ‫הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x  1‬ו‪. x  4 -‬‬ ‫‪f (0)  0‬‬ ‫‪f (1.5)  0‬‬ ‫‪ f '(x)  0‬רק עבור ‪1  x  4‬‬ ‫‪ f (x)  0‬עבור ‪ x  4‬ו‪ f (x)  0 -‬עבור ‪. x  1‬‬

‫) ‪ ( 1‬על פי הנתונים שבסעיף זה‪ ,‬סרטט סקיצה אפשרית של גרף‬ ‫הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫) ‪ ( 2‬על פי הגרף שסרטטת‪ ,‬הראה כי לפונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬ ‫יש נקודת קיצון בתחום ‪ , 1  x  4‬וקבע את סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫אין צורך למ צוא את השיעורים של נקודת הקיצון‪.‬‬

‫‪3a  3bx‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי הפונקציה )‪ f (x‬מקיימת‬ ‫‪(x 2  ax  4) 2‬‬ ‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫נתונה הפו נקציה ‪ f (x)  4sin 2 x  cos 2 x‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬ ‫בתחום הנתון‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ד‪ ( 1 ) .‬נתונה הפונקציה )‪. g(x)  1 x  1 sin(4x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫הראה כי )‪. g '(x)  f (x‬‬

‫) ‪ ( 2‬בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫ו על ידי ציר ה‪. x -‬‬

‫‪.8‬‬

‫ישר משיק לפרבולה ‪ y  x 2‬בנקודה שבה ‪. 0  x  1‬‬ ‫המשיק יוצר משולש עם ציר ה‪ x -‬ועם הישר ‪. x  1‬‬ ‫מצא את השטח המק סימלי של המשולש הנוצר באופן שתואר‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 10‬קיץ תשע"ב ‪ , 2012‬מועד א' ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ 5 .‬שעות‪ ,‬כלומר ‪ 50‬דקות‪ .‬ב‪ .‬בין ‪ 21.6‬שעות ל‪ 27 -‬שעות‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . S2n 1  3n  2 ( 2 ) . S2n  3n ( 1 ) .‬ב‪. 1430 .‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ .‬כד א'‪ 1 :‬לבן; כד ב'‪ 1 :‬לבן ו‪ 1 -‬שחור‪ .‬ב‪( 1 ) .‬‬ ‫‪625‬‬

‫) ‪. 432 ( 2‬‬ ‫‪3125‬‬

‫‪.  cos 2 . 5‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ . 6‬א‪( 1 ) .‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪ ( 2‬קיימת נקודת קיצון מסוג מקסימום‪.‬‬

‫‪9  6x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪(x 2  3x  4) 2‬‬

‫‪ . 7‬א‪ 2 ;0 , (0;0) .‬‬

‫‪. f (x) ‬‬ ‫‪. (;0) ,‬‬

‫ב‪ (0;0) .‬מינימום‪  4 ;1 ,‬מקסימום‪  2 ;0)  ,‬מינימום‪ 34 ;1 ,‬‬ ‫)‪ (;0‬מינימום‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪ ( 2 ) .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪8 .8‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪42‬‬

‫מקסימום‪,‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪11‬‬ ‫קיץ תשע"ב‪ ,2012 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫רוכב אופנוע יצא מ‪ , A -‬ובאותה שעה יצא רוכב אופניים מ‪. B -‬‬

‫הם רכבו זה לקראת זה ונפגשו בדרך‪ .‬רוכב ה אופנוע הגיע ל‪B -‬‬ ‫כעבור ‪ 14‬שעה מרגע הפגישה‪ ,‬ורוכב האופניים הגיע ל‪A -‬‬ ‫כעבור ‪ 4‬שעות מרגע הפגישה )מהירויות הרוכבים היו קבועות(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של ר וכב האופנוע למהירות של רוכב‬ ‫האופניים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬גדול מ‪ 90 -‬ק"מ‪.‬‬ ‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של כל אחד מהרוכבים‪.‬‬ ‫)מהירות רוכב האופנוע אינה עולה על ‪ 120‬קמ"ש(‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪an‬‬ ‫סדרה מוגדרת על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬ ‫‪1 an‬‬ ‫‪a 3‬‬ ‫א‪ .‬מגדירים סדרה חדשה לפי‬ ‫‪ . b n  n‬הוכח‪. b n 1  b n  3 :‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪. a n 1 ‬‬

‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ . b 2  b 4  b6  ...  b30  667.5‬חשב את ‪. a1‬‬

‫נערך סקר בקרב מספר גדול של סטודנטים )בנים ובנות(‪.‬‬ ‫חצי מהסטודנטים המשתתפים בסקר היו בנים‪.‬‬ ‫בסקר נמצא כי מספר הבנות הסובלות מרעש גדול פי ‪ 3‬ממספר הבנים‬ ‫הסובלים מרעש‪ .‬נמצא גם כי ‪ 5%‬מבין הבנים סובלים מרעש‪.‬‬ ‫א‪ .‬ידוע כי אחד המשתתפים בסקר שנבחר באקראי‪ ,‬סובל מרעש‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהנבחר הוא בת?‬ ‫ב‪ .‬בחרו באקראי ‪ 5‬סטודנטים מבין משתתפי הסקר‪.‬‬ ‫ידוע כי לכל היותר ‪ 2‬מבין הסטודנטים שנבחרו באקראי‪,‬‬ ‫סובלים מרעש‪ .‬מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם סובל מרעש?‬

‫‪43‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫שני מעגלים ‪ I‬ו‪ II -‬נחתכים בנקודות ‪ G‬ו‪. F -‬‬

‫‪T‬‬

‫הישר ‪ ST‬משיק למעגל ‪ I‬בנקודה ‪, S‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪F‬‬

‫ולמעגל ‪ II‬בנקודה ‪. T‬‬ ‫המשך ‪ SF‬חותך את המעגל ‪ II‬בנקודה ‪, B‬‬

‫והמשך ‪ TF‬חותך את מעגל ‪ I‬בנקודה ‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬

‫‪II‬‬

‫‪A‬‬

‫‪G‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי ‪ST  TB‬‬ ‫‪AS ST‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. AGF  SFA  SAF‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הוכח כי אם הנקודות ‪ G , A‬ו‪ B -‬נמצאות על ישר אחד‪,‬‬ ‫אז ‪. SFA  60‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫נתון מעוין ‪ E . ABCD‬ו‪ F -‬הן נקודות‬ ‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪ AB -‬בהתאמה‬

‫‪I‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫כך ש‪ AE  AF -‬ו‪. FB  2AF -‬‬ ‫נתון כי ‪. DCB  60‬‬

‫‪E‬‬

‫א‪ .‬מ צא את גודל הזווית ‪. FCB‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪. b‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪A‬‬

‫הבע באמצעות ‪ b‬את היקף המרובע ‪. AECF‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה )‪ , f (x)  cos3 (3x  ‬המוגדרת לכל ‪. x‬‬ ‫א‪ .‬בתחום ‪ 0  x  2‬מצא‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬

‫‪44‬‬

‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי הפונקציה זוגית‪.‬‬

‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪.  2  x  2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ג‪ .‬רשום את משוואו ת הישרים המשיקים לגרף הפונקציה‬ ‫בתחום ‪  2  x  2‬ומאונכים לציר ה‪. y -‬‬

‫‪3‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪3‬‬

‫‪x 1‬‬ ‫‪x2  9‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ .‬מצא‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את הסימן של האינטגרל המסוים‬ ‫אם נתון כי ‪ k‬ו‪ t -‬גדולים מ‪ . 3 -‬נמק‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫‪t‬‬

‫‪ f '(x) dx‬‬

‫)‪, (k  t‬‬

‫‪k‬‬

‫הפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציית מנה‬ ‫המוגדרת עבור ‪. x  1‬‬

‫‪y‬‬

‫בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬

‫א‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪‬‬ ‫וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי לפונק ציה )‪ f (x‬יש שתי‬ ‫אסימפטוטות בלבד‪. y  1 , x  1 :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫גרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את ציר ה‪y -‬‬ ‫בנקודה שבה ‪ . y  1‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫על פי תשובתך לסעיף א' ועל פי הנתונים שבסעיף ב'‪.‬‬

‫ג‪ .‬נתון גם ‪ax  b‬‬ ‫‪cx  d‬‬

‫‪ c , b , a . f (x) ‬ו‪ d -‬הם פרמטרים שונים מאפס‪.‬‬

‫) ‪ ( 1‬הבע באמצעות ‪ a‬את ‪ c , b‬ו‪. d -‬‬ ‫) ‪ ( 2‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f '(x‬‬ ‫על ידי הישר ‪ x  1‬ועל ידי הצירים‪.‬‬

‫‪45‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 11‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬היחס הוא ‪. 4‬‬ ‫ב‪ .‬מהירות רוכב האופנוע גדולה מ‪ 72 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 120 -‬קמ"ש‪.‬‬ ‫מהירות רוכב האופניים גדולה מ‪ 18 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 30 -‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ . 2‬ב‪. a1  2 .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 3 .‬ב‪. 45 .‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 23.41 .‬ב‪. 2.063b .‬‬

‫‪ .6‬א‪ 2 ;0 ,  6 ;0 , (0; 1) (1) .‬‬ ‫) ‪ (0; 1) ( 2‬מינימום‪   ;1 ,‬מקסימום‪  2 ; 1 ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬

‫ב‪( 2 ) .‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. y  0 , y  1 , y  1 .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ x  3 ( 1 ) .‬או ‪. x  3‬‬

‫ב‪.‬‬

‫) ‪ ( 2‬אין‪.‬‬ ‫) ‪. y  1 , y  1 , x  3 , x  3 ( 3‬‬ ‫‪x‬‬

‫) ‪ ( 4‬עלייה‪; x  9 :‬‬ ‫ירידה‪ x  3 :‬או ‪. 9  x  3‬‬ ‫ג‪ .‬הסימן שלילי‪.‬‬ ‫‪ . 8‬א‪. x  1 :  , x  1 :  .‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. 1 ( 2 ) . d  a , c  a , b  a ( 1 ) .‬‬

‫‪46‬‬

‫‪y‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪12‬‬ ‫חורף תשע"ג‪2013 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו‪ ,‬ורכב במהירות קבועה‬ ‫של ‪ v‬קמ"ש‪ .‬כעבור ‪ 1‬שעה מרגע היציאה של דן‪ ,‬גם א ילנית יצאה‬ ‫‪2‬‬ ‫על אופניה מתל אביב להרצליה‪ ,‬ורכבה באותו מסלול במהירות הגדולה‬ ‫ב‪ 2 -‬קמ"ש ממהירותו של דן‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫שעה לאחר הפגישה הגיעה‬ ‫‪2‬‬ ‫אילנית להרצליה‪.‬‬ ‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות ‪ , v‬אם נתון כי מסלול‬ ‫הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ‪ 25 -‬ק"מ וגדול מ‪ 9 -‬ק"מ‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫א‪ .‬נתונה סדרה הנדסית ‪3 , 6 , 12 , 24 , ...‬‬ ‫מסדרים את איברי הסדרה בשורות כך‬ ‫שבשורה הראשונה יש איבר אחד ובכל‬ ‫שורה אחרת מספר האיברים גדול באחד‬

‫מזה שבשורה הקודמת‪ .‬הבע באמצעות ‪n‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6 , 12‬‬ ‫‪24 , 48 , 96‬‬ ‫‪...............‬‬ ‫‪...............‬‬

‫את סכום האיברים ב‪ n -‬השורות הראשונות‪.‬‬

‫ב‪ .‬נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם‪58 , 62 , 66 , ... , (4n  6) :‬‬ ‫הבע את סכום הסדרה באמצעות ‪. (n  12) n‬‬

‫הערה‪:‬‬

‫אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬

‫‪47‬‬

‫‪.3‬‬

‫בחדר ‪ I‬נמצאים ‪ k‬נשים ו‪ k -‬גברים )‪. (k  1‬‬ ‫בחדר ‪ II‬נמצאים ‪ k‬נשים ו‪ 3k -‬גברים‪.‬‬ ‫מטילים קובייה מאוזנת‪.‬‬ ‫אם מתקבל מספר המתחלק ב‪ , 3 -‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪,‬‬ ‫‪ 2‬אנשים מחדר ‪. I‬‬ ‫אם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב‪ , 3 -‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪,‬‬ ‫‪ 2‬אנשים מחדר ‪. II‬‬ ‫כאשר בוחרים באופן זה‪ ,‬הסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬גדולה פי ‪15‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪. II‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשי ם באופן שתואר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק ‪ 2‬גברים מחדר ‪? I‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתון משולש ‪ . KHE‬נקודות ‪ M‬ו‪G -‬‬ ‫נמצאות על הצלעות ‪ KH‬ו‪ EH -‬בהתאמה‬

‫‪E‬‬

‫‪K‬‬

‫כך ש‪. GM  EK -‬‬

‫‪F‬‬

‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪. EH‬‬

‫המשכי הקטעים ‪ GM‬ו‪FK -‬‬

‫‪M‬‬

‫נפגשים בנקודה ‪) L‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪G‬‬

‫נתון‪. KML  KFH :‬‬ ‫‪H‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי ‪. KHE  FLG‬‬

‫ב‪ .‬נתון גם‪EF  3 :‬‬ ‫‪GE 5‬‬

‫‪ 12.5 ,‬ס"מ ‪ 5 , EH ‬ס"מ ‪. LG ‬‬

‫) ‪ ( 1‬מצא את האורך של ‪. EK‬‬

‫) ‪ ( 2‬מצא את היחס ‪MH‬‬ ‫‪KH‬‬

‫‪.‬‬

‫‪48‬‬

‫‪L‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪A‬‬

‫נתון משולש ש ווה‪ -‬צלעות ‪. ABC‬‬ ‫נקודה ‪ T‬נמצאת בתוך המשולש )ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪ n , TBC   :‬ס"מ ‪, CT ‬‬ ‫‪ d‬ס"מ ‪ t , BT ‬ס"מ ‪. AT ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪t‬‬

‫אורך צלע המשולש הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי ‪n 2  t 2‬‬ ‫‪4d‬‬

‫‪n‬‬

‫‪. sin(  30 ) ‬‬ ‫‪C‬‬

‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ATC‬‬ ‫באמצעות ‪ ‬ו‪. d -‬‬

‫‪T‬‬

‫‪d‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪6‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x 2  3a 2‬‬ ‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬

‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬

‫) ‪ ( 3‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬אם נקודות הקיצון של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬ידוע שלפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן ‪. x   a‬‬ ‫) ‪ ( 1‬היעזר בגרף של )‪ , f (x‬והבע באמצעות ‪ a‬את התחום‬ ‫שבו פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬חיובית‪ ,‬ואת התחום‬ ‫שבו היא שלילית‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של )‪, f '(x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, f '(x‬‬ ‫על ידי הישר ‪ x  a‬ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬ ‫סמן במערכת צירים את השטח המבוקש‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫‪B‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)   sin x  1 sin x‬בקטע ‪. 0  x  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬בקטע הנתון מצא‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה מוגדרת‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקצ יה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם יש ערכים של ‪ x‬בקטע הנתון שעבורם מתקיים האי‪ -‬שוויון‬ ‫‪ . 1 sin x  sin x‬נמק ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.8‬‬

‫מחלקים חוט שאורכו ‪ k‬לשני חלקים ) לאו דווקא חלקים שווים(‪.‬‬ ‫מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק האחר יוצרים ריבוע‪.‬‬ ‫סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל‬

‫הוא ‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ .‬מצא את הערך של ‪. k‬‬

‫‪50‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 12‬חורף תשע"ג‪: 2013 ,‬‬ ‫‪. 4  v  8 .1‬‬

‫‪ . 2‬א‪ 1) .‬‬

‫‪1 n2  1 n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ . 3  (2 2‬ב‪. 2n 2  8n  384 .‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . k  4 .‬ב‪ . 11 .‬ג‪. 15 .‬‬ ‫‪188‬‬ ‫‪105‬‬

‫‪ . 4‬ב‪ 7.5 ( 1 ) .‬ס"מ ‪MH  2 ( 2 ) . EK ‬‬ ‫‪KH 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . 5‬ב‪ 3  d sin(60  )  sin   .‬או )‪3  d cos(30  ‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫)‪ (2‬‬ ‫‪a2 ‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫;‪.  0‬‬

‫)‪. y  0 (3‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫)‪ (4‬‬ ‫‪a2 ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫;‪  0‬מקסימום‪.‬‬

‫ג‪ f "(x)  0 ( 1 ) .‬כאשר ‪ x  a‬או ‪ f "(x)  0 . x  a‬כאשר ‪. a  x  a‬‬ ‫) ‪ x  a ( 2‬מינימום‪ x  a ,‬מקסימום‪.‬‬

‫ד‪1 .‬‬ ‫‪2a 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ . 7‬א‪ 0  x   ( 1 ) .‬או ‪. 2  x  3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מינימום‪ ( ;0) ,‬מקסימום‪,‬‬ ‫) ‪ (0;0) ( 2‬מקסימום‪;  12 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ (2;0‬מקסימום‪ 2 1 ;  1 ,‬מינימום‪ (3;0) ,‬מקסימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ב‪( 1 ) .‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪. y   1 (2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬לא‪.‬‬ ‫‪. k  5 .8‬‬

‫‪51‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪13‬‬ ‫קיץ תשע"ג‪ ,2013 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫פועל ‪ I‬ופועל ‪ II‬עובדים במפעל לייצור חלקי חילוף‪.‬‬ ‫שני הפועלים מבצעים יחד עבודה מסוימת‪.‬‬ ‫קצב העב ודה הרגיל של פועל ‪ I‬שונה מקצב העבודה הרגיל של פועל ‪. II‬‬ ‫אם כל אחד מהפועלים יגביר את קצב העבודה הרגיל שלו ב‪, 50% -‬‬ ‫ההפרש בין זמן העבודה של שני הפועלים יחד בקצב הרגיל ובין זמן‬ ‫העבודה שלה ם יחד בקצב המוגבר יהיה ‪2‬‬ ‫‪ 15‬מהזמן שנדרש לפועל ‪I‬‬ ‫לבצע לבד את העבודה בקצב הרגיל שלו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את היחס בין הזמן שבו פועל ‪ I‬מבצע לבד את העבודה‬ ‫ובין הזמן שבו פועל ‪ II‬מבצע לבד עבודה זו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬העבודה ששני הפועלים מבצעים יחד היא הכנה של ‪ 300‬חלקי חילוף‪.‬‬ ‫הפועלים ביצעו יחד עבודה זו בקצב הרגיל שלהם ב‪ 6 -‬ימים‪.‬‬ ‫כמה חלקי חילוף ביום מכין לבד פועל ‪ I‬בקצב הרגיל שלו?‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה ‪ . a n‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הוא‪:‬‬ ‫])‪. Sn  n  5n  [2  6  10  ...  (4n  2‬‬ ‫‪2‬‬

