Exercice 1:
On considère la suite (un) définie par uo = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un - 2n + 3.
3. En déduire que la suite (un) est croissante.
4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n par vn = Un − n + 1. b.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n+n - 1.
c. Calculer : 100 Σ k=0 Uk = U₁ + U₁ + ... + U₁00
C'est là question c de la 4 qui me pose problème, si quelqu'un pourrait m'aider , merci.
On considère la suite (un) définie par uo = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un - 2n + 3.
3. En déduire que la suite (un) est croissante.
4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n par vn = Un − n + 1. b.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n+n - 1.
c. Calculer : 100 Σ k=0 Uk = U₁ + U₁ + ... + U₁00
C'est là question c de la 4 qui me pose problème, si quelqu'un pourrait m'aider , merci.
Lista de comentários
Bonjour ,
4)
a)
V(n+1)=U(n+1)-(n+1)+1
V(n+1)=U(n+1)-n ==> car -1+1=0
Mais U(n+1)=3U(n)-2n+3 , donc :
V(n+1)=3U(n)-2n+3-n
V(n+1)=3U(n)-3n+3
On met "3" en facteur :
V(n+1)=3[U(n)-n+1]
Mais U(n) − n + 1=V(n) , donc :
V(n+1)=3V(n) qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=3 et de 1er terme V(0)=U(0)-0+1=1.
b)
On sait donc avec le cours que :
V(n)=V(0) x q^n soit ici :
V(n)=3^n
Mais U(n)=V(n)+n-1 , donc :
U(n)=3^n+n-1 ( et non ce que tu as écrit !).
c)
U(0)=V(0)+0-1=V(0)-1
U(1)=V(1)+1-1=V(1)+1
U(2)=V(2)+2-1=V(2)+1
U(3)=V(3)+3-1=V(3)+2
..........
U(100)=V(100)+100-1=V(100)+99
Donc :
S=U(0)+U(1)+U(2)+...+U(100)=V(0)+V(1)+V(2)+...+V(100)+1+2+3+...+99
S1=V(0)+V(1)+V(2)+...+V(100) ==> Somme de termes d'une suite géométrique. Voir le cours.
S1=1er terme x (1-q^nb de termes )/(1-q)
S1=1 x (1-3^101)/(1-3)
S1=(3^101-1)/2
Par ailleurs on sait que :
1+2+3+..+n=n(n+1)/2, donc :
S2=1+2+3+..+99=(99x100)/2=4950
S=S1+S2
S=(3^101-1)/2 +4950