Exercice 1 Soit G le centre de gravité d'un quadrilatère quelconque ABCD, c'est-à-dire que G est l'unique point vérifiant l'égalité : GÀ+GB+GỜ +GD = o 1 1. (a) Démontrer que AG = ½ (AB + AČ + AĎ) (b) Construire le point G. 2. Soit M le milieu de [AB] et P le milieu de [CD]. (a) Démontrer que GM = -GP. (b) Donner une construction plus simple du point G. 3. Soit N le milieu de [BC] et Q le milieu de [AD]. (a) Démontrer que GN=-GO. (b) Donner une construction encore plus simple du point G 4. Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ?
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Réponse : 1) voir ci-dessous et pièce jointe
2) voir ci dessous
3) voir ci-dessous
4) MNPQ est un parallélogramme.
Explications étape par étape :
1a) En utilisant l'égalité de l'isobarycentre, on a :
[tex]\vec GB + \vec GC + \vec GD = -\vec GA[/tex]
donc : [tex]\vec AG = \vec GB + \vec GC + \vec GD[/tex]
On utilise la relation de Chasles dans les trois vecteurs de droite :
[tex]\vec AG = \vec GA + \vec AB + \vec GA + \vec AC + \vec GA + \vec AD[/tex]
[tex]\vec AG = 3 \vec GA + \vec AB + \vec AC + \vec AD[/tex]
[tex]\vec AG - 3\vec GA = \vec AB + \vec AC + \vec AD[/tex]
[tex]4\vec AG = \vec AB + \vec AC + \vec AD[/tex]
On divise par 4 des deux côtés pour retrouver la formule.
1)b) voir pièce jointe image 1
[tex]\vec AG = \vec AB :4 + \vec AC : 4 + \vec AD : 4[/tex]
Partout de A et avançons des trois quarts de vecteur vers B', puis C' et enfin G.
2)a) [tex]\vec GA + \vec GB + \vec GC + \vec GD = \vec 0[/tex]
On utilise Chasles et les deux égalités suivantes :
M milieu de [AB] donc : [tex]\vec MA + \vec MB = \vec 0[/tex]
P milieu de [CD] donc : [tex]\vec GC + \vec GD = \vec 0[/tex]
On revient à l'égalité isobarycentrique :
[tex]\vec GM + \vec MA + \vec GM + \vec MB + \vec GP + \vec PC + \vec GP + \vec PD = \vec O[/tex]
donc : [tex]2 \vec GM + 2\vec GP = \vec O[/tex]
En passant de l'autre côté et en divisant par 2, on retrouve l'égalité.
b) [tex]\vec GM = \vec PG[/tex] donc G est le milieu de [MP] (voir image 2)
3) N milieu de [BC] donc : [tex]\vec NB + \vec NC = \vec 0[/tex]
et Q milieu de [AD] donc : [tex]\vec QA + \vec QD = \vec 0[/tex]
On utilise de nouveau l'égalité isobarycentrique et Chasles :
[tex]\vec GQ + \vec QA + \vec GN + \vec NB + \vec GN + \vec NC + \vec GQ + \vec QD = \vec 0[/tex]
On retrouve donc :
[tex]2 \vec GQ + 2\vec GN = \vec 0[/tex]
Et de même que précédemment, on retrouve l'égalité voulue en divisant par 2.
b) Elle n'est pas encore plus simple, mais équivalente.
G est le milieu de [NQ] comme précédemment avec [MP] (voir pièce jointe image 3)
G est donc à l'intersection des diagonales du quadrilatère formé par les milieux de ABCD.
4) Les diagonales de MNPQ se coupent en leur milieu G donc : MNPQ est un parallélogramme.