‫א‪ .‬מצא נוסחה לאיבר הכללי ‪ a n‬בסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מתבוננים באיברים של הסדרה הנתונה‪ ,‬שערך כל אחד מהם‬ ‫קטן מ‪. 102 -‬‬ ‫חשב את הערך הגדול ביותר שיכול להתקבל עבור סכום מסוים‬ ‫של איברים כאלה )ל או דווקא הסכום של כל האיברים(‪.‬‬

‫‪52‬‬

‫‪.3‬‬

‫הוועדה המארגנת של תחרות "נולד לשיר" מתלבטת אם ישפוט בתחרות‬ ‫רק שופט א' או יצטרפו אליו שני שופטים נוספים‪ :‬שופט ב' ושופט ג'‪.‬‬ ‫ההצבעה של שופט א' לא תשתנה אם הוא ישפוט לבד או אם ישפוט‬ ‫עם האחרים‪ .‬ההצבעה של כל אחד מהשופטי ם אינה תלויה בהצבעה‬ ‫של השופטים האחרים‪.‬‬ ‫אם ישפוט בתחרות רק שופט א' – יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות‬ ‫אם השופט יצביע בעדו‪.‬‬ ‫אם ישפטו שלושת השופטים – יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות אם‬ ‫לפחות ‪ 2‬מהשופטים יצביעו בעדו‪ .‬יוסי הוא אחד המתמודדי ם בתחרות‪.‬‬ ‫נתון כי ההסתברות ששופט א' יצביע בעד יוסי שווה להסתברות ששופט ב'‬ ‫יצביע בעדו‪ .‬ההסתברות ששופט ג' יצביע בעד יוסי היא ‪. 0.5‬‬ ‫א‪ .‬האם ההסתברות‪ ,‬שיוסי יעבור לשלב נוסף בתחרות אם ישפוט‬ ‫בתחרות רק שופט א'‪ ,‬שווה להסתברות שיוסי יעבור לשלב נוסף‬ ‫בתחרות אם ישפטו בתחרות שלושת השופטים? נמק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לבסוף הוחלט שבתחרות ישפטו שלושת השופטים‪ .‬נתון כי ההסתברות‪,‬‬ ‫ששופט א' הצביע בעד יוסי אם ידוע כי יוסי עבר לשלב נוסף בתחרות‪,‬‬ ‫גדולה מ‪. 0.8 -‬‬ ‫מצא את תחום הערכים של ההסתברות ששופט א' הצביע בעד יוסי‪.‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי אם במשולש שני תיכונים שווים זה לזה‪,‬‬ ‫המשולש הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬

‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ M , L‬ו‪K -‬‬ ‫הן אמצעי הצלעות ‪ CA , CB‬ו‪, AB -‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬הנקודה ‪ P‬היא נקודת‬

‫‪C‬‬

‫מפגש של התיכונים במשולש‪,‬‬

‫‪L‬‬

‫ונתון שהיא נמצאת על מעגל העובר‬ ‫דרך הנקודות ‪ M , L‬ו‪) C -‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪P‬‬

‫נתון גם כי ‪. AL  BM‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. BM  AC‬‬

‫‪B‬‬

‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. AK  AM‬‬

‫‪53‬‬

‫‪M‬‬

‫‪K‬‬

‫‪A‬‬

‫‪.5‬‬

‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬ ‫המשך ‪ AO‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. E‬‬

‫‪C‬‬

‫המשך ‪ CO‬חותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪F‬‬ ‫‪E‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. ABC   , BAC   :‬‬

‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪AE‬‬ ‫‪CF‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם‪AE  1 :‬‬ ‫‪.   60 ,‬‬ ‫‪CF 2‬‬

‫‪B‬‬

‫‪.‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪A‬‬

‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACB‬שווה ל‪. 1 BC -‬‬ ‫‪2‬‬

‫פרק ש לישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ g(x)  sin 2  x‬בתחום ‪. 0  x  7 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ g(x‬עם הצירים‪.‬‬

‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪g(x‬‬ ‫עם גרף הפונקציה ‪. f (x)  sin x‬‬ ‫ג‪ .‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ g(x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת‬ ‫על גרף הפונקציה )‪ f (x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. AB‬‬ ‫) ‪ ( 2‬כמה קטעים כמו ‪ AB‬שאורכם מקסימלי מתקבלים בתחום הנתון?‬ ‫נמק‪.‬‬

‫‪54‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונות שתי פונקציות‪f (x)  x 2  4x  b :‬‬ ‫‪g(x)   x 2  c‬‬ ‫‪ b‬ו‪ c -‬הם פרמטרים גדולים מ‪. 0 -‬‬ ‫לגרפים של שתי הפונקציות יש משיק משותף בנקודה משותפת ‪. P‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪) b‬במידת הצורך( את השיעורים של הנקודה ‪. P‬‬

‫ב‪ .‬סר טט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫וסקיצה של גרף הפונקציה )‪ , g(x‬אם ידוע כי ‪. b  4‬‬ ‫הישר ‪ x  a‬חותך את המשיק המשותף בנקודה ‪ , D‬את הגרף של )‪f (x‬‬ ‫בנקודה ‪ A‬ואת הגרף של )‪ g(x‬בנקודה ‪ A , D ) B‬ו‪ B -‬הן שלוש‬ ‫נקודות שונות (‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הראה כי הישר ‪ PD‬הוא תיכון במשולש ‪. PAB‬‬ ‫ד‪ .‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪ , f (x‬על ידי המשיק המשותף‬ ‫ועל ידי הישרים ‪ x  a‬ו‪ , x  a -‬הוא ‪. S‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ S‬את השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬ ‫על ידי הגרף של )‪ g(x‬ועל ידי הישרים ‪ x  a‬ו‪. x  a -‬‬

‫‪.8‬‬

‫‪2‬‬ ‫נתון כי הפונקציה הזוגית ‪ f (x)  8  ax  bx  c‬מוגדרת בתחום‬

‫‪ 2  x  2‬בלבד‪.‬‬ ‫‪ b , a‬ו‪ c -‬הם פרמטרים‪. c  0 ,‬‬ ‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪ a‬ואת הערך של הפרמטר ‪. b‬‬ ‫הצב את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪ , b‬וענה על הסעיפים ב‪ -‬ג‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪, x  2‬‬ ‫ומעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x   2‬‬

‫השטח המוגבל על ידי שני המשיקים ועל ידי ציר ה‪ x -‬הוא ‪49 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. c‬‬

‫‪.‬‬

‫ג‪ .‬בתחום ‪ 2  x  2‬נתונה הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת‪. g(x)  f (x) :‬‬ ‫מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה שבה ‪, x  2‬‬ ‫ומעבי רים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x   2‬‬ ‫מהו סוג המרובע שנוצר על ידי שני הישרים המשיקים לגרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬ושני הישרים המשיקים לגרף הפונקציה )‪ ? g(x‬נמק‪.‬‬

‫‪55‬‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 13‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מועד א ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬היחס הוא ‪. 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . a n  6n  8 .‬ב‪. 884 .‬‬

‫ב‪ 20 .‬חלקי חילוף‪.‬‬

‫‪ . 3‬א‪ .‬הסתברות שווה‪.‬‬

‫‪ . 5‬א‪.‬‬

‫‪  2  ‬‬

‫‪sin(  ) cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪sin    sin ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ . 6‬א‪3  .‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫ב‪. 0.6  P  1 .‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫;‪,  0‬‬

‫‪‬‬

‫‪AE ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪CF‬‬

‫‪  ‬‬

‫‪ 7  3   4‬‬ ‫‪ . 5 ;0 , 2 ;0‬ב‪3  ,   ; 3  .‬‬ ‫;‬ ‫‪ ,  ;‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  3 2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3 2   3‬‬

‫‪.‬‬

‫ג‪ ( 2 ) . 1 ( 1 ) .‬שני קטעים‪.‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. (1;b  3) .‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪. 2S .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪. b  2 , a  0 .‬‬

‫ב‪. c  3 .‬‬

‫ג‪ .‬מעוין‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪14‬‬ ‫קיץ תשע"ג‪ ,2013 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫ראובן ושמעון חופרים יחד תעלה אחת ב‪ 12 -‬שעות‪.‬‬ ‫אם ראובן חופר לבד ‪ 1‬מהתעלה‪ ,‬ולאחר שהוא מסיים את ח לקו‬ ‫‪3‬‬ ‫שמעון חופר לבד את יתר התעלה‪ ,‬החפירה מסתיימת כעבור ‪ 23 1‬שעות‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫כמה תעלות שלמות לכל היותר יחפור ראובן לבד בפחות מ‪ 100 -‬שעות?‬ ‫התעלות זהות לתעלה הנתונה‪.‬‬ ‫הספקי העבודה של שמעון ושל ראובן אינם משתנים‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...‬‬ ‫נתו נה סדרה ‪: a n‬‬ ‫ונתונה סדרת הסכומים ‪S1 , S2 , S3 , ... , Sn , ... : Sn‬‬ ‫‪ Sn‬הוא סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. a n‬‬ ‫סדרת הסכומים ‪ Sn‬מקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. b  0 , S1  3 , Sn 1  b  Sn  3 :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ a n‬היא סדרה הנדסית שהמנה שלה היא ‪. b‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי ‪. | b |  1‬‬ ‫בונים מהסדרה ‪ a n‬שתי סדרות הנדסיות‪ I ,‬ו‪: II -‬‬ ‫‪I. a 3 , a 7 , a11 , a15 , ...‬‬ ‫‪II. a1 , a 3 , a 5 , a 7 , ...‬‬ ‫‪ T‬הוא הסכום של אין‪ -‬סוף איברי הס דרה ‪, I‬‬ ‫‪ M‬הוא הסכום של אין‪ -‬סוף איברי הסדרה ‪. II‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ b‬את היחס ‪M‬‬ ‫‪ .‬פשט את הביטוי ככל האפשר‪.‬‬ ‫‪T‬‬

‫‪57‬‬

‫‪.3‬‬

‫מבין כל תלמידי י"ב בעיר מסוימת מאתרים תלמידים שיתאימו‬ ‫לקורס ייחודי‪ .‬הקורס מתאים לתלמידים שיש להם יכולת טכנית‪.‬‬ ‫הבוחנות מאבחנות ‪ 80%‬מבין התלמידים שאכן יש להם יכולת טכנית‬ ‫כבעלי יכולת טכנית‪ ,‬ומאבחנות ‪ 10%‬מבין התלמידי ם שאין להם יכולת‬ ‫טכנית כבעלי יכולת טכנית‪.‬‬ ‫מבין התלמידים שאובחנו כבעלי יכולת טכנית‪ ,‬אחוז התלמידים‬ ‫שאכן יש להם יכולת טכנית גדול פי ‪ 4‬מאחוז התלמידים )בקבוצה זו(‬ ‫שאין להם יכולת זו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שלתלמיד י"ב בעיר זו אכן יש יכולת טכנית?‬ ‫ב‪ .‬באותה עיר כל אלה שאובחנו כבעלי יכולת טכנית השתתפו בקורס‪,‬‬ ‫ורק הם‪ .‬בעיר יש ‪ 600‬תלמידי י"ב‪.‬‬ ‫מבין המשתתפים בקורס לכמה תלמידים אין יכולת טכנית?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתונה מקבילית ‪. ABCD‬‬

‫הצלע ‪ AB‬משיקה למעגל שמרכזו ‪O‬‬ ‫בנקודה ‪ . F‬המשך הצלע ‪ CB‬משיק‬ ‫למעגל בנקודה ‪) G‬ראה ציור (‪.‬‬ ‫נתון‪. AF  AD :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ F‬נמצאת על הישר ‪. DG‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם‪. FC  DC , BO  BC :‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. OF  FC‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. FB  1 BO‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪O‬‬ ‫‪G‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AD  BC) ABCD‬‬

‫‪A B‬‬

‫השוק ‪ AD‬היא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬

‫‪F‬‬

‫השוק ‪ BC‬משיקה למעגל בנק ודה ‪. F‬‬

‫המעגל חותך את הבסיס ‪ DC‬בנקודה ‪E‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. BCD   :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את גודל הזווית ‪. FOD‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬ה בע באמצעות ‪ ‬את גודל הזווית ‪. ODF‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס ‪DE‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪DC‬‬

‫‪58‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קצ יות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ f (x)  x 2  cos‬בתחום ‪. 2  x  5‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬ ‫)אם יש כאלה( בתחום הנתון‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הראה כי פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬חיובית בתחום הנתון‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬רק על פי התשובות לתת‪ -‬סעיפים ) ‪ ( 1‬ו‪ ,( 2 ) -‬סרטט סקיצה‬ ‫של פונקציית הנגזרת )‪ , f '(x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪ f '(x)  40‬בתחום הנתון? נמק‪.‬‬

‫ב‪ ( 1 ) .‬רשום את הערך המקסימלי של פונקציית הנגזרת השנייה )‪f "(x‬‬ ‫בתחום הנתון‪.‬‬

‫) ‪ ( 2‬האם השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬ ‫ועל ידי הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬בתחום הנתון‪,‬‬ ‫‪5‬‬

‫שווה לערך של האינטגרל המסוים‬

‫‪ (f '(x)  f "(x)) dx‬‬

‫? נמק‬

‫‪2‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה )‪ f (x‬המוגדרת לכל ‪ , x‬ונתונה הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫‪1‬‬

‫נתון‪, g(x)  k  2x :‬‬

‫‪ g(x) dx  0‬‬

‫‪ k .‬הוא פרמטר‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ g(x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי בתחום ‪ x  0‬מתקיים‪. f (0)  k , f "(x)  0 , f (x)  g(x) :‬‬

‫סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של הפונקציה )‪g(x‬‬ ‫וסקיצה של הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪ . x  0‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בתחום ‪ x  0‬איזה שטח גדול יותר‪ :‬השטח המוגבל על ידי גרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬והצירים או השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, g(x‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪ ? x  1‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נתון גם‪ a , f (x)  x 3  3x 2  ax  f (0) :‬הוא פרמטר‪,‬‬ ‫הגרף של )‪ g(x‬משיק לגרף של )‪ f (x‬בנקודה הנמצאת בתחום ‪. x  0‬‬ ‫מצא את הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫‪59‬‬

‫דני יצא מנקודה ‪ , A‬הנמצאת בשדה‬

‫‪.8‬‬

‫‪A‬‬

‫במרחק ‪ 1‬ק"מ מהכביש ‪. BC‬‬ ‫הוא הלך בשדה בקו‬

‫‪÷"î 1‬‬

‫אלכסוני במהירות‬ ‫ק בועה ‪, v‬‬ ‫והגיע לכביש ‪BC‬‬ ‫בנקודה כלשהי ‪) N‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪N‬‬

‫‪B‬‬

‫דני הלך בכביש במהירות הגדולה פי ‪ 13‬מהמהירות שבה הלך בשדה‪,‬‬ ‫‪12‬‬ ‫והגיע לנקודה ‪ C‬בכביש‪ .‬המרחק בין ‪ B‬ל‪ C -‬הוא ‪ 6‬ק"מ‪.‬‬

‫מהו אורך המסלול ‪ ANC‬אם ידוע שדני עבר אותו בזמן המינימלי?‬

‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 14‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מ ועד ב ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬לכל היותר ‪ 3‬תעלות שלמות‪ . 2 .‬ב‪M  1  b 2 .‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 1 .‬ב‪ 40 .‬תלמידים‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪.‬‬

‫‪sin  cos ‬‬ ‫‪ . 5‬א ‪ . 270  2 .‬ב‪ sin 2 ( 2 ) .   45 ( 1 ) .‬‬ ‫‪sin(135  )sin(  45 ) 1  sin 2‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬תחום עלייה‪; 2  x  5 :‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪y‬‬

‫תחום ירידה‪ :‬אין‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪ ( 4‬אין פתרונות בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ב‪ ( 2 ) . 2.25 ( 1 ) .‬כן‪.‬‬ ‫‪ . 7‬א‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪  , (0; 1‬‬

‫‪. 1 ;0‬‬ ‫‪2‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , g(x‬על ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪ x  1‬הוא גדול יותר‪.‬‬ ‫ד‪. f (x)  x 3  3x 2  2x  1 .‬‬ ‫‪ 6.2 . 8‬ק"מ‪.‬‬

‫‪60‬‬

‫‪.‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪15‬‬ ‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫נמל ‪ A‬ונמל ‪ B‬נמצאים על אותה גדה של נהר‪ ,‬שכיוון הזרם שלו‬ ‫הוא מ‪ A -‬ל‪ . B -‬רפסודה הפליגה בשעה ‪ 9 : 00‬בבוקר מנמל ‪ A‬אל נמל ‪, B‬‬ ‫והיא נישאה על גבי הזרם של הנהר כך שמהירות הרפסודה היא מהירות‬ ‫הזרם‪ .‬באותה שעה הפליגה סירה מנמל ‪) B‬נגד כיוון הזרם( לכיוון‬ ‫נמל ‪ . A‬מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬ ‫הסירה הגיעה לנמל ‪ , A‬ומיד חזרה אל נמל ‪. B‬‬ ‫ידוע כי הרפסודה והסירה י גיעו לנמל ‪ B‬באותה שעה‪.‬‬ ‫נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור ‪ 5‬שעות מרגע הפלגתן‪.‬‬ ‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9 : 00‬בערב באותו יום?‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה עשרונית‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת‪. a1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... :‬‬ ‫סכום כל איברי ה סדרה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 6‬‬ ‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות ה זוגיים‬ ‫בסדרה‪ ,‬ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה‪:‬‬

‫‪. a1 , a 2 , a 3 ,  a 4 , ...‬‬

‫סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 3‬‬

‫מהאיברים של הסדרה הנתונה בנו סדרה שלישית‪1 , 1 , 1 , :‬‬ ‫‪a 2 a3 a 4‬‬

‫‪.‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה ה נדסית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪. 273.25‬‬ ‫מצא את ‪. n‬‬

