Exercice 2 (5 points) Un fleuriste a reçu 140 roses et 294 pivoines. Il souhaite faire des bouquets tous identiques, composés du même nombre de roses et du même nombre de pivoine, en utilisant toutes les fleurs. 1) Peut-il faire 20 bouquets ? Justifie ta réponse! 2) a) Décomposer 140 et 294 en produit de facteurs premiers (détails!). b) En t'aidant des décompositions, quel est le plus grand diviseur commun à 140 et 294 ? c) Combien de bouquet peut-il donc faire au maximum ? Quelle est alors la composition de chaque bouquet ?
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Bonjour,
1) Pour savoir si le fleuriste peut faire 20 bouquets identiques, il faut déterminer si le nombre total de fleurs peut être divisé en 20 parties égales, c'est-à-dire s'il existe un entier n tel que :
140 + 294 = n x 20
On peut calculer la somme à gauche : 140 + 294 = 434. On constate que 434 n'est pas divisible par 20, car il ne se termine pas par un zéro ni par un chiffre pair. Par conséquent, le fleuriste ne peut pas faire 20 bouquets identiques.
a) Pour décomposer 140 et 294 en produit de facteurs premiers, on peut procéder ainsi :
140 = 2² x 5 x 7
294 = 2 x 3 x 7²
Pour obtenir cette décomposition, on cherche d'abord les diviseurs premiers successifs de chaque nombre. Pour 140, on peut diviser par 2, puis encore par 2, puis par 5 et enfin par 7. Pour 294, on peut diviser par 2, puis par 3, puis par 7 et encore par 7.
b) Le plus grand diviseur commun (PGCD) de 140 et 294 est le produit des facteurs premiers communs, élevés à la plus petite puissance à laquelle ils apparaissent dans les décompositions respectives. Ici, les facteurs premiers communs sont 2 et 7, donc :
PGCD(140, 294) = 2² x 7 = 28
c) Le fleuriste peut donc faire au maximum 28 bouquets identiques, chacun composé de 5 roses et 7 pivoines. En effet, la somme de ces quantités est égale au PGCD :
5 x 28 + 7 x 28 = 140 + 294 = 434
Et cela permet de répartir toutes les roses et toutes les pivoines entre les bouquets de manière équitable.