Tarefa

Racionalizar o denominador de:

[tex]\large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{9}-1 }{\sqrt[3]{3}-1 } $}[/tex]

Resposta

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador ( ou seja, racionalizando o denominador ), obtém-se:

1 + ∛3

Resolução

Racionalizar denominadores é fazer com fiquem na forma de números  inteiros.

Quando se tinha :

[tex]\Large\text{$\sqrt[2]{3} -1$}[/tex]

Para racionalizar multiplicava-se pelo conjugado na forma de :

[tex]\Large\text{$\sqrt[2]{3} +1$}[/tex]

Que é o conjugado do valor inicial.

Pois se percebia que multiplicando os dois estava-se na presença de um Produto Notável :

• O produto da soma pela diferença

Observação 1

Conjugado de uma expressão:

• é outra expressão que multiplicada pela inicial tenha como resultado o tal número inteiro

[tex]\Large\text{$(\sqrt[2]{3} -1) \cdot (\sqrt[2]{3} +1)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=(\sqrt[2]{3} )^2 -1^2)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=3 -1$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=2$}[/tex]

Cá está um número inteiro.

• Mas agora não se pode apenas trocar o sinal do segundo monômio.

• Aqui tem-se raiz cúbica ( raiz de índice 3 )

Compreenda-se que o objetivo vai ser chegar algo semelhante a:

[tex]\Large\text{$a^3-b^3$}[/tex]

Partindo de :

[tex]\Large\text{$a-b$}[/tex]

para chegar a

[tex]\Large\text{$a^3-b^3$}[/tex]

fazer

[tex]\Large\text{$(a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)$}[/tex]

Observação 1

• Conforme o expoente de " a - b " vai sendo aumentado, para além de estar elevado a 2, aparece uma nova fórmula para memorizar e usar.

• Verificação da fórmula, usando a propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição algébrica.

[tex]\Large\text{$(a-b) \cdot (a^2+ab+b^2)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=a \cdot a^2+a \cdot ab+a \cdot b^2-b \cdot a^2-b \cdot ab-b\cdot b^2$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=a^3+a^2b+a b^2- a^2b- ab^2- b^3$}[/tex]

Organizar a expressão, por Comutatividade na Adição para ver que vários monômios vão ter o mesmo valor mas sinais contrários, anulando-se na adição:

[tex]\Large\text{$=a^3+a^2b- a^2b+a b^2- ab^2- b^3$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=a^3+(a^2b- a^2b)+(a b^2- ab^2)- b^3$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=a^3+0+0- b^3$}[/tex]

[tex]\Large\text{$=a^3- b^3$}[/tex]

como se queria demonstrar ( c.q.d. )

Observação 2

Na resolução que se segue irão sendo colocados " números " que no fim da resolução será explicada a regra aplicada para cada um.

Neste exercício :

[tex]\Large\text{$a=\sqrt[3]{3}~~~~~~~~~~ e~~~~~~~b=1 $}[/tex]

Faça-se a multiplicação

[tex]\Large\text{$(\sqrt[3]{3} -1)\cdot[(\sqrt[3]{3})^2+\sqrt[3]{3}\cdot1+1^2] $}[/tex]

[tex]\Large\text{$(\sqrt[3]{3} -1)\cdot[(\sqrt[3]{3})^2+\sqrt[3]{3}+1] $}[/tex]

Assim:

[tex]\Large\text{$[(\sqrt[3]{3})^2+\sqrt[3]{3}+1] $}[/tex]

é o conjugado de:

[tex]\Large\text{$(\sqrt[3]{3} -1)$}[/tex]

Calcular o denominador

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}\cdot1-(\sqrt[3]{3})^2-\sqrt[3]{3} -1$}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^1} \cdot \sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3^1}\cdot \sqrt[3]{3^1}+\sqrt[3]{3}-(\sqrt[3]{3})^2-\sqrt[3]{3} -1~~~~~(1)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{1+2} }+\sqrt[3]{3^{1+1} }+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3^2}-\sqrt[3]{3} -1~~~~~(2)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{3} }+\sqrt[3]{3^{2} }+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3^2}-\sqrt[3]{3} -1~~~~~(3)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$3+\sqrt[3]{3^{2} }-\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3} -1~~~~~(4)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$3+0+0-1$}[/tex]

[tex]\Large\text{$2$}[/tex]

O denominador está racionalizado.