‫‪61‬‬

‫‪.3‬‬

‫בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקוד י עם‪ ,‬יש תושבים‬ ‫המשתתפים בחוג לתאטרון ויש תושבים המש תתפים בשני החוגים‪.‬‬ ‫נמצא כי המאורע "תושב העיר המשתתף בחוג לריקודי עם"‬ ‫והמאורע "תושב העיר משתתף בחוג לתאטרון" הם מאורעות‬ ‫בלתי תלויים‪.‬‬ ‫מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי ‪ 2‬ממספר‬ ‫התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ .‬מבין התוש בים שמשתתפים בחוג‬ ‫לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג לריקודי עם‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם‬ ‫בחוג לתאטרון?‬ ‫ב‪ .‬יום אחד נערך בעיר כנס שהשתתפו בו כל התושבים המשתתפים‬ ‫בחוג לריקודי עם‪ ,‬ורק הם‪.‬‬ ‫ע יתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫משולש שווה‪ -‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬

‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫נקודות ‪ D‬ו‪ L -‬נמצאות על המעגל‬ ‫כך ש‪. BD  LC -‬‬

‫המיתרים ‪ AL‬ו‪ BD -‬נחתכים בנקודה ‪E‬‬

‫‪B‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ LEDC‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי ‪ ADE‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. LC  LB  LA‬‬

‫‪A‬‬

‫‪62‬‬

‫‪.5‬‬

‫שני מעגלים‪ ,‬גדול וקטן‪ ,‬משיקים‬

‫‪F‬‬

‫מבפנים בנקודה ‪ . A‬נקודה ‪ F‬נמצאת‬ ‫על המעגל הגדול כך ש קטע המרכזים‬ ‫של שני המעגלים נמצא על ‪. AF‬‬ ‫‪ AF‬חותך את המעגל הקטן בנקודה ‪. E‬‬ ‫דרך נקודה ‪ B‬שעל המעגל הקטן‬

‫‪E‬‬

‫העבירו ישר המקביל למשיק המשותף‬ ‫לשני המעגלים‪ .‬המקביל חותך את‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫המעגל הגדול בנקודה ‪) C‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪, R‬‬ ‫ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬

‫‪A‬‬

‫נתון‪. FAB   , BAC   :‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את ‪ . BCA‬נמק‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הבע רק באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬ ‫‪AB‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪R‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪r‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪x 2  x  a‬‬ ‫‪x2  x  a‬‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬

‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר גדול מ‪. 1 -‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות של )‪ f (x‬המקבילות לצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪(.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬ידוע כי גרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות‬ ‫בדיוק‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ .‬בתחום ‪ , x  0‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f '(x‬‬ ‫על ידי הישר ‪ x  1‬ועל ידי ציר ה‪ , x -‬שווה ל‪. 1 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪x -‬‬ ‫)מצא ערכים מספרי ים(‪.‬‬

‫‪63‬‬

‫‪.7‬‬

‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬אורך השוק הוא ‪. b‬‬ ‫‪ BD‬הוא גובה לשוק ‪ DE . AC‬הוא אנך לבסיס ‪. BC‬‬ ‫סמן ‪ , BAC  2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, BAC‬‬ ‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של ה פונקציה )‪f (x‬‬ ‫בקטע ‪. 1  x  2‬‬ ‫‪1.4‬‬

‫‪1.3‬‬

‫‪1.2‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1.43‬‬

‫‪1.36‬‬

‫‪1.28‬‬

‫‪1.19‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫הפונקציה )‪ f (x‬חיובית בקטע הנתון‪ ,‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות‬ ‫בקטע זה‪ .‬נתון כי פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬שליל ית בקטע הנתון‪.‬‬ ‫א‪ .‬קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬קבע אם הטענה )‪ f '(1.3)  f '(1.2)  f '(1.1‬נכונה‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ g(x)  f (x‬בקטע ‪. 1  x  2‬‬

‫ג‪ .‬בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪g(x‬‬ ‫)אם יש כאלה(‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הראה כי בתחום ‪ 1.1  x  1.3‬אין פתרון למשוואה )‪. g '(x)  f '(x‬‬

‫‪64‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 15‬חורף תשע"ד‪: 2014 ,‬‬ ‫‪ . 1‬לא‪ .‬הם יגיעו לנמל ‪ 12.07 B‬שעות לאחר יציאתם‪.‬‬ ‫‪ . 2‬ב‪. n  7 .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪. 18% .‬‬

‫ב‪. 0.579825 .‬‬

‫‪cos ‬‬ ‫‪ . 5‬א‪( 2 ) . 90  (  ) ( 1 ) .‬‬ ‫)‪cos(  ‬‬ ‫‪.6‬‬

‫א‪. y  1 ( 1 ) .‬‬

‫‪2‬‬

‫‪cos ‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪cos 2 (  ‬‬

‫‪.‬‬

‫) ‪ (0; 1) ( 2‬מינימום‪,‬‬

‫)‪(3‬‬

‫‪ 2a; 4a4a 11‬‬

‫‪.‬‬

‫מקסימום‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ב‪. ( 2;0) , (1;0) .‬‬ ‫‪. 109.47 . 7‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ .‬הסי מן הוא חיובי‪.‬‬

‫ב‪ .‬הטענה נכונה‪ .‬ג‪ .‬עלייה‪ ; 1  x  2 :‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪16‬‬ ‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫משאית יצאה מעיר ‪ , A‬וכעבור ‪ 6‬שעות מרגע יציאתה הגיעה לעיר ‪. B‬‬ ‫זמן מה אח רי יציאת המשאית יצאה מכונית מעיר ‪, A‬‬ ‫והגיעה לעיר ‪ 2 B‬שעות לפני המשאית‪.‬‬ ‫המשאית והמכונית נפגשו כעבור שעה מרגע היציאה של המכונית‪.‬‬ ‫המהירויות של המשאית ושל המכונית היו קבועות‪.‬‬ ‫מצא כמה שעות אחרי רגע היציאה של המשאית יצאה המכונית‬ ‫)מצא את שני הפתרונות(‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫בסדרה חשבונית יש ‪ 3n‬איברים‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים האחרונים גדול פי‬ ‫‪ 2‬מסכום ‪ n‬האיברים הק ודמים להם‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח שסכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪. 0‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם שסכום האיברים החמישי והשביעי הוא ‪. 0‬‬ ‫סכום כל איברי הסדרה הוא ‪ . 726‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬

‫‪.3‬‬

‫אבא ודני משחקים בזריקת כדור לסל‪ .‬בכל משחק שני סיבובים‪.‬‬ ‫המנצח בסיבוב מקבל נקודת אחת‪ .‬אם הסיבוב מסתיים בתיקו‪,‬‬ ‫כל אחד מקבל חצי נקודה‪.‬‬ ‫נתון‪ :‬ההסתברות שדני ינצח בסיבוב היא ‪, 0.1‬‬ ‫ההסתברות שאבא ינצח בסיבוב היא ‪, 0.2‬‬ ‫ההסתברות שהסיבוב יסתיים בתיקו היא ‪. 0.7‬‬ ‫הסיבובים אינם תלויים זה בזה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שאבא יצבור בשני הסיבובים יותר מנקודה אחת?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שדני יצבור בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת?‬ ‫ג‪ .‬ידוע כי דני צבר בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שאחד הסיבובים הסתיים בתיקו והאחר הסתיים‬ ‫בניצחון של דני?‬

‫‪66‬‬

‫ד‪ .‬אבא ודני משחקים ‪ 4‬פעמים את המשחק שמתואר בפתיח‪.‬‬ ‫)בכל משחק שני סיבובים‪(.‬‬ ‫מהי ההסתברות שדני יצבור לפחות נקודה אחת ‪ 2‬פעמים בדיוק?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫מנקודה ‪ A‬יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה ‪, B‬‬ ‫ויוצא ישר אחר החותך את המעגל בנקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע המיתר ‪. DC‬‬ ‫הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל )ראה ציור(‪.‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪AEMB‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪T‬‬

‫ב‪ .‬אלכסוני המרובע ‪, AEMB‬‬

‫‪M‬‬

‫שהוא בר חסימה במעגל‪,‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪. T‬‬ ‫‪B‬‬

‫נתון כי הנקודה ‪ T‬היא מפגש התיכונים‬ ‫‪2‬‬ ‫במשולש ‪ . BDC‬הוכח כ י ‪. TB  2MT  TA‬‬

‫ג‪ .‬נתון ‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫ס"מ ‪ 1 , TE ‬ס"מ ‪. MT ‬‬

‫מצא את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪. AEMB‬‬

‫‪.5‬‬

‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪, (AB  AC) ABC‬‬ ‫‪ BM‬הוא תיכון לשוק )ראה ציור(‪.‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬

‫נתון‪. BAC  50 :‬‬ ‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית הקהה ‪. AMB‬‬ ‫‪M‬‬

‫ממשיכים את ‪ BM‬עד הנקודה ‪. D‬‬ ‫נתון גם‪:‬‬

‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬ ‫הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬רדיוס המעגל החוסם‬ ‫את המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. AMD‬‬

‫‪67‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונות שתי פונקציות‪ , g(x)  sin(2x) , f (x)  2sin 2 x :‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬ ‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות החיתוך בין הגרפים‬ ‫של שתי הפונקציות‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של כל אחת משתי הפונקציות עם ציר ה‪. x -‬‬

‫)‪sin(2x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫הראה כי )‪. h '(x)  f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪ 0  x  ‬מצא את השטח הכלוא בין הגרפים‬ ‫של שתי הפונקציות )‪ f (x‬ו‪. g(x) -‬‬ ‫‪. h(x)  x ‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ a . f (x)  ax 2  9‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הראה כי לפונקציה )‪ f (x‬אין נקודות פיתול‪.‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת )‪? f '(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ a‬את האסימפטוטות האופקיות של פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגז רת )‪f '(x‬‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫ג‪ .‬השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f '(x‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ו על ידי הישר ‪ , x   4‬שווה ל‪. 2 -‬‬

‫בלי לחשב את הערך של ‪ , a‬חשב את הערך המספרי של )‪f ( 4‬‬ ‫ואת הערך המספרי של )‪. f (4‬‬

‫‪68‬‬

‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬

‫‪.8‬‬

‫האסימפטוטה היחידה‬ ‫של הפונקציה )‪ f (x‬היא ‪. x  0‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪f '(x‬‬

‫נתון כי יש פתרון אחד בלבד‬ ‫למשוואה ‪ f (x)  2‬ופתרון‬ ‫אחד בלבד למשוואה ‪. f (x)  2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫א‪ .‬רק על פי נתוני השאלה‪,‬‬ ‫סרטט סקיצה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫נמק‪.‬‬

‫ב‪ .‬נתון גם כי פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬היא ‪ax 2  b‬‬ ‫‪ax 2‬‬ ‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים שונים מ‪. 0 -‬‬ ‫מצא את הפונקציה )‪) f (x‬בלי פרמטרים(‪.‬‬

‫‪, f '(x) ‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 16‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד א‪:‬‬ ‫‪ . 1‬שעה או שעתיים‪.‬‬ ‫‪ . 2‬ב‪. d  2 .‬‬ ‫‪ . 4‬ג‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . 0.32 .‬ב‪ . 0.68 .‬ג‪ . 7 .‬ד‪. 0.2841 .‬‬

‫‪34‬‬

‫‪ . 5‬א‪. 100.56 .‬‬

‫‪.x , x‬‬ ‫‪ . 6‬א‪4 , x  0 ( 1 ) .‬‬

‫ב‪. 40.34 , 79.44 , 60.22 .‬‬ ‫)‪(2‬‬

‫)‪. (;0) , (0;0) : f (x‬‬ ‫)‪, (0;0) : g(x‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪. ( ;0) , ‬‬ ‫‪;0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. 2 ‬‬ ‫ב‪2 ( 2 ) .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪ . x‬ב‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(4‬‬

‫)‪. y   a , y  a (2‬‬ ‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ :‬כל ‪ ; x‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. f (  4)  5 , f (4)  5 .‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ . 8‬א‪.‬‬

‫ב‪1 .‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪69‬‬

‫‪. f (x)  x ‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪17‬‬ ‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה‬ ‫ובאותו כיוון‪.‬‬

‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪II‬‬ ‫הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪ .‬כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪,‬‬ ‫יצא רץ ‪ III‬מאות ו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬ ‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬ ‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a 2 , a 3 , ... :‬‬ ‫שלושה איברים עוקבים בסדרה‪, a n , a n 1 , a n  2 ,‬‬ ‫מקיימים‪:‬‬

‫‪a 2n  2  a 2n  216‬‬ ‫‪a n  a n 1  a n  2  54‬‬

‫א‪ .‬מצא את האיבר ‪. a n‬‬ ‫ב‪ .‬לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬ ‫‪a 5 , a 9 , a13 , ... , a 4k 1‬‬ ‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬ ‫האיבר הראשון בסדרה ה נתונה בפתיח הוא ‪. a1  21‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. k‬‬

‫‪70‬‬

‫‪.3‬‬

‫בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד‬ ‫משני המסלולים לטיול שנתי‪ :‬מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬ ‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬ ‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו ב מסלול ב'‪.‬‬ ‫‪ 40%‬מן התלמידים הם בנות‪.‬‬ ‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד י"ב )בן‪/‬בת(‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א'?‬ ‫ב‪ .‬כאשר בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת(‪ ,‬האם המאורע‬ ‫"התלמיד הוא בת" והמאורע "התלמיד )בן‪/‬בת( בחר במסלול א' "‬ ‫הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬ ‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬ ‫)הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות(‪.‬‬ ‫כמה בנות נבחרו?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬ ‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬

‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו‪O 2 -‬‬ ‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫המשיק חותך את קטע המרכזים‬

‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪O1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O1O 2‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‪,‬‬ ‫רדיוס המעגל ‪ O 2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‪,‬‬

‫אורך קטע המרכזים ‪ O1O 2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‪.‬‬

‫‪O1E‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את היחס‬ ‫‪O1C‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. EO1C  EO 2 D‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬ ‫‪ .‬נמק‪.‬‬

‫‪71‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(ACB  90 ) ACB‬‬ ‫נקודה ‪ G‬היא אמצע הניצב ‪. AC‬‬ ‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש‪BG  4  PG -‬‬

‫‪.5‬‬

‫)ראה ציור(‪ .‬רדיוס המעגל החוסם‬ ‫את המשולש ‪ CGB‬הוא ‪ . R‬נתון‪. GC  BC :‬‬

‫‪P‬‬

‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬ ‫החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪P‬‬ ‫ממרכז המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬

‫‪G‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫נתונות שתי פו נקציות‪f (x)  x 8  x 2 :‬‬

‫‪.6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪g(x)  8x  x‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪ .‬מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬

‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬ ‫עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת‬ ‫מהפונקציות‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪ .‬על פי הסעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫ד‪ .‬לפניך ארבעה גרפים‪. IV  I ,‬‬ ‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת )‪ ? g '(x‬נמק‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪IV‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪II‬‬

‫‪III‬‬

‫‪72‬‬

‫‪y‬‬

‫‪I‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪(x  2) 2‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x2 1‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬שסרטטת‪,‬‬ ‫מצא את התחום שבו מתקיים‪ :‬פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬שלילית‬ ‫ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬חיובית‪.‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫ֹ‬

‫‪.8‬‬

‫נתון מלבן ‪. ABCD‬‬ ‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש‪. DC  R -‬‬ ‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬ ‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל )ראה ציור(‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫‪‬‬

‫‪M‬‬

‫נסמן‪BMC  x :‬‬ ‫)‪ – S(x‬שטח המלבן ‪. ABCD‬‬ ‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המוג בל על ידי גרף הפונקציה )‪S(x‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪73‬‬

‫‪D‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 17‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 . 1‬שעו ת )שעה ו‪ 40 -‬דקות(‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪. k  10 .‬‬

‫‪ . 2‬א‪. a n  15 .‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . 0.48 .‬ב‪ .‬לא‪ ,‬המאורעות הם מאורעות תלויים‪.‬‬

‫ג‪ .‬שתי בנות‪.‬‬

‫‪ . 4‬א‪. 95 ( 1 ) .‬‬

‫‪ . 5‬א‪ . 10 R .‬ב‪R .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ . 6‬א‪.  8  x  8 ( 1 ) .‬‬ ‫) ‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : f (x) ( 2‬‬ ‫)‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : g(x‬‬ ‫ב‪ (2;4) : f (x) .‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;  4) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬ ‫)‪ (2;4) : g(x‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;4) ,‬מקסימום מוחלט‪.‬‬ ‫)‪ ( 8;0‬מינימום מוחלט‪ (0;0) ,‬מינימום מוחלט‪,‬‬ ‫)‪ (  8;0‬מינימום מוחלט‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪g(x‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪ .‬גרף ‪. I‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ . 7‬א‪. x  1 , x  1 ( 1 ) .‬‬

‫ב‪.‬‬

‫) ‪. y  1 , x  1 , x  1 ( 2‬‬ ‫) ‪. (2;0) , (0;  4) ( 3‬‬

‫) ‪(2;0) ( 4‬‬

‫מינימום‪ 12 ; 3 ,‬‬

‫‪x‬‬

‫מקסימום‪.‬‬

‫ג‪. 1  x  2 .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ .  .‬ב‪. 1 1 R 2 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪74‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪18‬‬ ‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ג‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫שני פועלים‪ ,‬פועל ‪ I‬ופועל ‪ , II‬מתקנים כביש‪ .‬ההספק של כל אחד משני‬ ‫הפועלים קבוע‪ .‬ביום הראשון עב ד פועל ‪ I‬לבד ‪ 4‬שעות‪ ,‬ואז הצטרף אליו‬ ‫פועל ‪ , II‬והם עבדו יחד עוד ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫התברר כי ביום הראשון ביצעו הפועלים סך הכול ‪ 60%‬מהתיקון כולו‪.‬‬ ‫ביום השני עבדו הפועלים יחד כל הזמן כך שסך הכול בשני ימי העבודה‬ ‫ביצע כל אחד מהפועלים בדיוק מחצית מהתיקון כולו‪.‬‬ ‫מצא כמה שעות עבדו הפועלים יחד ביום השני‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים )‪: (n  2‬‬

