Exercice 3: Pour quelle valeur de a le triangle ABC est-il rectangle en B? Justifier la réponse.
jais compris qu'il fallait utiliser la réciproque du théorème de Pythagore mais je ne trouve pas qu'elle est la valeur de a, pouvez m'aider s'il vous plaît, merci d'avance.
jais compris qu'il fallait utiliser la réciproque du théorème de Pythagore mais je ne trouve pas qu'elle est la valeur de a, pouvez m'aider s'il vous plaît, merci d'avance.
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Réponse :
Explications étape par étape :
Pour qu'un triangle ABC soit rectangle en B, il faut que l'angle en B soit un angle droit, c'est-à-dire que le carré de la longueur du côté opposé à l'angle en B soit égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, on peut écrire :
BC² = AB² + AC²
Or, dans le triangle ABC, on sait que AB = a et AC = 2a-3, donc on a :
BC² = a² + (2a-3)²
En développant cette expression, on obtient :
BC² = a² + 4a² - 12a + 9
BC² = 5a² - 12a + 9
Maintenant, pour que le triangle soit rectangle en B, il faut que BC² = AB² + AC², soit :
5a² - 12a + 9 = a² + (2a-3)²
En développant le membre de droite, on obtient :
5a² - 12a + 9 = a² + 4a² - 12a + 9
En simplifiant, on obtient :
0 = 3a²
Cette équation a pour unique solution a = 0. Cependant, cette solution ne convient pas car si AB = 0, le triangle ABC ne peut pas exister. Donc, il n'y a pas de valeur de a pour laquelle le triangle ABC est rectangle en B.