Calcular o numerador

[tex]\Large\text{$(\sqrt[3]{9} -1)\cdot[(\sqrt[3]{3})^2+\sqrt[3]{3}+1] $}[/tex]

[tex]\Large\text{$(\sqrt[3]{3^2} -1)\cdot[\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3}+1] $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^2} \cdot\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3^2}\cdot\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3^2} -\sqrt[3]{3^2} - \sqrt[3]{3}-1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{2+2} } +\sqrt[3]{3^{2+1} }+0 - \sqrt[3]{3}-1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{4} } +\sqrt[3]{3^{3} }- \sqrt[3]{3}-1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{3}\cdot3^1 } +3- \sqrt[3]{3}-1 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^{3}}\cdot\sqrt[3]{3^1} - \sqrt[3]{3}+3-1 ~~~~~~(5)$}[/tex]

[tex]\Large\text{$3\cdot\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3}+2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$(3-1)\cdot\sqrt[3]{3} +2 ~~~~~~(6) $}[/tex]

[tex]\Large\text{$2\cdot\sqrt[3]{3} +2 $}[/tex]

[tex]\Large\text{$2+2\cdot\sqrt[3]{3} $}[/tex]

Cálculo da fração dada

[tex]\Large\text{$\dfrac{ 2+2\cdot\sqrt[3]{3}}{2} $}[/tex]

• No numerador tem-se dois monômios que têm 2 em comum.

• Colocar 2 em evidência

[tex]\Large\text{$\dfrac{ 2\cdot(1+\sqrt[3]{3})}{2} $}[/tex]

Como apenas se têm multiplicações no numerador e no denominador, os 2 cancelam-se:

[tex]\boxed{\boxed{~~\Large\text{$1+\sqrt[3]{3}~ ~$}}}[/tex]    

Observação (1)

Expoente de potência

• um valor sem "expoente" significa que seu expoente é 1 ; sempre que seja necessário para cálculos

Exemplo:

[tex]\Large\text{$3=3^1 $}[/tex]

Observação (2)

Multiplicação de radicais

• só pode ser feito se os radicais tiverem o mesmo índice

• obedece à seguinte regra : mantém o índice e multiplica-se os radicandos

[tex]\Large\text{$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b} $}[/tex]

Observação (3)

Multiplicação de potências com a mesma base

• mantém-se a base
• adicionam-se os expoentes

Exemplo:

[tex]\Large\text{$a^2\cdot a^1=a^{2+1} =a^3 $}[/tex]

Observação (4)

Radical com índice igual ao expoente do radicando

• as operações radiciação e potenciação são inversas

• o resultado é apenas a base do radicando

• é como nada tivesse sido feito

Exemplos :

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{a^3}=a $}[/tex]

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^3}=3 $}[/tex]

Observação (5)

Simplificação de um radical

• pode-se desdobrar um radicando num produto de dois ou mais radicandos

• depois colocar em radicais separados

Exemplo:

[tex]\Large\text{$\sqrt[3]{3^4}=\sqrt[3]{3^3 \cdot3^1}=\sqrt[3]{3^3} \cdot\sqrt[3]{3^1}=3 \cdot\sqrt[3]{3} $}[/tex]

Observação (6)

Adição algébrica de radicais

• só feita quando os radicais são exatamente iguais

• somam-se os coeficientes e mantém-se o radical

Exemplo:

[tex]\Large\text{$3\cdot\sqrt[3]{3} - 1\cdot\sqrt[3]{3}=(3-1) \sqrt[3]{3}=2\sqrt[3]{3} $}[/tex]

Observação

Elementos que fazem parte de um radical

Exemplo:

[tex]\Large\text{$\sqrt[4]{7^3} $}[/tex]

[tex]\Large\text{$4 $}[/tex]  = índice do radical

[tex]\Large\text{$7^3 $}[/tex] = radicando

[tex]\Large\text{$7$}[/tex]  = base do radicando

[tex]\Large\text{$3 $}[/tex]  = expoente do radicando

√  = símbolo de radical

Observação

Falar de adição algébrica significa que pode ser adição ou subtração.

Porque uma subtração pode ser transformada numa adição.

Exemplo:

[tex]\Large\text{$7-12=7+(-12)=7-12$}[/tex]

Pois o sinal "+" antes de parêntesis não altera o sinal do que lá ventro está, quando sai.

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Bons estudos.

Att.  Duarte Morgado

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[tex](\cdot)[/tex]  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.