‫‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n 1 , a n‬‬ ‫הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. d‬‬ ‫מהסדרה הנתונה בנו סדרה חדשה של הפרשי ריבועים‪:‬‬ ‫‪, ... , a 2n  a n2 1‬‬

‫‪ a 22‬‬

‫‪a 32‬‬

‫‪ a 21 ,‬‬

‫‪a 22‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא ‪. 2d 2‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪. a 22  a 21  64 :‬‬ ‫הבע את האיבר האחרון בסדרה החדשה באמצעות ‪ n‬ו‪. d -‬‬

‫ג‪ .‬נתון גם‪d 2  1 , a 2n  a 2n 1  192 :‬‬ ‫מצא את תחום הערכים של ‪. n‬‬

‫‪75‬‬

‫‪.3‬‬

‫מבין העובדים בחברה גדולה בוחרים באקראי ‪ 4‬עובדים‪.‬‬ ‫ההסתברות שלכל היותר ל‪ 3 -‬עובדים יש השכלה גבוהה היא ‪. 255‬‬ ‫‪256‬‬ ‫א‪ .‬לאיזה אחוז מהעובדים יש השכלה גבוהה?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שמבין ‪ 4‬עובדים שבוחרים באקראי‪,‬‬ ‫ל‪ 3 -‬אין השכלה גבוהה?‬ ‫ג‪ 40% .‬מעובדי החברה הן נשים‪ .‬ל‪ 1 -‬מהנשים יש השכלה גבוהה‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מבין העובדים שיש להם השכלה גבוהה בחרו באקראי שני עובדים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות ששני העובדים הם נשים?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫‪C‬‬

‫במרובע ‪ BDEC‬המשכי הצלעות ‪ BD‬ו‪CE -‬‬ ‫נפגשים בנקודה ‪ , A‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫נתון כי המרובע ‪BDEC‬‬

‫‪E‬‬

‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ADE  ACB‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ACB‬גדול פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪. ADE‬‬ ‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ ED‬כך ש‪. EAF  DAF -‬‬ ‫המשך ‪ AF‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי ‪. AEF  ABG‬‬

‫) ‪ ( 2‬מצא את היחס ‪EF‬‬ ‫‪BG‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח כי ‪GC  AD‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪BG AE‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪.‬‬

‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ ADC‬שבו ‪. AD  AC‬‬

‫‪D‬‬

‫נקודה ‪ B‬נמצאת על הצלע ‪DC‬‬ ‫כך ש‪ AB  BC -‬ו‪) DC  3BC -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את גודל הזוויות במשולש ‪. ADC‬‬

‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ADC‬‬ ‫הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪ BT‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪. ABC‬‬ ‫מצא את האורך של הקטע ‪. DT‬‬

‫‪76‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪cos x‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫‪ f (x)  2x ‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬

‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? f (x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬העבירו משיק לגרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫השיפוע של משיק זה הוא המקסימלי מבין השיפועים של כל המשיקים‬ ‫לגרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬ ‫מצא את הזווית שמשיק זה יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪y‬‬

‫בציור שלפניך מוצגת סקיצה של גרף‬ ‫הפונקציה‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12x  x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪, f (x) ‬‬

‫שתחום ההגדרה שלה‬ ‫הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬

‫‪x‬‬

‫א‪ .‬הישר ‪ y  k‬חותך את גרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬ ‫מצא את תחום הערכים של ‪. k‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪, g(x)  12x  x 3‬‬

‫שתחום ההגדר ה שלה הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 3‬עבור הערכים של ‪ k‬שמצאת בסעיף א'‪ ,‬מצא בכמה נקודות‬ ‫חותך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬

‫‪77‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  x 2  6x  5 :‬‬ ‫א‪ .‬הישר ‪ y  10 2‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת המקסימום שלה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫נתון כי הפונקציה )‪ g(x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  g '(x) :‬‬ ‫ב‪ .‬המרחק בין נקודת המקסימום של )‪ f (x‬לנקודת המקסימום של )‪g(x‬‬ ‫הוא ‪ . 1‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪ .‬מצא את שתי האפשרויות‪.‬‬

‫ג‪ ( 1 ) .‬סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫וסקיצות של שני הגרפים האפשריים של )‪. g(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬כמה נקודות פגישה עם ציר ה‪ x -‬יש לכל אחד משלושת הגרפים‬ ‫שסרטטת?‬

‫‪78‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 18‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ג ‪:‬‬ ‫‪ . 2‬ב‪. 64  (n  2)  2d 2 .‬‬

‫‪ 3 . 1‬שעות‪.‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . 25% .‬ב‪. 27 .‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪ . 5‬א‪. 120 , 30 , 30 .‬‬

‫ג‪. 0.16 .‬‬

‫ג‪. 2  n  66 .‬‬

‫‪ . 4‬ב‪. 1 ( 2 ) .‬‬ ‫‪2‬‬

‫ב‪ 10.58 .‬ס"מ ‪ 4 7 ‬ס"מ ‪.‬‬

‫‪ . 6‬א‪ . 0  x   .‬ב‪. x   , x  0 ( 1 ) .‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪  4 ; 2  1 (2‬מינימום‪ 34 ; 32  1 ,‬‬

‫מקסימום‪.‬‬

‫)‪(3‬‬

‫ג‪. 45 .‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪.7‬‬

‫א‪. 0  k  4 .‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬עלייה‪; 0  x  2 :‬‬

‫)‪(2‬‬

‫‪y‬‬

‫ירידה‪ 2  x  2 3 :‬או ‪. x  2 3‬‬ ‫) ‪ ( 3‬ב‪ 3 -‬נקודות‪.‬‬ ‫‪.8‬‬

‫‪x‬‬

‫א‪ (1;10 2 ) .‬מקסימום‪ (5;0) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪ .‬אפשרות א'‪ (1;11 2 ) :‬מקסימום‪ (5;1) ,‬מינימ ום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אפשרות ב'‪ (1;9 ) :‬מקסימום‪ (5; 1) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬

‫ג‪( 1 ) .‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪ ( 2‬לגרף של )‪) f (x‬המצויר בקו מלא( יש שתי נקודות פגישה‬ ‫עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫לגרף העליון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש נקודת פגישה‬ ‫אחת עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫לגרף התחתון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש ‪ 3‬נקודות‬ ‫פגישה עם צ יר ה‪. x -‬‬

‫‪79‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪19‬‬ ‫חורף תשע"ה‪2015 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫ַצ ָבּ עים ותיקים ו ַצ ָבּ עים‬ ‫ַצ ָבּ ע אחד ותיק ו‪ַ 2 -‬צ ָבּ עים‬

‫מתלמדים צריכים לצבוע מספר מסוים של דלתות‪.‬‬ ‫מתלמדים יסיימו את הצביעה ב זמן הארוך‬

‫ב‪ 25% -‬מהזמן שבו יסיימו את הצביעה‬

‫‪ַ 2‬צ ָבּ עים‬

‫ותיקים‬

‫ו ַצ ָבּ ע‬

‫אחד‬

‫מתלמד‪ .‬לכל צבע ותיק אותו קצב עבודה בלתי משתנה‪ ,‬ולכל צבע‬ ‫מתלמד אותו קצב עבודה בלתי משתנה‪.‬‬ ‫)צבע ותיק עובד מהר יותר מצבע מתלמד ‪(.‬‬ ‫א‪ .‬מ צא את היחס בין הזמן שצבע מתלמד יסיים לבדו את צביעת הדלתות‬ ‫לבין הזמן שצבע ותיק יסיים לבדו את צביעת הדלתות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא כמה צבעים מתלמדים צריכים לעבור עם צבע אחד ותיק‪,‬‬ ‫כדי שהם יסיימו את צביעת הדלתות במשך אותו הזמן שבו יסיימו‬ ‫את הצביעה ‪ 2‬צבעים ותיקים וצבע אחד מתלמד‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על ידי הכלל‪:‬‬

‫‪a1  4‬‬ ‫‪a n  a n 1  4n  2‬‬

‫א‪ .‬אם בסדרה יש ‪ 100‬איברים‪ ,‬מצא את הסכום של שני האיברים‬ ‫העומדים במקומות האמצעיים בסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי איברי הסדרה העומדים במקומות אי‪ -‬זוגיים מהווים‬ ‫סדרה חשבונית‪ ,‬וגם איברי הסדרה העומדים במקומות זוגיים‬ ‫מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬ ‫אם בסדרה יש ‪ 101‬איברים‪ ,‬מצא‪:‬‬ ‫ג‪ .‬את האיבר העומד באמצע הסדרה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬את הסכום של כל איברי הסדרה‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫‪.3‬‬

‫ביישוב גדול ‪ 1‬מהתושבים הם נשים‪ ,‬והשאר הם גברים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מבין התושבים בוחרים באקראי שתי קבוצות‪:‬‬ ‫קבוצה של ‪ 4‬אנש ים )נשים‪/‬גברים( לריאיון ברדיו‬ ‫וקבוצה של ‪ 4‬אנשים )נשים‪/‬גברים( לריאיון בטלוויזיה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבכל קבוצה יש בדיוק ‪ 2‬גברים?‬ ‫ב‪ .‬ידוע כי בקבוצה שנבחרה לריאיון ברדיו היו לכל היותר ‪ 2‬גברים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהיו בקבוצה זו בדיוק ‪ 2‬גברים?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫במקבילית ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫על הצלע ‪ . AD‬המשך ‪ BE‬חותך‬

‫‪E‬‬

‫את המשך ‪ CD‬בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬

‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ABE‬‬ ‫הוא ‪ 27‬סמ"ר‪.‬‬ ‫שטח המשולש ‪ DFE‬הוא ‪ 48‬סמ"ר‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪. BED‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי המרובע ‪ BCDE‬הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬ ‫מצא את היחס ‪AB‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪EF‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪.5‬‬

‫אלכסוני הטרפז ‪ ABCD‬מאונכים זה לזה‬

‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫ונפגשים בנקודה ‪. M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪ E‬היא אמצע השוק ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. DC  a , ACB   , ACD   :‬‬

‫‪E‬‬

‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , a‬ו‪ -‬‬ ‫את האורך של ‪. ME‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪tan  1‬‬ ‫נתון‪ :‬‬ ‫‪tan  3‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ 6.6 ,‬ס"מ ‪. a ‬‬

‫ב‪ .‬מצא את האורך של ‪. AB‬‬ ‫נתון גם‪ 1.3 :‬ס"מ ‪. BM ‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את הזווית ‪. DCB‬‬

‫‪81‬‬

‫‪D‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קצ יות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונות שתי פונקציות‪f (x)  0.5sin(2x)  cos x :‬‬ ‫)‪g(x)  sin(2x‬‬ ‫בתחום ‪. 0  x  2‬‬

‫‪y‬‬

‫בתחום הנתון הגרפים‬ ‫של הפונקציות נפ גשים‬ ‫בשתי נקודות‪ A ,‬ו‪, B -‬‬

‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫הנמצאות על ציר ה‪, x -‬‬

‫‪A‬‬

‫כמתואר בציור‪.‬‬ ‫א‪ .‬דרך נקודה על ציר ה‪, x -‬‬ ‫הנמצאת בין הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬מעבירים אנך לציר ה‪. x -‬‬ ‫האנך חותך את הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬בנקודות ‪ M‬ו‪. N -‬‬ ‫מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. MN‬‬ ‫‪ , 0  x  ‬מעבירים אנך‬ ‫ב‪ .‬דרך נקודה על ציר ה‪ , x -‬הנמצאת בתחום ‪2‬‬ ‫לציר ה‪. x -‬‬ ‫האנך חותך את הגרפים של הפונ קציות )‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬בנקודות ‪ K‬ו‪. L -‬‬ ‫מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. KL‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪x‬‬ ‫נתונות הפונקציות‬ ‫‪1 x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3x 2  2‬‬

‫‪f (x) ‬‬ ‫‪g(x) ‬‬

‫א‪ .‬מצא עבור כל אחת מהפונקציות‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬את השיעורים של נקודות הקיצון )אם יש כאלה(‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬

‫ב‪ .‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫וסקיצה של גרף הפונקציה )‪ , g(x‬אם ידוע כי הפונקציות נחתכות‬ ‫בנקודה אחת בלבד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. k  0 , h(x)  g(x)  k‬‬ ‫עבור אילו ערכים של ‪ k‬אין לפונקציה )‪ h(x‬נקודות חיתוך עם‬ ‫הפונקציה )‪ ? f (x‬נמק‪.‬‬

‫‪82‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬ופונקציית הנגזרת שלה )‪f '(x‬‬

‫)‪f '(x‬‬ ‫מקיימות ‪dx  3‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫נתון גם‪ k . f (0)  1 , f '(x)  kx  2 :‬הוא פרמטר‪.‬‬

‫א‪ .‬מצא את הערך המספרי של )‪ , f (3‬ומצא את הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫)בלי פרמטרים(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת )‪. g(x)  f (x‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הראה כי |‪. g(x)  | x  1‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה )‪g(x‬‬ ‫וסקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫תש ובות למבחן בגרות מספר ‪ – 19‬חורף תשע"ה‪: 2015 ,‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬יחס הזמנים הוא ‪. 2‬‬

‫ב‪ 3 .‬צבעים מתלמדים‪.‬‬ ‫ד‪. S101  10,304 .‬‬

‫‪ . 2‬א‪ . a 50  a 51  202 .‬ב‪ . a n  2  a n  4 .‬ג‪. a 51  104 .‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 64 .‬ב‪. 8 .‬‬ ‫‪ . 4‬א‪ 36 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 3 .‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪729‬‬ ‫‪EF 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . ME ‬ב‪ 2.2 .‬ס"מ ‪ . AB ‬ג‪ . 6     . 49.94 .‬א‪ 1.299 .‬‬ ‫‪ .‬ב‪. 1 .‬‬ ‫‪2cos ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ : g(x) , x  0 : f (x) ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫) ‪. y  0 : g(x) , y  0 : f (x) ( 2‬‬ ‫) ‪ (0;0) : f (x) ( 3‬מינימום‪,‬‬

‫‪ 12 ‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫;‪ 1‬מקסימום‪.‬‬

‫)‪: g(x‬‬

‫ג‪1 .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ 12 ‬‬

‫;‪ 0‬מקסימום‪.‬‬

‫‪. k‬‬

‫‪ . 8‬א‪. f (x)  x 2  2x  1 , f (3)  16 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪. g(x)  f (x)  x  2x  1  (x  1)  | x  1| ( 1 ) .‬‬

‫)‪(2‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪g(x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪83‬‬

‫)‪g(x‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪20‬‬ ‫קיץ תשע"ה‪ ,2015 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫מכונית ‪ I‬ומכונית ‪ II‬יצאו באותו זמן מאותו מקום ולאותו כיוון‪.‬‬

‫המהירו ת של מכונית ‪ I‬הייתה ‪ 50‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של מכונית ‪II‬‬ ‫הייתה ‪ 40‬קמ"ש‪ .‬כעבור חצי שעה מרגע היציאה של שתי המכוניות‪,‬‬ ‫יצאה גם מכונית ‪ III‬מאותו מקום ולאותו כיוון‪.‬‬ ‫ברגע שמכונית ‪ III‬פגשה במכונית ‪ , II‬המרחק בין מכונית ‪ I‬למכונית ‪II‬‬ ‫היה ‪ 15‬ק"מ‪ .‬המהירויות של כל המכוניות היו קבועות‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המהירות של מכונית ‪. III‬‬ ‫ב‪ .‬האם ייתכן שאחרי הפגישה בין מכונית ‪ III‬למכונית ‪ , II‬יהיה המרחק‬ ‫בין מכונית ‪ III‬למכונית ‪ I‬שווה למרח ק בין מכונית ‪ II‬למכונית ‪? I‬‬ ‫נמק‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת‬ ‫שכל איבריה חיוביים‪. a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כל איבר בסדרה זו )חוץ מהראשון( הוא ‪5‬‬ ‫מסכום שני האיברים הסמוכים לו‪ ,‬אחד לפניו ואחד אחריו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המנה של הסדרה ‪. a n‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה הסדרה‬

‫‪a n 1‬‬

‫‪(a n ) 2‬‬

‫‪. bn ‬‬

‫) ‪ ( 1‬הוכח כי הס דרה ‪ b n‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה ‪ b n‬הוא ‪. 20, 460‬‬ ‫מצא את סכום כל האיברים בסדרה ‪. a n‬‬

‫‪84‬‬

‫‪.3‬‬

‫נתונה קבוצה של ספרות שונות‪:‬‬ ‫‪ 3‬ספרות הן זוגיות )שונות מ‪ ( 0 -‬והשאר הן ספרות אי‪ -‬זוגיות‪.‬‬ ‫יוני יוצר מספר דו ספרתי מן הספרות שבקבוצה הנתונה באופן זה‪:‬‬ ‫הספרה הראשונה שיוני בוחר באקראי היא ספרת העשרות‪,‬‬ ‫והספרה השנייה שהוא בוחר באקראי היא ספרת היח ידות‪.‬‬ ‫יוני בוחר כל ספרה בדיוק פעם אחת בלי החזרה‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪ .‬נתון כי ההסתברות שיוני ייצור מספר אי‪ -‬זוגי היא ‪. 7‬‬ ‫מהו מספר הספרות האי‪ -‬זוגיות בקבוצה הנתונה?‬ ‫ב‪ .‬אם ידוע שהמספר שנוצר הוא זוגי‪ ,‬מהי ההסתברות ששתי הספרות‬ ‫שיוני ב חר הן זוגיות?‬ ‫אמילי יוצרת מספר תלת‪ -‬ספרתי מן הספרות שבקבוצה הנתונה באופן זה‪:‬‬ ‫הספרה הראשונה שאמילי בוחרת באקראי היא ספרת המאות‪,‬‬ ‫הספרה השנייה שהיא בוחרת באקראי היא ספרה העשרות‪,‬‬ ‫והספרה השלישית שהיא בוחרת באקראי היא ספרת היחידות‪.‬‬ ‫אמילי בוחרת כל ספרה בדיו ק פעם אחת בלי החזרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ידוע כי הספרה הראשונה שאמילי בחרה היא זוגית‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שבמספר התלת‪ -‬ספרתי שאמילי יצרה‪,‬‬ ‫סכום הספרות היה זוגי?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬

