EXERCICE 6 1 Soit la fonction f définie sur R par f(x)=-3x4 + 16x³ +30x² -7. La fonction f admet-elle des extremums? 2 Démontrer que, pour tout x strictement positif, on a l'inégalité suivante : 2√x + 1 ≥ 3. X
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f'(x) = -12x³ + 48x² + 60x
On cherche les valeurs de x pour lesquelles f'(x) = 0, c'est-à-dire les points critiques de la fonction. On peut factoriser f'(x) :
f'(x) = -12x(x² - 4x - 5) = -12x(x - 5)(x + 1)
Les points critiques sont donc x = 0, x = 5 et x = -1. On calcule ensuite la valeur de la fonction en ces points :
f(0) = -7
f(5) = 593
f(-1) = 36
On peut donc conclure que la fonction f admet un minimum en x = 0 (valeur de -7) et un maximum en x = 5 (valeur de 593).
Pour démontrer l'inégalité 2√x + 1 ≥ 3 pour tout x strictement positif, on procède par calculs algébriques :
On commence par soustraire 1 de chaque membre de l'inégalité :
2√x ≥ 2
Ensuite, on divise chaque membre de l'inégalité par 2 :
√x ≥ 1
En élevant chaque membre de l'inégalité au carré, on obtient :
x ≥ 1
Cette inégalité est vraie pour tout x strictement positif. On peut donc conclure que 2√x + 1 ≥ 3 pour tout x strictement positif.