Resposta:

O conjunto imagem da função f(x) = x² + 4x + 3 é [-1,∞) e o da função f(x) = -x² + 6x - 9 é (-∞,0].

Para esboçar o gráfico de uma função do segundo grau, precisamos:

calcular as raízes

calcular o vértice

da interseção da parábola com o eixo y

concavidade.

a) Para calcular as raízes, basta igualar a função a 0 e utilizar a fórmula de Bhaskara:

x² + 4x + 3 = 0

Δ = 4² - 4.1.3

Δ = 16 - 12

Δ = 4

x=\frac{-4+-\sqrt{2}}{2}x=

2

−4+−

2

x=\frac{-4+-2}{2}x=

2

−4+−2

x'=\frac{-4+2}{2}=-1x

′

=

2

−4+2

=−1

x''=\frac{-4-2}{2}=-3x

′′

=

2

−4−2

=−3 .

Agora, vamos calcular o vértice da parábola, que é definido por V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})V=(−

2a

b

,−

4a

Δ

) :

V = (-4/2,-4/4)

V = (-2,-1).

A interseção da parábola com o eixo y é dada quando x = 0, ou seja,

f(0) = 3.

Como o termo que acompanha o x² é positivo, então a parábola possui concavidade para cima.

Marcando os pontos (-1,0), (-3,0), (-2,-1) e (0,3), basta traçar a parábola.

A imagem da função é igual ao conjunto [-1,∞).

b) Observe que -x² + 6x - 9 = -(x - 3)².

Com isso, concluímos que a única raiz é x = 3.

Além disso, o vértice da parábola será a própria raiz, que é (3,0).

A parábola corta o eixo y em f(0) = -9.

Como o termo que acompanha o x² é negativo, então a parábola possui concavidade para baixo.

Marcando os pontos (3,0) e (0,-9), basta traçar a parábola.

A imagem da função é o conjunto (-∞,0].