‫‪.4‬‬

‫‪ PA‬ו‪ PB -‬משיקים למעגל שמרכזו ‪. O‬‬

‫‪P‬‬

‫המשך ‪ BO‬חותך את המעגל בנקודה ‪D‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫א‪ .‬הוכח‪. PO  AD :‬‬ ‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הקוטר ‪ DB‬כך ש‪. AC  DB -‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. ADC  POB :‬‬ ‫‪ PD‬חותך את ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח‪. DEC  DPB :‬‬ ‫ד‪ .‬הוכח‪. AC  2EC :‬‬

‫‪85‬‬

‫‪B‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪C‬‬

‫נתון טרפז ‪. (BC  AD) ABCD‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המשך ‪AD‬‬ ‫כך ש‪) CE  BD -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪, CAD  2DBC :‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪. DB  1.8AC‬‬ ‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. CEA‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ ACE‬הוא ‪ 87.873‬סמ"ר‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫מצא את גובה הטרפז‪.‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬ט גרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬

‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  sin x‬ונתון התחום ‪0  x  3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪cos 2x‬‬

‫‪y‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬

‫ענה על הסעיפים א‪ ,‬ב ו‪ -‬ג עבור התח ום הנתון‪.‬‬ ‫א‪ ( 1 ).‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות האנכיות‬ ‫של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון‬ ‫של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן על פי הציור‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת )‪. g(x)  2f (x)  f '(x‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, g(x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ -‬ועל ידי הישר ‪6‬‬

‫‪86‬‬

‫‪x‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪(x  2) 2‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪(x  1) 3‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא א ת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות פיתול בלבד‪.‬‬ ‫על סמך הגרף של הפונקציה )‪ , f (x‬ציין באיזה תחום נמצאת כל אחת‬ ‫מנקודות אלה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ f (x‬ועל ידי הצירים‪,‬‬ ‫גדול מ‪ , 4 -‬קטן מ‪ 4 -‬או שווה ל‪ ? 4 -‬נמק‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ a , f (x)  1 x 3  a 2 x  a 2‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי המקסימום של הפונקציה מתקבל בנקודה שבה ‪. y  0‬‬ ‫ב‪ .‬מצא עבור איזה ערך‪/‬איזה תחום ערכים של ‪ a‬נקודת המינימום‬ ‫של הפונקציה‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬ ‫) ‪ ( 2‬נמצאת מעל ציר ה‪. x -‬‬ ‫) ‪ ( 3‬נמצאת מתחת לציר ה‪. x -‬‬ ‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל אחד מש לושת המקרים‬ ‫שבסעיף ב‪.‬‬ ‫ד‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪ ? 1 x 3  x  1  0‬נמק‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪87‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 20‬קיץ תשע"ה‪ , 2015 ,‬מועד א ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ 60 .‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . 1 .‬ב‪ ( 1 ) .‬הוכחה‪ .‬מנת הסדרה ‪ b n‬היא ‪. 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ 4 .‬ספרות אי‪ -‬זוגיות‪ .‬ב‪. .‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪ .‬לא ייתכן‪.‬‬

‫‪ . 5‬א‪ . 25.84 .‬ב‪ 7.845 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ 0  x  ‬או ‪.   x  3‬‬ ‫‪ . 6‬א‪4 ( 1 ) .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪. 1 (2‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪.‬‬

‫) ‪. x  34 , x   ( 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪ (0;0) ( 3‬מינימום‪,‬‬

‫‪ 2 ; 1‬‬

‫מקסימום‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. 1 .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. (0;  4) , (2;0) ( 3 ) . y  0 , x  1 ( 2 ) . x  1 ( 1 ) .‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ (2;0) ( 4‬מקסימום‪4 ,‬‬ ‫‪ 8;  81‬מינימום‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(5‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ ‬‬ ‫ב‪ .‬נקודת פיתול אחת נמצאת בתחום ‪, x  8‬‬ ‫ונקודת פיתול שנייה בתחום ‪. 8  x  2‬‬ ‫ג‪ .‬השטח קטן מ‪. 4 -‬‬ ‫‪.8‬‬

‫א‪ .‬שיעור ה‪y -‬‬

‫בנקודת המקסימום הוא ‪. 2 a 3  a 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫מאחר ו‪ a  0 -‬שיעור ה‪ y -‬הוא חיובי‪.‬‬ ‫ב‪. 0  a  1.5 ( 2 ) . a  1.5 ( 1 ) .‬‬ ‫ג‪.‬‬

‫עבור ‪: a  1.5‬‬

‫) ‪. a  1.5 ( 3‬‬

‫עבור ‪: 0  a  1.5‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫עבור ‪: a  1.5‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪ .‬פתרון אחד‪.‬‬

‫‪88‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪21‬‬ ‫קיץ תשע"ה‪ ,2015 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫בזמן ה נסיעה באוטובוס הבחין יוסי ברגע מסוים באימא שלו‪,‬‬ ‫ה הולכת ליד האוטובוס בכיוון הפוך לכיוון הנסיעה של האוטובוס‪.‬‬ ‫כעבור ‪ 10‬שניות מ ה רגע שיוסי הבחין באימו‪ ,‬עצר האוטובוס בתחנה‪,‬‬ ‫ויוסי רץ מיד כדי להשיג את אימו‪.‬‬ ‫מהירות הריצה של יוסי גדולה פי ‪ 2‬ממהירות ההליכה של אימו‪,‬‬ ‫‪ 1‬ממהירות הנסיעה של האוטובוס‪.‬‬ ‫והיא ‪7‬‬ ‫כל המהירויות הן קבועות‪.‬‬ ‫א‪ .‬כמה זמן רץ יוסי כדי להשיג את אימו?‬ ‫ברגע שיוסי השיג את אימו‪ ,‬הם הלכו יחד ‪ 3‬דקות במהירות ההליכה‬ ‫של אימו )בכיוון ההליכה שלה(‪.‬‬ ‫מיד בתום ‪ 3‬הדקות רץ יוסי בחזרה לתחנת האוטובוס שירד בה‪.‬‬ ‫)מהירות הריצה של יו סי היא כמו בסעיף א‪(.‬‬ ‫ב‪ .‬כמה זמן רץ יוסי בחזרה לתחנת האוטובוס?‬

‫‪.2‬‬

‫‪1‬‬ ‫נתונה סדרה ‪ b n‬המקיימת את הכלל‬ ‫‪2n  b n‬‬

‫‪. b n 1 ‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי האיברים העומדים במקומות האי‪ -‬זוגיים בסדרה מהווים‬ ‫סדרה הנדסית‪ ,‬וגם האיברים העומדים במק ומות הזוגיים מהווים‬ ‫סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סכום ‪ 8‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ b n‬שווה ל‪. 3 7 -‬‬ ‫‪16‬‬ ‫מצא את ‪) b1‬מצא את שתי האפשרויות(‪.‬‬

‫‪89‬‬

‫‪.3‬‬

‫חוקר עורך מחקר על הרגלי ה אכילה של סטודנטים באוניברסיטה גדולה‬ ‫במשך יום לימודים‪.‬‬ ‫חלק מהסטודנטים מביאים תמיד אוכל מהבית‪ ,‬והשאר אינם מביאים‬ ‫אוכל מהבית‪ .‬כל הסטודנטים שמביאים אוכלים מהבית אוכלים אותו‬ ‫במשך היום ואינם אוכלים בקפטריה‪.‬‬ ‫הסטודנטים שאינם מביאים אוכל מהבית אוכלים בקפטריה או אינם‬ ‫אוכלים במשך היום‪.‬‬

‫א‪ .‬נמצא כי אם בוחרים באקראי ‪ 4‬סטודנטים‪ ,‬ההסתברות שבדיוק ‪2‬‬ ‫מהם מביאים אוכל מהבית גדולה פי ‪ 6‬מההסתברות שבדיוק ‪ 1‬מהם‬ ‫מביא אוכל מהבית‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מהו אחוז הסטודנטים שמביאים אוכל מהבית?‬ ‫) ‪ ( 2‬החוקר בחר באקראי ‪ 8‬סטודנטים באוניברסיטה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם מביא אוכל מהבית‪,‬‬ ‫אבל לא כולם?‬ ‫ב‪ .‬נמצא כי ‪ 60%‬מהסטודנטים שאינם מביאים אוכל מהבית אינם אוכלים‬ ‫במשך היום‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מהו אחוז הסטודנטים באוניברסיטה שאוכלים בקפטריה?‬ ‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות לבחור סטודנט שמביא אוכל מהבית‬ ‫מבין הסטודנטים שאוכלים במשך היום?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪B‬‬

‫הצלע ‪ AB‬היא קוטר‪.‬‬ ‫‪ E‬היא נקודה על המשך ‪ AD‬כ ך ש‪. CE  AE -‬‬

‫‪O‬‬

‫א‪ .‬הוכח‪. CDE  ABC :‬‬

‫‪SCDE 1‬‬ ‫נתון גם‪ , OD  AC :‬‬ ‫‪SABC 4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪.‬‬

‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. OC  AD‬‬

‫‪E‬‬

‫ג‪ .‬הוכח כי ‪ CE‬משיק למעגל‪.‬‬

‫‪90‬‬

‫‪D‬‬

‫‪.5‬‬

‫מעגל שרדיוסו ‪ r‬חסום בטרפז שווה‪ -‬שוקיים‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ , (AB  DC) ABCD‬כמתואר בציור‪.‬‬

‫נתון‪. BCD  70 :‬‬

‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪: r‬‬ ‫) ‪ ( 1‬את הבסיס הגדול של הטרפז‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬את שוק הטרפז‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫) ‪ ( 3‬את אלכסון הטרפז‪.‬‬

‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום בטרפז‬ ‫ובין רדיוס המעגל החוסם את הטרפז‪.‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלו ת ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪ , f (x) ‬ונתון התחום ‪.    x  ‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin x cos x‬‬

‫‪1‬‬

‫בתחום הנתון ענה על הסעיפים א ו‪ -‬ב‪.‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬האם הפונקציה )‪ f (x‬הי א פונקציה זוגית או אי‪ -‬זוגית? נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. g(x)  f (x)  a‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את הערכים האפשריים של ‪ a‬שעבורם יש למשוואה‬ ‫‪ f (x)  a  0‬פתרון אחד בלבד‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ g(x‬עבור כל אחד מהערכים‬ ‫של ‪ a‬שמצאת בתת סעיף ב ) ‪.( 1‬‬

‫‪91‬‬

‫‪D‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה פונקציית הנגזרת‬

‫‪x‬‬

‫‪. f '(x) ‬‬

‫‪x2  9‬‬

‫הישר ‪ y  1 x  3‬חותך את הגרף של הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ .‬מ צא את הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬ושל הפונקציה )‪? f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬ ‫עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬

‫) ‪ ( 4‬מצא את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫) ‪ ( 6‬הוסף לסקיצה שסרטט ת בתת‪ -‬סעיף ב ) ‪ ( 5‬סקיצה של גרף‬ ‫הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫ג‪ .‬נתונות שתי משוואות‪ I ,‬ו‪ k : II -‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x2  9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x  9  k , I.‬‬

‫‪II.‬‬

‫נתון כי ‪. k  0‬‬ ‫מצא את תחום הערכים של ‪ k‬שעבורם אין פתרון למשוואה ‪I‬‬ ‫וגם אין פתרון למשוואה ‪. II‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתו נה הפונקציה )‪ , f (x‬ונתון כי כל אחת מהפונקציות )‪ f '(x) , f (x‬ו‪f "(x) -‬‬ ‫מוגדרת בתחום ‪. x  0‬‬ ‫נתון גם‪ :‬הגרף של )‪ f '(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪, x  1‬‬ ‫)‪ f '(x‬עולה בתחום ‪ , 0  x  3‬ויורדת בתחום ‪, x  3‬‬ ‫האסימפטוטות של )‪ f '(x‬הן ‪ x  0‬ו‪. y  0 -‬‬ ‫א‪ .‬סרטט סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫נתון גם כי לפונקציה )‪ f (x‬יש אסימפטוטה אחת שמשוואתה ‪. x  0‬‬

‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫)אם יש כאלה(‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬

‫ג‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪‬‬ ‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הפ ונקציה )‪ f (x‬מקבלת את כל הערכים בטווח ‪ y  4‬ורק אותם‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ציין על ציר ה‪ x -‬ועל ציר ה‪ y -‬את הערכי ם שמצאת‪.‬‬ ‫ה‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. g(x)    f (x) ‬‬ ‫‪3‬‬

‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬

‫‪92‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 21‬קיץ תשע"ה‪ , 2015 ,‬מועד ב‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ 150 .‬שניות‪ .‬ב‪ 240 .‬שניות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ .‬הוכחה ) ‪ . (q  1‬ב‪ b  1 .‬או ‪. b  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 0.8322 ( 2 ) . 80% ( 1 ) .‬ב‪. 10 ( 2 ) . 8% ( 1 ) .‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 2.92r ( 3 ) . 2.128r ( 2 ) . 2.856r ( 1 ) .‬ב‪. 0.6435 .‬‬

‫‪ . 6‬א‪ 0  x   ( 1 ) .‬או ‪.    x  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(3‬‬

‫‪  4 ;2‬מינימום‪  4 ; 2 ,‬‬

‫) ‪ ( 2‬אי‪ -‬זוגית‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(4‬‬

‫מקסימום‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫ב‪( 2 ) . a  2 , a  2 ( 1 ) .‬‬

‫‪a  2‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫א‪x 2  9 .‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫ב‪ - f '(x) ( 1 ) .‬כל ‪ - f (x) ; x‬כל ‪. x‬‬

‫) ‪. (0;0) ( 3 ) . y  1 , y  1 ( 2‬‬

‫) ‪ ( 4‬עליי ה‪ :‬כל ‪ ; x‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(5‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(6‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. 1  k  3 .‬‬

‫‪ . 8‬א‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫ב‪ x  1 .‬מינימום‪.‬‬ ‫ג‪. x  3 :  ; 0  x  3 :  .‬‬ ‫ה‪ .‬עלייה‪ ; 0  x  1 :‬ירידה‪. x  1 :‬‬

‫‪93‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪22‬‬ ‫חורף תשע"ו‪2016 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫רוכב אופניים ורוכב אופנוע יצאו באותו רגע זה לקראת זה משני‬ ‫יישובים שונים‪ .‬הם נפגשו כעבור ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫‪ 2‬מהדרך שבין שני היישובים ב‪ 1.25 -‬שעות פחות‬ ‫רוכב האופנוע עובר ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מהדרך שבין שני היישובים‪.‬‬ ‫מהזמן שרוכב האופניים עובר ‪4‬‬ ‫מהירויות הרוכבים אינן משתנות‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא פי כמה המהירות של רוכב האופנוע גדולה מן המהירות‬ ‫של רוכב האופניים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא בכמה שעות עובר רוכב האופנוע את כל הדרך שבין שני היישובים‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה הנדסית עולה‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... :‬‬ ‫ההפרש בין האיבר הר ביעי בסדרה לאיבר השלישי גדול פי ‪4‬‬ ‫מההפרש בין האיבר השני לאיבר הראשון‪.‬‬ ‫האיבר השישי בסדרה גדול ב‪ 31 -‬מהאיבר הראשון‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪ ,‬ואת האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהסדרה הנתונה בנו שתי סדרות חדשות‪ I ,‬ו‪: II -‬‬

‫‪I. a1  a 2 , a 2  a 3 , a 3  a 4 , ... , a n  a n 1 , a n 1  a n 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a 2 a3‬‬ ‫‪, 3  4 , 4  5 , ... , n 1  n  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪a n 1‬‬ ‫‪a 2 a3 a3 a 4‬‬ ‫‪a1 a 2‬‬

‫‪II.‬‬

‫) ‪ ( 1‬האם כל אחת מהסדרות החדשות היא סדרה הנדסית עולה? נמק‪.‬‬ ‫הסכום של כל האיברים בסדרה ‪ I‬הוא ‪. 2730‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את מספר האיברים בסדרה ‪. I‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את הסכום של כל האיברים בסדרה ‪. II‬‬

‫‪94‬‬

‫‪.3‬‬

‫במכונת מזל אפ שר לזכות ב‪ 50 -‬שקל‪ ,‬ב‪ 100 -‬שקל או לא לזכות כלל‪.‬‬ ‫דן משחק ‪ 5‬משחקים במכונה זו‪.‬‬ ‫ההסתברות שדן יזכה ב‪ 50 -‬שקל בדיוק פעמיים שווה להסתברות‬ ‫שהוא יזכה ב‪ 50 -‬שקל בדיוק פעם אחת‪.‬‬ ‫)ההסתברות לזכות ב‪ 50 -‬שקל שונה מאפס‪(.‬‬ ‫ההסתברות שדן לא יזכה באף משחק היא ‪. 1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שדן יזכה ב‪ 50 -‬שקל במשחק בודד?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שדן יזכה ב‪ 100 -‬שקל במשחק בודד?‬ ‫ג‪ .‬ידוע כי לאחר שדן שיחק שני משחקים הוא זכה סך הכול ב‪ 100 -‬שקל‬ ‫בדיוק‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא לא זכה ב‪ 50 -‬שקל באף אחד משני המשחקים?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וט ריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬

‫‪.4‬‬

‫‪B‬‬

‫בריבוע ‪ ABCD‬הנקודה ‪E‬‬ ‫נמצאת על הצלע ‪) AD‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫מעגל העובר דרך הנקודות ‪ D , E‬ו‪C -‬‬ ‫חותך את האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪, M‬‬ ‫ואת הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. N‬‬ ‫הנקודה ‪ M‬נמצאת בין הקדקוד ‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ובין נקודת החיתוך של ‪ BD‬עם ‪. CE‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CD  EN‬‬ ‫ב‪ .‬האם הקטע ‪ DM‬קצר מהקטע ‪ , CE‬ארוך ממנו או שווה לו? נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח כי ‪. BM  BD  AE  AD‬‬

‫‪95‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪.5‬‬

‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬זווית הבסיס היא ‪. 2‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬היא מפגש חוצי‪ -‬הזווית‬

‫‪A‬‬

‫במשולש ‪ . ABC‬המשך ‪ CE‬חותך‬ ‫את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬

‫נתון‪3 :‬‬ ‫‪EC ‬‬ ‫‪DE 2sin ‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪. ‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪. BAC  90 ,‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬ ‫ובין רדיוס המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬ ‫ג‪ .‬נתון כי ההפרש בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬ ‫ובין רדיוס המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 2‬ס"מ ‪.‬‬ ‫מצא את אורך הקטע ‪. AE‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  a  sin 2 x  b  cos(4x‬בתחו ם ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפונקציה )‪ f (x‬יש קיצון בנקודה שבה ‪ . x  3‬נתון כי ‪. b  0‬‬

