Récurrence

Explications étape par étape :

Tu le sais sûrement déjà, mais la récurrence se compose de 3 grandes parties, l'initialisation, l'hérédité et la conclusion. Je les ai bien présenté, si tu suis cette méthode, ta rédaction serait irréprochable :)

Exercice 3 :

1)

Soit le prédicat P(n) : n + n² est pair, pour tout n entier naturel.

Autrement dit, P(n) : n + n² = 2k, avec k un entier relatif.

On procède à un raisonnement par récurrence sur n.

Initialisation :

Montrons que P(n) est vraie pour n=0

0 + 0² = 0, or 0 = 2x0, k=0, P(0) est vrai.

Hérédité :

Supposons P(n) vrai, et montrons qu'alors, P(n+1) est nécessairement vrai.

n + n² = 2k

⇔n + 1 + n² + 2 + 1 = 2k + 4

⇔(n+1) + (n²+2+1) = 2k+4

⇔(n+1) + (n+1)² = 2k+4

⇔(n+1) + (n+1)² = 2(k+2)

Or 2(k+2) est pair.

Conclusion

On a montré que P(0) est vrai, de plus, si P(n) est vrai, alors P(n+1) l'est aussi. De proche en proche, on montre que P(n) est vrai pour tout n entier naturel.

2)

Soit le prédicat P(n) : a² + b² + 6 est divisible par 8, pour tous a et b, deux entiers naturels.

Autrement dit, a² + b² + 6 = 8k, k étant un entier relatif.

Initialisation :

Montrons que P(n) est vraie pour a=0 et b=0

0²+0²+6 = 6.

6/8 = 1,5.

P(0) est faux, on conclue que le prédicat n'est pas vrai, pour tout a et b, entiers naturels.

(Je pense que ton/ta professeur.e a fait une erreur, a et b ne doivent pas être n'importe quels entiers naturels, il faut que ce soient des entiers naturels non nuls. )