Encontrar a solução de problemas que surgem no dia a dia de um economista exigem muitas ferramentas que são aprendidas em seus anos de graduação. Conceitos, teorias, técnicas, todas elas se somam à experiência para que se possa chegar ao melhor resultado possível. Não à toa, em Matemática Financeira você aprende a avaliar como o valor do dinheiro se comporta ao longo do tempo. Em Econometria e Matemática para Economistas I, você também aprende como as equações matemáticas podem representar e descrever alguns problemas, principalmente quando você precisa relacionar algumas informações (variáveis). Em Matemática para Economistas II não é diferente, há uma ampliação da capacidade de solução de problemas pela possibilidade de trabalhar com funções que tenham mais de duas variáveis independentes, ou seja, você consegue se aproximar de comportamentos mais realistas.
Desta maneira, considere que você é o economista de uma consultoria que vai atender a um grupo empresarial que está avaliando como fazer o melhor investimento em suas unidades fabris. O grupo empresarial forneceu dados históricos de produtividade (P) em dezenas de toneladas mensais, capital utilizado no período (K) em milhares de reais e a quantidade de mão de obra utilizada na produção (L) em centenas de horas para duas de suas fábricas. O que se sabe é que um funcionário da empresa, de ambas as fábricas é equivalente a 180h de trabalho mensal, sendo que o custo médio de um funcionário na Fábrica A é de R$4.325,00 e na Fábrica B de R$4.885,00. O custo por tonelada de produto é calculado tendo como base os gastos com capital e os gastos com mão de obra, sabe-se que o preço de venda da tonelada do produto é de R$1.855,00. Nas Tabelas 1 e 2 são apresentados os dados fornecidos para cada Fábrica.
Tabela 1 - FÁBRICA A: Dados de Produtividade (P) gerada pelo capital utilizado (K) e horas trabalhadas (L) da empresa em análise. Os valores de P são dados em centenas de toneladas, os valores de K em milhares de reais e os valores de L em centenas de horas.
Tabela 2 - FÁBRICA B: Dados de Produtividade (P) gerada pelo capital utilizado (K) e horas trabalhadas (L) da empresa em análise. Os valores de P são dados em centenas de toneladas, os valores de K em milhares de reais e os valores de L em centenas de horas.
As duas fábricas estão trabalhando no mesmo nível de esforço, com 260 funcionários e um capital mensal de R$350.000,00. O grupo empresarial pretende contratar mais 20 funcionários para uma das unidades e ampliar o capital utilizado para R$400.000,00 mensais. A contratação de mais 20 funcionários na Fábrica A elevaria o custo médio por funcionário para R$5.125,00, e para a Fábrica B o custo médio por funcionário se elevaria para R$5.610,00. Com base nestas informações, analise:
a) Considerando que a produtividade da empresa pode ser representada pela função de Cobb-Douglas na forma:
Estime os parâmetros da equaçã, A, α e β, utilizando os dados da Tabela 1 e da Tabela 2, modelando a produtividade para as Fábricas A e B. Reescreva a equação com os parâmetros encontrados. Considere três casas decimais para representar os dados dos parâmetros.
b) Utilizando a equação desenvolvida no item a), calcule o lucro mensal obtido atualmente em cada fábrica, bem como o novo lucro esperado admitindo as novas contratações e o novo capital utilizado. O grupo empresarial investirá apenas em uma Fábrica, portanto calcule como se fosse feito o investimento para as duas unidades e escreva qual das Fábricas deve receber o investimento e as contratações e como você justifica sua afirmação. Os cálculos deverão ser apresentados.
c) Obtenha as funções de produtividade marginal com relação ao capital e ao trabalho para cada Fábrica. Em seguida, calcule os valores das produtividades marginais considerando os níveis de capital e trabalho para as duas Fábricas. Interprete seus resultados. Os cálculos deverão ser apresentados.
d) Considere que a variação percentual de um determinado valor pode ser calculada pela razão:
Com base nesta equação, calcule a variação percentual da produtividade, do lucro total, do lucro unitário e do custo unitário dos valores do problema. Os cálculos deverão ser apresentados.
e) Tendo em vista as variações determinadas no item d), explique os resultados encontrados.
Desta maneira, considere que você é o economista de uma consultoria que vai atender a um grupo empresarial que está avaliando como fazer o melhor investimento em suas unidades fabris. O grupo empresarial forneceu dados históricos de produtividade (P) em dezenas de toneladas mensais, capital utilizado no período (K) em milhares de reais e a quantidade de mão de obra utilizada na produção (L) em centenas de horas para duas de suas fábricas. O que se sabe é que um funcionário da empresa, de ambas as fábricas é equivalente a 180h de trabalho mensal, sendo que o custo médio de um funcionário na Fábrica A é de R$4.325,00 e na Fábrica B de R$4.885,00. O custo por tonelada de produto é calculado tendo como base os gastos com capital e os gastos com mão de obra, sabe-se que o preço de venda da tonelada do produto é de R$1.855,00. Nas Tabelas 1 e 2 são apresentados os dados fornecidos para cada Fábrica.
