Podemos começar resolvendo esse problema através de um sistema de equações, onde:
a é o primeiro termo da PG
q é a razão da PG
Então temos:
a + aq + aq² = 21 (1)
a * aq * aq² = 64 (2)
Podemos simplificar a equação (2) para:
a³q² = 64
Podemos então isolar q em termos de a na equação (1):
aq² + aq + a = 21/a
Podemos usar a equação (2) para substituir q² por 64/a³, ficando assim:
a * (64/a³) = 64/a²
Substituindo essa expressão em (1), temos:
a + aq + 64/a² = 21
Substituindo a expressão encontrada para q em (1), temos:
a + a * (8/a) + 64/a² = 21
Simplificando essa equação, temos:
a² + 8a + 64/a - 21 = 0
Multiplicando toda a equação por a, temos:
a³ + 8a² + 64 - 21a = 0
Podemos então resolver essa equação cúbica através de fatoração ou usando a fórmula de Cardano. Ambas as técnicas podem ser um pouco complexas e demoradas, então vamos usar um método mais simples: testando valores para a.
Testando alguns valores para a, podemos ver que a = 4 é uma raiz da equação. Podemos então dividir a equação por (a - 4), obtendo:
a² + 12a - 16 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos as outras duas raízes da equação original:
a = -6 ou a = 2/3
A razão q pode ser encontrada através da equação (2):
q = 4/a
Substituindo os valores de a nas equações acima, temos:
a = 4: q = 1; os termos da PG são 4, 4, 4
a = -6: q = -4/3; os termos da PG são -6, 8/3, -32/9
a = 2/3: q = 6; os termos da PG são 2/3, 4, 24
Portanto, encontramos três possíveis sequências em PG que satisfazem as condições dadas: 4, 4, 4; -6, 8/3, -32/9; e 2/3, 4, 24.
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PG com soma e produto
Podemos começar resolvendo esse problema através de um sistema de equações, onde:
Então temos:
a + aq + aq² = 21 (1)
a * aq * aq² = 64 (2)
Podemos simplificar a equação (2) para:
a³q² = 64
Podemos então isolar q em termos de a na equação (1):
aq² + aq + a = 21/a
Podemos usar a equação (2) para substituir q² por 64/a³, ficando assim:
a * (64/a³) = 64/a²
Substituindo essa expressão em (1), temos:
a + aq + 64/a² = 21
Substituindo a expressão encontrada para q em (1), temos:
a + a * (8/a) + 64/a² = 21
Simplificando essa equação, temos:
a² + 8a + 64/a - 21 = 0
Multiplicando toda a equação por a, temos:
a³ + 8a² + 64 - 21a = 0
Podemos então resolver essa equação cúbica através de fatoração ou usando a fórmula de Cardano. Ambas as técnicas podem ser um pouco complexas e demoradas, então vamos usar um método mais simples: testando valores para a.
Testando alguns valores para a, podemos ver que a = 4 é uma raiz da equação. Podemos então dividir a equação por (a - 4), obtendo:
a² + 12a - 16 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos as outras duas raízes da equação original:
a = -6 ou a = 2/3
A razão q pode ser encontrada através da equação (2):
q = 4/a
Substituindo os valores de a nas equações acima, temos:
Portanto, encontramos três possíveis sequências em PG que satisfazem as condições dadas: 4, 4, 4; -6, 8/3, -32/9; e 2/3, 4, 24.