‫‪.0x‬‬

‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪) b‬במידת הצורך( את השיעורים של נקודות הקיצון‬ ‫של הפונקציה )‪ f (x‬בתחום הנתון‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ד‪ ( 1 ) .‬מצא את הערך של האינטגרל ‪f "(x) dx‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ , ‬הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪f "(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪ x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה אחת שבה ‪. x  k‬‬ ‫‪ , ‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f "(x‬‬ ‫בתחום ‪2  x  k‬‬ ‫‪ , x  ‬שווה ל‪. S -‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪2‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ S‬את השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f "(x‬‬

‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪ x  2‬בתחום ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הערה‪ :‬אין צורך למצוא את )‪. f "(x‬‬

‫‪96‬‬

‫‪ . k  x ‬נמק‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3 x‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫‪2x  3‬‬ ‫)‪x(3  x‬‬

‫‪g(x) ‬‬

‫נתונות הפונקציות ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה‬ ‫של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫ואת תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. g(x‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים‬ ‫של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫ואת האסימפטוטות המאונכות לצ ירים‬ ‫של הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪, g(x) -‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪. x  1‬‬ ‫ג‪ .‬נתונות הפונקציות ‪2x  3  2 , h(x)  1  2‬‬ ‫)‪x(3  x‬‬ ‫‪3 x‬‬

‫‪, t(x) ‬‬

‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪. x  2.5‬‬ ‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות )‪ h(x‬ו‪t(x) -‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪. x  2.5‬‬ ‫האם השטח ‪ S1‬גדול מהשטח ‪ , S2‬קטן ממנו או שווה לו? נמק‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪x  1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪) f (x) ‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪,‬‬ ‫ואת האסימפטוטות של הפונקציה‬ ‫המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬העבירו ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬

‫הישר חותך את גרף הפונקציה )‪f (x‬‬

‫‪x‬‬

‫בנקודה ‪ C‬ואת הישר ‪ y  2x‬בנקודה ‪. D‬‬ ‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬ב‪. t -‬‬ ‫מצא מה צריך להיות הערך של ‪, t‬‬ ‫כדי שהאורך של הקטע ‪ CD‬יהיה מינימלי‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬עבור ‪ ( 2 ) . t  1‬עבור ‪. t  1‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את האורך המינימלי של הקטע ‪ CD‬עבור כל ‪. t  1‬‬

‫‪97‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 22‬חורף תשע" ו ‪: 2016 ,‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬פי ‪. 4‬‬

‫ב‪ 3.75 .‬שעות‪.‬‬

‫‪ . 2‬א‪. a1  1 , q  2 .‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬סדרה ‪ ‬הנדסית עולה )המנה שלה היא ‪,( 4‬‬ ‫סדרה ‪ ‬היא סדרה קבועה‪ ,‬אינה סדרה הנדסית עולה‪.‬‬ ‫) ‪ 6 ( 2‬איברים‪. 20 ( 3 ) .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 13 .‬ב‪ . 16 .‬ג‪. 53 .‬‬ ‫‪ . 4‬ב‪ DM .‬קצר מ‪. CE -‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ .   20 .‬ב‪ . 2.79 .‬ג‪ 1.459 .‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ (0;b) .‬מינימום‪,‬‬

‫‪ 23  ; 3 12 b ‬‬

‫‪ 3 ; 3 b ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫מקסימום‪,‬‬

‫‪ 2 ; 3b‬‬

‫מינימום‪,‬‬

‫מקסימום‪.‬‬

‫ב‪.‬‬

‫ג‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪. S ( 2 ) . 0 ( 1 ) .‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. 0  x  3 : g(x) , x  3 : f (x) ( 1 ) .‬‬ ‫) ‪. x  3 , y  0 : f (x) ( 2‬‬ ‫)‪. x  3 , x  0 : g(x‬‬ ‫ב‪. 0.6945 .‬‬ ‫ג‪. S1  S2 .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ .‬תחום הגדרה‪. x  1 :‬‬ ‫אסימפטוטה אנכית‪. x  1 :‬‬ ‫אסימפטוטה אופקית‪. y  1 :‬‬ ‫ב‪. t  2 ( 2 ) . t  0 ( 1 ) .‬‬ ‫ג‪. 12 .‬‬

‫‪98‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪23‬‬ ‫קיץ תשע"ו‪2016 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫שתי מכוניות יצאו באותו זמן מעיר א' לעיר ב'‪.‬‬ ‫המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 300‬ק"מ‪.‬‬ ‫המכונית הראשונה נסעה במהירות הגדולה ב‪ 25 -‬קמ"ש מהמהירות‬ ‫של המכונית השנייה‪ .‬כעבור ‪ 1.5‬שעות מרגע היציאה מעיר א'‪,‬‬ ‫הקטינה המכונית הראשונה את מהירותה לחצי ממהירותה הקודמת‪,‬‬ ‫והגיעה לעיר ב' ‪ 1‬שעה אחרי המכונית השנייה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המהירות של המכונית השנייה אם ידוע שמהירותה‬ ‫גדולה מ‪ 60 -‬קמ"ש‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא כעבור כמה שעות מרגע היציאה מעיר א' ו לפני שהמכונית‬ ‫השנייה השיגה את המכונית הראשונה‪ ,‬היה המרחק בין שתי‬ ‫המכוניות ‪ 12.5‬ק"מ‪) .‬מצא את שתי האפשרו יות(‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה חשבונית ‪ a n‬המקיימת‪. a 4  a 8  a12  a16  224 :‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ה סכום של ‪ 19‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. a n‬‬

‫הסדרה ‪ Sn‬היא סדרת הסכומים החלקיים של הסדרה ‪S1 , S2 , S3 , ... : a n‬‬ ‫נתון כי ‪ Sn  n  a n‬לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי הפרש הסדרה ‪ a n‬הוא ‪. 0‬‬ ‫ג‪ .‬היעזר בסעיפים הקודמים‪ ,‬ומצא את ‪. a1‬‬ ‫נתונה סדרה ‪ b n‬המקיימת את הכלל‪ b n 1  b n  a n  Sn :‬לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫ד‪ .‬היעזר בסעיפים הקודמים‪ ,‬ומצא את ה סכום‬ ‫) ‪. (b 2  b1 )  (b3  b 2 )  (b 4  b3 )  ...  (b 20  b19‬‬

‫‪99‬‬

‫‪.3‬‬

‫במבחן כניסה למכללה ‪ 20%‬מן הנבחנים היו מקיבוצים‪.‬‬ ‫‪ 40%‬היו ממושב י ם ו‪ 40% -‬היו מערים‪ 70% .‬מן הנבחנים הצליחו במבחן‪.‬‬ ‫‪ 1‬מן הנבחנים שהיו ממושבים נכשלו במבחן‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ההסתברות לבחור באקראי מבין כל הנבחנים נבחן שהיה מעיר וגם‬ ‫הצליח במבחן‪ ,‬גדולה פי ‪ 2.5‬מן ההסתברות לבחור באקראי מבין‬ ‫כל הנבחנ ים נבחן שהיה מקיבוץ וגם הצליח במבחן‪.‬‬ ‫א‪ .‬מבין הנבחנים שנכשלו במבחן‪ ,‬מהי ההסתברות לבחור באקראי‬ ‫נבחן שלא היה מעיר?‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬משה הצליח במבחן‪ .‬מהי ההסתברות שהוא לא היה ממושב?‬ ‫) ‪ ( 2‬חמישה נבחנים הצליחו במבחן‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מ הם היה ממושב?‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫‪A‬‬

‫נתון טרפז ‪. (AB  EC) ABCE‬‬ ‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על האלכסון ‪BE‬‬ ‫כך ש‪. CF  BE -‬‬ ‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הבסיס ‪CE‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. ED  3a , EA  4a , CEB  AEB :‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫א‪ .‬הוכח כי ‪. EAB  EDF‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי שטח ה משולש ‪ EAB‬הוא ‪. S‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. CEF‬‬ ‫ג‪ .‬המשך ‪ DF‬חותך את ‪ AB‬בנקודה ‪. G‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. BFG‬‬

‫‪.5‬‬

‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AB  AC) ABC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ AE‬הוא גובה לבסיס ‪, BC‬‬ ‫ו‪ BT -‬הוא תיכון לשוק ‪) AC‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. BC  2k , TBC   , ACB   :‬‬

‫‪T‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬הבע את האורך של ‪TC‬‬ ‫באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬בלבד‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬היעזר בתת‪ -‬סעיף א) ‪ ,( 1‬והראה כי‬ ‫‪C‬‬

‫‪. sin(  )  4sin   cos ‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם‪ 5 :‬ס"מ ‪ 4 , TE ‬ס"מ ‪. k ‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את ‪. ‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪. ‬‬

‫‪100‬‬

‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪2k‬‬

‫‪B‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  x 2  sin(2 x‬בתחום ‪  x  0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫ענה על הסעיפים שלפניך עבור התחום הנתון‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את השיפוע הגדול ביותר ואת השיפוע הקטן ביותר‬ ‫של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫ג‪ ( 1 ) .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪‬‬ ‫של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪ax 3  2ax‬‬ ‫‪x 4  4x 2  4‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ב‪ .‬האם הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית או אי‪ -‬זוגית? נמק‪.‬‬

‫ג‪ .‬ה שטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫ועל ידי הישרים ‪ x  1‬ו‪ , x  1 -‬שווה ל‪. 4 -‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫ד‪ .‬נתון כי הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת )‪. f (x)  g '(x‬‬

‫אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬ ‫היא נקודה שבה ‪. x  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הראה כי הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת‪. g(x)  2x :‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את התחום שבו מתקיים )‪. f (x)  g(x‬‬

‫‪101‬‬

‫‪n‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪.8‬‬

‫‪ 1x ‬‬

‫‪ n . x  0 , f (x)  1 ‬הוא מספר טבע י גדול מ‪. 1 -‬‬

‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המאונכות לצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי עבור ‪ n‬אי‪ -‬זוגי ‪ f '(x)  0‬לכל ‪. x  0‬‬ ‫לפניך שני גרפים‪ I ,‬ו‪) . II -‬בגרפים מוצגות כל נקודות הקיצון(‪.‬‬

‫)‪f '(x‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪f '(x‬‬

‫‪II‬‬

‫‪y‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫אחד הגרפים מייצג סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬עבור ‪ n‬זוגי‪,‬‬ ‫והגרף האחר מייצג סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬עבור ‪ n‬אי‪ -‬זוגי‪.‬‬ ‫היעזר בגרפים ‪ I‬ו‪ , II -‬וענה על הסעיפים ג‪ ,‬ד‪ ,‬ו‪ -‬ה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬עבור ‪ n‬אי‪ -‬זוגי‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא כמה נקודות קיצון )אם יש כאלה( יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא כמה נקודות פיתול יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬עבור ‪ n‬זוגי‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא כמה נקודות קיצון )אם יש כאלה( יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא כמה נקודות פיתול יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫‪3‬‬

‫ה‪ .‬נתונות הפונקציות‪:‬‬

‫‪ x‬‬

‫‪, g(x)  1  1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 1x ‬‬

‫‪. h(x)  1 ‬‬

‫מהו הסימן של המכפלה )‪ g"(x)  h"(x‬ע בור ‪ ? x  0‬נמק‪.‬‬

‫‪102‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 23‬קיץ תשע" ו ‪: 2016 ,‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ 75 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 1 .‬שעה‪ 2.5 ,‬שעות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . 1,064 .‬ג‪ . a1  56 .‬ד‪. 11,704 .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 1 .‬ב‪. 31 ( 2 ) . 1 ( 1 ) .‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . 4‬ב‪ . S .‬ג‪. S .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ . 5‬א‪.‬‬ ‫‪2cos ‬‬

‫‪ . TC ‬ב‪.   37.37 ( 2 ) .   66.42 ( 1 ) .‬‬

‫‪ . 6‬א‪ .‬השיפוע הגדול ביותר הוא ‪; 0.886‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪.‬‬ ‫‪x‬‬

‫השיפוע הקטן ביותר הוא ‪. 2.255‬‬

‫ג‪  x  0 ,    x   5 :  ( 1 ) .‬‬ ‫‪.  5  x    :  ; ‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪( 2 )         ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ . 7‬א‪ .‬כל ‪    . x‬ב‪ .‬אי‪ -‬זוגית‪   .‬ג‪   . a  4 .‬ד‪. 0  x  2 ( 2 )   .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪. x  0 .‬‬

‫ב‪. y  1 .‬‬

‫ג‪ ( 1 ) .‬אין‪ ( 2 ) .‬שתי נקודות פיתול‪.‬‬ ‫ד‪ ( 1 ) .‬נקודת קיצון אחת‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(3‬‬

‫) ‪ ( 2‬נקודת פיתול אחת‪.‬‬ ‫ה‪ .‬חיובי‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪103‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪24‬‬ ‫קיץ תשע"ו‪ ,2016 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫שני הטכנאים גל ודני עבדו בהרכבת מחשבים‪.‬‬ ‫קצב העבודה של כל אחד מהם קבוע‪.‬‬ ‫א‪ .‬ביום העבודה הראשון הרכיבו שני הטכנאים אותו מספר של מחשבים‪.‬‬ ‫גל הת חיל לעבוד בשעה ‪ , 8 : 00‬וסיים לעבוד בשעה ‪. 15 : 00‬‬ ‫דני התחיל לעבוד לאחר השעה ‪ 8 : 00‬ולפני השעה ‪ , 9 : 00‬וסיים לעבוד‬ ‫בשעה ‪. 13 : 00‬‬ ‫ידוע שגל ודני הרכי בו אותו מספר של מחשבים מהרגע שכל אחד‬ ‫מהם התחיל לעבוד ועד השעה ‪. 9 : 00‬‬ ‫כמה זמן אחרי השעה ‪ 8 : 00‬התחיל דני לעבוד?‬ ‫ב‪ .‬ביום העבודה השני‪ ,‬התחילו גל ודני לעבוד באותה שעה וסיימו‬ ‫לעבוד באותה שעה‪ .‬ביום זה הם הרכיבו סך הכול יחד את אותו מספר‬ ‫מחשבים שהרכיבו יחד ביום העבודה הראשון‪.‬‬ ‫כמה זמן עבדו הטכנאים ביום העבודה השני?‬

‫‪.2‬‬

‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים‪ .‬הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. 3‬‬ ‫א‪ .‬בין כל שני איברים עוקבים הכניסו איבר אחד נוסף‪ ,‬ונוצרה סדרה‬ ‫חשבונית חדשה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 1‬הראה כי היחס בין סכום האיברים בסדרה החדשה לסכום‬

‫האיברים בסדרה הנתונה הוא ‪2n  1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪.‬‬

‫) ‪ ( 2‬נתון כי היחס שמופיע בתת‪ -‬סעיף ) ‪ ( 1‬שווה ל‪. 1.9 -‬‬ ‫ה סכום של כל האיברים שהכניסו לסדרה הנתונה הוא ‪. 130.5‬‬ ‫מצא את האיבר הראשון בסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יוצרים סדרה חשבונית נוספת על ידי הכנסת ‪ k‬איברים בין כל‬ ‫שני איברים עוקבים של הסדרה הנתונה ‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ k‬את הפרש הסדרה המתקבלת‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫‪.3‬‬

‫שחמט הוא משחק בין שני שחקנים שיכול להסתיים בניצחון של אחד‬ ‫מהם או בתיקו‪.‬‬ ‫יעל ואנה משחקות זו מול זו בטורניר שחמט בשני סבבים‪.‬‬ ‫ההסתברות של כל אחת מן השחקניות לנצח במשחק בו דד היא קבועה‬ ‫בכל הטורניר‪.‬‬ ‫א‪ .‬בסבב הראשון יש ‪ 4‬משחקים‪.‬‬

‫ההסתברות שיעל תנצח ב‪ 2 -‬משחקים או ב‪ 3 -‬משחקים גדולה פי ‪10‬‬ ‫מן ההסתברות שיעל תנצח ב‪ 4 -‬משחקים‪.‬‬ ‫חשב את ההסתברות שיעל תנצח במשחק בודד‪.‬‬ ‫בסבב השני יש ‪ 2‬משחקים‪.‬‬ ‫ההסתברות שתוצאת הסבב השני תהיה שוויון – היא ‪. 0.34‬‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שאנה תנצח במשחק בודד?‬ ‫ג‪ .‬חשב את ההס תברות שאנה תנצח במשחק השני‪ ,‬אם ידוע שתוצאת‬ ‫סבב זה היא שוויון‪.‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתון משולש ‪. PDC‬‬ ‫הנקודות ‪ B‬ו‪ L -‬מו נחות על הצלע ‪. PC‬‬

‫‪P‬‬

‫הנקודות ‪ A‬ו‪ K -‬מונחות על הצלע ‪, PD‬‬

‫‪B‬‬

‫כמתואר בציור‪.‬‬

‫נתון כי המרובע ‪ABLK‬‬

‫‪A‬‬

‫‪L‬‬ ‫‪K‬‬

‫הוא בר חסימה במעגל‬

‫וגם המרובע ‪KLCD‬‬ ‫הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬

‫‪C‬‬

‫א‪ .‬הוכח ‪. AB  DC‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‪ 3 :‬ס"מ ‪ 4 , PA ‬ס"מ ‪ , PB ‬שטח המשולש ‪ ABP‬הוא ‪ S‬סמ"ר‪,‬‬ ‫שטח המרובע ‪ ABCD‬הוא ‪ 24S‬סמ"ר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬האם אפשר לחסום במעגל את המרובע ‪ ? ABCD‬נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪. PD‬‬ ‫ד‪ .‬נתון גם‪ 5 :‬ס"מ ‪. BL ‬‬ ‫היעזר בדמיון משולשים והבע באמצעות ‪ S‬את שטח המרובע ‪. KLCD‬‬

‫‪105‬‬

‫‪.5‬‬

‫במעגל חסום טרפז ‪. (AB  DC) ABCD‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫מרכז המעגל ‪ O‬בתוך הטרפז )ראה ציור(‪.‬‬ ‫רדיוס המעגל הוא ‪ R‬וגובה הטרפז הוא ‪. h‬‬ ‫‪O‬‬

‫נתון‪. BOA  3 , COD   :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. DAB‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את האורך ש ל שוק הטרפז‬