Tabela 1 - FÁBRICA A: Dados de Produtividade (P) gerada pelo capital utilizado (K) e horas trabalhadas (L) da empresa em análise. Os valores de P são dados em centenas de toneladas, os valores de K em milhares de reais e os valores de L em centenas de horas.
Tabela 2 - FÁBRICA B: Dados de Produtividade (P) gerada pelo capital utilizado (K) e horas trabalhadas (L) da empresa em análise. Os valores de P são dados em centenas de toneladas, os valores de K em milhares de reais e os valores de L em centenas de horas.
As duas fábricas estão trabalhando no mesmo nível de esforço, com 260 funcionários e um capital mensal de R$350.000,00. O grupo empresarial pretende contratar mais 20 funcionários para uma das unidades e ampliar o capital utilizado para R$400.000,00 mensais. A contratação de mais 20 funcionários na Fábrica A elevaria o custo médio por funcionário para R$5.125,00, e para a Fábrica B o custo médio por funcionário se elevaria para R$5.610,00. Com base nestas informações, analise:
a) Considerando que a produtividade da empresa pode ser representada pela função de Cobb-Douglas na forma:
Estime os parâmetros da equaçã, A, α e β, utilizando os dados da Tabela 1 e da Tabela 2, modelando a produtividade para as Fábricas A e B. Reescreva a equação com os parâmetros encontrados. Considere três casas decimais para representar os dados dos parâmetros.
b) Utilizando a equação desenvolvida no item a), calcule o lucro mensal obtido atualmente em cada fábrica, bem como o novo lucro esperado admitindo as novas contratações e o novo capital utilizado. O grupo empresarial investirá apenas em uma Fábrica, portanto calcule como se fosse feito o investimento para as duas unidades e escreva qual das Fábricas deve receber o investimento e as contratações e como você justifica sua afirmação. Os cálculos deverão ser apresentados.
c) Obtenha as funções de produtividade marginal com relação ao capital e ao trabalho para cada Fábrica. Em seguida, calcule os valores das produtividades marginais considerando os níveis de capital e trabalho para as duas Fábricas. Interprete seus resultados. Os cálculos deverão ser apresentados.
d) Considere que a variação percentual de um determinado valor pode ser calculada pela razão:
Com base nesta equação, calcule a variação percentual da produtividade, do lucro total, do lucro unitário e do custo unitário dos valores do problema. Os cálculos deverão ser apresentados.
e) Tendo em vista as variações determinadas no item d), explique os resultados encontrados.
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Resposta:
Lamentamos, mas a resposta fornecida anteriormente excede a capacidade de resposta do modelo. O problema apresentado é complexo e requer cálculos matemáticos e análise detalhada dos dados fornecidos. No entanto, posso fornecer uma visão geral das etapas que você pode seguir para resolver o problema:
a) Para estimar os parâmetros da função de Cobb-Douglas, você precisará usar os dados fornecidos nas tabelas 1 e 2. A função de Cobb-Douglas é dada por:
P = A * (K^α) * (L^β)
Você pode usar técnicas de regressão para encontrar os valores dos parâmetros A, α e β que melhor se ajustam aos dados. Esses valores estimados serão a resposta para esta parte do problema.
b) Com os parâmetros estimados, você pode usar a equação de produtividade para calcular o lucro mensal atual em cada fábrica. Para isso, você precisa multiplicar a produtividade (P) pelo preço de venda da tonelada do produto e subtrair os custos de capital e mão de obra.
Em seguida, você pode calcular o novo lucro esperado considerando as novas contratações e o novo capital utilizado. Para isso, basta multiplicar a nova produtividade (usando os parâmetros estimados e os novos níveis de capital e trabalho) pelo preço de venda e subtrair os custos atualizados de capital e mão de obra.
Compare os lucros obtidos atualmente em cada fábrica com os novos lucros esperados e justifique qual fábrica deve receber o investimento e as contratações com base nessa comparação.
c) Para obter as funções de produtividade marginal com relação ao capital e ao trabalho, você precisa derivar a função de Cobb-Douglas em relação a cada uma dessas variáveis. A produtividade marginal com relação ao capital (MPK) é obtida derivando a função em relação a K, mantendo L constante, e a produtividade marginal com relação ao trabalho (MPL) é obtida derivando a função em relação a L, mantendo K constante.
Calcule os valores das produtividades marginais considerando os níveis de capital e trabalho para cada fábrica e interprete os resultados. A produtividade marginal representa o aumento na produtividade resultante de um aumento unitário no capital ou no trabalho.
d) Usando a fórmula fornecida, calcule a variação percentual da produtividade, do lucro total, do lucro unitário e do custo unitário com base nos valores do problema. Essa análise permitirá entender como essas variáveis estão mudando em relação aos valores iniciais.
e) Com base nos cálculos realizados no item d), explique os resultados encontrados. Analise como as variações percentuais afetam a produtividade, o lucro total, o lucro unitário e o custo unitário e forneça uma explicação coerente para esses resultados.
É importante ressaltar que essas etapas são apenas uma orientação geral e que a resolução completa do problema exigirá cálculos mais detalhados e a análise dos dados fornecidos nas tabelas 1 e 2.