Escola Naval 2012
Sejam:
i)r uma reta que passa pelo ponto (√3,-1).
ii) A e B respectivamente os pontos em que r corta os eixos x e y.
iii) C o ponto simétrico de B em relação a origem.
Se o triângulo ABC é equilátero, a equação da circunferência de centro A e raio igual à distância entre A e C é
(A) (x−√3)² + y² = 12
(B) (x−2√√3)² + y² = 16
(c) (x−√√3)² + y² = 16
(D) (x−2√√3)² + y² = 12
(E) (x-3√3)² + y² =12
Gabarito: B
Sejam:
i)r uma reta que passa pelo ponto (√3,-1).
ii) A e B respectivamente os pontos em que r corta os eixos x e y.
iii) C o ponto simétrico de B em relação a origem.
Se o triângulo ABC é equilátero, a equação da circunferência de centro A e raio igual à distância entre A e C é
(A) (x−√3)² + y² = 12
(B) (x−2√√3)² + y² = 16
(c) (x−√√3)² + y² = 16
(D) (x−2√√3)² + y² = 12
(E) (x-3√3)² + y² =12
Gabarito: B
Lista de comentários
[tex]\displaystyle \sf (I) \\\\ \text{Reta r passa pelo ponto }(\sqrt{3},-1) : \\\\ y-y_o=m(x-x_o) \\\\ y -(-1) = m(x-\sqrt{3}) \\\\ y = m\cdot x-m\cdot \sqrt{3}-1 \\\\ (II) \\\ \text{A e B pontos que cortam os eixos x e y, ou seja} : \\\\ y=0 \to x = A: \\\\ 0 = m\cdot A-m\sqrt{3}+1\\\\\boxed{\sf A = \frac{m\sqrt{3}+1}{m} \ \ ;\ A = \left(\frac{m\sqrt{3}+1}{m} , 0 \right)} \\\\\\ x = 0 \to y = B : \\\\ B = m\cdot x-m\sqrt{3}-1 \\\\ \boxed{\sf B = -m\sqrt{3}-1 \ \ ;\ B=\left(0,-m\sqrt{3}-1)\right)}[/tex]
[tex]\displaystyle \sf (III) \\\\ \text{C \'e o sim\'etrico de B em rela\c c\~ao a origem, ent\~ao} : \\\\ C= -B \\\\ \boxed{\sf C = \left(0\ ,\ m\sqrt{3}+1\right) }[/tex]
Se o triângulo ABC é equilátero, podemos pensar na altura que ao traçarmos a altura teremos um triângulo retângulo de base C, altura A e ângulo de 60º. Então aplicando tangente de 60º :
[tex]\displaystyle \sf tg(60^\circ) = \frac{A}{C} =\frac{\displaystyle \frac{m\sqrt{3}+1}{m}}{\displaystyle \sqrtr{m}\sqrt{3}+1} \\\\\\ \sqrt{3}=\frac{1}{m} \to m = \frac{1}{\sqrt{3}} \\\\\\ \text{Achando A } : \\\\\ A = \frac{m\sqrt{3}+1}{m} = \sqrt{3}+\frac{1}{\displaystyle \sf \frac{1}{3}} \\\\\\ \boxed{\sf A = 2\sqrt{3} } \\\\\\ \text{Achando C} : \\\\ C = m\sqrt{3}+1 \to C= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+1 \\\\\ \boxed{\sf C = 2 }[/tex]
Achando a distância AC :
[tex]\displaystyle \sf R=\sqrt{(2\sqrt{3}-0)^2+(0-2)^2} \\\\ R=\sqrt{12+4} \\\\ R = \sqrt{16} = 4[/tex]
Equação da circunferência de centro A e raio AC :
[tex]\displaystyle \sf (x-x_c)^2+(y-y_c)^2 = R^2 \\\\ (x-2\sqrt{3})^2 +(y-0)^2 = 16 \\\\ \Large\boxed{\sf \ \left(x-2\sqrt{3}\right)^2+y^2 = 16\ }\checkmark[/tex]
letra B