‫‪A‬‬

‫באמצעות ‪ ‬ו‪. R -‬‬ ‫ג‪ .‬הבע את האורך של שוק הטרפז באמצעות ‪ ‬ו‪. h -‬‬

‫‪h2‬‬ ‫ד‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ COD‬הוא‬ ‫‪12cos 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מצא את ‪. ‬‬

‫‪.‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪2cos 2 x  1‬‬ ‫‪2cos 2 x‬‬ ‫א‪ .‬בתחום ‪: 0  x  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫) ‪ ( 1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫המאונכות לציר ה‪) x -‬אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪x -‬‬ ‫)אם יש כאלה( ‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בתחום‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪: x‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪ ( 1‬הראה שפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי ציר ה‪. y -‬‬

‫‪106‬‬

‫‪B‬‬

‫‪.7‬‬

‫בסרטוט שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬

‫‪y‬‬

‫הפונקציות )‪g"(x) , g '(x) , g(x‬‬ ‫מוגדר ת לכל ‪ x‬השונה מ‪, 0 -‬‬

‫)‪g(x‬‬

‫ואין להן נקודות קיצון או נקודות פיתול‪.‬‬ ‫הישר ‪ x  0‬הוא האסימפטוטה האנכית‬ ‫לכל אחד מן הגרפים של הפונקציות האלה‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ . g '(x‬נמק את שיקולך‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ . g"(x‬נמק את שיקולך‪.‬‬ ‫נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪, g"(x‬‬ ‫על יד י ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישרים ‪ x  1‬ו‪ x  2 -‬שווה ל‪. 5.25 -‬‬ ‫ב‪ .‬הישר ‪ x  1‬חותך את הגרף של פונקציית הנגזרת )‪ g '(x‬בנקודה ‪, A‬‬ ‫והישר ‪ x  2‬חותך גרף זה בנקודה ‪. B‬‬ ‫מצא את ההפרש בין שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪ A‬ובין שיעור ה‪y -‬‬ ‫של הנקודה ‪ . B‬נמק‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ג‪ .‬הביטוי ‪ y  3‬מתאר אחת מן הפונקציות )‪. g"(x) , g '(x) , g(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬ ‫) ‪ ( 1‬קבע איזו מן הפונקציות הביטוי מתאר‪ .‬נמק את קביעתך‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את הערך של ‪. a‬‬

‫‪.8‬‬

‫‪‬‬ ‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪ (ABC  90 ) ABC‬אורך היתר הוא ‪ k‬ס"מ‬

‫) ‪ k‬ה וא פרמטר(‪.‬‬ ‫הניצב ‪ AB‬הוא גם יתר במשולש ‪, ADB‬‬ ‫‪‬‬ ‫שהוא שווה‪ -‬שוקיים וישר זווית ) ‪. (ADB  90‬‬

‫א‪ .‬סמן ‪ AB  x‬והבע את ‪ BC‬באמצעות ‪ x‬ו‪. k -‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי הערך המקסימלי של המכפלה ‪ BC  AD 2‬הוא ‪. 3 3‬‬

‫מצא את שטח המשולש ‪) ADB‬ערך מספרי(‪ ,‬כאשר המכפלה ‪BC  AD 2‬‬ ‫היא מקסימלית‪.‬‬

‫‪107‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 24‬קיץ תשע" ו ‪ , 2016 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ 20 .‬דקות‪ .‬ב‪ 5.6 .‬שעות‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬

‫‪.6‬‬

‫א‪ . a  1 ( 2 ) .‬ב‪3 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫א‪ . 1 .‬ב‪ . 0.3 .‬ג‪. 15 .‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ 15 .‬ס"מ‪ .‬ד‪ 16S .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫א‪ . 90   .‬ב‪ . 2R cos  .‬ג‪h .‬‬ ‫‪ .‬ד‪. 30 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ . x   ( 2 ) . 0  x   ( 1 ) .‬ג‪ ;0 .‬‬ ‫‪ 0; 1 ,‬מקסימום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.d‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪y‬‬

‫ב‪( 2 ) .‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪  1  0.2854 .‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪ . 7‬א‪( 1 ) .‬‬

‫)‪(2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫ב‪. 5.25 .‬‬ ‫ג‪. g '(x) ( 1 ) .‬‬

‫‪ . 8‬א‪. k 2  x 2 .‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪. a  6 (2‬‬

‫ב‪ 1.5 .‬סמ"ר‪.‬‬

‫‪108‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪25‬‬ ‫חורף תשע"ז‪2017 ,‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫שני צינורות א' ו‪ -‬ב' מזרימים מים לב ֵר כה‬ ‫בר כה‬ ‫כאשר צינור א' בלבד פתוח‪ ,‬ה ֵ‬ ‫כאשר צינור ב ' בלבד פתוח‪,‬‬ ‫הבר כה הריקה מתמלאת לגמרי ב‪ 2m -‬שעות‪.‬‬ ‫ֵ‬ ‫כאשר שני הצינורות פתוחים במקביל‪,‬‬ ‫הבר כה הריקה מתמלאת לגמרי‬ ‫ֵ‬ ‫בקצב קבוע‪.‬‬

‫הריקה מתמלאת לגמרי ב‪ m -‬שעות‪.‬‬

‫ביותר מ‪ 4 -‬שעות‪.‬‬ ‫ביום מסוים‬

‫הבר כה‬ ‫ֵ‬

‫הייתה ריקה‪.‬‬

‫פתחו את צינור א' בלבד למשך שעתיים‪.‬‬ ‫אחר כך פתח ו גם את צינור ב'‪ ,‬ושני הצינורות היו פתוחים בו בזמן‬ ‫שעתיים נוספות‪.‬‬ ‫בתום אותן שעתיים נוספות יותר מ‪1 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום הערכים האפשריים של ‪. m‬‬ ‫ב‪ .‬ביום אחר ‪1‬‬ ‫הבר כה הייתה מלאה‪ .‬פתחו את שני הצינורות‪,‬‬ ‫ֵ‬ ‫‪2‬‬ ‫אלא שבשל תקלה טכנית צינור ב' רוקן מים מן‬ ‫הבר כה במקום למלא‬ ‫ֵ‬

‫הבר כה‬ ‫ֵ‬

‫הייתה מלאה‪.‬‬

‫בה מים‪ .‬שני הצינורות היו פתוחים בו בזמן במשך שעה אחת‪,‬‬ ‫ובמהלכה צינור א' מילא מים‬

‫בר כה‬ ‫ב ֵ‬

‫וצינור ב' רוקן ממנה מים‪.‬‬

‫בתום אותה שע ה תוקנה התקלה‪ ,‬ושני הצינורות החלו למלא‬

‫הבר כה‬ ‫ֵ‬ ‫את‬

‫יחד‪ ,‬עד שהיא התמלאה לגמרי כעבור שעתיים וחצי נוספות‪.‬‬

‫נתון שהקצב שבו צינור ב' מרוקן מים‬ ‫ממלא אותה במים‪ .‬מצא את ‪. m‬‬

‫‪109‬‬

‫הבר כה‬ ‫מ ֵ‬

‫שווה לקצב שבו הוא‬

‫‪.2‬‬

‫נתונ ה סדרה ‪ a n‬המקיימת את כלל הנסיגה‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪. a1  1 , a n 1 ‬‬ ‫‪4  an  3‬‬

‫נגדיר סדרה חדשה ‪1  2 : b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ b n‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬

‫‪. bn ‬‬

‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ n‬את הסכום‪:‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ n :‬הוא מספר זוגי‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ n‬את הסכו ם‪:‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪1  1  ...  1‬‬ ‫‪a1 a 2‬‬ ‫‪an‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1  1  1  1  ...‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a1 a 2 a 3 a 4‬‬ ‫‪a n 1 a n‬‬

‫אביגיל משתתפת במשחק של זריקת חצים למטרה‪.‬‬ ‫הסיכוי שלה לפגוע במטרה בניסיון בודד הוא ‪, (P  0) P‬‬ ‫ואינו תלוי בניסיונותיה הקודמים ‪.‬‬ ‫כל משתתף זורק ‪ 5‬זריקות רצופות‪.‬‬

‫הסיכוי ש ל אביגיל לפגוע במטרה בארבע זריקות מתוך החמש גדול פי ‪3‬‬ ‫מן הסיכוי שלה לפגוע בה בכל חמש הזריקות‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪. P‬‬ ‫משתתף מנצ ח במשחק אם מתוך ‪ 5‬זריקות רצופות‪,‬‬ ‫מספר הפגיעות שלו במטרה ג דול ממספר ההחטאות שלו‬ ‫)יכול להיות יותר ממנצח אחד במשחק(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שאביגיל תנצח במשחק?‬ ‫ג‪ ( 1 ) .‬אם אביגיל תחטיא את המטרה בזריקה השנייה‪ ,‬מהי ההסתברות‬ ‫שהיא תנצח במשחק?‬ ‫בּ משחק ‪ ,‬וגם הסיכוי שלה לפגוע במטרה בני סיון‬ ‫) ‪ ( 2‬גם תמר משתתפת ַ‬ ‫בודד שווה ל‪ P -‬ואינו תלוי בניסיונותיה הקודמים‪.‬‬ ‫תמר החטיאה בזריקה הראשונה‪.‬‬ ‫מה ההסתברות שהיא תנצח במשחק?‬

‫‪110‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלו ת ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס שונה‪,‬‬ ‫המשיקים זה לזה מבחוץ בנקודה ‪. F‬‬

‫‪E‬‬

‫‪ AC‬משיק לשני המעגלים‬

‫‪D‬‬

‫בנקודות ‪ B‬ו‪, C -‬‬

‫‪A‬‬

‫‪F‬‬

‫‪ AE‬משיק לשנ י המעגלים‬

‫‪B‬‬

‫בנקודות ‪ D‬ו‪, E -‬‬

‫‪C‬‬

‫כמתואר בציור‪.‬‬

‫א‪ .‬הוכח שהמרובע ‪BDEC‬‬ ‫הוא טרפז שווה שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המשיק המשותף למעגלים עובר בנקודה ‪ F‬חותך את שוקי הטרפז‪,‬‬ ‫‪ BC‬ו‪ , DE -‬בנקודות ‪ G‬ו‪ H -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫הוכח‪ GH :‬הוא קטע אמצעים בטרפז‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל הגדול וב‪ r -‬את רדיוס המעגל הקטן‪.‬‬ ‫הוכח כי ‪. R  BD  r  CE‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪E‬‬

‫נתון טרפז ‪ (BC  AD) ABCD‬החסום‬

‫בחצי מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪R‬‬ ‫כך ש‪ AD -‬הוא קוטר של חצי המעגל‪.‬‬ ‫המשכי השוקיים ‪ AB‬ו‪ DC -‬נפגשים‬ ‫מחוץ למעגל בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. EAD   :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪. BC‬‬ ‫ב‪ .‬מהו התחום של כל הערכים האפשריים‬ ‫עבור הזווית ‪ ? ‬נמק‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫ג‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ AED‬גדול פי ‪ 9‬משטח משולש ‪. COD‬‬ ‫מהו היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ AED‬לבין ‪? R‬‬

‫‪111‬‬

‫‪A‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות ר ציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪ax 2  4x‬‬ ‫‪x 2  3x  b‬‬ ‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪.‬‬ ‫נתון‪ y  1 , x  1 :‬הן אסימפטוטות של הפו נ קציה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ואת ‪. b‬‬ ‫‪. f (x) ‬‬

‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬האם יש לפונקציה אסימפט וטות נוספות המאונכות לצירים‬ ‫)מלבד ‪ x  1‬ו‪ ?( y  1 -‬הסבר‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ד‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ . | f (x) |   f (x) :‬נמק‪.‬‬ ‫ה‪ .‬נגדיר )‪ . g(x)  f 2 (x)  f '(x‬הראה כי השטח המוגבל על ידי ציר ה‪, x -‬‬ ‫על ידי גרף הפונקציה )‪ g(x‬ועל ידי הישר ‪ x  0.5‬הוא ‪. 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נמק את תשובתך‪.‬‬ ‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x  a2‬‬

‫‪ a , f (x) ‬הוא פרמטר‪.‬‬

‫ענה על הסעיפים א‪ -‬ו עבור ‪. a  0‬‬ ‫הבע את תשובותיך באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדר ה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ה‪ ( 1 ) .‬רשום את האסימפטוטות המאונכות לצירים של גרף הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הנגזרת )‪. f '(x‬‬ ‫‪ 2a‬‬

‫ו‪ .‬מצא את ערך הביטוי‪f (x) dx :‬‬

‫‪‬‬

‫‪3a‬‬

‫‪f (x) dx ‬‬

‫‪3a‬‬

‫ענה על סעיף ז עבור ‪. a  0‬‬ ‫ז‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬

‫‪112‬‬

‫‪‬‬

‫‪2a‬‬

‫‪.‬‬

‫נתונה גזרת עיגול ‪ BAC‬שהיא ‪ 1‬מעיגול‬ ‫‪6‬‬ ‫שרדיוסו ‪ R‬ומרכזו ‪. A‬‬

‫‪.8‬‬

‫‪B‬‬

‫מנקודה כלשהי ‪ , P‬הנמצאת על הקשת ‪, BC‬‬

‫‪P‬‬

‫הורידו אנך ל‪ AC -‬החותך‬ ‫את הרדיוס ‪ AC‬בנקודה ‪) L‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫השטח האפור שבציור הוא השטח הכלוא‬ ‫בין הקשת ‪ BC‬ובין הרדיוסים ‪ AB‬ו‪, AP -‬‬

‫‪C‬‬

‫והקטעים ‪ LP‬ו‪. LC -‬‬

‫‪L‬‬

‫נתון שהשטח האפור המינימלי הוא ‪. 24  36‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את הזווית ‪ PAC‬שעבורה השטח האפור שמתקבל‬ ‫הוא מינימלי‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪. R‬‬ ‫ב‪ .‬מהו השטח המקסימלי של המשולש ‪ ? APL‬נמק‪.‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 25‬חורף תשע" ז ‪: 2017 ,‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ . 6  m  10 .‬ב‪. m  8.5 .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ . 2‬א‪ .‬הוכחה‪ . (q  3) :‬ב‪3  1  2n .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . P  5 .‬ב‪ . 0.7248 .‬ג‪. 0.5188 ( 2 ) . 0.5188 ( 1 ) .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . BC  2R cos 2 .‬ב‪ . 45    90 .‬ג‪. 1.59 .‬‬ ‫‪. Sn ‬‬

‫ג‪.‬‬

‫‪ . 6‬א‪. b   4 , a  1 .‬‬ ‫ב‪. x  1 , x   4 ( 1 ) .‬‬ ‫) ‪. (0;0) ( 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ ( 3‬אין‪ .‬יש "חור" ב‪.  4; 4 -‬‬

‫‪5‬‬ ‫) ‪ ( 4‬ירידה‪ 1  x :‬או ‪ 4  x  1‬או ‪x   4‬‬ ‫עלייה‪ :‬אין‪.‬‬

‫ג‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪. 0  x  1 .‬‬

‫‪113‬‬

‫‪. Sn ‬‬

‫‪A‬‬

. y  1 , y  1 , x  a , x  a .‫ ב‬. x  a ‫ או‬x  a .‫ א‬. 7 .‫ אין‬:‫ ; עלייה‬x  a ‫ או‬x  a :‫ ירידה‬.‫ג‬ .‫ד‬ y

x

y

. y  0 , x  a , x  a ( 1 ) .‫ה‬

(2)

x

. 0 -‫ ערך הביטוי שווה ל‬.‫ו‬ .‫ז‬ y

x

. 36 .‫ב‬

. R  12 ( 2 ) .  4

( 1 ) .‫ א‬. 8

     

     

114

‫מבחן בגרות מספר ‪26‬‬ ‫קיץ תשע"ז‪ ,2017 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫ֹ‪ ‬גה רכבה על אופניים במסלול באורך מסוים‪ ,‬בארבע מהירויות קבועות‬ ‫שונות‪ .‬בכל פעם‪ ,‬לאחר שעבר ה‬

‫ִמ ְק טע‬

‫שאורכו רבע מן מהמסלול‪,‬‬

‫היא הגבירה את מהירות ה‪ ,‬ורכבה במהירות הגדולה פי ‪ 2‬מן המהירות‬ ‫הקודמת‪ .‬במקטע האחרון היא רכבה במהירות של ‪ 40‬קמ"ש‪.‬‬ ‫ֹ‪ ‬גה יצאה לדרך בשעה ‪ 8 : 00‬בבוקר וסיימה את המסלול בשעה ‪11: 45‬‬ ‫בבוקר‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו אורך המסלול?‬ ‫ב‪ .‬דניאל יצא לדרך באותו מסלול בשעה ‪ , 9 : 45‬ונסע במהירות קבועה‬ ‫לאורך כל המסלול‪ .‬גם הוא הגיע לסוף המסלול בשעה ‪. 11: 45‬‬ ‫באיזה מארבעת‬

‫ִמ ְק ָט ֵע י‬

‫המסלול פגש דניאל את ֹ‪ ‬גה בפעם הראשונה‪,‬‬

‫ובאיזו שעה?‬

‫‪.2‬‬

‫)‪(2n  1)(2n  1‬‬ ‫נתונ ה סדרה‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ b n‬ו‪ c n -‬הן סדרות הנדסיות שכל איבריהן חיוביים‪,‬‬ ‫‪. an ‬‬

‫המקיימות לכל ‪ n‬טבעי‪ . a n  b n  cn :‬נתון‪. b6  64 , c3  1 :‬‬ ‫‪8‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את ‪ b1‬ואת המנה של הסדרה ‪. b n‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪ c1‬ואת המנה של הסדרה ‪. c n‬‬ ‫את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ a n‬נסמן ב‪, A n -‬‬ ‫את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ b n‬נסמן ב‪, Bn -‬‬ ‫ואת סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ c n‬נסמן ב‪. Cn -‬‬ ‫ב‪ .‬הראה ש‪. Cn  Bn  A n -‬‬ ‫ג‪ .‬עבור אילו ערכי ‪ n‬מתקיים האי‪ -‬שוויון‪? 0.9  Bn  A n  1 :‬‬

‫‪115‬‬

‫‪.3‬‬

‫בבי ת אבות גדול יש לכמה מן הדיירים קלנועית‪ ,‬ולשאר אין‪.‬‬ ‫אם בוחרים באקראי ‪ 9‬דיירים מבית האבות הזה‪,‬‬

