EXERCICE 2 : COORDONNÉES. ABCD et BCED sont deux parallélogrammes. Soit I le milieu de [BC] et M le point d'intersection des droites (AC) et (BE). On se place dans le repère (A; AD, AB).
1. Déterminer les coordonnées de C, E et I. 2. Déterminer les coordonnées de M.
3. Que peut on en déduire pour les points I, M et D?
1. Déterminer les coordonnées de C, E et I. 2. Déterminer les coordonnées de M.
3. Que peut on en déduire pour les points I, M et D?
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Les coordonnées de C sont : (A_x + D_x, A_y + D_y)
Les coordonnées de I sont : ((B_x + C_x)/2, (B_y + C_y)/2)
De même, puisque BCED est un parallélogramme, BE = CD et BC = DE. Nous pouvons alors trouver les coordonnées de E :
Les coordonnées de E sont : (B_x + C_x - D_x, B_y + C_y - D_y)
Maintenant, pour trouver les coordonnées de M, nous devons trouver les équations des droites (AC) et (BE) et résoudre leur système d'équations.
L'équation de la droite (AC) est : y = (C_y - A_y)/(C_x - A_x) * (x - A_x) + A_y
L'équation de la droite (BE) est : y = (E_y - B_y)/(E_x - B_x) * (x - B_x) + B_y
En résolvant le système d'équations formé par ces deux droites, nous obtenons les coordonnées de M :
Les coordonnées de M sont : ((A_x + B_x + C_x + D_x)/4, (A_y + B_y + C_y + D_y)/4)
Enfin, puisque I est le milieu de [BC] et D est le milieu de [AB], nous pouvons en déduire que le segment [IM] est un segment médian du triangle ABD. Autrement dit, le point M est le milieu de [AD].