‫ההסתברות ש ְל‪ 4 -‬מהם בדיוק יש קלנועית גדולה פי ‪24‬‬ ‫מן ההסתברות ש ְל‪ 6 -‬מהם בדיוק יש קלנועית‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שלדייר שנבחר באקראי יש קלנועית?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 6‬דיירים מבית האבות‪.‬‬ ‫ידוע שלפחות ל‪ 3 -‬מהם יש קלנועית‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות ש ְל‪ 4 -‬מהם בדיוק יש קלנועית?‬ ‫ג‪ .‬בוחרים באקראי דיירים מבית האבות‪ ,‬בזה אחר זה‪,‬‬ ‫עד ש ְל‪ 3 -‬מהם בדיוק יש קלנועית‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות‬

‫שייבּ חרו‬ ‫ָ‬

‫בדרך זו בדיוק ‪ 6‬דיירים?‬

‫פ רק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫נתון מעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ ABCD‬הוא טרפז ישר זווית ) ‪. (ADC  90 , AB  DC‬‬ ‫הצלע ‪ AD‬משיקה למעגל בנקודה ‪, E‬‬ ‫והנקודות ‪ B‬ו‪ C -‬נמצאות על המעגל‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫כך ש‪ BC -‬הוא קוטר‪.‬‬ ‫הצלע ‪ DC‬חותכת את ה מעגל בנקודה ‪, F‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪O‬‬

‫כמתואר בציור‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BCD  2DEF :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪. ABE  DFE :‬‬ ‫‪C‬‬

‫ג‪ .‬הוכח‪. BC  DF  DC :‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬שוקיים )‪. (AB  BC‬‬

‫‪D F‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ CE , AF‬ו‪ BD -‬הם תיכונים במשולש‪.‬‬ ‫הנחתכים בנקודה ‪) O‬ראה ציור(‪.‬‬

‫‪F‬‬

‫א‪ .‬הוכח‪. SBOE  SCOD :‬‬

‫מעגל שמרכזו ‪ O‬משיק לצלע ‪AC‬‬ ‫בנקודה ‪. D‬‬

‫‪C‬‬

‫נתון כי שטח העיגול שווה לשטח המשולש ‪. AOC‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. ACE‬‬ ‫ג‪ .‬הבע את אורך הקטע ‪ OE‬באמצעות רדיוס המעג ל‪.‬‬

‫‪116‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫נתונה הפונקציה‬

‫‪x 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x  10x  24‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬ ‫)אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המאונכות לצירים ‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת‪. g(x)  f (x  5) :‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח ש‪ g(x) -‬היא פונקציה אי‪ -‬זוגית‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫‪b 5‬‬

‫ג‪ .‬הסבר מדוע לכל ‪ 1  x  b‬מתקיים השוויון‪f (x) dx :‬‬

‫‪‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a 5‬‬

‫‪.7‬‬

‫נתונה הפונקציה ‪2sin x‬‬ ‫‪cos3 x‬‬

‫‪‬‬

‫‪. g(x) dx ‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪. f (x) ‬‬

‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את תחומי העל ייה והירידה של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪.    x  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪. 0  a   :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬הישר ‪ x  a‬וציר ה‪x -‬‬ ‫שווה ל‪ . 1 -‬מצא את ‪. a‬‬

‫‪117‬‬

‫‪.8‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫בציור שלפניך מתואר גרף‬ ‫‪2‬‬

‫הפונקציה ‪f (x)   x  2x  c‬‬ ‫בתחום האי‪ -‬שליליות שלה ‪.‬‬

‫‪K‬‬

‫‪ A‬ו‪ B -‬הן נקודות החיתוך‬ ‫של הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫נתון‪. (t  0) x B  2t , x A   t :‬‬ ‫א‪ .‬מ צא את ‪ t‬ואת ‪. c‬‬

‫‪x‬‬

‫‪L B‬‬

‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ M‬היא נקודת החיתוך של ציר הסימטריה של הפרבולה עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪ K‬היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה )‪ f (x‬מעל ציר ה‪. x -‬‬ ‫מהנקודה ‪ K‬הורידו אנך לציר ה‪ , x -‬החותך את הקטע ‪ AB‬בנקודה ‪. L‬‬

‫ב‪ .‬מצא עבור אילו שיעורי ‪ x‬של הנקודה ‪ K‬שטח המשולש ‪KLM‬‬ ‫הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫מצא את שני הפתרונות האפשריים‪.‬‬ ‫תוכל להשאיר שורש בתשובתך‪.‬‬

‫‪118‬‬

‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 26‬קיץ תשע" ז ‪ , 2017 ,‬מועד א‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א ‪ 40 .‬ק"מ‪ .‬ב‪ .‬במקטע השני בשעה ‪. 10 : 30‬‬ ‫‪ . 2‬א‪. q b  2 , b1  2 ( 1 ) .‬‬

‫) ‪. c1  1 , q c  1 ( 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ . 3‬א‪ . p  1 .‬ב‪. 16  0.15534 .‬‬

‫‪5‬‬

‫‪103‬‬

‫ג‪. n  4 .‬‬

‫‪2‬‬

‫ג‪64  0.004096 .‬‬ ‫‪15625‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ . 5‬ב‪ . ACE  17.66 .‬ג‪R 1    1.648R .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ x  6 ( 1 ) .‬או ‪. x  4‬‬

‫‪. OE ‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(5‬‬

‫) ‪. (0; 1.02) ( 2‬‬ ‫) ‪. y  1 , y  1 , x  6 , x  4 ( 3‬‬ ‫) ‪ ( 4‬ירידה‪ x  4 :‬או ‪. x  6‬‬

‫‪x‬‬

‫עלייה‪ :‬אף ‪. x‬‬ ‫ב‪( 2 ) .‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ . 7‬א‪.  k;0  ( 2 ) . x    k ( 1 ) .‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪. x    k ( 3‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪ f (x) ( 4‬עולה לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה שלה‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ג‪. a   .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ . c  8 , t  2 .‬ב‪ x  1  3 .‬או ‪. x  1  3‬‬

‫‪119‬‬

‫‪.‬‬

‫מבחן בגרות מספר ‪27‬‬ ‫קיץ תשע"ז‪ ,2017 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬ ‫‪.1‬‬

‫העיירות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על גדת נהר‬ ‫הזורם במהירות קבועה‪.‬‬

‫רפסודה‬

‫סירת מנוע‬

‫‪A‬‬

‫כיוון הזרם הוא מ‪ A -‬ל‪. B -‬‬

‫‪B‬‬ ‫כיוון הזרם‬

‫מן העיירה ‪ B‬יצאה סירת מנוע‬ ‫לכיוון העיירה ‪. A‬‬ ‫הסירה שטה נגד כיוון הזרם‪.‬‬

‫באותו הזמן יצאה רפסודה מן העיירה ‪ A‬לכיוון העיירה ‪. B‬‬ ‫הרפסודה שטה עם כיוון הזרם‪.‬‬ ‫מהירות סירת המנוע במים עומדים היא קבועה וגדולה פי ‪ 4‬ממהירות‬ ‫הזרם של הנהר‪ .‬מהירות הרפסודה במים עומדים היא אפס‪.‬‬ ‫במים זורמים הרפסודה שטה עם הזרם‪.‬‬ ‫הסירה והרפסודה נפגשו ‪ 3‬שעות ו‪ 45 -‬דקות אחרי יציאתן לדרך‬ ‫והמשיכו בדרכן‪ .‬סירת המנוע הגיעה לעיירה ‪ A‬ומיד הסתובבה ושטה‬ ‫בחזרה לעיירה ‪ . B‬כאשר סירת המנוע הגיעה לעיירה ‪ , B‬הרפסודה הייתה‬ ‫במרחק של ‪ 35‬ק"מ מן העיירה ‪. B‬‬ ‫א‪ .‬חשב את מהירות הזרם ואת מהירות סירת המנוע במים עומדים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בדרך חזרה לעיירה ‪ B‬פגשה סירת המנוע את הרפסודה בפעם השנייה‪.‬‬ ‫כמה זמן עבר מרגע יציאתה של הרפסודה מן העיירה ‪ A‬עד שהסירה‬ ‫והרפסודה נפגשו בפעם השנייה?‬

‫‪120‬‬

‫‪.2‬‬

‫נתונ ה סדרה כללית ‪. a n‬‬ ‫נסמן ב‪ Sn -‬את סכום ‪ n‬האיברים הר אשונים בסדרה ‪. a n‬‬

‫‪1‬‬

‫נתון‪ Sn  k  n 1 :‬לכל ‪ n‬טבעי‪ k .‬הוא מספר קבוע‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫א‪ .‬הבע את ‪ a1‬ואת האיבר הכללי ‪ a n‬עבור ‪ 1  n‬באמצעות ‪ n‬ו‪k -‬‬ ‫במידת הצורך‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ‪ k‬שעבורו הסדרה ‪ a n‬היא סדרה הנדסית‪ .‬נמק‪.‬‬

‫נגדיר‪T  a 2 2  a 52  a 82  ... :‬‬

‫)סכום‬

‫ריבוע י‬ ‫ֵ‬

‫כל איבר שלישי בסדרה ‪ a n‬החל ב‪.( a 2 -‬‬

‫ג‪ .‬חשב את ‪. T‬‬

‫‪.3‬‬

‫בקופסה ‪ I‬יש ‪ 10‬כדורים‪ ,‬כמה מהם כחולים והשאר אדומים‪,‬‬ ‫בקופסה ‪ II‬יש ‪ 7‬כדורים כחולים ו‪ 3 -‬כדורים אדומים‪.‬‬ ‫מוציאים באקראי כדור מקופסה ‪. I‬‬ ‫אם יצא כדור אדום‪ ,‬מעבירים אותו לקופסה ‪. II‬‬ ‫אם יצא כדור כחול‪ ,‬מחזירים אותו לקופסה ‪. I‬‬ ‫שוב מוציאים באקראי כדור מקופסה ‪ , I‬ושוב‪,‬‬ ‫אם יצא כדור אדום‪ ,‬מעבירים אותו לקופסה ‪, II‬‬ ‫ואם יצא כדור כחול‪ ,‬מחזירים אותו לקופסה ‪. I‬‬ ‫לאחר מכן מוציאים באקראי כדור אחד מקופסה ‪. II‬‬

‫א‪ .‬נתון כי ההסתברות שאחרי שתי ההוצאות מקופסה ‪I‬‬ ‫יועבר כדור אדום אחד בלבד מקופסה ‪ I‬לקופסה ‪ II‬היא ‪. 19‬‬ ‫‪36‬‬ ‫חשב את מספר הכדורים הכחולים שהיו בקופסה ‪ I‬לפני ההוצאה‬ ‫הראשונה‪.‬‬ ‫ענה על הסעיפים ב‪ -‬ג עבור מספר הכדורים הכחולים שחישבת בסעיף א‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שהכדור שהוציאו מקופסה ‪ II‬הוא כדור אדום?‬ ‫ג‪ .‬ידוע שהכדור שהוציאו מקופסה ‪ II‬הוא כדור אדום‪.‬‬

‫מהי ההסתברות שאחרי שהוציאו את הכדור האדום מקופסה ‪II‬‬ ‫נשארו בה שלושה כדורים אדומים בדיוק?‬

‫‪121‬‬

‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪ ‬ומטריה במישור‬ ‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬ ‫‪.4‬‬

‫המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬

‫‪L‬‬

‫הזווית ‪ A‬היא זווית חדה‪.‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬

‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הצלע ‪BC‬‬ ‫והנקודה ‪ F‬אמצע הצלע ‪CD‬‬

‫‪F‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬השטח המשולש ‪ ECF‬הוא ‪. S‬‬

‫‪D‬‬

‫‪N‬‬

‫‪A‬‬

‫הבע את שטח המקבילית ‪ABCD‬‬ ‫באמצעות ‪ . S‬נמק את תשובתך‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ה נקודה ‪ L‬היא אמצע הקטע ‪. BE‬‬ ‫דרך הנקודה ‪ L‬העבירו ישר המקביל ל‪ AB -‬וחותך את ‪ BF‬ואת ‪AD‬‬ ‫בנקודות ‪ M‬ו‪ N -‬בהתאמה‪ .‬חשב את היחס ‪LM‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪MN‬‬ ‫ג‪ .‬נתון ‪ . BE  EF‬האם אפשר לחסום את המרובע ‪ ABFD‬במעגל?‬ ‫נמק את קביעתך‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪ ABCD‬הוא טרפז חסום במעגל )‪. (AB  DC‬‬ ‫נתון‪. (a  b) CD  b , AB  a :‬‬ ‫‪. C  60‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שוקי הטרפז‪ BC ,‬ו‪ , AD -‬באמצעות ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫נתון‪ , a  4 :‬אורך האלכסון ‪ BD‬הוא ‪. 4 7‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את ‪. b‬‬ ‫ג‪ R ( 1 ) .‬הוא רדיוס המעגל החוסם את הטרפז‪ .‬מצא את ‪. R‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הסבר מדוע אפשר לחסום מעגל בטרפז ‪. ABCD‬‬ ‫) ‪ r ( 3‬הוא רדיוס המעגל החסום בטרפז‪ .‬מצא את ‪. r‬‬

‫‪122‬‬

‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬ ‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬ ‫טריגו‪‬ומטריות‬ ‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬ ‫‪.6‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x  2 (x  2) 2‬‬

‫‪ a . f (x)  a ‬הוא פרמטר‪.‬‬

‫ענה על סעיף א‪ .‬הבע את תשובותיך באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪.‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את המשוואות של האסימפטוטות המאונ כות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫נתון כי גרף הפונקציה )‪ f (x‬משיק לציר ה‪. x -‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ‪. a‬‬ ‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת וענה על הסעיפים ג‪ -‬ד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ד‪ .‬נתונה הפונקציה | ‪. g(x) | f (x)  k‬‬ ‫ידוע שגרף הפונקציה )‪ g(x‬משיק לאסימפטוטה האופקית של גרף‬ ‫הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫מצא את ‪) k‬מצא את שתי האפשרויות(‪ .‬נמק את תשובתך‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫לפניך הגרפים ש ל הפונקציות )‪ f (x‬ו‪. f '(x) -‬‬

‫‪y‬‬

‫א‪ .‬התאם בין הגרפים ‪ I‬ו‪II -‬‬ ‫לבין הפונקציות )‪ f (x‬ו‪. f '(x) -‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫‪C‬‬

‫נתון‪. f '(x)  x(x  b)3 :‬‬

‫‪x‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ b  1‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬יש נקודת פיתול ב‪. x  1 -‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫ב‪ .‬מצא את ‪. b‬‬ ‫‪ C‬ו‪ D -‬הן נקודות החיתוך של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪ f '(x) -‬בתחום ‪, x  0‬‬ ‫כמתואר בציור‪.‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על הגרפים ‪ I‬ו‪ II -‬בהתאמה‪,‬‬ ‫כך הישר ‪ AB‬מאונך לציר ה‪. x -‬‬

‫‪123‬‬

‫נתון‪. x D  1  5 , x C   4 , x C  x A  x D :‬‬

‫ג‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנ קודות ‪ A‬ו‪ B -‬שעבורו אורך הקטע ‪AB‬‬ ‫הוא מקסימלי )אפשר לפתור את הסעיף בלי למצוא את הפונקציה )‪.( f (x‬‬

‫‪.8‬‬

‫)‪ f (x‬היא פונ קציה המוגדרת לכל ‪. x‬‬ ‫גרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את ציר ה‪ y -‬בחלקו השלילי‪.‬‬

‫נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪x -‬‬

‫היא ‪ 2 ;0 ‬‬

‫)ראה ציור(‪.‬‬

‫נתון‪ :‬השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬על ידי הצירים‬ ‫ועל ידי הישר ‪) x  2‬השטח האפור בציור( שווה ל‪. 102  16 -‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫נתון גם‪f (x) dx  82 :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫א‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ f (x‬ועל ידי הצירים‬ ‫)שטח ‪ S1‬המסומן בציור(‪.‬‬ ‫הפונקציה )‪ F(x‬היא פונקציה קדומה לפונקציה )‪ . f (x‬נתון‪. F(0)  0 :‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את‬

‫‪ ‬‬

‫‪.F ‬‬ ‫‪2‬‬

‫נתון‪. f '(x)  8sin x  8 :‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את )‪. f (x‬‬

‫‪124‬‬

‫תשובות למבחן בגרות – קיץ תשע" ז ‪ , 2017 ,‬מועד ב‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ .‬מהירות הזרם‪ 5 :‬קמ"ש‪ ,‬מהיר ות הסירה‪ 20 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 6 1 .‬שעות‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . a n  n 1 , a1  k  1 .‬ב‪ . k  1 .‬ג‪. T  1 .‬‬ ‫‪182‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ .‬מספר הכדורים הכחולים הוא ‪. 5‬‬

‫‪ . S‬ב‪LM  1 .‬‬ ‫‪ . 4‬א‪ABCD  8S .‬‬ ‫‪MN 7‬‬

‫ב‪ . 0.3595 .‬ג‪. 0.5338 .‬‬

‫‪ .‬ג‪ .‬לא ניתן לחסום את המרובע ‪ ABFD‬במעגל‪.‬‬

‫‪ . 5‬א‪ . AD  BC  b  a .‬ב‪ . b  12 .‬ג‪. R  6.11 ( 1 ) .‬‬

‫)‪. r  2 3 (3‬‬

‫‪ . 6‬א‪. x  2 ( 1 ) .‬‬ ‫)‪. y  a , x  2 (2‬‬ ‫) ‪ (3;a  1) ( 3‬מינימום ‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬עלייה‪ x  3 :‬או ‪ ; x  2‬ירידה‪. 2  x  3 :‬‬ ‫ב‪. a  1 .‬‬ ‫‪y‬‬

‫ג‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫ד‪ k  1 .‬או ‪. k  1‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ . f '(x) : I , f (x) : II .‬ב‪ . b  4 .‬ג‪. x A  x B  2 .‬‬

‫‪ . 8‬א‪S1  2  8 .‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪.f ‬‬ ‫‪ .‬ב‪2    8 .‬‬

‫‪125‬‬

‫ג‪. f (x)  8cos x  8x  4 .‬‬

‫חדש! אפליקציית‬ ‫”יואל גבע בגרויות“‬

‫‪GEVA.CO.IL | 1-800-20-40-60‬‬